基于空间统计学的机床动力学特性.pdf

第 5 1 卷第 2 1 期 2 0 1 5 年1 1 月 机械工程学报 J OURNAL OF M ECHANI CAL ENGI NEERI NG V0 1 ． 5 1 NO V． N O． 21 2 0 1 5 DoI 1 0． 3 9 01 ／ J M E． 2 01 5 ． 2 1 ． 0 8 7 基于空间统计学的机床动力学特性木 李天箭 丁晓红 程 凯2 f 1 ．上海理工大学机械工程学院上海2 0 0 0 9 0 ； 2 ．哈尔滨工业大学机 电学院哈尔滨1 5 0 0 0 1 摘要机床刚度、固有频率等动力学特性随着机床部件位置、姿态在工作空间中的变化而变化。对机床动力学特性的研究不 仅需要考虑到机床质量、刚度、阻尼值的大小，还应重视机床加工点的空间位置变化。采用空间统计学方法，以超精密机床 固有频率这一关键动力学性能为例，分析机床动力学性能与机床位置姿态之间的数学关系，选取机床动态特性变异函数，建 立动力学性能变化预测的 K r i g i n g方法模型， 研究动力学特性在工作空间中的变化规律以及动力学特性空间信息的表述方法。 将所建立的模型与正交多项式方法、径向基神经网络方法、二阶响应面方法等方法建立动力学性能预测分析模型比较，空间 统计学 K r i g i n g 方法所建立的模型 R 检验大于 0 ． 9 6 ，在四种模型建构方式中为精确度最优 ， 能够在完整工作空间中准确地描 述机床动力学特性。基于空间统计学的机床动力学特性研究为机床的动力学设计提供了新的设计分析方法及相应的技术 支持 。 关键词机床动力学；加工空间；空间统计学；K r i g i n g模型；固有频率 中图分类号T G 5 0 2 M a c hi n e To o l Dy n a m i c s Ba s e d o n S pa t i a l S t a t i s t i c s L I T i a n j i a n D I NG X i a o h o n g C HE NG K a i 2 1 ． S c h o o l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e ri n g ， Un i v e r s i t y o f S h a n g h a i f o r S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y , S h a n gha i 2 0 0 0 9 0 ； 2 ． S c h o o l o f Me c h a t r o n i c s E n g i n e e r i n g ， Ha r b i n I n s t i t u t e o f T e c hno l o gy, Ha r b i n 1 5 0 0 0 1 Ab s t r a c t Th e d y n a mi c c h a r a c t e r i s t i c s o f ma c h i n e t o o l s ， s u c h a s s t i ffn e s s a n d n a t u r a l fre q u e n c y v a r y wi t h the c h ang i n g o f p o s i t i o n a n d p o s t u r e o f t h e ma c h i n e c o mp o n e n t s in wo r k i n g s p a c e ． No t o n l y t h e ma s s ， s t i ffn e s s ， d a mp i n g r a t i o s s h o u l d b e c o n s i d e r e d d u r i n g the r e s e arc h o f the d yn am i c c h a r a c t e ris t i c s o f ma c h i n e t o o l s ， the s p a t i a l p o s i t i o n c h a n g e o f ma c h i n i n g p o i n t s h o u l d a l s o b e p a i d mo r e a t t e n t i o n ． S p a t i a l s t a t i s ti c a l me tho di s a d o p t e d ， a n dthema c h i n et o o l ’ S n a t u r a l fre q u e n c yi s t a k e na s the c fi ti c d y n am i c c h ara c t e r i s t i c ， thu s the ma t h e mati c a l r e l a t i o n b e t we e n t h e ma c h i n e t o o l ’ S d yn a mi c c h a r a c t e ri s t i c s an d i t s p o s i t i o n an d p o s t u r e i s ana l y z e d ．Th e ma c h i n e t o o l ’ S d yn a mi c p e r f o r man c e v a r i a t i o n f u n c t i o n i s s e l e c t e d ， and the Kr i g i n g me tho d mo d e l t o p r e d i c t d y n a mi c c h a r a c t e r s i s e s tab l i s h e d ， the n the p r e d i c ti o n o f the c h an g i n g r u l e s o f ma c h i n e t o o l ’ S d yn am i c c h ara c t e ris t i c s i s r e a l i z e d ． T h e e s t a b l i s h e d mo d e l i s c o mp a r e d wi th the d yn a mi c c h a r a c t e ri s t i c s p r e d i c a t i o n mo d e l s e s tab l i s h e d b y u s i n g o r t h o g o n a l p o l yn o mi a l me tho d ， the RBF n e ura l n e tw o r k me tho d an d the s e c o n d o r d e r r e s p o n s e s u r f a c e me tho d ， and r e s u l t s h o ws tha t the R- S q u a r e d v a l u e o f the mo d e l u s i n g s p a t i a l s t a t i c s Kr i g ing me tho d i s 0 ． 9 6 ， wh i c h i s the o p t i mu m in the f o u r mo d e l s ， t h u s i t c a n a c c u r a t e l y d e s c rib e t h e ma c h i n e t o o l ’ S d y n am i c c h ara c t e r i s t i c s i n c o mp l e t e wo r k i n g s p a c e ． T h e r e s e arc h o f ma c h i n e t o o l s d y n a mi c s b a s e d o n s p a t i a l s t a t i s t i c s p r o v i d e s a n e w d e s i g n a n d ana l y z e me tho d an d t e c h n i c a l s u p p o r t f o r the d yn am i c d e s i gn o f the u l t r a - p r e c i s i o n ma c h i n e t o o l s ． Ke y wo r ds ma c h i n e t o o l s d yn a m i c s ； man u f a c t u r i n g s p a c e ； s p a t i a l s tatis t i c s ； Kr i g i n g mo d e l ； n a t u r a l fre q u e n c y 0 前言 机床动力学特性是机床重要的性能指标 。不恰 当的机床设计和使用将引起机床加工中的颤振，使 得机床的切削条件变得不稳定，导致刀具的磨损和 断裂 ，产生加工中的振动和噪声，影响机床加工精 国家自然科学基金资助项1 5 1 4 0 5 3 0 0 ， 5 0 8 7 5 1 7 4 ， 5 1 1 7 5 3 4 7 。2 0 1 4 1 1 1 2 收到初稿 ，2 0 1 5 0 6 2 4 收到修改稿 度和工件表面形貌 ，加速机床本身的磨损和破坏 。 与机床动力学性能相关 的机床设计参数通常有 机床的刚度、固有频率、模态振型、阻尼、质量分 布等。机床动力学特性设计和分析通常采用有限元 方法建立虚拟仿真环境 J ， 提供在一个具体的位置 和姿态下，机床 的 n阶固有频率和对应 的模态振型 以及刚度，为机床的动力学设计提供数据支持。虚 拟仿真环境解决了机床运动过程中的位置相关的动 力学性能评估 问题 ，但 尚未对机床各加工位置之 间 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 8 8 机械工程学报 第 5 1 卷第 2 1 期 的动力学性能的变化趋势和关联性进行分析 。针对 机床工作空间中动力学特性的演变，许多学者进行 了分析研究 。 Z AG HB A NI 等 采用机床加工过程中 模态 的变化 为指 标来评估机床 动力学特 性的稳定 性 。 wu等 分别使用数值计算和试验方法研究了 5 自由度混联机床工作空间中的刚度分布 ，并尝试通 过 改进刚度最低 的部件刚度来优化系统刚度 。刘海 涛等【 o J 通过定义广义加工空间函数的方法 ，在龙 门 机床和立式机床 的整个工作空间进行模态分析和动 力响应分析 ，获得了低阶固有频率在加工空间中变 化最大可达 2 5 ％的结论，证明了机床性能的优化中 完整模态信息的重要性。但 目前，关于动力学特性 在工作空间中的变化规律 的研究以及动力学特性空 间信 息 的表 述方 法 的研 究还 未见 有详 细 研 究 的 报导 。 本文通过机床工作空间动力学特性分析机床动 力学性能的空间特性 的内在形成机制，继而 ，以一 阶固有频率为例 ，建立空间中的机床动力学特性 的 空间统计学模型，通过与正交多项式模型、神经 网 络模型及二次响应面模型的比较，分析动力学性能 的影响因素的同时，获得高精度的空间动力学特性 表征模型。 1 机床动力学性能的空间特性分析 如图 1所示【 ， J ，机床刚度、固有频率、模态振 型等动力学参数是机床关键部件及结合部组成的刚 度链[ 8 - 1 0 ] 结构特性和机床 空间位置、姿态等空间特 性的函数。刚度链随着机床的位姿变化而变化。刚 度链每一位置姿态对应的刚度、固有频率等模态信 息都可以使用多体动力学和有限元分析的联合仿真 方法求解[ 。 ￡ ／ 、 I 主 轴 I I 11 目 ＼ 一 l “ b -- - - ’T 止 l J～ l／ I ＼率且 | O ～二 ＼刚 度 链 ／ l ～ 上 T F 日 ＼ ／ 、 、 J 厂 1 r ～ 机 床 本 | | I 加工精度 成型点空间误差 、 ＼ ／ { 8 0 图 1 机床刚度链及机床动力学特性 机床 刚度链的两个端点刀具和工件在加工过程 中位置变化包络形成机床工作空间。加工空间内的 质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵随着机床位置姿态 的变化而变化，并引起 固有频率、模态、动刚度等 动态特性的变化。其中，质量矩阵在加工过程中随 着运动部件重心的变化而变化；阻尼产生机理和计 算方法 尚有争论；机床 的刚度链组成复杂，包括 结构件刚度、主轴刚度 、导轨刚度、结合部刚度、 电机伺服刚度 、气浮轴承刚度等，在机床运动过程 中，这些刚度链的刚度变化量级不同。在三个因素 综合作用下，机床的固有频率、模态、动刚度等动 态特性在加工空间中的变化呈现非线性、变化规律 复杂。 决定机床动力学特性的机床质量矩阵 m、刚度 矩 阵 k和阻尼矩阵 c都随着刚度链的变化而变化， 机床的动力学特性是空间位置 ， Y ， Z 的函数。 可写为 m x ， Y ， z a c x ， Y ， z a k x ， Y ， z a0 1 对式 1 进行模态坐标变换 ，获得系统特征方程的根 J J J 一 J z _ 1 _ A r T A r 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 1 5年 1 1 月 李天箭等基于空间统计学的机床动力学特性 8 9 向 驱动电动机 糖 轺 床身和立柱 刚 度 链 刀具 工件 驱地 机 转 一 阶固有频率 1 2 42 9 1 2 8 ． 8 6 r／ 3 7 广 ～ ～ ＼ 一 l 2 74 2 1 ． O 结 构 刚 度 微观表面特性刚度 ▲结合部刚度 一 1 2 9 ． 4 8 ● 气浮刚 度 ● 电 动机伺 服刚度 图 2 加工空间各加工位置的固有频率值 性 ，使得超精密机床加工空间动态性能具有空间依 赖性 空间 自相关 。在进行动态性能分析 时，既考 虑到各采样点具体值的大小，又重视样本空间位置 及样本 间的距 离的方法会更有利于动态性 能的把 握。空间对象间的相关性和非独立的有效科学方法 是基于数据的空间统计学。从这个性质而言，传统 的代数多项式拟合建立在数据独立性的基础上，代 数多项式的统计模型对空间数据的分析会产生虚假 的解释 。目前流行的神经网络方法没有在算法中明 确指 出从 空间特 性上对动态性 能学 习和 分析的途 径，其对整机动态特性的掌握也没有考虑空间数据 关系的空间分析方法精准。在空间特性分析上， K r i g i n g 方法【 J 卜 J 是以已知样本信息的动态构造为 基础 ，充分考虑到变量在空间上 的相关特征 ，建立 对象问题的近似函数关系来模拟某一点的未知信息 的有效空间统计学方法。 因此，本文尝试使用 K d g i n g方法建立近似模 型对加工空间动态特性预测分析，并与传统代数多 项式建立的响应面近似模型、及基于对数据学习分 析的神经 网络模型对 比， 以期获取更好性 能预测 分析 。 2 动力学性能的 K r i g i n g预测模型 K r i g i n g插值 是一种求最优 、 线性、无偏的空 间内插方法，采用协方差衡量各点空间相关程度。 它是基于线性回归分析的一种改进，模型包含了线 性回归部分和非参数部分 ，其中的非参数部分被称 为变异函数，采用随机分布函数的实现 。 1 3 1 ．8 7 1 31 _ 2 5 1 3 o ． 6 4 、 Y／ 设机床加工点位于 p x ， Y ， z 时，机床的一阶固 有频率真实值为 f x ， Y ， z ，估计值为 f x ， Y ， z ，则 机床一阶固有频率 K r i g i n g预测模型可写为 1． f x ， Y ， z fl f x i ， Y i ， Z i g x ， Y ， z i 1 ，T ， Y ， z Bg ， Y ， z 4 式中 f x ， Y ， z 点一阶固有频率的近似函数； 厂 ， Y i ， Z i _ 点周围 的采样 点 f的回归 函数； 权重系数，取决于采样点的拟 合模型、距预测位置的距离和 预测 点周 围 已知 点间的 空间 关系； g x ， Y ， z 变异 函数，数学期望为零 。 常用于拟合变异函数的模型包括指数模型、高 斯模型、Ma t 6 r n线性模型、Ma t 6 r n 立方模型。 通过计算模型协方差，找出最佳理论变异函数 模型，获得最好拟合效果，计算公式为 C O l T l g ， Y i ， Z 1 ， g x s ， Y s ， z J j R o ， ， I -I e x p 0 k P ／k 一 } 或 ne X p l 一 或 H 1 O k P ,k 一 1 e X p l 一 1 或 nf eXp l 一 I 5 向翰 z 训 删 ～ ～ 二 ～ ；● ～ ， ． 叶 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 机械工程学报 第 5 l 卷第 2 l 期 式中，k分别取 ， Y ， Z 三个方向。 采用最优线性无偏预测计算模型中的屈， ， f ， ， z f r x ， Y ， z ， Y ， z a‘ I o T -- F , T- Y ㈣ I 巧 一 l Y --- ⋯ 可解得方差 0． 2 二 二 f 7 通过最大似然法求解 最大似然函数 8 将式 7 、 8 重新代入式 6 可解 出 。至此， 对于一个未知点P的一阶固有频率可写为 ， Y ， z c T y 9 近似值与真值间的误差为 y x ， Y ， z 一 f x ， Y ， z c T y f x ， Y ， z 1 0 将式 5 代入式 1 o ，可得 f x ， Y ， z 一f x ， Y ， z c T F G 一 ， ， z g ， ， z c G g x , y ， z F T c -- f x , y ， z 1 1 G g X l ， Y l ， z 1 ， ⋯， g ， ， F f x l ， Y l ， z 1 ， ⋯， 厂 ， Y n ， 根据无偏预测要求 ，有 FT c x ， ， z f x ， Y ， z 1 2 式 1 1 的均方差为 ， ，z E l ， ，z 一 厂 ， ，z l 1 c T R c 一 2 c ， 1 3 式 1 3 中协相关性 ， ． 为 r ， P g ， ， ⋯， ， ， p 1 4 联立式 1 2 、 1 3 和式 1 4 可得 IC R f， 一 F 2 1 FT R F - 1 ，T R- r _厂 5 有 ， Y ， z 厂 ， Y ， z ， x ， Y ， z 1 6 式中， R y一 。 使用式 1 6 计算获得。其他如刚度 、高阶固有频率、 阻尼等相关动态性能参数均可使用此方法计算 。下 面以一阶固有频率为例对 K r i g i n g方法建立的模型 进行加工空间内机床动态特性分析。 3 机床动态特性分析 3 ． 1 动态特性变异函数的选择 取 图 2 中 2 7个 空 间点作 为位置变 量输 入 P{ ， P ， ⋯， P } ，对 应响应变量 的输 出数据 ， ， ⋯ ， ，计算刀具加工点位于空间位置P时机床的 动态性能。 将 已知的 2 7个空间位置的一阶固有频率数据 代入，选择变异函数 g x ， Y ， 协方差计算模型为指 数模型，获得正则化 参数如表 1 所示。 表 1 Kr i g i n g 模型 0参数 垒 墼 数值 2 O ． 3 8 5 2 至此 ，完成整体模型拟合。 为验证模型拟合精确度和有效性，需要进行精 度检验，本文采用 检验，公式为 l R z 2L I l ， l Q l ∑ ，Y i Z i 一 { 一 1 7 f Q 2 ∑ 厂 薯 ，Y i, z i 一 _ ， Y i ,z i l 扛 式中 回归偏差平方和； Q 2 碱 余偏差平方和； ．厂 所有采样点的响应均值。 由式 1 7 可知，0R 1 。如果 R 的值约接近 1 ，则表明模型的近似程度越精确。 将第 2节建立的指数函数 K r i g i n g模型代入式 1 7 ，解得 R 0 ． 9 9 7 1 4 1 8 对建立的模型有效性进行近似模型误差分析， 如图 3 所示，该模型满足精确分析的需求。 同理，分别使用高斯函数、线性 函数、三次函 数建立变异函数模型 。选用变异函数为随机高斯函 数 ， 获得 R O ． 9 6 6 2 9；变异函数为线性 Ma t 6 m 函 数 ， R 0 ． 9 8 3 2 9；变 异 函数 为三 次 Ma t 6 m， RE0 ．9 599 6。 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 1 5年 1 1月 李天箭等基于空间统计学的机床动力学特性 9 3 误差值过大 ，可认为这种构造近似模型的方法得到 的近似模型用于分析时可信度非常低 。 5 结论 1 本文使用Kr i g i n g 方法建立空间统计模型进 行机床动力学特性研究，获得 了固有频率、刚度在 加工空间分布规律，在完整工作空间中准确的描述 超精密机床动力学特性。 2 机床动力学特性的刚度、固有频率等主要 因素随着机床位置姿态 的变化规律可使用 Kr i g i n g 方法描述。方法 中的四种变异函数模型 指数函数、 高斯函数、线性函数、三次函数 ，指数函数模型能 够更好 的表达数据之间的相关性 ，近似精度最高 。 3 由于正交多项式模型、响应面模型和神经 网络模型在模型建构 中使用了数据独立性假设，该 假设与机床动态特性数据的空间相关性相违背，所 以不适合用于机床动力学特性变化规律 的描述。 本文的研究结果为超精密机床的动力学设计提 供了新的设计分析方法和技术支持。为机床使用中 加工位置和姿态 的选择和路径规划提供了原理和数 据支持 。 参考文献 [ 1 】AL T I NT ASY，B R E C H E RC ，WE C KM ，e t a 1 ． V i r t u a l ma c h i n e t o o l [ J ] ． C I R P Ke y n o t e P a p e r ，2 0 0 5 ，5 4 2 S TCM ． 【 2 ]Z A E H M，S I E DL D． A n e w me t h o d f o r s i mu l a ti o n o f ma c h i n i n g p e r f o r ma n c e b y i n t e g r a t i n g fi n i t e e l e me n t and mu l t i - b o d y s i mu l a t i o n f o r ma c h i n e t o o l s [ J ] ． C I R P A n n a l s - Ma n u f a c tu r i n g T e c h n o l o g y ，2 0 0 7 ，5 6 1 3 8 3 - 3 8 6 ． [ 3 】Y A NG Qi n g d o n g， L I U G u o q i n g， WA NG Ke s h e ． Dy n a mi c s a n a l y s i s o f s p e c i a l s t r u c t u r e o f mi l l i n g - h e a d ma c h i n e t o o l [ J ] ． C h i n e s e J o u r n a l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e ri n g ，2 0 0 8 ，2 1 6 1 0 3 - 1 0 7 ． [ 4 】C H A NA L H，DUC E，R A Y P A s t u d y o f t h e i mp a c t o f ma c h i n e t o o l s t r u c t u r e o n ma c h i n i n g p r o c e s s e s [ J ] ． I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f M a c h i n e T o o l s an d M an u f a c t u r e ， 2 0 0 6 ，4 6 2 9 8 - 1 0 6 ． 【 5 ]Z AG HB A NI I， S O NGME NE V． E s t i ma ti o n o f ma c h i n e t o o l d yn a mi c p a r a me t e r s d u r i n g ma c h i n ing o p e r a ti o n t h r o u g h o p e r a t i o n a l mo d a l ana l y s i s [ J ] ． I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Ma c hin e T o o l s and Manu f a c t u r e ， 2 0 0 9 ，4 9 1 2 1 3 9 4 7 - 9 5 7 ． [ 6 】WU J u n ， WA NG J i n s o n g ， WANG L i p ing ， e t a 1 ． S t u d y o n the s t i f f n e s s o f a 5 - DOF h y b ri d ma c h i n e t o o l wi t h a c t u a t i o n r e d u n d a n c y [ J]． Me c h ani s m and Ma c h i n e T h e o r y ，2 0 0 9 ，4 4 2 2 8 9 - 3 0 5 ． [ 7 ]刘海涛．基于广义加工空间概念的机床动态特性分析 [ J 】 ．机械工程学报，2 0 1 0 ，4 6 2 1 5 4 6 0 ． L I U Ha i t a o ． Dyn am i c c h a r a c t e ris t i c an a l y s i s f o r ma c h i n e t o o l s b a s e d o n c o n c e p t o f g e n e r a l i z e d man u f a c t u ri n g s p a c e [ J ] ．J o u r n a l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r i n g ，2 0 1 0， 4 6 2 1 5 4 6 0 ． [ 8 ]C HE NG K a i ． Ma c h i n e t o o l d e s i g n [ M] ． L o n d o n S p r i n g e r ， 2 0 0 9 ． [ 9 ]9 闫蓉，陈威，彭芳瑜．多轴加工系统闭链刚度场建模与 刚度性能分析[ J 】 ． 机械工程学报， 2 0 1 2 ， 4 8 1 1 7 7 - 1 8 4 ． Y AN Ro n g ，CHE N W e i ，P ENG Fa n g y u 。Cl o s e d - l o o p s t i f f n e s s mo d e l i n g an d s t i ff n e s s i n d e x a n a l y s i s for mu l t i - a x i s ma c h i n i n g s y s t e m[ J ] ．J o u r n a l o f Me c h ani c a l E n g i n e e r i n g ，2 0 1 2 ，4 8 1 1 7 7 - 1 8 4 ． [ 1 O 】WU We n j i n g ， L I U Q i a n g ． D yn am i c s a n a l y s i s o f a p a r a l l e l mi l l t u r n t o o l s p ind l e h e a d d riv e n b y d u a l - l i n e a r m o t o r s u s i n g e x t e n d e d t r ans f e r ma t r i x me t h o d [ J ] ． C h ine s e J o u r n a l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e ri n g ，2 0 1 1 ，2 4 5 8 5 9 - 8 6 9 ． 【 1 1 】GI UNT AA， WA T S O N L ． Ac o mp a r i s o n o f a p p r o x i ma t i o n mo d e l i n g t e c hn i q u e s P o l yn o mi a l V S ． i n t e r p o l a t i n g mo d e l s [ J ] ． A I AA，1 9 9 8 ，1 3 9 2 - 4 0 4 ． [ 1 2 】L 0 P HA VE N S，NI E L S E N H，S O ND E R G AAR D J ． DACE a M a t l a b Kr i g i n g t o o l b o x ， i n f o r ma t i c s a n d ma t h e ma t i c a l mo d e l l ing [ J ] ． E x p e ri me n t a l Me t h o d s f o r t h e An a l y s i s o fOp t i mi z a t i o n Al g o r i t h m s ， 2 01 0 3 3 7 - 3 6 2 ． [ 1 3 ]GA O Y u e h u a ，WANG Xi c h e n g ． An e f f e c ti v e wa r p a g e o p t i mi z a t i o n me t h o d i n i n j e c t i o n mo l d i n g b a s e d o n t h e Kr i g i n g mo d e l [ J ] ．I n t e rna t i o n a l J o u r n a l o f Ad v anc e d M a n u f a c t u r e T e c h n o l o gy ， 2 0 0 8 ， 3 7 9 5 3 9 6 0 ． [ 1 4 】HO NG J， T AL B OT D ， K AHR A MA N A．L o a d d i s t r i b u t i o n ana l y s i s o f c l e a r a n c e - fi t s p l i n e j o i n t s u s i n g fi n i t e e l e me n t s [ J ] ．Me c h a n i s m and Ma c h i n e T h e o r y， 2 O 】 4 。 7 4 4 2 ． 5 7 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 机械工程学报 第 5 1 卷第2 1 期 [ 1 5 ]B OS E T T I P， F RA N C E S C O B， B O R T 0L U Z Z I D． De s i g n ，ma n u f a c t u rin g ，a n d p e rfo r ma n c e v e rific a t i o n o fa R o b e rt s l i n k a g e f o r i n e r t i a l i s o l a t i o n [ J ] ． P r e c i s i o n E n g i n e e r i n g ，2 0 1 4 ，3 8 1 1 3 8 - 1 4 7 ． [ 1 6 】P A R K D ， KO L I V A ND M ， KA HR A MA N A．An a p p r o x i ma t e me t h o d t o p r e d i c t s u r f a c e we a r o f h y p o i d g e a r s u s i n g s u r f a c e i n t e r p o l a t i o n [ J ] ．Me c h a n i s m and M a c h i n e Th e o r y ， 2 0 1 4， 7 1 6 4 7 8 ． [ 1 7 ]D R AZ UME R I C R， B A DG E R J ， K R AJ NI K P ． Ge o me t r i c ， k i n e ma t i c a l a n d t h e r m a l an a l y s e s o f n o n - r o u n d