基于机理分析和热特性基本单元试验的机床主轴热误差建模.pdf

第 5 O卷第 1 1期 20 l 4 年 6 月 机械工程学报 J OURNAL OF M E CHANI CAL ENGI NE E RI NG v0 1 ． 5 0 J u n． NO． 1 1 2 0 1 4 DoI 1 0． 39 01 ／ JM E． 20 1 4 ． 1 1 ． 1 4 4 基于机理分析和热特性基本单元试验的 机床主轴热误差建模冰 项四通杨建国 张毅 上海交通大学机械与动力工程学院上海2 0 0 2 4 0 摘要为更精密地对机床主轴热误差进行预测，对主轴温度场和热变形进行机理分析，提出用热特性基本单元试验对初步理 论模型进行修正从而得到最终模型的建模方法。根据主轴的尺寸和轴承参数对主轴温度场和热变形进行机理分析并确定初步 理论模型，在不同起始温度下进行两组热特性基本单元试验，试验中采用温度传感器对主轴前后轴承及前端面的温度进行测 量，采用位移传感器对主轴轴 向热变形进行测量，得到主轴在升温和降温过程中温度场和热变形的特性数据，基于该数据对 初步理论模型进行修正。在一台数控车床主轴上进行模型的试验验证，结果表明该建模方法能同时对主轴升温和降温过程 进行温度场和热变形的建模与预测，且具有高精度的优点，可用于各种数控机床主轴热变形的预测。 关键词数控机床；主轴；温度场；热变形；机理分析；热特性基本单元试验 中图分类号T HI 6 1 M o d e l i ng M e t h o d f o r S p i n d l e Th e r m a l Er r o r Ba s e d o n M e c h a ni s m An a l y s i s a nd Th e r ma l Ba s i c Cha r a c t e r i s t i c s T e s t s XI ANG S i t o n g YANG J i a n g uo ZHANG Yi S c h o o l o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r i n g ， S h a n g h a i J i a o T o n g U n i v e r s i t y , S h a n g h a i 2 0 0 2 4 0 Ab s t r a c t A mo d e l i n g me tho d i s p r o p o s e d t o p r e d i c t t h e s p i n d l e t h e r ma l e r r o r wi t h h i g h a c c u r a c y ,i n wh i c h t h e me c h a n i s m o f t e mp e r a t u r e fi e l d a n d t h e r ma l d e f o r ma t i o n i n s p i n d l e i s a n a l y z e d a n d t h e p r e l i mi n a r y t h e o r e t i c a l mo d e l i s mo d i fie d b y t h e rm a l b a s i c c h a r a c t e ri s t i c s t e s t s t o o b t a i n t h e fin a l mo d e 1 ． Th e p r e l i mi n a r y t h e o r e t i c a l mo d e l o f t e mp e r a t u r e fi e l d a n d t h e r ma l d e f o rm a t i o n i s b u i l t v i a me c h a n i s m a n a l y s i s wh i c h i s b a s e d o n t h e s i z e o f the s p i n d l e a n d b e a rin g s ’ p a r a me t e r s ． I n d i ff e r e n t i n i t i a l t e mp e r a tur e t wo t h e r ma l b a s i c c h ara c t e ris t i c s t e s t s a r e c o n d u c t e d ， i n wh i c h t e mp e r a t u r e a t t h e f r o n t a n d r e a r b e a r i n g s a n d t h e f r o n t e n d c o v e r o f t h e s p i n d l e i s m e a s e d b y t e mp e r a t u r e s e n s o r s a n d t h e s p i n d l e a x i a l t h e rm a l d e f o r ma t i o n i s me a s u r e d b y a d i s p l a c e me n t s e n s o r ． T h e t e s t s ’ r e s u l t i s u s e d t o mo d i f y the p r e l i mi n a ry t h e o r e t i c a l mo d e l t o g e t the fi n a l mo d e 1 ． An e x p e rime n t o n a n NC l a t h e ’ S s p i n d l e i s c o n d u c t e d t o v a l i d a t e t h e mo d e l i n g me t h o d ．T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e n e w mo d e l i n g me t h o d i s p r e c i s e i n p r e d i c t i n g s p i n d l e ’ S t e mp e r a tur e fie l d a n d the rm a l d e f o r ma t i o n n o t o n l y d u r i n g t h e h e a t i n g p r o c e s s b u t a l s o t h e c o o l i n g p r o c e s s ．S o the n e w mo d e l i n g me t h o d i s s u i t a b l e f o r d i ffe r e n t k i n d s o f ma c h i n e t o o l s i n p r e d i c t i n g s p i n d l e t h e r ma l d e f o r ma t i o n ． Ke y wo r d s ma c h i n e t o o l ；s p i n d l e ；t e mp e r a tur e fie l d；t h e rm a l d e f o r ma t i o n ；me c h a n i s m a n a l y s i s ；t h e rm a l b a s i c c h a r a c t e r i s t i c s t e s t 0 前言 机床误差很大程度上决定了工件误差，因此减 小机床误差至关重要。在机床误差 中，热误差为主 要组成部分，占总误差 的 7 0 ％【 。机床热误差综合 了内部热源和外部热源 环境 的影响，而主轴是最 国家自然科学基金 5 1 2 7 5 3 O 5 和国家科技重大专项 2 0 1 1 Z X 0 4 0 1 5 0 3 1 资助项 目。2 0 1 3 0 4 2 7收到初稿 ，2 0 1 4 0 2 2 8收到修改稿 重要的内部热源之一 J ，它是机床 的核心部件 ，对 金属去除率和工件加工质量产生很大的影响 J ，因 此有必要 对主轴 热误差进 行建模 和预测 。C HE N 等 分析 了库埃特 流动对静压 主轴精度 的影响 Z H ANG 等 提 出了主轴热误差建模中温度点优化 方法 ；C HE N 等 考虑主轴历史温度和转速提 出了 自回归动态 的主轴热误差预测模型；姜辉等 基于 贝叶斯推断的最小二乘支持 向量机对主轴热误差进 行建模；林伟青等 提出用于主轴热误差建模的动 态白适应加权最小二乘支持向量机方法；L I N 等 J 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 1 4年 6月 项四通等基于机理分析和热特性基本单元试验的机床主轴热误差建模 1 4 5 建立了复合 的多元线性回归模型来预测不同转速下 的主轴热误差 ；Z HAO等[ 1 0 - 1 2 ] 基于有限元分析对主 轴和主轴箱进行了热误差建模 ；仇健等L l 通过主轴 恒转速和变转速热误差试验分析了龙门机床主轴箱 温度场分布及其对主轴热误差的影响趋势，并提出 了改善措施；H OR I等【 J 刮 提 出了基于机床特性数据 的热误差建模方法，只需要对一个特性时间单元内 的热误差进行数据采集，即可对全时间段的热变形 进行建模 ，但该模型仍然需要主轴从开始运动产生 热 变 形 直 到热 平 衡 的 3 ～4 h 的全温 度 数 据 ； J E D I E J E WS 等【 I 对高速主轴的角接触球轴承 的轴向热变形作了精确的建模，但其主要针对高速 电主轴，难以试用于普遍的机械主轴。 在 目前对主轴热误差的研究成果中，建模方法 主要为有 限元分析和多元线性回归模型，较少有对 主轴热误差进行机理上的分析，而且多数只能对主 轴升温过程进行建模，无法对降温过程的热误差进 行计算。 如 果能通过机理 分析先对主轴 在升温和 降温 过程 中的温度场和热变形建立初步 的理论模型，而 后进行主轴热特性基本单元试验，用试验结果对初 步理论模型进行修正，那么就能同时得到主轴升温 和降温过程中与实际相符的精确的温度场和热变形 数学模型。所述 的热特性基本单元试验 ，是指主轴 以某～恒定转速转动一定时间，而后停转 ，作为升 温和 降温的基本单元，对该过程中主轴温度场和热 变 形进 行 数据 测 量 从 而 获取 主轴 热 特 性表 现 的 过程 。 1 主轴热误差模型的分析及建立 1 ． 1 主轴温度场模型 1 ． 1 ． 1 主轴热特性的基本表现 数控机床结构的温度 与流入该部件的热量 和从该部件流出的热量 Q叫有关 。因此有必要确定 热变形与热量大小的关系，而流经机床该部件热量 的大小可以用 Qi 与 Q0 m之差来表示 。 假设机床结构均匀 ，并且初始 时刻机床温度与 周围环境相同。从 t 0时刻开始 ，主轴 以某一恒定 转速转动 ，产生阶跃状热量 Q．n 输入 。主轴温度可 以表示如下【 j 刨 m c d T ／ d t Q i 一 1 9 - o ma m S T 2 式中 主轴 自身质量 ； 卜主轴材料比热容； 主轴温度 ； o [ 一主轴表面平均散热系数； ． 一 主轴 散热表面积 。 通过式 1 、 2 可以求出主轴 的平均温度 和时 间常数 ，如下所示 T k e x p 一 ／ a m S 3 4 式中，k 为由机床初始温度决定的系数。 从式 4 可 以看出，当主轴以恒定转速转动时， 时间常数 与主轴热容 mC 成正比，与 a m S成反比。 因此，主轴表面积越大 ，则时间常数越小，即越早 达到热平衡。进一步发现时间常数 与输入的热量 无关。 从式 3 可 以看 出，欲求 出主轴的温度场模型， 需要确定 Qi 、 m 、m、c和 。主轴的质量 m和表 面积 易根据实际主轴尺寸确定，主轴材料的比热 容c 5 0 2 ．4 J ／ k g K [ 1 0 】 。 按如下方法分别计算主轴 的热量输入 Qi 和散热系数 。 1 ． 1 ． 2 主轴热量输入 Q 的计算⋯J 对主轴热变 形影响最大 的因素是主轴 前后轴 承的摩擦 J 。主轴轴承产生的热量可以通过式 5 来 计算 Hf 1 ． 0 4 7 1 0 n M 5 式中 主轴转动速度 ； 一 轴承 总摩擦力矩 。 摩擦力矩 由两部分组成 Mv 6 式中 由载荷引起的摩擦力矩 ； 一 由润滑剂 的黏度引起的摩擦力矩 。 l f p 1d 7 式中 与轴承类型和载荷有关的经验系数； p 1 轴承载荷； 广一 轴承的平均直径。 』 v 旷 厂 0 V 0 m3 V on 0 0 0 8 1 【 Mv 1 6 0 x 1 0 f o y o n 2 0 0 0 式中 与轴承类型和润滑方式有关 的系数； v 润滑剂 的动黏性率。 1 ． 1 - 3 主轴散热系数 。 c 的计算 主轴的热传递主要分为两种形式，一为主轴与 轴承之 间的热传导 ，二为主轴与空气之间的对流。 当主轴转动 时，主轴与空气之间为强制对流，当主 轴停转时为自 然对流。根据实际经验，主轴材料的 热传导系数 4 6 ．4 W ／ m ． K ，自 然对流时的对流 换热 系 数 a I 1 0 w ／ m K [ 1 o 】 。 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 机械工程学报 第 5 O 卷第 1 1 期 强制对流时的对流换热系数可按式 9 计算 -6 6 4 j 9 式中 一主轴热传导系数； 刀 主轴转速； 1 一空气的运动黏度 ； 需要根据试验调整的系数； P ， 一空气 的普朗特 常数； 在常温下，空气 的运动黏度 1 ， 1 6 mm S ，普 朗特常数 P r 0 ． 7 0 1 。 1 ． 1 ． 4 主轴温度场的初步理论模型 Q i m 1 0 { 霉 筹11 ormal 【口 n 土 1学 转 H 将计算得到的 Q i 和 6 c ，以及主轴的 m、C 和 五个参数代入式 3 ，即可得到升温过程中主轴温度 场的初步理论模型 k e x p f a m S t 1 Q i． ／ a m S 1 2 当主轴停转时，在非长时间的降温过程中，主 轴温度始终高于环境温度，可假设周围环境未向主 轴输入热量 ，即 Q i 0 ，此时求解式 1 、 2 ，求得 降温过程中主轴温度场的初步理论模型 T O e x p 一 a m_ _cff_S ] 13 当主轴产生如图l a 所示的脉冲状热量输入Q D 力 时， 热源 附近的温度 T p t n 图 1 b所示， 热变形 如图 l c 所示，其中 △ f 为时间脉冲宽度。 热流脉冲的输入形式满足式 1 4 I Q p t Q p 0 A t 由式 3 表 示 的温 度 场 模 型 类 似 于 输 出 为 1 一 e x p 一 的时间响 应函数，当t T 时， 系统的 响应达到了稳态值的 6 3 ． 2 ％t 2 T时，达到 8 6 ． 5 ％； t 4 T时，达到 9 8 ．2 ％。又 f c 为机床主轴的时间常数， 即主轴将于大约 4 f c 时达到热平衡，所以可将热特性 基本单元试验的热量输入的时间脉冲宽度 △ f 设为 。 接 下来 以前轴承为例说 明主轴在 恒定转速下 升温和降温过程温度模型的试验修正全过程 ，如图 2所示 。 T m2 1 式中， 为主轴开始降温时的初始温度 。 由于 以上 的初步理论计 算难免会存在一定 的 计算误差和假设误差，以下进行试验修正。 1 ． 1 ． 5 主轴温度场模型的试验修正 图 1显示了热特性基本单元试验 ，基于该试验 对初步理论模型进行试验修正。此图只考虑主轴在 热量输入后的基本表现 ，不考虑温度变化和热变形 相对于热量输入的滞后性。 Q p 鲫 霰 时间 t a 热流脉冲 习8 p 赠 时间 t b 温度单元 时间 t c 热变形单元 图 1 热特性基本单元试验 时间 t a 热特性基本单元试验 0 tl t i 1 吐靠2巧7 ／ 2 时间 t b 理论模型的修正 时间 t c 修正后 的模型 图 2 主轴前轴承温度模型的试验修正过程 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 2 0 1 4年 6月 项四通等基于机理分析和热特性基本单元试验的机床主轴热误差建模 1 4 7 假设该机床 的常用工作转速为 2 0 0 0 d mi n ，所 以模型修正过程所选定的恒定转速为 2 0 0 0 r ／ mi n 。 如图 2 a 所示 ， 模型修正过程包括处于不同起始 温度的两组热特性基本单元试验。第一组热特性基 本单元试验 前轴承初始温度 ， 主轴 以 2 0 0 0 r ／ mi n 转动 f c ，得终止温度 乃，升温过程平均温度 1 、 。 亡 十 而后停转 1 0 mi n ，以模仿实际加工状况。第二 组热特性基本单元试验 让主轴 以最快转速转动 ， 使前轴承达到一个相对较高的温度 ，作为第二组 试验的起始温度 ， 接着让主轴 以 2 0 0 0 r ／ mi n转动 如 ， 得终止温度 死，升温过程平均温度 1 ， 、 十 随后停转 1 0 mi n 。在这两组热特性基本单元试 验中，在主轴前轴承处放置 P t 1 0 0温度传感器进行 温度测量，从而得到升温和降温过程中主轴前轴承 的温度特性数据 。 如图 2 b所示 ，利用两组热特性基本单元试验 的结果对初步理论模型进行修正的过程如下 。 将升温过程温度场模型修正为 k e x p 一 a t t o O m ／ a m S b 1 5 式中 a ， 模 型的修正系数 ，a为修正斜率 ，b 为修正数值大小； 一 环境温度。 a 、b 使式 1 5 满足以下条件。 1 模型在温度 为 T o 、T m l 、 、T 2 、 、 六处所对应时间点处的斜率值与两组热特性基本单 元试验中对应点的斜率值相差最小。 2 模 型在第 1 和第 f c 的温度预测值与热特性 基本单元试验中 l 和 的数值相差最小。 建立升温过程的 目标 函数如下 m in 0 一 r o 0 } 。 一 r o tm r 一 T o to一 一 0 。 一 一 ～ to r tm 。 一 r m 。 一 1 6 求解最优化 问题 ，分别求出最优 的修正系数 a 和 b ，这样便得到了修正后的主轴升温过程前轴承 的温度模型 ． u p t 。 主轴停转后开始降温 ，降温的快慢与主轴和环 境的温度差有关，故将两段降温过程模型修正为 r e t o r e e p e f 7 式中 ，p l 、q l 、p 2 、g 2为模 型的修正系数，P l 、P 2 为修正斜率 ，q l 、q 2 为修正数值大小。 p l 、q l 、P 2 、q 2 使式 1 7 满足 以下条件 。 1 模型在温度为 、 1 、乃、 四处所对 应时间点处的斜率值与两组热特性基本单元试验中 对应点的斜率值相差最小。 2 模型在第 和第 。 时的温度预测值与热特 性基本单元试验 的 1 和 数值相差最小。 虽然 、 t m 2 不能获知，但能求取 t m 2 、 。 第一段降温过程 ，建立 目标 函数 m in 。 0 ～ ro ‘ 一 一 r o tm 0 一 - t o - r m 1 8 第二段 降温过程，建立 目标 函数 m in 0 一 t3 一 t3 一 2 0 一 ‘ 1 9 如图 2 c 所示 ，通过求解上述两个最优化问题 ， 分别得到两段降温过程的最优修正系数p l 、9 I 、 p 2 、 q 2 ，这样便得到 了修正后的降温过程主轴前轴承 的 温度模型 r d 0 和 力 。处于任意起始温度 下的 降温过程温度模型可表示为式 2 0 f r x T o 2 0 将 ． u p 和 z 合称为主轴前轴承的温度模 型 7 f 。 在建立主轴前轴承温度模型的同时，利用放置 于主轴后轴承 的温度传感器，同时采集两组热特性 基本单元试验 中的温度数据 ，可用 同样的方法得到 修正后的主轴后轴承的温度模型 。 这样便完成 了对主轴整体的温度场建模 。 1 ． 2 主轴轴向热变形模型 1 ．2 ． 1 主轴轴向热变形的初步理论模型 当主轴 自由膨胀 时，伸长量 可以表达为 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 机械工程学报 第 5 O 卷第 1 1 期 ‘ d t c tt L t 2 一 t 1 2 1 ’ l 式 中，a 为线膨胀系数 。 然而 ，主轴一般都受一定的约束，当温度变化 时，由于它和不能 自由伸缩 的其他物体之间相互约 束 而产 生热应力 。由热应 力 引起 的伸长量为 c r L ／ E，E为弹性模量。此时的伸长量计算为 一r A L L 一 十 2 2 ￡ 对于主轴轴承而言，后轴承一般允许轴 向自由 伸缩，而前轴承受到完全约束，因此可以将主轴模 型定义为一端 固定，另一端 自由，主轴模型如图 3 所示。 该主轴可以分为两段来简化处理 ， 一段是 A B， 另一段是 AC， B处为主轴后轴承，可以轴 向自由伸 缩 ，不影响加工精度，故不予计算 ，此处仅考虑 C 处的变温位移 。 图 3 主轴模 型 等截面杆一维变温位移的微分方程 尝 ∞ 式中， 为主轴轴 向的位移 。 从这个方程可以看到，只要知道在该方向上的 温度分布或温度梯度及两个边界条件 ，就能解出在 这个方 向上的变温位移 。 式 2 3 的解 为 I 口 t t d x C 1x C 2 2 4 一 维无热源稳定导热方程是 0 2 5 式 2 5 的通解为 t 毛 2 6 将式 2 6 代入式 2 4 中，可得到 2 a Ax Gx q 2 7 式 2 7 为计算主轴轴 向热变形的通解 。 AC段的温升分布函数为 t A c ar f e o _ - 一ar △ 2 8 式中 △ 广 轴承的温升； △ 。 前端面的温升； 工 主轴 AC段长度； 卜点在 A C段的位置 。 所 以 矗 a r o c _ - 一A ％ △ L ‘ 又在 0处， 0及 盯0这两个条件，得出 C 1 0 ， C2 0。 将 c 1 ， C 2 ， k 1 ， ， xL代入式 2 7 ，同时考虑环 境温度对主轴热变形 的影响，将前端面和前轴承的 当前温度与环境温度之差作为其温升值 ，即可得到 如下主轴轴向热变形的初步理论模型 业≈ 2 9 式中 。 前端面温度 ； 一 前轴承温度 ； 一 环境温度。 从式 2 9 可以看 出，由机理分析推导得 到的初 步理论模型为三个温度值的线性组合 ，这在形式上 与传统 的多元线性回归模型相似 ，从侧面证 明了本 初步理论模型的正确性和可靠性。 由于 以上 的初 步理论计算难 免会存在 一定 的 计算误差和假设误差，以下进行试验修正。 1 ． 2 ． 2 主轴轴 向热变形模型的试验修正 图 4显示了主轴在升温和降温过程 中轴 向热变 形模型的试验修正过程。 两组热特性基本单元试验 中，轴向热变形的测 量与温度测量是同时进行的。如图 4 a所示 ， 第一组 热特性基本单元试验初始热变形 6 00 ，主轴以 2 0 0 0 r ／ mi n转动 后，得终止热变形 1 ，随后停转 1 0 m i n ，升温过程平均热变形 1 X 0 二 第二组热特性基本单元试验 主轴 以最快转速 转动 t 。 ，热变形达到一个较高的程度，作为第二组 试验的起始热变形 赴， 接着主轴以 2 0 0 0 r ／ mi n转动 t 。 ，得终止热变形 3 ，随后停转 1 0 mi n ，升温过程 平均热变形 1 亡 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m 1 5 2 机械工程学报 第 5 0 卷 第 1 1 期 [ 1 2 ] [ 1 3 】 E n g i n e e r i n g ，2 0 0 9 ，4 5 3 1 7 8 1 8 2 ； LI N Z C，CHANG J S ． Th e b u i l d i n g o f s p i n d l e t h e r ma l d i s p l a c e me n t mo d e l o f h i g h s p e e d ma c h i n e c e n t e r [ J ] ． I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Ad v a n c e d Ma n u f a c t u r i n g T e c h n o l o g y ，2 0 0 7 ，3 4 5 - 6 1 5 5 6 - 5 6 6 ． ZHAO Ha i t a o ， YANG J i a n g u o ， S HEN J i n h u a ． S i mu l a t i o n o f t h e r ma l b e h a v i o r o f a CNC ma c h i n e t o o l s p i n d l e [ J ] ．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Ma c h i n e T o o l s a n d Ma n u f a c t u r e ，2 0 0 7 ，4 7 6 1 0 0 3 1 0 1 0 ． J E DRZ EJ EW S I I J ， K0W AL Z， KW S NY W ， e t a 1 ． Hy b rid mo d e l o f h i g h s p e e d ma c h i n i n g c e n t r e h e a d s t o c k [ J ] ． C I RP T e c h n o l o g y ， 2 0 0 4 ，5 3 1 2 8 5 - 2 8 8 ． C REI GHT0N E， H0NEGGER A，TULS I AN A，e t a 1 ． An a l y s i s o f the rm a l e nl0 r s i n a hi g h s p e e d mi c r o - mi l l i n g s p i n d l e [ J ] ．I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Ma c h i n e T o o l s a n d Ma n u f a c t u r e ， 2 01 0，5 0 4 1 3 8 6 3 9 3 ． 仇健，刘春时，刘启伟，等．龙门数控机床主轴热误差 及其改善措施[ J ] ．机械 工程学报 ，2 0 1 2，4 8 2 1 1 4 9 - 1 5 7 ． Q I U J i an， L I U C h u n s h i ， L I U Qi we i ， e t a 1 ． T h e rm a l e r r o r s o f p l a n e r t y p e NC m a c h i n e t o o l s an d i t s i mp r o v e me n t me a s u r e s [ J ] ． J o u rna l o f Me c h ani c a l E n g i n e e ri n g ，2 0 1 2 ， [ 1 4 】 [ 1 5 】 [ 1 6 】 [ 1 7 ] 4 8 2 1 1 1 4 9 ． 1 5 7 ． 堀三 ， 西腕信彦． 基本特性 尹一夕 6工作横械耩 造 0熟变形量推定[ J ] ．日本横械学会 文集 C 编 ， 1 9 9 8 ，6 4 6 2 1 1 8 3 6 ． 1 8 4 1 ． HORI S a n k e i ，NI S HI WAKI No b u h i k o ． S t u d y o n the rm a l d e f o r ma t i o n o f ma c h i n e t o o l s t r u c t u r e e s t i ma t e d b y i t s b a s i c c h a r a c t e r i s t i c s [ J ] ． T h e J a p a n S o c i e t y o f Me c h a n i c a l E n g i n e e r s C ，1 9 9 8 ，6 4 6 2 1 1 8 3 6 1 8 4 1 ． J EDR ZEJ EW S KI J ，KWAS NY W Mo d e l l i n g o f an g u l ar c o n t a c t b a l l b e a ri n g s an d a x i a l d i s p l a c e me n t s f o r h i g h - s p e e d s p i n d l e s [ J ] ．C I R P A n n a l s Ma n u f a c t u r i n g T e c hno l o gy ，2 0 1 0 ，5 9 1 3 7 7 - 3 8 2 ． YOS HI MI I t o ． T h e rm a l d e f o rm a t i o n i n ma c h i n e t o o l s [ M] ． Ne w Yo r k M c Gr a w Hi l l Co mp a n y， 2 0 1 0 ． H AR RI S T A． R o l l i n g b e a ti n g ana l y s i s [ M] ． Ne w Y o r k W i l e y， 2 0 0 7 ． 作者简介项四通 通信作者 ，男，1 9 8 9年出生，博士研究生。主要研 究方向为精密加工与测试。 E ma i l s t o n e ． x i a n g s t g ma i l ． t o m 杨建国，男，1 9 5 6年出生，教授，博士研究生导师。主要研究方向为精 密加工与测试 E ma i l j g y a n g s j t u ． e d u ． c n 叫 口 学兔兔 w w w .x u e t u t u .c o m