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l 訇 似 平面三自由度并联机床的机构分析及工作空问确定 Th e i ns t i t ut i onal anal ysi s and w or kspa ce det er m i ne o f 3- f r eedom pl ane p ar al l eI m achi ne t ool s 崔乐芙 CUl L e ． f u 内蒙古建筑职业技术学院 机电与暧通学院，呼和浩特 0 1 0 0 5 0 搞要 本文首先对平面三自由度并联机床的的构型进行分析，研究了分支运动链机构的型以及组成元 素。随后以3 一 R R R 为例 ， 应用迭代搜索法分析了并联机床的可达工作空间、灵活工作空间以 及定姿态工作空间， 建立一种参数化设计界面。 关键词 并联机床 ； 运动学；工作空间 中图分类号 T H 1 1 2 文献标识码 A 文章编号1 0 0 9 - 0 1 3 4 2 0 1 3 0 2 上 - 0 1 5 0 -0 3 D o i 1 0 ． 3 9 6 9 ／ J ． i s s n ． 1 0 0 9 - 0 1 3 4 ． 2 0 1 3 ． 0 2 上 ． 3 9 1 平面三自由度并联机床的构型分析 三 自由度平面并联 机床是 由指运动平台上对 称布置的移动副和转动副组成3 自由的并联机构 。 任何 类型 的三 自由度平面并联机器人其运动平台 和机座均为正三角形形状 。 1 ． 1分支运动链及机构的型 3 - DO F 平面并联并联机器人 由移动副和转动副 连接而成 。图1 所示是并联机器人在静止状态下的 机构运动示意 图，按照从 固定基座到动平台的顺 序 ，若用R表示转动副 ，P 表示移动副 ，它们分别 是R R R、R P R、 、R P P 、P R R、P P R、P I 、 P P P ，由于三个移动副P P P 在平面上不独立，即三个 P P P 无法给动平 台带来独立的三个运动 ，在实际中 没有使用价值。因此，3 - DO F 平面并联机床的三个 分支链结构只可能是七种组合形式R R R、R P R、 R R P 、R P P 、P R R、P P R、P R P，则平面并联机床的 分支链结构只剩下如表1 所示的八种。 表1 3 - D O F 平面并联机床的8 种分支链结构 分类结构类型 R R R P R R R P R R R P R P P P R P P P R 关节 1 驱动 R R R P R R R P R R R P P R P P P R 关节2 驱动 R P R I lP a RR R bRD R C R RP d P RR e P PR f P RP 图1 3 - D OF 平面并联机床机构类型 1 ． 2 机构的组成分析 并联机床机构的 自由度 由运动副数和类型 、 组件的数量和运动支链 间的相互制约条件决定 。 不考虑可能存在重复约束 、部分约束和 负 自由度 的情况下 ，并联机床平台的自由度助 P F 6 n 1 一 ∑ i l 式中F 代表机床平台 自由度；n 代表机床组件 的数量；p 代表不同类型运动副的数量总和；U 为第 i ／ b 运动副自由度的数 目，对于高副为1 ，低副为2 。 令 U 6 一 ，其 中 为第i 个运动副的相对 自 由度数，代入上式公式可得 F6 n P一 1 一 2 i 1 这就是空 间机构 自由度的一般形式 的计算公 式。而对于平面机构有 F 3 n - p - 1 EZ 3 i 1 对 于 图 1中3． R RR平 面 并 联 机 床 机 构 ， 8 ， P 9 ， ∑ 9 ， N llt F 3 。 因 此 该 并 联 机 收稿日期2 0 1 2 1 0 1 0 作者简介崔乐芙 1 9 6 4一，女，副教授，工学学士，研究方向为电梯应用技术研究和建筑机械应用技术研究。 [ 1 5 0 ] 第3 5 卷第2 期2 0 1 3 0 2 上 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 务l 訇 床 具有三个 自由度 。由于它是平面并联机床 ，所 以这三个 自由度分别为 y 方向的平动和在 】 ， 平面 内的转动。 2 并联机构的工作空间 并联机床 的工作空间共有三种类型1 灵巧 工 作空间是在满足给定位姿范围时机器人末端可 达 点的集合；2 可达工作空间是机器人末端可达 点的集合；3 全工作空间是给定所有位姿时机器 人末端可达点的集合。 2 ． 1坐标系的建立及搜索方法 如图2 所示 ，为一个3 一 R RR 平面并联机构 ，其 工 作空 间为末端 执行器O点 可达区域 。工作 空 间 在平 面内的边界 为曲线，在三 维空间其边界为 曲 面 ，许 多学者对 并联机 构末端 执行器的位置进行 正解和逆解，本文以末端执行器的O点和其姿态为 变量，进行搜索求解器工作空间。 图2 3 - R R R 求解模型和坐标 系 如 图2 所 示 ，0 。 为 ． 4 0 o与Y轴 的夹 角 ，坐 标 ， Y o 表示平台中心，所以平台运动的位置用矩 阵 X x o Y o e o 表 示 。 我 们 知 道 ， 点 4 f 1 ， 2 ， 3 的运动空间为一个圆环，其运动平 面点的集合为 ， 卜12 一 一 |『l f2 } 1 、 2 、3 4 上述方程是并联机构末端O的坐标在工作空间 必 须满足的约束条件。当以一定规律移动0点或者 改变末端执行器 的姿态，若 出现方程 4 中任何 一 个公式不满足的情况 ，该点Ai 责不属于工作空 间。点 f l ， 2 ， 3 的向量坐标为 r 4 ， ． 5 其 中 X Y o 为 末 端 执 行 器的 位 置 ， 在搜索的过程 中，它为变量。 『 c O S 0_ sin 0 0 ] R l s i n 0 c o s 0 0 l 为 坐 标 旋 转 矩 阵 。 l 0 0 1 j r o 4 f 一 - y r _ _ ，1 。 ] _ _ r1 。] ， FOA3 - 0 2 ．2 搜索的基本步骤 1 建立坐标系XO Y，坐标系的原点为三角形 C 1 C 2 C 3 的中心，建立另一个坐标系X～OY ‘ ，坐标 原点为末端执行器的运动 中的可能位置，坐标 系 X～Oy ’ 相对于坐标系XOY旋转 角度为 0。坐标系 OY ’ 的极坐标公式为 式 中 P 是以i y O i 为极 角、△ 为角度 增量 。f 为非负整数 。 2 假 设工作 空 间被k 条射线均 匀的分成k 块 ， VF k I l ， 及 k 为 数 的 最 大 自 然 数 ， 因 此 0 f k。 3 搜 索 第 i 条 射 线 上 的 边 界 点 ， 姿 态 角 0 ， l ， 2 ， ⋯ ， l A OJ 1 ，当 姿 态角 为零时 候， 使 f △ 以一个合适的间隔△ 从零逐渐增加， 及 f j z x p ．j 0 ， 1 ， 2 ⋯． 直到 方程 4中出现 某一公 式不符合条件时，就可以计算 出第i 条射线 在 e角下的最大值。 4逐 步增 加姿 态角 0 ， 增 幅为 A 0，重复式 3 得到第二个 P。0 的最大范围为 2 兀，最后可 r 2 ] 以 得 到 I 1 个 。 得 到 所 有 P 值 的 最 大 值 ， 该 值 为 第i 条射线所能到达 的最远处。 第3 5 卷第2 期2 0 1 3 - 0 2 上 [ 1 5 1 ] 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m l 訇 似 5 重复以上步骤 ，搜索下一条射线所能达到 距离的最大值 。 按照以上步骤用V B 建立参数化设计界面。当姿 态角为0 的时，程序得出的的工作空间，同拓扑法求 解的工作空间完全一致，验证了程序的正确性。 2 ． 3 定姿态的工作空间 在图2 中平台的姿态可以用动坐标 ’ 与固定坐 标 的夹 角 p 来唯一确定 。把 角度 p定义3 一 RR R 的姿态角 ，当姿态角保持不变 的时候 ，末端执行 器的参考点 0运动范 围称为定姿态工作空 间，记 为 D 。 ／ ／ -, 、 定姿态工作空问 ． 一 竺 一l1∞00 200 ,00 500 600 ． -3O O “4 OO -8 OO 参数输入 ， 蘩藏 角 一 震 ～ l 1 0 0 |L l 口 ～ 参数输出 圜 图4基 于VB 定姿态工作空间的求解结果 为 了验证搜索 的正确性可 以用拓扑法求解定 姿态的工作空间，如图3 所示 ，如果只考虑支链 1 的约束时，参考点0的运动范围可 由子工作空间沿 向量 C l1 D平 移得 到 ，同时考 虑 三条 支链 的 约束 时， 可令其他两个子工作空间沿Go J 2 ， 3 平移 得 到 的三个 区域 相 交的部 分为 定 姿态 的工作 空 间，图3 阴影部分为定姿态角的工作空间。 在用搜索法求解定姿态 的工作空 间，其方法 同工作空 间的搜索 ，只需在第三 步把姿态 角固定 求解出极径 P，及为第i 条射线运动的边界 。其余 步骤均为一样，其搜索结果如图4 所示，结果完全 一 样，验证了程序的正确性 。 2 ．4 基于V B 建立参数化输出界面 [ 1 5 2 ] 第3 5 卷第2 期2 0 1 3 - 0 2 上 Vi s u a l Ba s i c 编译快捷，能快速的找到语法错 误，根据上述搜索的步骤，编写了3 一 R R R 机器 人的工作空间VB 求解界面 ，如图5 所示 。 ⋯ 一 ⋯⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ r ⋯⋯ 参 数 冬 ⋯ ⋯ l } 溯 ＼ ～ ～ 阐 图5工作空 间搜索参数化界面 其中内部边界为其灵活工作空间，由于结构的对 称导致工作空间的对称，故这个结果又自检测性，如 果搜索的结果不对称，则搜索结果是错误的。 3 结论 本章首先根据J e a n P i e r r e ． Me r l e t 的理 论得到 3 - DO F 的不同的组合形式，分析组合3 - DO F 的运动 副 ，求解了3 一 DO F 的自由度。其次介绍了迭代搜索 法 ，采用此种 方法建立并联机器人的工作空间的 参数化求解VB界面 ，把杆长 、基座和动平 台作为 变量输入到界 面就能求解全工作空间 ，灵活工作 空 间和定姿态工作空 间。关于定姿态工作空间的 求解。同时用拓扑法求解，证明给搜索正确性。 参考文献 【 1 ] ． 黄真， 赵永生， 赵铁石． 高等空间机构学[ MI ． 北京 高等教 育出版社， 2 0 0 5 ． [ 2 1 ． H u a n g Z ， L i Q C． Ge n e r a l me t h o d f o r t y p e s y n t h e s i s o f l owe r mobi l i t y s ymm e t r i c a l par a l l e l m a ni pul a t or s a nd s e ver al nove l mani pul a t or s ． I nt e r na t i onal Jo ur nal of Ro b o t i c s Re s e a r c h ， 2 0 0 2 ， 21 2 1 3 1 1 4 6 [ 3 】 ． 于晖孙 立 宁， 等． 新型6 - H T R T并联机器人工作空 间和参 数研究【 J 1 ．机 器人， 2 0 0 2 ． 2 4 4 2 9 3 3 1 3 ． 【 4 ] ． 孔立宁， 于晖， 等． 一种新型6 一 H T R T 并联机器人研制f J 1 ． 高 技术通讯． 2 0 0 2 5 0 5 3 ． [ 5 ] ． 崔建昆， 徐礼矩． 求解并联机器人工作空间的迭代搜索法 【 J 】 ． 华东工业大学学报， 1 9 9 6 ， 1 8 3 4 5 5 0 ． 【 6 】 ． 崔建 昆， 徐礼钜． 平面三 自由度并联机器人灵活性研究 【 J 】 ． 机械传动． 1 9 9 6 ， 2 0 2 ， 增刊 1 6 4 1 6 7 ． 【 7 】 ． 匡松， 等． Vi s u a l B a s i c 程序设计与应用【 M】 ． 北京 清华大学 出版社． 2 0 0 8 ． 【 8 ] ． Di b a k a r s ， Mr u t h y u n j a y a T s ． S y n t h e s i s o f wo r k s p a c e s o f 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m
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