位场向下延拓的波数域迭代法及其收敛性（刘东甲,洪天求,贾志海,李建设,陆三明,孙晓峰,徐世浙《地球物理学报》2009.6)）.pdf

书书书 第５ ２卷 第６期 ２ ０ ０ ９年６月 地 球 物 理 学 报 ＣＨ Ｉ Ｎ Ｅ Ｓ Ｅ Ｊ ＯＵＲ ＮＡ Ｌ Ｏ Ｆ Ｇ Ｅ Ｏ Ｐ ＨＹ Ｓ Ｉ Ｃ Ｓ Ｖ ｏ ｌ ． ５ ２，Ｎ ｏ ． ６ Ｊ ｕ ｎ ｅ，２ ０ ０ ９ 刘东甲， 洪天求， 贾志海等．位场向下延拓的波数域迭代法及其收敛性．地球物理学报，２ ０ ０ ９，５ ２（６） １ ５ ９ ９～１ ６ ０ ５，Ｄ Ｏ Ｉ１ ０． ３ ９ ６ ９／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ０ ０ ０ １  ５ ７ ３ ３． ２ ０ ０ ９． ０ ６． ０ ２ ２ Ｌ ｉ ｕＤＪ，Ｈ ｏ ｎ ｇＴＱ，Ｊ ｉ ａＺＨ，ｅ ｔ ａ ｌ ．Ｗ ａ ｖ ｅｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｆ ｏ ｒ ｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｏ ｆ ｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｓ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓ ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅ ．犆 犺 犻 狀 犲 狊 犲犑．犌 犲 狅 狆 犺 狔 狊．（ｉ ｎＣ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ） ，２ ０ ０ ９，５ ２（６） １ ５ ９ ９～１ ６ ０ ５，Ｄ Ｏ Ｉ１ ０． ３ ９ ６ ９／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ０ ０ ０ １  ５ ７ ３ ３． ２ ０ ０ ９． ０ ６． ０ ２ ２ 位场向下延拓的波数域迭代法及其收敛性 刘东甲１， 洪天求１， 贾志海１， 李建设２， 陆三明２， 孙晓峰２， 徐世浙３ １合肥工业大学资源与环境工程学院， 合肥 ２ ３ ０ ０ ０ ９ ２安徽省公益性地质调查管理中心， 合肥 ２ ３ ０ ０ ０ １ ３浙江大学地球科学系， 杭州 ３ １ ０ ０ ２ ７ 摘 要 提出了位场向下延拓的波数域迭代法．对水平面上的位场观测值进行Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换， 得到其波谱．根据第 一类Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ积分方程的空间域迭代解法， 推导出计算向下延拓水平面上位场波谱的波数域迭代公式．在波数域 中进行迭代， 一直进行到相继两次迭代近似解的差值最大绝对值小于给定的精度， 或迭代达到给定的最大迭代次 数．对这种迭代近似解进行Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ逆变换， 得到向下延拓的位场．数值计算结果表明 与空间域迭代法比较， 这种 波数域迭代法简单、 快速， 并有同样好的向下延拓效果．本文还证明了这种迭代法是收敛的， 并给出了它的收敛特 性和滤波特性． 关键词 位场， 向下延拓， 积分方程，Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换， 波数域， 迭代法 Ｄ Ｏ Ｉ１ ０ ． ３ ９ ６ ９／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． ０ ０ ０ １  ５ ７ ３ ３ ． ２ ０ ０ ９ ． ０ ６ ． ０ ２ ２ 中图分类号 Ｐ ６ ３ １收稿日期２ ０ ０ ８  ０ ６  ３ ０， ２ ０ ０ ９  ０ ５  １ ８收修定稿 基金项目 安徽省国土资源厅重点项目（０ ８  ｇ  １ ６） 和安徽省科学技术厅科技攻关计划重大科技项目（０ ８ ０ １ ０ ３ ０ １ ０ ５ ５） 资助． 作者简介 刘东甲， 男，１ ９ ５ ７年生， 教授， 主要从事地球物理勘探和桩土动力学研究． Ｅ  ｍ ａ ｉ ｌｄ ｏ ｎ ｇ ｊ ｉ ａ  ｌ ｉ ｕ＠１ ６ ３． ｃ ｏ ｍ 犠 犪 狏 犲狀 狌 犿 犫 犲 狉犱 狅 犿 犪 犻 狀 犻 狋 犲 狉 犪 狋 犻 狅 狀犿 犲 狋 犺 狅 犱犳 狅 狉犱 狅 狑 狀 狑 犪 狉 犱犮 狅 狀 狋 犻 狀 狌 犪 狋 犻 狅 狀 狅 犳狆 狅 狋 犲 狀 狋 犻 犪 犾 犳 犻 犲 犾 犱 狊犪 狀 犱 犻 狋 狊 犮 狅 狀 狏 犲 狉 犵 犲 狀 犮 犲 Ｌ Ｉ ＵＤ ｏ ｎ ｇ  Ｊ ｉ ａ １，ＨＯＮＧＴ ｉ ａ ｎ  Ｑ ｉ ｕ１， Ｊ Ｉ ＡＺ ｈ ｉ  Ｈ ａ ｉ １， Ｌ Ｉ Ｊ ｉ ａ ｎ  Ｓ ｈ ｅ ２， Ｌ ＵＳ ａ ｎ  Ｍ ｉ ｎ ｇ ２， Ｓ ＵＮＸ ｉ ａ ｏ  Ｆ ｅ ｎ ｇ ２， ＸＵＳ ｈ ｉ  Ｚ ｈ ｅ ３ １犛 犮 犺 狅 狅 犾 狅 犳犚 犲 狊 狅 狌 狉 犮 犲 狊犪 狀 犱犈 狀 狏 犻 狉 狅 狀 犿 犲 狀 狋 犪 犾犈 狀 犵 犻 狀 犲 犲 狉 犻 狀 犵，犎 犲 犳 犲 犻犝 狀 犻 狏 犲 狉 狊 犻 狋 狔狅 犳犜 犲 犮 犺 狀 狅 犾 狅 犵 狔，犎 犲 犳 犲 犻２ ３ ０ ０ ０ ９，犆 犺 犻 狀 犪 ２犖 狅 狀 狆 狉 狅 犳 犻 狋犕 犪 狀 犪 犵 犲 犿 犲 狀 狋犆 犲 狀 狋 狉 犲狅 犳犌 犲 狅 犾 狅 犵 犻 犮 犪 犾犛 狌 狉 狏 犲 狔犻 狀犃 狀 犺 狌 犻犘 狉 狅 狏 犻 狀 犮 犲，犎 犲 犳 犲 犻２ ３ ０ ０ ０ １，犆 犺 犻 狀 犪 ３犇 犲 狆 犪 狉 狋 犿 犲 狀 狋 狅 犳犈 犪 狉 狋 犺犛 犮 犻 犲 狀 犮 犲 狊，犣 犺 犲 犼 犻 犪 狀 犵犝 狀 犻 狏 犲 狉 狊 犻 狋 狔，犎 犪 狀 犵 狕 犺 狅 狌３ １ ０ ０ ２ ７，犆 犺 犻 狀 犪 犃 犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋 Ｔ ｈ ｅｗ ａ ｖ ｅｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄｉ ｓｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄｆ ｏ ｒｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｏ ｆ ｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｓ ． Ｔ ｈ ｅｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓｏ ｆ ａｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｄｏ ｎａｈ ｏ ｒ ｉ ｚ ｏ ｎ ｔ ａ ｌ ｐ ｌ ａ ｎ ｅａ ｒ ｅ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ ｅ ｄｂ ｙ ｔ ｈ ｅＦ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ，ｓ ｏｔ ｈ ｅｗ ａ ｖ ｅｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ｕ ｍｏ ｆｔ ｈ ｅｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄｉ ｓｇ ａ ｉ ｎ ｅ ｄ ．Ａ ｃ ｃ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇｔ ｏｔ ｈ ｅ ｓ ｐ ａ ｃ ｅｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄｏ ｆｔ ｈ ｅＦ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｏ ｆｔ ｈ ｅｆ ｉ ｒ ｓ ｔｋ ｉ ｎ ｄ，ｔ ｈ ｅｗ ａ ｖ ｅ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａｉ ｓｄ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄｆ ｏ ｒｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｎ ｇｔ ｈ ｅｗ ａ ｖ ｅｓ ｐ ｅ ｃ ｔ ｒ ｕ ｍｏ ｆｔ ｈ ｅｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄｏ ｎａ ｌ ｏ ｗ ｅ ｒｈ ｏ ｒ ｉ ｚ ｏ ｎ ｔ ａ ｌ ｐ ｌ ａ ｎ ｅ ． Ｔ ｈ ｅｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｄ ｕ ｒ ｅｏ ｆ ｔ ｈ ｅｗ ａ ｖ ｅｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｒ ｅ ｐ ｅ ａ ｔ ｅ ｄ ｕ ｎ ｔ ｉ ｌ ｔ ｈ ｅｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍａ ｂ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｅｖ ａ ｌ ｕ ｅｏ ｆｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅｏ ｆ ｔ ｗ ｏｓ ｕ ｃ ｃ ｅ ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎｔ ｈ ｅｗ ａ ｖ ｅｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎｉ ｓｓ ｍ ａ ｌ ｌ ｅ ｒｔ ｈ ａ ｎａｇ ｉ ｖ ｅ ｎｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ，ｏ ｒａｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒ ｉ ｓ ｒ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｄ ． Ｔ ｈ ｅｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ ｉ ｓ ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｄｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｅＦ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｏ ｆｔ ｈ ｅｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅａ ｐ ｐ ｒ ｏ ｘ ｉ ｍ ａ ｔ ｅｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｎ ｕ ｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓｓ ｈ ｏ ｗｔ ｈ ａ ｔｔ ｈ ｅ ｗ ａ ｖ ｅｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄｉ ｓｓ ｉ ｍ ｐ ｌ ｅ ｒａ ｎ ｄｆ ａ ｓ ｔ ｅ ｒｔ ｈ ａ ｎｔ ｈ ｅｓ ｐ ａ ｃ ｅｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ，ａ ｎ ｄｐ ｏ ｓ ｓ ｅ ｓ ｓ ｅ ｓｔ ｈ ｅｓ ａ ｍ ｅｇ ｏ ｏ ｄｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓｆ ｏ ｒｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ．Ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅｏ ｆｔ ｈ ｉ ｓ 地 球 物 理 学 报（Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅＪ ． Ｇ ｅ ｏ ｐ ｈ ｙ ｓ ．） ５ ２卷 ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ，ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓａ ｎ ｄｆ ｉ ｌ ｔ ｅ ｒｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓａ ｒ ｅｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｄ ． 犓 犲 狔 狑 狅 狉 犱 狊 Ｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ，Ｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，Ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ，Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ，Ｗ ａ ｖ ｅ ｎ ｕ ｍ ｂ ｅ ｒｄ ｏ ｍ ａ ｉ ｎ，Ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ １ 引 言 由于向下延拓平面更接近场源， 增加了重磁位 场资料的分辨率， 使位场向下延拓具有实际意义， 又 由于随着向下延拓深度的增大， 向下延拓对位场中 高频干扰信号有着显著的放大作用， 常导致不能分 辨有效信号．这使位场向下延拓算法的研究长期以 来成为重磁数据处理中的热点之一． Ｂ ａ ｔ ｅ ｍ ａ ｎ ［１］最早用 Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ级数法进行位场的向 上延拓和向下延拓， 但未提供实用公式；Ｐ ｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ［２］利 用Ｂ ａ ｔ ｅ ｍ ａ ｎ的方法做位场向下延拓， 对其向下延拓 公式中的系数， 分别给出了向下延拓一倍点距和两 倍点距的系数值． Ｄ ｅ ａ ｎ ［３］从波数域中研究了向下延 拓， 并讨论了向下延拓的的滤波特性． Ｃ ｌ ａ ｒ ｋ ｅ ［４］提出 在有干扰条件下， 应用维纳滤波理论设计向下延拓 的最佳滤波．为克服向下延拓放大高频干扰形成假 异常的缺陷，Ｋ ｕ ［５］提出用窗函数修正向下延拓的滤 波因子， 还对向下延拓空间域方法和波数域方法的 效果 进 行 了 对 比 研 究． Ｂ ａ ｒ ａ ｎ ｏ ｖ ［６］用 （ ｓ ｉ ｎ狓ｓ ｉ ｎ狔） ／ （ 狓 狔 ） 函数表示观测平面上的位场， 代入向下延拓平 面上位场的Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ逆变换表达式， 分别给出几个 深度的向下延拓系数表， 并讨论了向下延拓的误差， 其向下延拓深度不超过一倍点距．根据Т ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ ［７］ 的正则化方法， 安玉林和管志宁［ ８］为改善向下延拓 的效果， 给出了滤除高频干扰的正则化稳定因子； 梁 锦文［ ９］研究了四种正则化向下延拓滤波因子的特 性． Ｐ ａ ｗ ｌ ｏ ｗ ｓ ｋ ｉ ［１ ０］由维纳滤波和格林等效层原理导 出延拓的滤波因子， 其向下延拓增强了深源场， 而不 会使浅源场过于放大； 并对布格重力异常实际资料 进行了两倍点距的向下延拓． Ｆ ｅ ｄ ｉ ［１ １］也用 Ｔ ａ ｙ ｌ ｏ ｒ级 数展开法进行场的向下延拓．该法的关键在于级数 中的垂向各阶导数的计算， 对观测场的垂向一阶导 数， 先对观测场用Ｆ Ｆ Ｔ（ 快速Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换） 做垂向 积分， 再对积分结果用空间域差分法求垂向二阶导 数， 分别对观测场及其垂向一阶导数， 多次用空间域 差分法， 求得垂向各阶导数． Ｃ ｏ ｏ ｐ ｅ ｒ ［１ ２］为减少向下 延拓的不稳定性， 在空间域求场的垂向导数， 在波数 域中对这种导数沿垂向积分并向下延拓， 经反变换 得到场的向下延拓值． 徐世浙［ １ ３～１ ６］对重磁位场向下延拓这一课题进 行了系统的研究．其中文献［ １ ５，１ ６］ 针对大数据量 的网格数据， 将向下延拓深度提高到１ ０～２ ０倍点 距．文献［ １ ５］ 将水平观测面上的位场实测值， 垂直投 影至下部的延拓水平面上， 作为该水平面上的位场 初始值．根据该水平面上的初始值， 用Ｆ Ｆ Ｔ向上延 拓计算观测面上的位场值．用观测面上的实测值与 计算值的差值， 对延拓面上的位场值进行校正．如 此反复迭代， 直至观测面上的实测值与计算值的差 值小到可以忽略．文献［ １ ６］ 中， 通过插值迭代法将 起伏曲面Γ犅上的位场向下延拓至曲面最低点的平 面Γ犃， 然后， 用文献［ １ ５］ 的方法， 把Γ犃上的位场向 下延拓至下方的任一水平面上．我们将文献［ １ ５］ 的 空间域迭代法和文献［ １ ６］ 的插值迭代法统称为徐 世浙法． 本文从平面位场向下延拓的积分方程出发， 把 徐世浙［ １ ５］法的空间域迭代过程变换到波数域， 得到 位场向下延拓的波数域迭代法， 并严格地证明其收 敛性， 研究其收敛特性及滤波特性． ２ 平面位场向下延拓 ２． １ 基本原理 假设观测面为水平面（ 狕＝０） ， 该平面上的位场 狌（狓，狔，狕）狘狕＝ ０＝狌０（狓，狔）． （ １） 计算观测面以下至场源以上空间狕＝犺（＞０） 平 面（ 图１） 的位场 狌（狓，狔，狕）狘狕＝犺＝狌犺（狓，狔） ， （ ２） 这种换算称为位场向下延拓．狕＝０平面为观测平 面；狕＝犺平面为向下延拓平面． 根据位场向上延拓公式， 得观测平面位场狌 ０（狓，狔） 与向下延拓平面位场狌 犺（狓，狔） 之间的关系 狌０（狓，狔）＝ 犺 ２ π∫ ∞ －∞∫ ∞ －∞ 狌犺（ ξ，η） 狉 ３ ｄ ξ ｄ η＝ 犺 ２ π ∫ ∞ －∞∫ ∞ －∞ 狌犺（ ξ，η） 狓－（） ξ ２＋ 狔－ （） η ２＋犺 ［］ ２３／２ ｄ ξ ｄ η， （ ３） 式（ ３） 中犺是向下延拓深度，狉是向下延拓平面上点 （ ξ，η， 犺） 与观测平面上点（狓，狔，０） 之间的距离．式 （ ３） 属于第一类Ｆ ｒ ｅ ｄ ｈ ｏ ｌ ｍ积分方程， 具有实对称 ００６１ ６期 刘东甲等 位场向下延拓的波数域迭代法及其收敛性 核， 且可以表示为二维褶积 狌０（狓，狔）＝狌犺（狓，狔）φ（狓，狔） ， （ ４） 式中 φ（ 狓，狔）＝犺／ ［２ π（狓 ２ ＋狔 ２ ＋犺 ２）３／２］ ． （ ５） 对式（４） 进行Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换， 得 犝０（犽狓，犽狔）＝犝犺（犽狓，犽狔）Φ（犽狓，犽狔） ， （ ６） 式中犝０（ 犽狓，犽狔） 、犝犺（犽狓，犽狔） 分别是狌０（狓，狔） 、狌犺（狓，狔） 的Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换 犝０（犽狓，犽狔）＝ ∫ ∞ －∞∫ ∞ －∞狌 ０（狓，狔）ｅ － ｉ（狓 犽狓＋狔 犽 狔）ｄ 狓ｄ狔， 犝犺（犽狓，犽狔）＝ ∫ ∞ －∞∫ ∞ －∞狌 犺（狓，狔）ｅ － ｉ（狓 犽狓＋狔 犽 狔）ｄ 狓ｄ狔． 犝０（犽狓，犽狔） 、犝犺（犽狓，犽狔） 分别称之观测平面位场波谱、 向下延拓平面位场波谱， 其中犽 狓、犽狔分别是狓、狔方 向的波数． φ（ 狓，狔） 的Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换为 Φ（犽狓，犽狔）＝ｅ －犺犽 ２ 狓＋ 犽 ２ 槡狔，（７） 称之向上延拓的波数响应（ 或滤波因子）． 由式（ ６） 得 犝犺（犽狓，犽狔）＝犝０（犽狓，犽狔）Φ － １（ 犽狓，犽狔） ， （ ８） 式中， 向下延拓的波数响应（ 或滤波因子） 为 犎ｄ（犽狓，犽狔）＝Φ － １（ 犽狓，犽狔）＝ｅ 犺犽 ２ 狓＋ 犽 ２ 槡狔．（９） 对式（ ８） 进行Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ逆变换， 得向下延拓平面位场 狌犺（狓，狔）＝犉 － １［ 犝０（犽狓，犽狔）Φ － １（ 犽狓，犽狔） ］．（１ ０） 式（ １ ０） 用Ｆ Ｆ Ｔ（ 快速Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换） 直接计算， 本文 称这种向下延拓的方法为直接Ｆ Ｆ Ｔ法．该法为高 通滤波． 图１ 向下延拓示意图 Ｆ ｉ ｇ ． １ Ｓ ｃ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃｄ ｉ ａ ｇ ｒ ａ ｍｏ ｆ ｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ２． ２ 空间域迭代法 对向下延拓平面位场狌 犺（狓，狔） 的计算， 还可以 用徐世浙法的空间域迭代过程［ １ ５］表示为 狌狀（狓，狔）＝狌狀－ １（狓，狔）＋狊［狌０（狓，狔）－狌狀－ １（狓，狔） φ（狓，狔） ］ ，狀＝１，２，３， ， （ １ １） 式（ １ １） 是积分方程（３） 的一种解法 逐次逼近法． 式中狌 狀（狓，狔） 是式（３） 中狌犺（狓，狔） 的第狀次迭代近 似值； 右边第二项为校正值， 其中狊是步长， 一般取 狊＝１； 中括号中第二项是把第狀－１次迭代值向上延 拓到观测平面的结果， 它由Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ逆变换计算 狌狀－ １（狓，狔）φ（狓，狔）＝犉 － １［ 犝狀－ １（犽狓，犽狔）Φ（犽狓，犽狔） ］． （ １ ２） 给定很小正数ε １， 当满足如下不等式 狘狌０（狓，狔）－狌狀－ １（狓，狔）φ（狓，狔）狘＜ε１ （ １ ３） 时， 取位场向下延拓值 狌犺（狓，狔）≈狌狀（狓，狔）． （ １ ４） ３ 波数域迭代法及其收敛性证明 ３． １ 波数域迭代法 对徐 世 浙 法 空 间 域 迭 代 公 式 （ １ １） 两 边 进 行 Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换， 且取步长狊＝１， 得波数域迭代公式 犝狀（犽狓，犽狔）＝犝狀－ １（犽狓，犽狔） ［１－Φ（犽狓，犽狔） ］ ＋犝０（犽狓，犽狔） ，狀＝１，２，３， ， （ １ ５） 式中犝狀（ 犽狓，犽狔） 、犝狀－１（犽狓，犽狔） 分 别 是狌狀（狓，狔） 、 狌狀－１（狓，狔） 的Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换．上式迭代过程一直进行 到满足如下迭代终止准则 ｍ ａ ｘ狘犝狀（犽狓，犽狔）－犝狀 － １（犽狓，犽狔） 狘＜ε２ 或狀＝犖ｍ，（ １ ６） 式中ε ２、犖ｍ分别是给定的很小正数和最大迭代次数． 对犝狀（ 犽狓，犽狔） 作Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ逆变换， 得到向下延拓 平面位场 狌犺（狓，狔）≈犉 － １［ 犝狀（犽狓，犽狔） ］． （ １ ７） 由式（ １ ５）～（１ ７） ， 可得位场向下延拓波数域迭代法 的计算步骤 第一步 对观测平面位场狌 ０（狓，狔） 作Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变 换（ 使用Ｆ Ｆ Ｔ） ， 得其波谱犝０（ 犽狓，犽狔） ； 第二步 由式（ ７） 计算向上延拓波数响应Φ（犽狓， 犽狔） ； 第三步 由式（ １ ５） 进行波数域迭代， 并按式（１ ６） 结束迭代； 第四步 由式（ １ ７） 用Ｉ Ｆ Ｆ Ｔ求狌犺（狓，狔）． ３． ２ 波数域迭代法的收敛性 波数域迭代公式（ １ ５） 简记为 犝狀＝犝狀－ １（１－Φ）＋犝０，狀＝１，２，３， ．（１ ８） 当狀＝１时， 由式（ １ ８） 得 １０６１ 地 球 物 理 学 报（Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅＪ ． Ｇ ｅ ｏ ｐ ｈ ｙ ｓ ．） ５ ２卷 犝１＝犝０［ （１－Φ）＋１］ ， （ １ ９） 当狀＝２时， 由式（ １ ８） 及式（１ ９） 得 犝２＝犝０［ （１－Φ） ２ ＋（１－Φ）＋１］ ， （ ２ ０） 由式（ １ ９） 和式（２ ０） ， 可写出通式 犝狀＝犝０［ （１－Φ） 狀 ＋（１－Φ） 狀－ １ ＋ ＋（１－Φ）＋１］． （ ２ １） 用数学归纳法， 容易证明式（ ２ １） （ 略）． 式（ ２ １） 右边中括号内是一等比级数， 其公比 １－Φ＜１．因此， 对该式取极限并由式（８） 得 ｌ ｉ ｍ 狀→∞ 犝狀＝犝０｛１／ ［１－（１－Φ） ］ ｝＝犝０Φ － １ ＝犝犺． （ ２ ２） 上式表明， 当迭代次数狀趋于无穷时， 第狀次迭代的 位场波谱趋于向下延拓场的波谱．至此， 我们严格 地证明了波数域迭代公式的收敛性． ４ 波数域迭代法收敛特性及滤波特性 ４． １ 收敛特性分析 由式（ ２ １） 和式（８） ， 得 犝狀／犝犺＝１－（１－Φ） 狀＋ １， 狀＝１，２，３， ， （２ ３） 式中向上延拓波数响应见式（ ７）．为研究方便， 做坐 标变换 犽狓＝犽ｃ ｏ ｓθ 犽狔＝犽ｓ ｉ ｎ ｛ θ ，（ ２ ４） 得 Φ＝ｅ －犺 犽． （ ２ ５） 根据式（２ ３） 、 （２ ５） 及图２可见 （１） 在零波数点 （ 犽＝０） ，犝狀／犝犺＝１； （２） 当向下延拓深度犺一定 时， 若狀＞１， 在低波数区， 犝狀＝犝犺， 即存在一个低波 数等值区， 随迭代次数狀的增加， 低波数等值区的范 围变大； （ ３） 在迭代次数狀一定时， 在低 波 数区， 犝狀＝犝犺， 即同样存在一个低波数等值区， 随向下延 拓深度犺的增加， 这个低波数等值区的范围变小． 由上我们推出， 当向下延拓深度犺较小、 且位场分 布在低波数区时， 只需要较少的迭代次数就能收敛． ４． ２ 滤波特性分析 由式（ ２ １） ， 得第狀次迭代的波数响应 犎狀＝犝狀／犝０＝（１－Φ） 狀 ＋（１－Φ） 狀－ １ ＋ ＋（１－Φ）＋１，狀＝１，２，３， ， （２ ６） 由式（ ２ ６） 可见，犎狀＞１．因此， 可以把犎狀看作波数 域中高通滤波因子， 它放大位场观测数据中的信号， 同时也放大了位场观测数据中的噪声． 根据式（ ２ ６） 、 （２ ５） 及图３可见 （１） 在零波数点， 犎狀＝１； （２）狀→∞时，犎狀（＝Φ １ ） 为向下延拓的波 数响应， 即直接Ｆ Ｆ Ｔ法的波数响应； （ ３）犎狀随波数 犽的增加而增加， 并趋于最大值狀＋１； （４） 在波数犽 一定时，犎狀随迭代次数狀的增加而增加； （ ５） 当狀一 定时， 若向下延拓深度犺较大，犎狀随波数犽的增加 较快地趋于狀＋１． 因此我们推出 迭代法也是高通滤波， 较少的迭 代次数及较小的向下延拓深度， 会使位场观测数据 中的噪声放大得较少． ５ 算例分析 ５． １ 场源及网格参数 重力场源为两个球体， 它们相同的参数是 剩余 密度１． ０ｔ／ｍ ３、 半径０． ５ｋ ｍ、 球心埋深１． ８ｋ ｍ、 球 心狔坐标１ ２． ５ｋ ｍ， 球心狓坐标分别为１ ０． ０ｋ ｍ和 １ ５． ０ｋ ｍ； 矩形网格参数 线数犕＝５ １ ２， 每线点数犖 ＝５ １ ２， 点距Δ狓＝５ ０ｍ、 线距Δ狔＝５ ０ｍ． ５． ２ 波数域迭代法的误差 先计算出场源在矩形网格上的重力异常狌 ０（ 如 图４ ａ） ， 其最大值为１． １ １ ９ ８ｍＧ ａ ｌ ．用本文的波数域 迭代法计算出向下延拓深度犺平面的重力异常狌犺 犮， 其误差由该平面上的理论重力异常狌 犺 狋按下式计算 狌ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ＝ １ 犕犖∑ 犕 犿＝１∑ 犖 狀＝１ ［ 狌犺 犮（犿，狀）－狌犺 狋（犿，狀） ］ 槡 ２． （ ２ ７） 图４ ｂ是向下延拓１ ０倍点距（ 即犺＝ １ ０ Δ狓＝ ５ ０ ０ｍ） 的重力异常图， 它与该延拓平面上的理论重力异常 图重合．向下延拓２ ０倍点距时， 相应两图（ 图略） 之 间仅在峰值处有很小的差异．我们还用空间域迭代 法做了对比计算， 两种方法有相同的向下延拓效果． 对该例， 波数域迭代法的误差狌 ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ与迭代次数 狀和向下延拓深度犺的关系见表１和图５．可见 （ １） 随迭代次数狀的增加， 误差狌ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ开始迅速减小， 达到极小后略有增加； （ ２） 向下延拓深度犺越大， 狌ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ达到极小所需要的迭代次数越大； （３） 迭代次数 一定时， 向下延拓深度犺越大， 狌ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ越大． ５． ３ 随机干扰的影响 对上述矩形网格上的重力异常狌 ０数据， 叠加了 狌０最大值（１． １ １ ９ ８ｍＧ ａ ｌ） 百分之一的正态分布随机 干扰．用波数域迭代法计算出向下延拓１ ０倍点距 （ 犺＝１ ０ Δ狓， 点距Δ狓＝５ ０ｍ） 的结果， 并计算了直接 Ｆ Ｆ Ｔ法向下延拓３倍点距的结果．为方便起见， 只 ２０６１ ６期 刘东甲等 位场向下延拓的波数域迭代法及其收敛性 图２ 收敛特性曲线 （ａ）狀的影响； （ｂ）犺的影响． Ｆ ｉ ｇ ． ２ Ｃ ｏ ｎ ｖ ｅ ｒ ｇ ｅ ｎ ｃ ｅｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ （ａ）Ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓｏ ｆ狀；（ｂ）Ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓｏ ｆ犺． 图３ 滤波特性曲线 （ａ）狀的影响； （ｂ）犺的影响． Ｆ ｉ ｇ ． ３ Ｆ ｉ ｌ ｔ ｅ ｒ ｃ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓ （ａ）Ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓｏ ｆ狀；（ｂ）Ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓｏ ｆ犺． 图４ 观测平面上的重力异常（ａ） 及向下延拓平面（ 犺＝１ ０ Δ狓） 上的重力异常（ｂ） Ｆ ｉ ｇ ． ４ Ｇ ｒ ａ ｖ ｉ ｔ ｙａ ｎ ｏ ｍ ａ ｌ ｉ ｅ ｓｏ ｎａｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｄｐ ｌ ａ ｎ ｅ（ａ）ａ ｎ ｄｇ ｒ ａ ｖ ｉ ｔ ｙａ ｎ ｏ ｍ ａ ｌ ｉ ｅ ｓ ｏ ｎａｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｐ ｌ ａ ｎ ｅ（犺＝１ ０ Δ狓）（ｂ） 表１ 狌 ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ与狀的关系 犜 犪 犫 犾 犲１ 犚 犲 犾 犪 狋 犻 狅 狀犫 犲 狋 狑 犲 犲 狀狌ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ犪 狀 犱狀 狀１５１ ５２ ５４ ５６ ５９ ５１ ３ ５１ ８ ５２ ４ ５３ １ ５３ ９ ５４ ８ ５ １ ０ ４狌 ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ （犺＝１ ０ Δ狓） ３ １ ２５ ９１ ９１ ８１ ９１ ９２ ０２ ０２ ２２ ３２ ４２ ６２ ８ １ ０ ４狌 ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ （犺＝２ ０ Δ狓） １ ６ ０ ２９ ３ ８５ ２ ４３ ８ ４２ ６ ５２ ０ ９１ ６ ５１ ３ ６１ １ ９１ １ １１ ０ ９１ １ ３１ ２ ０ ３０６１ 地 球 物 理 学 报（Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅＪ ． Ｇ ｅ ｏ ｐ ｈ ｙ ｓ ．） ５ ２卷 图５ 狌 ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ与狀关系曲线 Ｆ ｉ ｇ ． ５ Ｃ ｕ ｒ ｖ ｅ ｓｏ ｎｒ ｅ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｂ ｅ ｔ ｗ ｅ ｅ ｎ狌ｅ ｒ ｒ ｏ ｒａ ｎ ｄ狀 图示两球心上方剖面（ 这里称主剖面） 的数据． 图６ ａ数据中叠加了随机干扰， 图６ ｃ是纵轴图示 比例尺放大后的随机干扰剖面图， 图６（ ｂ，ｄ） 是波数 域迭代法向下延拓的结果， 但对数据未做圆滑处理， 图６（ ｅ，ｆ） 是对数据进行过两次（ 延拓前后） 圆滑的向 下延拓结果．可见 （ １） 波数域迭代法会放大数据中 的随机干扰（ 对比图６ ｂ和图６ ａ） ， 迭代次数越多， 放大 得越明显（ 对比图６ ｄ和图６ ｂ） ； （ ２） 随机干扰经过圆 滑处理， 直接Ｆ Ｆ Ｔ法即使下延３倍点距， 干扰也会 得到显著的放大， 使向下延拓失效， 而波数域迭代法 一般能取得较好的向下延拓效果（ 对比图６（ ｅ，ｆ） ）． 图６ 模型重力异常数据中含随机干扰时向下延拓效果（ 仅图示主剖面） （ａ）含随机干扰的重力异常； （ｂ）迭代１ ５次， 向下延拓１ ０倍点距； （ｃ）随机干扰； （ｄ）迭代２ ５次， 向下延拓１ ０倍点距； （ｅ）直接Ｆ Ｆ Ｔ法向下延拓３倍点距（ 异常经过圆滑处理） ； （ｆ）迭代法向下延拓１ ０倍点距， 迭代２ ５次（ 异常经过圆滑处理）． Ｆ ｉ ｇ ． ６ Ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｓｏ ｆｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｔ ｏｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｇ ｒ ａ ｖ ｉ ｔ ｙａ ｎ ｏ ｍ ａ ｌ ｉ ｅ ｓｗ ｉ ｔ ｈｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｓ（ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｏ ｎｔ ｈ ｅｍ ａ ｉ ｎｐ ｒ ｏ ｆ ｉ ｌ ｅ） （ａ）Ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｇ ｒ ａ ｖ ｉ ｔ ｙａ ｎ ｏ ｍ ａ ｌ ｉ ｅ ｓｗ ｉ ｔ ｈｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｓ；（ｂ）Ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ１ ５ ｔ ｉ ｍ ｅ ｓ ａ ｎ ｄｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ５ ０ ０ｍｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ；（ｃ）Ｒ ａ ｎ ｄ ｏ ｍ ｎ ｏ ｉ ｓ ｅ ｓ；（ｄ）Ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ２ ５ｔ ｉ ｍ ｅ ｓ ａ ｎ ｄｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ５ ０ ０ｍｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ；（ｅ）Ｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ１ ５ ０ｍｂ ｙ ｔ ｈ ｅ ｉ ｍｍ ｅ ｄ ｉ ａ ｔ ｅ Ｆ Ｆ Ｔｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ（Ｔ ｈ ｅａ ｎ ｏ ｍ ａ ｌ ｉ ｅ ｓａ ｒ ｅｓ ｍ ｏ ｏ ｔ ｈ ｅ ｄ ．） ；（ｆ）Ｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ５ ０ ０ｍｂ ｙｔ ｈ ｅ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ（Ｔ ｈ ｅａ ｎ ｏ ｍ ａ ｌ ｉ ｅ ｓａ ｒ ｅｓ ｍ ｏ ｏ ｔ ｈ ｅ ｄ，ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｔ ｉ ｍ ｅ ｓ ｉ ｓ２ ５）． ４０６１ ６期 刘东甲等 位场向下延拓的波数域迭代法及其收敛性 ６ 结 论 （ １）直接从观测平面位场狌０（狓，狔） 与向下延拓 平面位场狌 犺（狓，狔） 所满足的积分方程出发， 依据徐 世浙法的空间域迭代公式， 推出位场向下延拓的波 数域迭代法． （ ２）这种方法先由Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ变换求出观测平面 位场的波谱犝０， 再由向上延拓波数响应Φ， 在波数 域依据公式犝狀＝犝狀－１（ １－Φ）＋犝０进行迭代， 当 满足精度要求时， 由犝狀的Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ逆变换求出向下 延拓平面的位场．该方法简单快速， 与空间域迭代 法有同样好的向下延拓效果． （ ３） 由波数域迭代公式推出犝狀＝［ （１－Φ） 狀＋ （ １－Φ） 狀－１＋＋（ １－Φ）＋１］犝０； 进一步推出狀→ ∞时，犝狀＝犝犺， 即第狀次迭代的位场波谱趋于向下 延拓场的波谱．这就严格地证明了波数域迭代法的 收敛性． （ ４） 由犝狀／犝犺与波数犽及向下延拓深度犺的关 系式， 研究了迭代法的收敛特性．结果表明 犝狀与 犝犺存在一个低波数等值区， 当迭代次数狀越大， 或 犺越小时， 这个低波数等值区的范围越大．因此， 对 波谱分布在低波数区的重磁位场进行向下延拓， 迭 代法只要较少的迭代次数， 若向下延拓深度较小， 所 需迭代次数更少．而向下延拓的直接Ｆ Ｆ Ｔ法相当 于迭代无穷次的迭代法． （ ５） 由迭代法的波数响应犎狀（＝犝狀／犝０） 与波数 犽及向下延拓深度犺的关系式， 研究了该法的滤波 特性．结果表明犎狀＞１， 且随波数犽的增大而增大 并趋于最大值狀＋１； 若犺越小，犎狀趋于这个最大值 越慢； 即迭代法也具有高通滤波特性， 迭代次数越 少， 或向下延拓深度犺越小， 对位场观测数据中的噪 声放大得越少．而向下延拓的直接Ｆ Ｆ Ｔ法的波数 响应犎ｄ（＝Φ－１） 随波数犽按指数规律增大， 并趋于 无穷大， 即直接Ｆ Ｆ Ｔ法对噪声有显著的放大．因此， 迭代法的向下延拓效果远优于直接Ｆ Ｆ Ｔ法． （ ６） 由于迭代法是高通滤波， 对实际位场资料向 下延拓前后， 最好分别进行圆滑处理．另外， 也可以 不用迭代过程， 直接用式（ ２ １） 及犝狀的Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ逆变 换进行位场的向下延拓计算． 参考文献（Ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ） ［１］ Ｂ ａ ｔ ｅ ｍ ａ ｎＨ． Ｓ ｏ ｍ ｅ ｉ ｎ ｔ ｅ ｇ ｒ ａ ｌ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓｏ ｆｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ．犑． 狅 犳犃 狆 狆 犾．犘 犺 狔 狊 犻 犮 狊，１ ９ ４ ６，１ ７９ １～１ ０ ２ ［２］ Ｐ ｅ ｔ ｅ ｒ ｓＬＪ ．Ｔ ｈ ｅｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔａ ｐ ｐ ｒ ｏ ａ ｃ ｈｔ ｏ ｍ ａ ｇ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｉ ｔ ｓｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．犌 犲 狅 狆 犺 狔 狊 犻 犮 狊，１ ９ ４ ９，１ ４２ ９ ０～３ ２ ０ ［３］ Ｄ ｅ ａ ｎ Ｗ Ｃ．Ｆ ｒ ｅ ｑ ｕ ｅ ｎ ｃ ｙ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓｆ ｏ ｒｇ ｒ ａ ｖ ｉ ｔ ｙａ ｎ ｄ ｍ ａ ｇ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｐ ｒ ｅ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．犌 犲 狅 狆 犺 狔 狊 犻 犮 狊，１ ９ ５ ８，２ ３９ ７～１ ２ ７ ［４］ Ｃ ｌ ａ ｒ ｋ ｅＧ Ｋ Ｃ．Ｏ ｐ ｔ ｉ ｍ ｕ ｍ ｓ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ  ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ａ ｔ ｉ ｖ ｅａ ｎ ｄｄ ｏ ｗ ｎ ｗ ａ ｒ ｄ  ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｆ ｉ ｌ ｔ ｅ ｒ ｓ ．犌 犲 狅 狆 犺 狔 狊 犻 犮 狊，１ ９ ６ ９，３ ４４ ２ ４～４ ３ ７ ［５］ Ｋ ｕＣＣ，Ｔ ｅ ｌ ｆ ｏ ｒ ｄＷ Ｍ，Ｌ ｉ ｍＳＨ． Ｔ ｈ ｅｕ ｓ ｅｏ ｆ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｆ ｉ ｌ ｔ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ ｉ ｎｇ ｒ ａ ｖ ｉ ｔ ｙｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｓ ．犌 犲 狅 狆 犺 狔 狊 犻 犮 狊，１ ９ ７ １，３ ６１ １ ７ ４～１ ２ ０ ３ ［６］ Ｂ ａ ｒ ａ ｎ ｏ ｖＶ．Ｐ ｏ ｔ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌＦ ｉ ｅ ｌ ｄ ｓａ ｎ ｄ Ｔ ｈ ｅ ｉ ｒＴ ｒ ａ ｎ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓｉ ｎ Ａ ｐ ｐ ｌ ｉ ｅ ｄＧ ｅ ｏ ｐ ｈ ｙ ｓ ｉ ｃ ｓ ． Ｂ ｅ ｒ ｌ ｉ ｎＢ ｏ ｒ ｎ ｔ ｒ ａ ｅ ｇ ｅ ｒＰ ｒ ｅ ｓ ｓ，１ ９ ７ ５． ６ ２～ ７ ４ ［７］ Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖＡ Ｈ，ｅ ｔａ ｌ． Ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｏ ｆ Ｉ ｌ ｌ  ｐ ｏ ｓ ｅ ｄＰ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ．Ｎ ｅ ｗ Ｙ ｏ ｒ ｋＪ ｏ ｈ ｎＷ ｉ ｌ ｅ ｙ＆ Ａ ｒ ｓ ｅ ｎ ｉ ｎＰ ｒ ｅ ｓ ｓ，１ ９ ７ ７．