扩充最小二乘法在数控机床伺服系统模型参数估计中的应用.pdf

2 0 1 0年 2 月 第 3 8 卷 第 3期 机床与液压 MACHI NE T OOL HYDRAUL I C S F e b ． 2 0 1 0 Vo l _ 3 8 No ． 3 D O I 1 0 ． 3 9 6 9 ／ j ． i s s n ． 1 0 0 1 3 8 8 1 ． 2 0 1 0 ． 0 3 ． 0 3 4 扩充最小二乘法在数控机床伺服系统模型参数估计中的应用 李彬 ，戴怡，石秀敏 ，刘朝华 天津工程师范学院，天津 3 0 0 2 2 2 摘要应用积矩矩阵辨识系统的阶次 ，分析了系统的可辨识性。在输出端带有色噪声干扰情况下，运用扩充最小二乘 法构造了观测矩阵，并进行了参数估计。辩识结果表明该方法辩识精度高。 关键词数控机床；最小二乘法；参数估计 中图分类号T G 6 5 9 文献标识码 A 文章编号1 0 0 1 3 8 8 1 2 0 1 0 31 0 7 3 App l i c a t i o n o f Ext e n de d Le a s t Sq ua r e M e t ho d i n Pa r a me t e r Es t i ma t i n g o f Se r v o S y s t e m o f NC M a c h i n e To o l L I Bi n， DAI Yi ， s HI Xi u mi n． LI U Z h a o hu a T i a n j i n U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y a n d E d u c a t i o n ，T i a n j i n 3 0 0 2 2 2 ，C h i n a Ab s t r a c t T h e o r d e r o f mo d e l c a n b e e s t i ma t e d b y a c c u mu l a t i n g ma t r i x ， a n d t h e i d e n t i fi a b i l i t y o f s y s t e m wa s a n a l y z e d ． F o r t h e n o i s e c o n d i t i o n s o f c o l o r e d n o i s e i n o u t p u t ，an e x t e n d e d l e a s t s q u a r e me t h o d W as p r e s e n t e d ． T h e c o n s t i t u t i o n o f t h e o b s e r v a t i o n ma r x W ri t8 i n t r o d u c e d ． Th e i d e n t i fi c a t i o n r e s u l t s i l l u s t r a t e t h e q u i t e a c c u r a c y o f t h e me t h o d ． Ke y wo r ds CN C； L e a s t s q u a r e me t h o d；P ara me t e r e s t i ma t i n g 在系统辨识领域中，最小二乘法是应用得最广泛 的基本方法，许多其他的方法都是在它的基础上发展 起来的 。实际上，最小二乘法是一种参数估计方 法 ，即在假定模 型结构 已知 的条件下 ，用试验方法所 取得 的数据来 确定表征 系统动力学模 型中的参数 。其 辨识结果是参数模型，以便进一步分析。 最小二乘法具有很多优点 1 适用范 围广 ，适 用 于动 态 或静 态 、线 性 或 非线性 、定常或时变系统 ； 2 可离线辩识 ，也可在 线辨识 ； 3 将被辨识系统完全视为黑箱，不需要验前 知识 ，不需要观测数据提供概率统计方面的信息，能 得 到相 当好 的统计特性的估 计结果 ； 4 方法简单 ，易 于理解掌握 ，易于实现 。 1 系统模型结构辨识 由于子系统参数的变化肯定会引起模型参数的变 化 ，则模型的结构也 有可能 改变 ，所 以在辨识系统时 首先要辨识 系统的模 型结构 。辨识模型结构 的方法有 很多 ，这里选择根据积矩矩阵辨识模型的结构 。 1 无噪声情况 设 系统 的差分方程描述为 n n Y k 0 Y k 乏b i u k 其 中 r t 为系统 的真实 阶次 。 对系统的输入输出采集 』 7、 ， 组数据 ，要求 Nn 。 这 里可以先估计一下 系统 的阶次 ，然后取大于阶次的 观测对数。可构造数据矩阵 r y 0 ⋯ Y 1 一 Z u 1 ⋯ M 1 一 Z ] I ， ⋯， 2 一 “ 2 ⋯u 2 一 I i ； ‘ ； ； ‘ ； I L y N一 1 ⋯ y N Z u N⋯ u N Z J f 2 f l 1 [ 。 ] 在这里 Z 是一个变数 ，Z 1 ， 2 ， ⋯ ， n ， ⋯。则 可 以 通过顺序或者逆序地试求 z 的值，直到求得满足条件 的一个 ，从 而得 出系统 阶次 。首 先定 义积 矩矩 阵 ，然后计算其行列式，用如下方法对其判断 当 Z ≤n时 ，d e t [ ]0 ；当 Z n时 ，d e t [ 厂 ] 0 。 得到一个不 同 Z 取 值时 的行 列式 对 应 不 同取 值 ， 找到不为0的那个临界点时的z 的值即为系统阶次。 2 有噪声情况 以上 的辨识方法是基于无噪声 的理想状态下系统 的辨识 ，然而实际情况 下系统 中总是 会存在 噪声 的。 当系统没有噪声时，可以将输出表示为 收稿 日期 2 0 0 81 0 2 9 基金项目天津市高等学校科技发展基金资助项 目 2 0 0 7 1 1 0 7 作者简介 李彬 1 9 8 0 ～ ， 讲师，硕士，研究方向为数控技术、电磁兼容技术。电话1 3 5 1 2 8 5 1 0 9 6 ， E m a i l l i b i n fl y 1 63 ．c o m。 1 0 8 机床与液压 第 3 8 卷 其中 A q 1 o 】 q ． ． g 1 g 一 B q b o 6 q 6 q - 2 ．．- 6 g 宝 一』 图 1 所示为 有噪声 情 况下系统的模型，其 中 为输出端噪声。系统辨识 不仅要建立系统模型，而 且要建立噪声模型。这样 ． 图 1 有噪声情况下 的系统模型 的模 型叫做随机型数学模 型。系统 的随机性模 型 z ， t ， 王 Ⅱ 后 q A q k B q u k k 其中 A q 后 ，叫做残差序列 ，是与输出 端噪声 k 有关的噪声项。则 [ z 后 一 善 口 一 磊6 M k f 后 上式为带有噪声系统的差分方程。 可以构造数据矩阵为 0 ⋯ 1 一 1 1 ⋯ M 1 一 1 z 1 ⋯ z 2， f u 2 ⋯ u 2 一 1 ’ ． ； i ‘． ； z N一 1 ⋯ z N Z f ⋯ u N 1 ] 由于受到噪声的干扰 ，z j 总是满秩的。因此无 法用行列式 d e t [ ， ] 0来判断阶次 ，可采用积矩矩 阵的行列式来进行判断，即将 z 取相邻两个值时，得 到的矩阵D z - 。。 值跳跃点对应的 z 值即为 系统 阶数 。 2 参数估计方法 用最／ J - “ 乘法进行参数估计 ，首先要指定模型 类 ，然后在给定的模型类中找到一个满足最小二乘准 则的模型。通常情况下 ，采用差分方程来描述被辨识 系统。为了估计方程中的参数，需要对输入输出进行 观测 ，要进行 Ⅳ N2 n1 次测量，得到 Ⅳ个数据 方程 k 一a I k 一1 一a 2 z k一 2 一⋯ 一 a n z k n b o u b 1 11 , k一1 ⋯ 6 u kn J } k 1 ， 2 ， ⋯ ， Ⅳ 1 构造如下向量 和矩阵 z [ z 1 z 2 ⋯z N ] [ 1 f 2 ⋯ J 7＼ ， ] [ 口 1 a 2 ⋯ a b 0 b 1 ⋯6 T 、2 1 l [一 z k一 1 一 z k一 2 ⋯一 k r t n k u k一 1 ⋯u k 一 ／ 1, ] 则方程 1 可 以写成如下形式 ‘ 挑” J } k 1 ，2 ， ⋯ ， N 2 再设数据矩阵 『 _ ] 『- 二 ； ； 一- zc 1 一- n J【． 一 Ⅳ 一 1 一 Ⅳ 一 2 ⋯一 z Ⅳ 一 n 是高阶矩阵，有 n 组初始条件 r z o ， 一 1 ， ⋯ ， 1 一n l u o ， “ 一 1 ， ⋯， 1 一 n 则公式 2 又可 以写成 z鳓 系统的误差函数 为 J 。塞I l 。 z 一 ,ir e z 一 鲫 II Z一 硼 误差 函数是一标量 函数 ，也叫做成本 函数 、损失 函数、性能函数、目标 函数等。其对 0偏导数为 0 时 ，所求得的 为使得误差函数最小的 0 ‘ ，根据向量 求导法则对 求偏导数。根据向量求导法则 ，进行计 算得 [ Z - , ir e Z- o e l一 z一 伽 一 z一鲫 若要以上方程为 0 ，则要求 M 1 ／2 , 0 ⋯ u 1 一 n ] 2 u 1 ⋯ “ 2一 n I i i ’ ． ； l N “ N一 1 ⋯M N n J Ⅳ 2 1 r z 鲫 以上即为取得参数估计的方法。 3 辨识系统实际模型参数 数控机床中的伺服系统为闭环系统 ，利用辨识方 法对系统进行故障检测时，不可能切断系统的反馈回 路 ，因此不能够按 照开环 系统来处理 。对于闭环系 统 ，输入总是与输出噪声相关。这样就可能产生某些 关于模型结构和模型参数不可辨识的情况，许多在开 环条件下的系统辨识方法将不能有效地应用于闭环条 件下的系统辨识，需要研究可辨识的条件。 图2 有外部噪声的s I S 0闭环系统 对于伺服 系统这样有外 部输入 的 S I S O闭环 系统 第 3期 李彬 等扩充最小二乘法在数控机床伺服系统模型参数估计中的应用 ‘ 1 0 9 的结构如图 2所示 ，把有色噪声看成是白噪声合成 的。其 中 “ k M k M k 3 反馈信号 黯 1 4 系统输 出为 ， 后 专 其 中 Y ㈤ 。 将式 4 代入 3 ，可以得 出 辩 1 经推导得出系统的输出端信号为 瓣 t 卜 融 拟 1 一 i ] ∑C i O J 一 i 十 k 5 0[ 0 l 。 2 ⋯口 b 1 b 2 ⋯b c l c 2 ⋯c ] ， [一z 一1 ⋯ 一 z kn M s Jj} 一1 一 一 2 ⋯M s k一 ／ 7 , 一 k n一1 ∞ k一 1 ⋯ k n ] 则式 5 可 以写成 k k 0 O J k 在得到 Ⅳ／ ／, 组观测数据后可 以列 出 Ⅳ个观 测方 程 ，令 [ ⋯ ] ，则得数据方程的向量形 式 Z鲫∞。 可见，这种方法是最小二乘法的一种简单推广， 只是扩充 了估计 参数 的个数 和数据矩 阵的维数 ，把噪 声模型的辨识同时考虑进去，所以叫做扩充最小二乘 法，或叫做增广最小二乘法 ，或叫做增广矩阵法。最 t J - - 乘法的许多结论对 它都是适 用 的。所 不 同的是 ， 扩充最小二乘法能同时估计出噪声模型参数。 由于 ∞ k 是未知的 ，只能用估计值替代 ，即 k Ii} 一 。 k 0 k [ 一 k 一1 ⋯ 一 z k r t “ s k一 1 一 k 一 2 ⋯M k n 一 k r t 一1 ∞ k一1 ⋯∞ k 一 ／ 7 , ] 则 [ ⋯ ] ，于是得到参数估计为 0 z 由于使用最小二乘法进行系统参数辨识时，要求 取矩阵的逆，计算量很大 ，实时监控时会给系统造成 过大负担，因此为了避免每次取序列对都进行矩阵逆 运算，可以使用递推算法。 为了导出0的递推估计 ，此处将由 Ⅳ个数据对 获得的最小二乘估计计为 0 N ，而将由 N1 个数 据对获得 的最小二乘估计记为 0 ‘ N1 。并且令 删 1 [ 署 】 1 _ [ 】 式 中 N 1 [一Y J v ， ⋯ ，一Y Ⅳ l ， t t Ⅳ ， ⋯ ， u ] 。 经过推导得 出 ，第 nN1个数 据对 的最 小 二 乘估计 0 ‘ N1 可由下列式子得出 。 K [ Ⅳ1 一 T ] PN N P [ ， 一 T ] P ■ 塑 塑 留作 下 次 图3 扩充最小二乘法递推过程 为了验证基于 S V D的扩充最／ j - - 乘法辨识参数 的精度 ，对典型二阶振荡系统进行参数辨识，系统模 型如下 1 1 ． 6 q 0 ． 6 q 一 y k q 一 0 ． g q 一 u k e 系统为带有单位反馈的闭环系统，其中 e k 为 加在输出端的噪声干扰。取输入为正弦信号 u t s i n 2 0 t ，选择采样间隔为 1 m s ，辨识时间为 1 s ， 应用基于 S V D的扩充最／ j - - 乘法对系统参数进行辨 识 ，得 出辨识误差如表 1 。 表 1 辨识结果误差 系数 系数 0 1 Ⅱ 2 b l b 2 原值 一 1 ． 6 0 ． 6 1 0 ． 4 辨识误差 一 3 ． 1 4 0 9 1 0 2 ． 1 5 3 7 1 0 一 1 ． 0 4 21 1 0 4 ． 0 0 4 4 x l 0 。 其中由于 ‰ 起到比例尺作用，在辨识中保持原 值不变 。从表 1中可以看出 ，得 到的误差很小 ，辨识 精度非常高 。 4小结 通过分析可知该方法适用于存在外部输入下 S I S O 闭环系统的参数辨识，即可以在系统运行状态下在线 辨识；而且考虑了有色噪声的干扰，把噪声模型的辨 识同时考虑进去；应用扩充最小二乘法，构造了观测矩 阵，对数控机床伺服系统参数在线辨识具有理论价值。 参考文献 【 1 】 T A O S h a o h u i ， C H E N D e - z h a o ， H U Wa n g - m i n g ． S V D I _ S S VM a n d i t s a p p l i c a t i o n i n c h e mi c a l p a t t e rn c l a s s i fi c a t i o n [ J ] ． J o u rnal o f Z h e j i a n g U n i v e r s i t y S C I E N C E A， 2 0 0 6 ， 7 1 1 1 9 4 21 9 4 7 ． 下转第 1 3 6页 1 3 6 机床与液压 第 3 8卷 3结论 介绍了基 于 H i l b e r t H u a n g变换 的齿 轮 故 障诊断 方法 。E M D方法能够根据信号的局部时 间特征 尺度 ， 按频率由高到低把复杂的非线性 、非平稳信号分解为 有限个经验模态函数之和， 具有 自适应的特点，因而 是高效的。作者把 H i l b e r t H u a n g变换方法引入齿轮 故障诊断，提出了基于 H i l b e r t - H a n g变换的幅度谱 和能量谱方法 ，经研究得出结论如下 1 H i l b e r t H u a n g变换是 自适应 的信号处理方 法 ，非常适 于非线性和非平稳过程 ，可 以有效地提取 齿轮故障特征信息。 2 基于 H i l b e r t H u a n g变换瞬时幅度谱和能量 谱 的时域分析 ，可获得齿轮故障振 动信号发生的时间 和故障发生的周期，从而能够有效地识别齿轮故障类 型 。 参考文献 【 1 】张贤达， 保铮． 非平稳信号分析与处理[ M] ． 北京 国防 工业出版社 ， 1 9 9 8 1 5 0 ． 【 2 】 胡昌华， 周涛， 夏启兵， 等． 基于 M A T L A B的系统分析 与设计 时频分析[ M] ． 西安 西安 电子科技大学 出版 社 ， 2 0 0 1 1 0 3 0 ． 【 3 】 H u a n g N E ， S h e n Z ， L o n g S R ， e t a 1 ． T h e e m p i r i c a l m o d e d e c o mp o s i t i o n a n d t h e Hi l b e r t s p e c t r u m f o r n o n l i n e a r a n d n o n - s t a t i o n a r y t i m e s e ri e s a n a l y s i s [ C ] ／ ／ P r o c e e d i n g s o f t h e R o y a l S o c i e t y o f L o n d o n ， 1 9 9 8 ， 4 5 4 A 9 0 3 9 9 5 ． 【 4 】 F l a n d r i n P ， R i l l i n g G ， G o n c a l v e s P ． E m p i ri c al m o d e d e c o m - pos i t i o n a s a fi l t e r h a n k [ J ] ． I E E E S i g n a l P r o c e s s i n g L e t t e r s ， 2 0 0 4， 1 1 2 1 1 21 1 4 ． 【 5 】 L o h C H， Wu T C ， H u a n g N E ， e t a 1 ． A p p l i c a t i o n o f e m d h h t me t h o d t o i d e n t i f y n e a r - f a u l t g r o u n d mo t i o n c h a r a c t e r i s -- t i c s and s t r u c t u r al r e s p o n s e s [ J ] ． B S S A， S p e c i a l I s s u e o f C h i C h i E a r t h q u a k e ， 2 0 0 1 ， 9 1 5 1 3 3 9 1 3 5 7 ． 【 6 】 H u ang N E ， S h e n Z ， Lon g S R ． A n e w v i e w o f n o n l i n e a r w a - t e r w a v e s t h e H i l b e r t s p e c t r u m[ J ] ． A n n R e v F l u i d Me c h ， 1 9 9 9， 3 1 41 7-4 5 7 ． 【 7 】 H u ang W， S h e n z ， H u ang N E ， e t a 1 ． N o n l i n e a r i n d i c i al r e s po n s e o f c o mp l e x n o n - s t a t i o n a r y o s c i l l a t i o n s a s p u l mo n a r y h y p e r t e n s i o n r e s p o n d i n g t o s t e p h y p o fi a [ c] ／ ／ P rec N a t 1 ． Ac a d ． S c i ． U S A， 1 9 9 9， 9 6 1 8 3 4 1 8 3 9 ． 【 8 】 P h i l l i p s S C ， G l e d h i ll j R J ， E s s e x J W， e t a 1 ． A p p l i c a t i o n o f t h e Hi l b e r t - Hu an g t r a n s f o r m t o t h e an a l y s i s o f mo l e c u l a r d y n a m i c s i mu l a t i o n s [ J ] ． T h e j o u r n al o f p h y s i c a l c h e mi s - c r y ， 2 0 0 3， 1 0 7 4 8 6 94 8 7 6 ． 【 9 】Y ang Z H， H u a n g D， Y ang L H． A n o v e l p i t c h p e r i o d d e t e c t i o n al g o ri t h m b a s e d o n H i l b e r t H u a n g t r a n s f o r m[ J ] ． A d v an e e s i n Bi o me t r i c P e r s o n a l Au t h e n t i c a t i o n， 2 0 0 4， 5 8 6 5 9 3． 【 1 0 】 韩春明， 郭华东 ， 王长林． 基于 E M D方法的多尺度边缘 提取[ J ] ． 高技术通讯 ， 2 0 0 3 6 1 31 7 ． 【 1 1 】胡昌华 ， 周涛， 夏启兵， 等． 基于 M A T L A B的系统分析 与设计 一 时频分析[ M] ． 西安 西安电子科技大学出版 社 ， 2 0 0 1 ． 上接第 1 2 8页 4结论 1 采 用 A N S Y S的 G e o m e t r y模 块 的参 数 化 功 能建立了T型管接头的三维有限元模型，可以实现 对其关键尺寸的修改，节省了时间，提高了工作效 率 。 2 采用 3种湍 流方式 模拟 了管壁 摩擦 因数 和 斯坦 顿数 ，然后对 比结果 。结果显示在三次模拟中的 表面摩擦 因数 和斯 坦顿数 具有 很好 的一 致性 。注 意 到 S S T和 k - o m e g a湍流模型给 出了更精确 的下游 拐点 此处表面摩擦因数 为 0 。如果采用更密的网格 ，将 会发 现所得结果更接近实验数据 。 3 通过对 管子 的应力分 析 ，发现 应力 主要集 中在 螺纹孔连接处和冷热 空气交换 出，由图 5可以明 显看到当冷热空气交接处由于温度在短时间急剧上升 而导致热应力产生 ，经过 长期使用将导致管子产生裂 纹导致损坏 。 4 采用 C F D进行流固耦合可以对多种因热冷 交换 而产生 的应力和变形进行有效 的预测 ，能够预防 产品因疲劳 而产生 的裂纹 ，该方法是产品设计 和预测 的有力工具 。 参考文献 【 1 】阎超． 计算流体力学方法及应用[ M] ． 北京 北京航天航 空大学出版社 ， 2 0 0 6 ． 6 ． 【 2 】A N S Y S R e l e a s e 1 1 ． 0 D o c u m e n t a t i o n a n d A N S Y S w 0 r k ． b e n c h He l p ． 【 3 】 美 库克 C o o k ， R ． D ． ． 有 限元分析的概念 与应用 [ M] ． 官正西 ， 强洪夫， 译． 西安 西安交通大学出版社， 2 00 7． 9． 【 4 】孙桓， 陈作模， 葛文杰． 机械原理[ M] ． 北京 北京高等教 育出版社 ， 2 0 0 6 ． 5 ． 【 5 】 张朝辉． A N S Y S 8 ． 0结构分析及实例解析[ M] ． 北京 北 京机械工业出版社 ， 2 0 0 5 ． 3 ． 上接第 1 0 9页 【 2 】A r t h u r R i c h a r d s ， J o n a t h a n H o w ． R o b u s t M ode l P r e d i c t i v e C o n r t r o l w i t h I m p e r f e c t I n f o r ma t i o n [ C ] ． A m e ri c a n C o n t r o l C o n f e r e n c e， 2 0 0 5 2 6 82 7 3 ． 【 3 】 仇振安， 何汉辉， 基于广义最小二乘法的系统模型辨识 及应用[ J ] ． 计算机仿真， 2 0 0 7 ， 2 4 1 0 8 9- 9 1 ． 【 4 】 李湘清， 孙秀霞， 王栋 ， 等． 递推最小二乘法在 L Q R参数 调整中的应用[ J ] ． 弹箭与制导学报， 2 0 0 7 ， 2 7 4 9 9 1 01 ． 【 5 】 冯培涕． 系统辨识[ M] ． 杭州 浙江大学出版社 ， 2 0 0 4 ．