随从力作用下运动薄膜的非线性强迫振动特性研究_邵明月.pdf

书书书  振动与冲击 第 39 卷第 10 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．10 2020 基金 项 目 陕 西 省 自 然 科 学 基 金 2018JM5023; 2018JM1028; 2018JM5119 ; 西 安 理 工 大 学 博 士 学 位 论 文 创 新 基 金 310- 252071702 收稿日期2018 －12 －05修改稿收到日期2019 －02 －13 第一作者 邵明月 女，博士，讲师， 1989 年生 通信作者 武吉梅 女，博士，教授， 博士生导师， 1963 年生 随从力作用下运动薄膜的非线性强迫振动特性研究 邵明月1，武吉梅1，王砚2，武秋敏1，庆佳娟1，卢瑶1 1． 西安理工大学印刷包装与数字媒体学院， 西安 710048; 2． 西安理工大学土木建筑工程学院， 西安 710048 摘要研究随从力作用下运动印刷薄膜的非线性强迫振动特性。基于 Von Karman 薄板理论推导出轴向运动薄 膜的非线性振动方程， 应用 Galerkin 方法对振动偏微分方程组进行离散， 利用 4 阶龙格 － 库塔法对微分方程进行求解， 得 出薄膜非线性振动的时程图、 相图、 Poincare 截面图和分岔图。分析了初始条件、 随从力和长宽比对薄膜振动特性的影 响。研究结果得出了薄膜稳定工作区间和发散失稳区间。 关键词非线性振动; 随从力; 运动薄膜; 4 阶龙格 － 库塔法 中图分类号O322文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 10． 029 Nonlinear forced vibration characteristics of membrane subjected to follower force SHAO Mingyue1，WU Jimei1，WANG Yan2，WU Qiumin1，QING Jiajuan1，LU Yao1 1． School of Printing Packaging and Digital Media Engineering，Xi’ an University of Technology，Xi’ an 710048，China; 2． School of Civil Engineering and Architecture，Xi’ an University of Technology，Xi’ an 710048，China Abstract The nonlinear forced vibration characteristics of moving printing membrane subjected to follower force were studied． Based on the Von Karman plate theory，the nonlinear vibration equations of the axially moving membrane were derived．The partial differential equations of the vibration were discretized by the Galerkin ，and the differential equations were solved by the fourth- order Runge- Kutta ．The time history diagram，phase- plane portraits，Poincare maps and bifurcation diagrams were obtained． The effects of initial conditions，follower force and aspect ratio on the vibration characteristics of the membrane were analyzed． According to the research results，the stable working range and the divergent instability region of the membrane were obtained． Key wordsnonlinear vibration;follower force;moving membrane;fourth- order Runge- Kutta 薄膜在高速印刷时， 其速度和张力会随着卷径的 变化而变化， 周围的气流场也随之发生改变， 会造成薄 膜振动加剧， 并发生大挠度非线性振动。从而引起产 品皱褶破碎， 影响生产效率。 随从力是一种非保守力， 其作用机理与分布阻力 具有一定相似性。非保守系统的动力学分析在工程中 有着广泛的应用， 如运动的薄膜、 飞行器等受到的空气 阻力、 输流管道中流体的黏滞阻力等都属于非保守 力 ［1 ］。本文将空气的作用力模化为随从力， 以运动薄 膜为研究对象， 对随从力作用下的薄膜的非线性动力 学特性进行研究。 近年来， 国内外学者对随从力作用下的梁、 板、 壳 的动力学分析做了很多研究， 然而鲜见对随从力作用 下的薄膜振动的研究。Wang 等 ［2 ］应用无网格Galerkin 法研究了随从力作用的黏弹性压电层合板的稳定性。 Zhou 等 ［3 ］提出了一种求解切向随从力作用下黏弹性矩 形板稳定性分析的精确解法。Torki 等 ［4 ］应用扩展的 Galerkin 法研究了分布轴向随从力作用下功能梯度材 料圆柱壳的颤振问题。Higuchi 等 ［5 ］研究了结构阻尼 对随从力作用下柔性矩形板振动的影响。李清禄等 ［6 ］ 研究了功能梯度材料 Functionally Graded Material， FGM 圆板在非保守随从力作用下的稳定性问题。 Alidoost等 ［7 ］研究了受集中随从力作用下的分层组合梁 的振动、 屈曲和颤振不稳定性问题。此外， 运动系统的 非线性振动特性研究也引起很多学者的关注。赵凤群 等 ［8 ］研究了随从力作用下简支功能梯度矩形板的非线 性振动特性。Kumar 等 ［9 ］ 应用平滑有限元方法研究 了复合板的非线性振动问题。Marynowski［10 －11 ］将运动 薄膜简化为梁模型， 应用 Galerkin 法和 4 阶 Runge- Kut- ta 法研究了薄膜的非线性振动特性。Soares 等 ［12 ］应用 有限元法研究了拉伸超弹性薄膜的非线性振动和稳定 ChaoXing 性问题。Liu 等 ［13 ］采用数值分析法研究了预应力矩形 正交各向异性薄膜结构在冲击载荷作用下的非线性振 动响应。Li 等 ［14 ］应用摄动法研究了冲击载荷下正交 异性膜结构的随机动力响应和可靠性分析。 综上， 鲜见对随从力作用下运动薄膜非线性振动 的研究。本文以印刷运动薄膜为研究对象， 研究随从 力作用下的薄膜的非线性振动特性。应用 Von Karman 薄板理论建立薄膜的横向振动方程， 利用 Galerkin 方法 对振动偏微分方程组进行离散， 应用 4 阶 Runge- Kutta 法对微分方程进行求解， 分析初始条件、 随从力和长宽 比对运动薄膜非线性振动的影响。 1随从力下薄膜的振动模型建立 图 1 所示为受切向均布随从力 q0作用的印刷运动 薄膜工作的简化模型。取两导向辊或两滚筒之间的薄 膜为研究对象， 将印刷滚筒 或辊子 对薄膜的支撑作 用作为边界条件处理， 即可将此段薄膜看作轴向运动 系统， 对其非线性振动进行研究。从图 1 可知， 以薄膜 的运动方向为 x 方向， 其运动速度为 v; 薄膜的宽度方 向为 y 方向; 横向振动的位移方向为 z 方向。设薄膜横 向振动位移为w x， y， t ， t 为时间， Tx和 Ty分别为薄膜 在边界上受到的单位长度的张力， a 为两对辊子之间的 距离， b 为薄膜的宽度， 薄膜的面密度为 ρ。 图 1运动薄膜力学模型 Fig． 1 The mechanical model of a moving membrane 平衡微分方程为 ［15 ］ N x x N xy y 0 N y y N yx x { 0 1 考虑阻尼作用时， 且薄膜受到垂直于平面的外激 励力pcos ω t的作用， 则弹性曲面微分方程为 ρ 2w  t －2 2v 2w x t － v2 2w x 2 － 2 y 2 2w x 2 － 2 x 2 2w y 2 a － x q0 2w x 2 λ  w  t － pcos ω t 2 式中 Nx， Ny， Nxy为薄膜单位长度所受的张力; λ 为阻尼 系数; p为外激励力幅值; ω为外激励力频率。 系统相容方程为 2Nx y 2 2Ny x 2 － μ 2xNx x 2 － μ 2Ny y 2 － 2 1 μ 2Nxy xy Eh 2w x y 2 － 2w x 2 2w y []2 3 薄膜力用应力函数  可表示成 Nx 2 y 2 Ny 2 x 2 Nxy － 2 xy 4 由于薄膜单元的各个平衡微分方程相互之间是独 立的， 由此可知 Nx TxNy TyNxy 0 5 根据 Von Karman 大挠度薄板理论 ［16 ］得到随从力 作用下运动薄膜的非线性强迫振动方程组为 ρ 2w  t －2 2v 2w x t － v2 2w x 2 － 2 y 2 2w x 2 － 2 x 2 2w y 2 a － x q0 2w x 2 λ w  t － pcos ω t 4 x 4 4 y 4 Eh 2w x y 2 － 2w x 2 2w y []          2 6 对式 6 引入下列无量纲量 ξ x a ， η y b ， δ w h ， t t Eh3 ρa 槡 4， c v ρa 2 Eh 槡 3，r a b ，f  Eh3 ， Q a3q0 Eh3 ， γ λ a4 ρEh 槡 3， p p a4 Eh4 ，ω ω ρa 4 Eh 槡 3 7 则式 6 可化为无量纲形式 2δ t 2 2c 2δ ξt c2 2δ ξ 2 － r2 2f η2 2δ ξ2 － r2 2f ξ2 2δ η2 1 － ξ Q 2δ ξ2 γ w t p cos ωt 4f ξ4 r4 4f η4 r2 2δ ξ η 2 － r2 2δ ξ2 2δ η          2 8 对于上述大挠度振动的基本方程， 其边界条件为 ξ 0， 1 ∶ 2f η2 1， 2f ξη 0，δ 0 9 η 0， 1 ∶ 2f ξ2 1， 2f ξη 0，δ 0 10 2Galerkin 方法分离变量 对式 8 的印刷运动薄膜非线性偏微分方程组， 首 先采用 Galerkin 法对其进行离散， 令 δ ξ， η， t W ξ， η q t 11 f ξ， η， t F ξ， η q2 t 12 取满足边界条件的位移函数为 W ξ， η sin πξ sin πη 13 将式 13 代入式 8 中， 得到 4F ξ4 r4 4F η4 r2π4 2 cos 2πξ cos 2πη 14 求解式 14 ， 得出 F ξ， η r2 32cos 2πξ 1 32r2 cos 2πη 15 612振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 由 Galerkin 法得 ∫ 1 0∫ 1 0 W 2q t t 2 2c W ξ q t t c2 2w ξ2 q t－ r2 2F η2 2W ξ2 q3 t [ － r2 2F ξ2 2W η2 q3 t 1 － ξ Q 2W ξ2 q t Wγ q t t － pcos ω] t W ξ， η dξdη 0 16 因此运动薄膜的非线性振动的系统状态方程为 A q B q Cq Dq3 Pcos ωt 17 其中， A ∫ 1 0 ∫ 1 0 sin2πξsin2πξdξdη 1 4 B 2cπ∫ 1 0 ∫ 1 0 cos πξsin2πηsin πξdξdη γ∫ 1 0 ∫ 1 0 sin2πηsin2πξdξdη 1 4 C － π2c 2∫1 0 ∫ 1 0 sin2 πξsin 2πηdξdη － π2∫1 0 ∫ 1 0 Q 1 － ξ sin2 πξsin 2πηdξdη － π2c2 4 － π2Q 8 D － r2∫ 1 0 ∫ 1 0 π4 8r2 cos 2πηsin2 πξsin 2 πη r2π4 8 cos 2πξsin2 πξsin 2π ηdξdη π4 64 1 r 4 P p∫ 1 0 ∫ 1 0 sin πξ sin πη dξdη 4 π2 p 18 引入下列参数变量 X1 q， X2 X1 19 则式 17 变为 X2 － γX2 π2c2 π2Q 2 X1－ π4 16 1 r 4 X3 1 16 π2 pcos ωt 20 式中， γ 为无量纲阻尼系数。 3数值计算分析 薄膜系统状态方程式 20 包含无量纲随从力、 长 宽比、 无量纲速度和无量纲外激励力幅值等参数， 应用 4 阶 Runge- Kutta 法进行数值计算， 并对非线性振动特 性进行分析。 3． 1随从力对非线性振动特性的影响 以随从力为控制参量， 当无量纲外激频率 ω 1， 无 量纲阻尼 γ 0． 1， 无量纲速度 c 0． 3， 长宽比 r 2， 无 量纲外激励力幅值 p 0． 4， 初始值为［ 0． 01， 0］ 时， 改变 随从力， 得到分岔图、 时程图、 相图和 Poincare 截面图分 析系统的动力学特性。 位移分岔图如图 2 所示， 初始值为［ 0． 01， 0］ ， 随从 力范围为 0． 01≤Q≤1， 当 0． 04 ＜ Q ＜ 0． 085， 0． 085 ＜ Q ＜0． 105， 0． 105 ＜ Q ＜ 0． 23 和 0． 325 ＜ Q ＜ 0． 575 时， 分岔图对应的是点， 表明该区域内薄膜处于周期运动 状态。当0．01≤Q≤0． 04， Q 0． 085， Q 0． 105， 0．23≤ Q≤0． 325和 0． 575≤Q≤1 时， 分岔图上为一片密集点， 表明该区域薄膜处于混沌运动状态。由此说明薄膜的 随从力越大， 非线性振动现象越明显， 越容易发散失 稳。此外， 系统经历了混沌运动到周期运动的往复交 替过程。 图 2随从力与位移分岔图 ω 1， γ 0． 1， r 2， c 0． 3， p 0． 4， 初始值为［ 0． 01， 0］ Fig． 2 The follower force and displacement bifurcation diagram ω 1， γ 0．1， r 2， c 0．3， p 0．4， the initial value［ 0．01， 0］ 随从力 Q 0． 57 和 Q 0． 58 时的时程图、 相图和 Poincare 截面图， 如图 3 和图 4 所示。 图 3时程图、 相图和 Poincare 截面图 ω 1， γ 0． 1， r 2， c 0． 3， p 0． 4， Q 0． 57 Fig． 3 Time histories，phase- plane portraits and Poincare maps ω 1， γ 0． 1， r 2， c 0． 3， p 0． 4， Q 0． 57 当 Q 0． 57 时， 相轨迹曲线为很多有规则的封闭 图形， Poincare 截面图有少数离散点， 说明系统处于倍 周期运动状态 见图 3 。当 Q 0． 58 时， 相轨迹曲线 是不封闭的曲线， Poincare 截面图有一片密集点， 说明 系统处于混沌运动状态 见图 4 。 712第 10 期邵明月等随从力作用下运动薄膜的非线性强迫振动特性研究 ChaoXing 图 4时程图、 相图和 Poincare 截面图 ω 1， γ 0． 1， r 2， c 0． 3， p 0． 4， Q 0． 58 Fig． 4 Time histories，phase- plane portraits and Poincare maps ω 1， γ 0． 1， r 2， c 0． 3， p 0． 4， Q 0． 58 3． 2初始条件对非线性振动特性的影响 图 5 是无量纲外激频率 ω 1， 无量纲阻尼 γ 0． 1， 无量纲速度 c 0． 3， 长宽比 r 2， 无量纲外激励力 幅值 p 0． 4 和初始值为［ 0． 1， 0． 1］ 时的随从力变化的 全局分岔图， 如图 5 所示。对比图 5 和图 2 可知， 初始 值不同， 系统运动过程有显著差别。由此说明薄膜的 非线性振动对初始条件有敏感依赖性。 图 5随从力与位移分岔图 ω 1， γ 0． 1， r 2， c 0． 3， p 0． 4， 初始值为［ 0． 1， 0． 1］ Fig． 5 The follower force and displacement bifurcation diagram ω 1， γ 0．1， r 2， c 0．3， p 0．4， the initial value［ 0．1， 0．1］ 3． 3长宽比对非线性振动特性的影响 图 6 所示为长宽比与位移分岔图， 无量纲外激频 率 ω 1， 无量纲阻尼 γ 0． 1， 无量纲速度 c 0． 3， 无量 纲外激励力幅值 p 0． 4， 随从力 Q 0． 5， 初始值为 ［ 0． 01， 0］ 时， 长宽比范围为 0． 5≤r ＜0． 59， 1． 145 ＜ r ＜ 1． 578， 1． 7 ＜ r ＜1． 755， 1． 77 ＜ r ＜1． 83， 1． 995 ＜ r ＜2． 02 和 2． 485 ＜ r≤3 时， 分岔图对应的是点， 表明该区域内 薄膜处于周期运动状态。当为 0． 59 ≤ r ≤1． 145， 1． 578≤r≤1． 7， 1． 755≤r≤1． 77， 1． 83≤r≤1． 995 和 2． 02≤r≤2． 485时， 分岔图上为一片密集点， 表明该区 域薄膜处于混沌运动状态。随着长宽比的增大， 薄膜 忽而周期运动忽而混沌运动， 随机地在两者之间跳跃。 图 6长宽比与位移分岔图 ω 1， γ 0． 1， c 0． 3， Q 0． 5， p 0． 4 Fig． 6 The aspect ratio and displacement bifurcation diagram ω 1， γ 0． 1， c 0． 3， Q 0． 5， p 0． 4 4结论 本文应用 Galerkin 方法研究了随从力作用下的运 动薄膜的非线性振动特性。得出如下结论 1薄膜的非线性振动对初始运动条件有敏感依 赖性， 运动条件不同， 导致薄膜的非线性振动特性有显 著差别。 2当随从力为控制参数时， 随从力范围为 0． 04 ＜ Q ＜0． 085， 0． 085 ＜ Q ＜0． 105， 0． 105 ＜ Q ＜ 0． 23 和0． 325 ＜ Q ＜0． 575 时， 薄膜是周期运动的， 此时薄膜 处于稳定工作区域。当 0． 01≤Q≤0． 04， Q 0． 085， Q 0． 105， 0． 23≤Q≤0． 325 和 0． 575≤Q≤1 时， 薄膜 处于混沌运动状态， 此时薄膜发散失稳。 3 当长宽比为控制参数时， 长宽比范围为 0． 5≤ r ＜0． 59， 1． 145 ＜ r ＜1． 578， 1． 7 ＜ r ＜ 1． 755， 1． 77 ＜ r ＜ 1． 83， 1． 995 ＜ r ＜2． 02 和 2． 485 ＜ r≤3 时， 薄膜处于稳 定工作区域。当为 0． 59≤r≤1． 145， 1． 578≤r≤1． 7， 1． 755≤r≤1． 77， 1． 83≤r≤1． 995 和 2． 02≤r≤2． 485 时， 薄膜处于混沌运动状态， 此时薄膜发散失稳。随着 长宽比的增大， 薄膜忽而周期运动忽而混沌运动， 随机 地在两者之间跳跃。 参 考 文 献 ［1］ 杨峰，王忠民，韩玉强． 切向均布随从力作用下的矩形薄 板稳定性分析［ J］ ． 锻压技术， 2012， 37 4 49 －51． YANG Feng，WANG Zhongmin，HAN Yuqiang．Stability analysis on rectangular plate under unily distributed tangentialfollowerforce ［J］ ．Forging＆Stamping Technology， 2012， 37 4 49 －51． ［2］ WANG Y，WANG Z M，ZU L．Stability of viscoelastic rectangular plate with a piezoelectric layer subjected to follower force［J］ ．Archive of Applied Mechanics，2013， 83 4 495 －507． ［3］ ZHOU Y F，WANG Z M． Exact solutions for the stability of viscoelastic rectangular plate subjected to tangential follower 812振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing force［J］ ． Archive of Applied Mechanics，2014，84 7 1081 －1089． ［4］ TORKI M E，KAZEMI M T，REDDY J N，et al． Dynamic stability of functionally graded cantilever cylindrical shells under distributed axial follower forces［J］ ． Journal of Sound ＆ Vibration， 2014， 333 3 801 －817． ［5］ HIGUCHI K，DOWELL E H． Effect of structural damping on flutter of plates with a follower force［J］ ． AIAA Journal， 2015， 30 30 820 －825． ［6］ 李清禄， 栾玮荻，李世荣． 功能梯度材料圆板在随从力作 用下的稳定性［ J］ ． 玻璃钢/复合材料， 2016 10 5 －10． LI Qinglu，LUAN Weidi，LI Shirong． The stability of FGM circular platessubjectedtofollowerforce ［J］ ．Fiber Reinforced Plastics/Composites， 2016 10 5 －10． ［7］ ALIDOOST H， REZAEEPAZHANDJ．Instabilityofa delaminated composite beam subjected to a concentrated follower force［J］ ．Thin- Walled Structures，2017，120 191 －202． ［8］ 赵凤群， 王忠民． 随从力作用下功能梯度矩形板的非线性 振动［ J］ ． 振动与冲击， 2011， 30 3 53 －59． ZHAO Fengqun，WANG Zhongmin． Nonlinear vibration of functionally graded thinck rectangular plates subjected to follower forces［J］ ． Journal of Vibration and Shock，2011， 30 3 53 －59． ［9］ KUMAR A，SINGHA M K，TIWARI V． Nonlinear bending and vibration analyses of quadrilateral composite plates［J］ ． Thin- Walled Structures， 2017， 113 170 －180． ［ 10］ MARYNOWSKI K． Non- linear vibrations of an axially moving viscoelastic web with time- dependent tension［J］ ．Chaos Solitons ＆ Fractals， 2004， 21 481 －490． ［ 11］ MARYNOWSKI K．Non- linearvibrationsoftheaxially moving paper web［J］ ．Journal of Theoretical ＆ Applied Mechanics， 2008， 46 565 －580． ［ 12］ SOARES R M，GONCALVES P B． Nonlinear vibrations and instabilities of a stretched hyperelastic annular membrane ［ J］ ． International Journal of Solids ＆ Structures， 2012， 49 514 －526． ［ 13］ LIU C，ZHENG Z，YANG X．Analytical and numerical studies on the nonlinear dynamic response of orthotropic membranes under impact load［ J］ ． Earthquake Engineering ＆ Engineering Vibration， 2016， 15 657 －672． ［ 14］ LI D，ZHENG Z L，TIAN Y，et al． Stochastic nonlinear vibration and reliability of orthotropic membrane structure under impact load［J］ ． Thin- Walled Structures，2017，119 247 －255． ［ 15］ BANICHUK N，JERONEN J，NEITTAANMKI P，et al． Theoretical study on travelling web dynamics and instability under non- homogeneous tension［J］ ． International Journal of Mechanical Sciences， 2013， 66 132 －140． ［ 16］ 徐芝伦． 弹性力学 下 第四版［ M］ ． 北京 高等教育出 版社， 欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁 2006． 上接第 191 页 ［ 15］ 胡建国， 孙友松，章争荣， 等． 基于 ADAMS 的伺服压力机 三角肘杆式工作机构优化设计［J］ ． 锻压技术，2019， 44 2 126 －131． HU Jianguo，SUN Yousong，ZHANG Zhengrong，et al． Optimized design of triangle toggle working mechanism for servo press based on ADAMS［J］ ．Forging ＆ Stamping Technology， 2019， 44 2 126 －131． ［ 16］ 莫健华， 张正斌，吕言， 等． 三角肘杆式伺服压力机传动 机构的仿真与优化［ J］ ． 锻压装备与制造技术， 2011 1 21 －25． MO Jianhua， ZHANG Zhengbin， L Yan， et al．The simulation and optimization of triangle toggle rod transmission mechanismforservopress ［J］ ．ChinaMetaling Equipment ＆ Manufacturing Technology， 2011 1 21 －25． ［ 17］ 方雅． 三角肘杆式伺服压力机主传动系统［ J］ ． 南方农机， 2017 12 57． FANG Ya． Main drive system of triangle toggle servo press ［ J ］ ．ChinaSouthernAgriculturalMachinery， 2017 12 57． 912第 10 期邵明月等随从力作用下运动薄膜的非线性强迫振动特性研究 ChaoXing