基于D-H矩阵的Stewart型并联机床位姿误差计算模型.pdf

第 4 6 卷第 1 7 期 2 0 1 0 年 9 月 机械工程学报 J OURNAL 0F M ECHANI CAL ENGI NEERI NG Vo1 ． 46 S e p． NO． 1 7 2 O1 0 Dol l 0． 3 90 1 ／ J M E． 2 0 1 0 ． 1 7 ． 1 8 6 基于 D． H矩阵的 S t e wa r t 型并联机床 位姿误差计算模型冰 单 鹏 ， 2 谢里阳 田万禄 2 温锦海 2 1 ．东北大学机械工程与 自动化学院沈阳 1 1 0 0 0 4 ； 2 ．辽宁工业大学机械工程学院锦州 1 2 1 0 0 1 摘要针对 6自由度 S t e wa r t 型并联机床，以D H变换矩阵为建模工具，建立起包含铰座位姿参数、杆件 D． H参数的机床动 平台位姿方程。采用矩阵微分方法推导出一个机床位姿误差线性化计算模型。该模型不仅使铰座位姿参数误差、杆件 D． H参 数误差等几何误差全部进入机床位姿误差计算方程，而且将机床位姿误差与几何误差之间的非线性隐式函数关系简化为线性 显式函数关系。基于支链杆长方程建立起一个能描述机床位姿误差与几何误差之间实际映射关系的非线性计算模型，以其作 为参考模型对线性化计算模型的有效性进行检验。仿真表明在小误差条件下，线性化模型可以很好地逼近非线性模型，由 于具有形式简洁、分析与计算方便等特点，基于 D- H变换矩阵的位姿误差线性化计算模型可用于 S t e w a r t 型并联机床的精度 分析、精度综合及运动学标定。仿真结果还表明当对机床位姿精度要求较高时，需要考虑杆件的全部 D ． H参数误差对机床 位姿的影响。 关键词S t e wa r t 型并联机床机床位姿误差D． H变换矩阵几何误差 中图分类号T G 6 5 9 M o d e l i n g o f Po s i t i o n a nd Po s e Er r o r o f S t e wa r t M a c h i n e To o l Ba s e d o n D- H T r a ns f o r mi n g M a t r i x S HAN Pe n g XI E Li ya n g TI AN W a n l u W EN J i n ha i z 1 ． S c h o o l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r i n g a n d Au t o ma t i o n ， N o r t h e a s t e r n Un i v e r s i t y , S h e n y a n g l 1 0 0 0 4 ； 2 ． S c h o o l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r i n g ， L i a o n i n g U n i v e r s i ty o f T e c h n o l o g y , J i n z h o u 1 2 1 0 0 1 Ab s t r a c t T h e k i n e ma t i c a l e q u a ti o n o f t h e mo v i n g p l a t f o r m o f S t e wa r t p a r a l l e l ma c h i n e t o o l i s e s t a b l i s h e d wi t h D- H t r a n s f o rm a t i o n ma t r i x ， t h e e q u a ti o n c o n t a i n s t h e p o s e p ara me t e r s o f h i n g e j o i n t s and t h e D- H p ara me t e r s o f c o mp o n e n t p a r t s i n a l l b r anc h e s o f p ara l l e l me c h a n i s m． Ba s e d o n t h e e q u a ti o n ， an n e w c o mp u t a t i o n mo d e l o f p o s i t i o n - p o s e e r r o r o f p a r a l l e l ma c h i n e t o o l i s s e t u p b y me a n s o f t h e d i ffe r e n ti a l me t h o d o f ma t r i x ．I t i s d e mo n s tra t e d t h a t n o t o n l y t h e e ffe c t s o f a l l g e o me t r i c a l p ara me t e r e r r o r s o n t h e a c c u r a c y o f ma c h i n e t o o l are r e fl e c t e d i n t h e mo d e l ， b u t a l s o the l ine a r , e x p fi c ff f o rm u l a are d e r i v ed a p p r o x i ma t e l y f r o m the n o n l i n e a r , i mp l i c it c o ．e l a ti o nb e t 3 v e e nma c h in ep o s i ti o n - p o s e e r r o r a n d a l l g e o me t r i c e rro rs． T ov e r i f yt h el ine a r mod e l ， an o the r mod e l i s d eri v ed f r o m thel e n g t hf o r mu l ao f b r a n c h e s o f mec h a n i s m, wh i c h C an r e flect mu c h e x a c tl ythen o n l ine a r c o r r e l a t i o nb e t we e nma c h in epo s i ti o n - p o s ee rr o r an d a ll g eo me t r i c e r r o rs． A s imu l a t i o nd e mo n s t r a t e s the e ffe c t i v e n e s s o fli n e ar mod e l b e c a u s ei ts r esu l t s a p p r o x i ma t e s a ti s f a c t o r i l ytho s e o f n o n l i n e a r mod e 1 ． T h e r e f o r e the l i n e a r mod e l c a n b e a p p l i ed t o S t e wa r t typ e p a r a l l e l ma c h i n e t ool i n a c c u r a c y anal y s i s o r int e g r a ti o n , a n d k i n e ma ti c al i d e n ti fi c a ti o n d u et oi t s a d v an t a g e s in an a l y s i s ． T h e s im u l a ti o n als o d em o n s t rat e s tha t thei n fl u en c e o f all D- H g eo me t r i c e r r o rs o n t h e m a c h i n e t o o l p o s i t i o n and p o s e s h o u l d be c o nsi d e r e d w h e n h i 曲 a c c u r a c y o f t h e p o s i t i o n a n d p o s e i s r e q u i r e d ． Ke y wo r d s S t e wa r t t y p e p ara l l e l ma c h i n e M a c h i n e t o o l p o s i t i o n and p o s e e rro r D- H trans f o rm a t i o n ma t r ix Ge o me t ri c e rro r 0 前言 并联机床位姿误差计算模型是进行机床精度 }国家高技术研究发展计划资助项1 8 6 3计划， 2 0 0 6 AA 0 4 Z 4 0 8 。 2 0 0 9 1 0 1 7 收到初稿，2 0 1 0 0 5 2 7收到修改稿 分析 、精度综合及运动学标定的基础模型。迄今为 止，并联机床的位姿误差建模主要使用空间矢量链 和 D- H变换矩阵等方法 。 R O P P O NE N等[ z - s ] 应用空 间矢量链和矢量微分法推得位姿误差计算模型 ，并 将其应用于精度分析与运动学标定。由于空间矢量 链很难描述虎克铰 、等效球铰等复合铰链 中杆件之 间的相对位姿，故应用建模时这类铰链大多被视为 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 1 8 8 机械工程学报 第4 6卷第 l 7期 为从动关节的运动参量，杆距 如或称驱动杆杆长为 主动关节的运动参量 。 显然 ，除从动关节运动参量 以外，杆件 D H参 数均为支链的结构参数 对杆距 1 3 ，其原始长度为结 构参数 ，这里统称其为几何参数，称 因制造、装配 原因使几何参数产生的误差为几何误差，并以几何 参数符号前加微分符号表示这些误差。 1 ． 3 机床位姿方程 机床位姿可用 P系原点 在 B系中的位置矢 量 P P D x p o Y e o Z P o 以及动平 台相对静平 台的 R P Y角 劬 表示， 称 X e o 、 Y p o 、 z p D 、 、 、 为机床理论位姿参数。现以机构中某一支链为研 究对象，机床的位姿方程为 ．． ．7一 P 7 “0 ⋯ I J 1 。 O 式中p 动平台位姿矩阵 f 系相对 f 一 1 系的 D H变换矩阵 动平台位姿矩阵由式f 2 给 出 P ] tra n s ，Y Po Zp o r0 tz r o t y ， r o t x ， O x 2 式中， 为动平台的理论姿态矩阵，t r a n s 表示齐次 平移变换，r o t 表示齐次旋转变换 。 根据固联坐标系后置模型[ 9 J ，与支链中的杆件 i 固联的局部坐标系 i 系相对 1 系的位姿关系可由 D． H变换矩阵给 出 r o t z ， o , t r a n s O ， 0 ， f I t r a n s a i ， 0 ， 0 r o t x ， i 1 6 3 根据虎克铰铰座相对机床静平台的位姿关系， 可得 0系相对 B系 的齐次变换矩阵 r o t r a n s r B c o s ， r B s i n C B ， 0 r o t z ， mt ， r o t x ， t r a n s h B ， 0 ， 0 4 同理可得 6系相对 P系的齐次变换矩阵 。 t r a n s r e c o s ， r p s i n ， 0 r o t z ， r o t y ， 7 e t r a n s 0 ， 0 ， h e A、B型支链 5 t r a n s r p c o s ， r p s i n C p ， O r o t z ， r o t y ， 7 e r o t x ， t r a n s h p ， 0 ， 0 C型支链 6 2 机床动平台位姿误差计算模型 2 ． 1 位姿误差建模方法 给定机床理论位姿参数和几何参数名义值，按 机床位姿方程式 1 ～ 6 可以求得各支链 的主动关 节运动参量。 在它们的驱动下， 如果没有几何误差， 动平台将到达理论位姿 。如果存在几何误差，动平 台将偏离理论位姿 即产生位姿误差。以下讨论机床 位姿误差的计算方法。 根据矩阵微分法[ 9 ] ， 位姿矩阵 尸和 D． H变换矩 阵 的微分分别为 d P P d 4 式中 P系相对 B系的微分运动矩阵 广一 f 杆相对 自身坐标系的微分运动矩阵 应用矩阵微分法对式 1 取微分，可得到 一 ∑ 4 A 7 7 ‘ ． 一l 、 hi 7 “0⋯ ] 6 A o r o ㈣ 式中A f 系相对 B系的齐次变换矩阵 f 系相对 B系的姿态矩阵 f 系原点在 B系中的位置矢量 现设支链中的第 i 杆相对 自身坐标系做微分转 动 西 和微分平动 ，支链 中各杆的微分运动使得 P 系相对 B系产生微分运动 ， 设其微分转动矢量为 微分平动矢量为 。 ，有 d i 8 y 8 z d P 0 d x v 0 d z P o 6 S x 8 y 8 z T 则 P系原点相对 B系的微位移 d可表示为 d d r d z d p 。 9 式中， 为矢量 的反对称矩阵。 微分运动矩阵 、4可分写成如下形式f 9 ] f 0 0 1 。 I J ] Ⅲ 将式 8 ～ 1 1 代入式 7 可得 R 0 一 S。 02 式 1 2 建立了杆件在 自身坐标系中的微分运动 与动平台在静平 台坐标 系中的微分运动 的变换关 系。若将杆件几何误差引起 的杆件在 自身坐标系中 的位姿变化视为微分运动【9 】 ，则动平台相对静平台 的微分运动 即为几何误差产生的机床位姿误差，其 中姿态误差为 平动误差为 ，位置误差为 d 。 如将 映射为在 B系中度量的动平台姿态误差 ，可 以证 明 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 1 0年 9月 单鹏等基于D． H矩阵的 S t e w a r t 型并联机床位姿误差计算模型 1 8 9 s 、 R i s a R 于是式 1 2 可改写为 d x ] 喜 ] 7 1 3 式中 床 位姿误差矢量，即几何误差引起 的动平 台相对静平台的位姿变化 d x i 相对位姿误差矢量 ，即 f 杆的几何误 差引起的在 自身坐标系中的位姿变化 变换矩阵，它反映了相对位姿误差矢 量 与机床位姿误差 矢量之 间的映射 关系，该矩阵与几何误差无关 2 ． 2 相对位姿误差矢量 对并联机构某支链中的杆件，以 D H参数为 自 变量 ，对式 3 取全微分，经整理可得相对位姿误差 矢量与 D． H参数误差的映射关系 d x i d d a i d r , d O i i 1 6 1 4 式中， ／ -- 1 - - 6 为 6 x 4阶系数矩阵。 同理，以铰座位姿参数为自变量分别对式 4 ～ 6 取全微分，可得相对位姿误差矢量与铰座位姿参 数误差的映射关系 d x o a o 0 C o d x ． 1 5 d x 7 d 7 7 c 7 d x e 1 6 c l x B d h ． d d Y B a o B d x P a r e d h e d d y e d o e 式中， 、 为 6 x 5阶系数矩阵，这些矩阵由杆件 的 D． H参数或铰座位姿参数的名义值确定， 与几何 误差无关 ，具体表达式从略。 2 ． 3 动平台位姿误差方程 将式 1 4 ～ 1 6 代入式 1 3 得 d x O o d X B O T d x e ZD i d a i d a i o l ,d 1 7 式中， c i f 0 ～7 。 由于 d 6 } i 1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 是几何误差引起 的被动 关节转角增量，它们并非几何参数误差 ，故在位姿 误差计算模型中要将其消去。为此将支链中的D ． H 参数误差重组成以下矢量 c l a d a 1 d a 2 d a 3 d a 4 d a 5 d a 6 d a d a a d a 2 d a 3 d a 4 d a 5 d a 6 d ／ d l1 d f 2 d d f 4 d f 5 d f6 d O d d d ， 3 d 0 4 d d O 6 现引 入下标J 表示支链代号 如A 6 表示J 支链 的当量杆长误差 ，取 户 l ～6 ，由式 2 O 、 2 1 可解 ] f 1⋯ g 6 1 ] r ] 3 位姿误差线性化计算模型的验证 3 ． 1 验证原理 并联机床 的位姿参数与几何参数之间 的非线 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 1 0年 9月 单鹏等基于 D ． H矩阵的 S t e wa r t 型并联机床位姿误差计算模型 1 9 1 图 3中的模型 1 、2分别指本文建立的非线性、 线性模型，模型 3指用空间矢量链建立的线性化模 型 该模型忽略 了驱动杆长度误差 以外的其他 D． H 参数误差1 ，图 3中的横坐标为极角 。 c ，指 自运动轨 迹的圆心指向圆周的矢径与 妇轴的夹角。 根据仿真 结果可知① 与空间矢量链建立的计算模型相 比， 基于 D． H 变换矩阵的计算模型对非线性化模型的 逼近程度更高；② 由于姿态误差 和平动误差 d e 0 的共同作用 ，位置误差 d的各分量的最大值 比几何 尺寸误差高 1 ～2个数量级 。 因此， 尽管姿态误差的 量值较小，但其对位置误差的影响不可忽略； ③ 若 忽略驱动杆长度误差外的其他 D． H参数误差， 位姿 误差的计算结果可能会产生较大偏差f 在 图 3中， 对 位置误差分量而言， 这种偏差最大达 0 ． 5 IT U T I 左右 。 因此， 当对机床位姿精度要求较高时， 应使全部 D H 参数误差进入位姿误差计算模型。 4 结论 1 本文采用的基于 D H矩 阵和矩阵微分法的 并联机床位姿误差建模方法不仅使铰座安装位姿误 差、铰链制造误差等几何误差全部进入机床位姿误 差计算模型，且将机床位姿误差与几何误差间复杂 的非线性隐式关系简化为线性显式关系 。 2 较之现有的基于空间矢量链和矢量微分法 的并联机床位姿误差计算模型，本文建立的计算模 型由于考虑了所有 D． H参数误差的影响， 故可更精 确地反映位姿误差与几何参数误差间的非线性映射 关系 。 3 当对机床精度要求较高时，除要考虑驱动 杆长制造误差外，有必要考虑虎克铰链、等效球铰 的制造误差对并联机床位姿精度的影响。 本文方法还可 以推广应用到考虑运动 副间隙 影响的机床位姿误差建模以及少 自由度 并联机床 的 位姿误差建模 。 参考文献 【 1 】R O P P O NE N T， A R A I A c c u r a c y a n a l y s i s o f a mo d i fi e d S t e wa r d p l a tf o r m mani l t u l a t o r [ C ] ／ ／ P r o c e e d i n g s o f 1 9 9 5 I EE E I n t e m a t i o n a l Co n f e r e n c e o n Ro b o t i c s an d Au t o ma t i o n，M a y 2 2 2 7 ，1 9 9 5 ，N a g o y a ，Ai c h i ，J a p a n ． Ne w Yo r kI E E E， 1 9 9 5 5 2 1 - 5 2 5 ． 【 2 】P A T E LA J ，E HMANNKF ． V o l u me t r i c e rro r ana l y s i s o f a S t e wa r t p l a t f o rm - b a s e d ma c h i n e t o o l 『 J 1 ． A n n a l s o f t h e C I R P，1 9 9 7 ，4 6 1 2 8 7 2 9 0 ． [ 3 】S O O NS J A． E r r o r a n a l y s i s o f a h e x a p o d ma c h i n e t o o l [ J ] ． Lase r M e t r o l o g y a n d Ma c h i n e P e r f o rm anc e ， 1 9 9 7 3 46 ． 3 58 ． [ 4 】黄田，汪劲松，D E R E K G C，等． 并联构型装备几何参 数可辨识性研究【 J ] ． 机械工程学报，2 0 0 2 ，3 8 增刊 1 - 6 ． HUANG Ti a n ， WANG J i n s o n g， DERE K G C， e t a 1 ． I n v e s t i g a ti o n i n t o t h e i d e n t i fi a b i l i t y o f g e o me t r i c p ara me t e r s o f P KM s y s t e ms u s i n g a s u b s e t o f p o s e e r r o r me asu r e me n t s [ J ] ． C h i n e s e J o u r n a l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e ri n g ，2 0 0 2 ，3 8 S u p p ．1 1 - 6 【 5 ]李铁民，郑浩峻，汪劲松，等．并联机床不同位型下 的运动精度评价指标[ J 】 ． 机械工程学报，2 0 0 2 ，3 8 9 1 01 ． 1 O5 ． L I T i e mi n ，Z HE N G H a o j t m，WA NG J i n s o n g ，e t a 1 ． P r e c i s i o n m e asur e s f o r v a r i o u s c o n fi g u r a t i o n s o f p ara l l e l k i n e ma t i c s ma c h i n e s t o o l s [ J 】 ．C h i n e s e J o u r n a l o f Me c h ani c a l E n g ine e r i n g ，2 0 0 2 ，3 8 9 1 0 1 - 1 0 5 ． [ 6 ]WAN G J i an ，MAS O R Y0． O nt h e a c c u r a c y o f a S t e w a r t p l a t f o r m - p a r t 1 T h e e ffe c t o f ma n u f a c t u ri n gt o l eran c e [ c ] ／ ／ P r o c e e d i n g s o f 1 9 9 3 I E E E I n t e r n a ti o n a l C o n f e r e n c e o n Ro b o ti c s an d Au t o ma t i o n ， M a y 2 7 ， 1 9 9 3 ， At l an t a ， Ge o r g i a ， US A． Ne w Yo r k I EE E， 1 9 9 5 1 1 4 1 2 0 ． [ 7 】 MA S O R Y O，WAN G J i a n ，Z H UA NG Ha n q i ． On t h e a c c ura c y o f a S t e wa r t p l a t f o rm-p a r t 2 Ki n e ma t i c c a l i b r a t i o n and c o mp e n s a t i o n[ C 】 ／ ／ P r o c e e d ing s o f 1 9 9 3 I EE E I n t e r n a t i o n a l Co n f ere n c e o n Ro b o t i c s an d Au t o ma ti o n，M a y 2 7 ， 1 9 9 3 ，At l an t a ，Ge o r g i a ，US A． Ne w Yo r k I E EE， l 9 9 3 7 2 5 ． 7 3 1 ． 【 8 】高猛，李铁民，郑浩峻，等．并联机床铰链制造误差 的补偿 [ J ] ．清华大学学报，2 0 0 3 ，4 3 5 6 1 7 6 2 0 ． G AO Me n g， L I T i e mi n，Z H E N G H a o j u n， e t a 1 ． C o mp e n s a t i o n for j o i n t ma n u f a c t u r i n g e rr o rs i n p ara l l e l k i n e ma t i c ma c h i n e s [ J ] ． J ． T s i n g h u a Un i v ． ，2 0 0 3 ，4 3 5 61 7． 6 20． 【 9 】石则昌，刘深厚．机构精确度[ M】 ．北京高等教育出 版社 ，1 9 9 5 ． S HI Z e c h ang， L I U S h e n h o u ．Ac c uracy t h e o r y o f me c h a n i s m【 M] ． B e ij i n g H i g h e r E d u c a ti o n Pre s s ，1 9 9 5 ． [ 1 0 】黄真，孔令富，方跃法．并联机器人机构学理论及控 制 【 M】 ． 北京机械工业出版社，1 9 9 7 ． HUANG Zh e n， KONG Li n g f u， R Y u e f a ． M e c h a n i c s and c o n t r o l o f p a r a l l e l ma n i p u l a t o r 【 M】 ． B e O i n g C h ina M a c h i n e Pr e s s ， 1 9 9 7 ． 作者简介单鹏 通信作者 ，男，1 9 5 7年出生，教授 。主要研究方向为 并联机构精度分析、综合与可靠性。 E - ma il s h a n h t s i n a ．c 0 m 谢里阳，男，1 9 6 0年出生，教授 ，博士研究生导师。主要研究方向为机 械设计和机械可靠性技术。 E ma i l x i e l i y a n g v i p ． s i n a ． c o rn 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m