线性结构基于Kanai-Tajimi谱的随机地震动响应分析的新解法_葛新广.pdf

振动与冲击 第 卷第 期 基金项目 国家自然科学基金广西科技大学创新团队支持 计划项目 收稿日期 修改稿收到日期 第一作者 葛新广 男博士生讲师 年生 通信作者 李创第 男博士教授 年生 线性结构基于 谱的随机地震动响应分析的新解法 葛新广 龚景海 李创第 上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院上海 广西科技大学土木建筑学院广西柳州 摘要针对当前分析 谱地震动作用下结构分析比较繁杂的问题提出了计算单自由度结构响应的 简明解法基于 谱的滤波振动方程将地面运动表示成白噪声激励并与结构的运动方程组成非经典阻尼 结构的地震动系统运用复模态方法获得结构相对位移相对速度基于白噪声激励的协方差的解析表达式利用白噪声激 励的谱矩与协方差的简明关系获得单自由线性结构响应的谱矩简明解析表达式基于首超破坏准则和 分布假 定获得结构的动力可靠度通过算例验证了该方法的正确性和简洁性 关键词 谱白噪声激励谱谱矩复模态法动力可靠度 分布假设 中图分类号 文献标志码 随着人造土木结构的不断增加地震对其的破坏 越来越严重由此引起的人员伤亡和财产损失越来越 大地震是各类人造土木结构安全设计的重要因素之 一早已引起工程技术人员的广泛关注 然而大 量的地震动监测表明地震的发生具有时间空间和强 度的随机性于是自世纪年代开始把地震动作 为随机激励成为防震减灾的共识 根据地震动统 计特征与统计的起始时间的关联性将地震动分为平 稳随机型和非平稳随机型且非平稳随机型是在平稳 随机的基础上进行了更接近地震动实际的一种描述 但平稳随机性地震动比较简单且工程上采用演变功 率谱将非平稳激励表示成平稳激励的函数因此平稳 激励是研究随机振动的基础 平稳随机激励主要 有白噪声激励模型 谱地震激励模 型 模型胡聿贤谱等其中 谱地震激励模型具有符合地震动特点和 表达式相对简单的特点而受到广大科研人员的 研究 结构地震动响应的方法主要有频率响应法频域 法和脉冲响应法时域法频率响应法中因结构的 响应与地震激励之间有直接代数关系而受到广泛应 用其中虚拟激励法 和传递函数法 是其典 型代表脉冲响应法是直接获得的结构的时域响应 该法中结构的响应能表达成脉冲函数与地震动激励的 杜哈梅积分形式而利用该方法的前提是地震动激励 要有协方差表达式复模态法是其典型代表 但 由于结构设计时需要知道结构响应的方差故频域法 在获得结构响应方差时需要对响应功率谱进行数值积 分虽然一些基于频域法的快速算法的提出对于复杂 的地震动激励模型或者大型结构的响应分析仍然存在 计算效率低下的问题 基于首次超越破坏准则和 过程假定的结 构动力可靠度分析是目前工程界公认的成熟方 法 其需要计算某一响应的方差其变化率的方 差及其功率谱谱参数上述参数均与结构振动的位 移速度的协方差有关因此计算可靠度的前提必须要 计算结构的响应方差然而目前的方法在计算结构响 应时存在计算量较大的问题 针对基于 随机地震动激励结构响应 计算效率的问题本文利用 地震激励模型 可由基岩为白噪声激励场地土为线性过滤器的原理 即可表示为激励为白噪声的二阶微分振子将其与单 自由度结构的运动方程联合组成非经典阻尼结构的地 震动系统利用复模态法将结构的相对位移相对速度 表示成白噪声激励的一阶微分表达式借助结构响应 的一阶微分表达式与白噪声激励的简明关系获得结 构响应的协方差的简明解析解最后利用一阶微分振 子的协方差与功率谱的简明关系获得结构可靠度分 析的谱矩的简明解析解 基于 的结构地震动方程 谱随机地震动模型其将基岩运动看 做白噪声激励场地土看做是单自由度线性滤波器则 地面运动方程可表示为 式中 分别为地面相对于基岩运动的速度和位 移 为基岩的绝对加速度 分别为基岩以上 场地土的阻尼比和卓越频率岩石激励为白噪声随机 激励其均值为零其协方差 式中 为地震动强度常数 为 函数 单自由度结构其质量刚度阻尼分别为 如图所示在 谱地震动作用下的运动方 程 式中 分别为结构相对于地面的加速度速 度和位移 为地面相的绝对加速度可表示为 式中 为地面相对于基岩运动的加速度 由式及式则场地的绝对加速度可表示为 式可简化为 式中结构自振圆频率 结构阻尼比 联立式式及式其矩阵形式 其中 [] [] [] [] { } 则式将结构基于 谱地震动转 化为白噪声的地震动由式可知式表示的 振动体系为非经典结构本文利用复模态法对其进 行解耦 图结构计算简图 结构响应的杜哈梅积分统一表达式 引入状态变量 式改写为 其中 [] [] [ ] 根据复模态法理论式存在左右特性向量 第期葛新广等线性结构基于 谱的随机地震动响应分析的新解法 和特征值矩阵使之解耦特征值矩阵为对角 阵其共个分量并满足两两复共轭即 式中 为参数的复共轭 为的分 量 的实部为负数 特征值可由式的特征值方程获得 式中为行列式 左右特征向量则由式的特征向量方程获得 式中 为向量的转置对于任意特征值 所对应 的特征向量的分量存在两两复共轭的特点 式中 为第行的第列分量 为第 行的 第列分量且存在关系式 利用复模态变换 式中 为复模态广义参数 把式代入式 左特征向量 左乘式 式改写为 由式式简化为 式中 的实部为负数 由于为对角阵则式具有分量形式 式中 分别为 的分量由式式可 知 分量为两两复共轭 由式式及式结构的位移和速度 可表示为 式中 为右特征向量矩阵的第行向量结构响应的 强度系数 则由式式式及复数运算法则可 知存在 结构响应的协方差及谱矩分析 为简化行文规范比较式式结构的相 对位移相对速度可统一表示为 式中结构的响应分量为 式中 为响应的荷载强度系数对于结构相对地面 运动的位移强度系数 结构相对地面运动的 速度强度系数 为方便后文推导取式的等价形式为 由式结构响应的协方差为 由式则结构响应分量的协方差为 根据基岩运动白噪声激励的特点把式代入式 利用 的函数性质式化为一重积分 对式积分 由式及式单自由结构基于 随机激励下的响应为 振 动 与 冲 击年第卷 令 则结构响应的协方差变为 由式结构响应的协方差化为结构振动特征 值指数函数的线性组合当 时结构响应的协方 差即为结构响应的均方差 有 关系结构响应的单边功率谱 式中 为结构响应的单边功率谱 把式代入式 对式进行积分 由谱矩的定义谱矩 可表示为 由式式平稳激励下的位移响应 的 谱矩 与其协方差的关系 把式代入式则结构位移的阶谱矩为 根据方同的研究可知 而实际上结构的 则谱矩 可表示为 由式式式可知结构可靠度分析 的三阶谱矩均有解析解且表达式简洁明了与林家 浩徐瑞等李创第等所提方法相比本文方法不需要 积分计算效率有极大的提高 动力可靠度的分析 基于首次超越破坏准则及 超越分布规则 的动力可靠度分析是目前线性结构可靠度计算的最重 要方法对于平稳高斯激励下的线性结构响应仍为 高斯分布 提出了能计算结构可靠度的方法 针对双侧不同超越界限的动力可靠度其计算式为 槡      { 槡 } 式中 为第年的下限和上限界限值均 为正数按照缓变量方法进行计算 为一次动荷载的 激励时间 分别为结构某响应的方差和响应 变化率的方差它们均是动力方程中结构相对位移响 应 相对速度响应 的确定性函数 为谱参数其计 算为 槡 式中 分别按式式式 计算 算例 建立在度区二类场地上中等坚硬土的单层结 构其层高 质量为 抗侧刚度 为 结构的自振频率 为 阻尼比为 地震动采用 谱中等坚硬 土场地地震动的阻尼比 卓越频率为 基 岩上的白噪声谱强度因子为 为验证 本文方法的正确性和简洁性为此进行了如下分析 结构振动特征的分析 按照本文方法利用 获得其复特性及其对应 的实特征如表所示 表中第列为文中式的值第列 为求的模值第列为 为求 的实部的绝对值通过与结构和场地的自振动特征比 较本文方法的个模态的等效频率和等效阻尼分别 与结构与场地的自振圆频率和阻尼比相等因此本 文方法仅从数学应用的角度对振动问题开展简化处 理不会改变振动系统的特征特征也从侧面验证了本 文方法的正确性 第期葛新广等线性结构基于 谱的随机地震动响应分析的新解法 表结构振动特征值 振动特征值 复特征值等效频率等效阻尼 响应强度系数 第 共轭复模态 第 共轭复模态 表中第列第列分别为式中结构 的各种响应的强度系数第列和第列中为结构 的位移和速度强度参数则两个模态均对其有影响第 列和第列为场地相对于岩层的位移和速度的 强度参数仅第共轭复模态有影响而第共轭复模 态对应的振动特征值为场地土的特征值而结构振动 特征值对其无影响这是符合文中式所描述的振动 力学行为因此从强度系数可知验证了本文方法的 正确性 功率谱对比分析 传统方法中基于 谱的单自由度结构 相对地面位移的功率谱其表达式为 而本文方法获得基于 谱的单自由度相对 于地面运动的位移功率谱由式及式可知 地面加速度功率谱对比分析如图所示从图 可知本文方法与传统方法完全吻合但式太过 复杂本文方法的功率谱比较简洁 计算效率分析 传统方法有林家浩提出的虚拟激励法和方同教授 提出的时域法其中虚拟激励法在计算功率谱时有简 明的关系为此本文仅与虚拟激励法比较 根据虚拟激励法结构响应及 阶谱矩时的计 算为 上述响应值采用数值方法在区间求解 是无法实现的根据图可知随着频率的增大功 率谱越来越小为此对式 式进行积分积 分区间为 积分间距分别为 频率积分 间距为 频率积分间距为 频 率积分间距为 图功率谱对比图 对比分析本文方法和虚拟激励法的计算效率及精 度如表所示 表计算效率及精度对比 响应计算 计算时间 虚拟激励的响应与本文方法误差 本文方法 从表可知随着频率积分间距的变小本文方 法与虚拟激励的误差越来越小也侧面说明本文方 法的 精 确 性 和 正 确 性本 文 方 法 的 计 算 时 间 为 虚拟激励法则随着积分区间的减小计算 时间成本增加由于本文为解析表达式说明本文的 效率是最高的 振 动 与 冲 击年第卷 可靠度计算 设定结构的层间位移为 为层高 按上下界限均取 动荷载的激励时间为 可靠度分析的基本参数见表 根据式本算例中的 说明式成立 的计算是正确的可靠度计算参 数如表所示 表可靠度计算参数表 结论 本文针对传统方法计算基于 谱激励 下结构响应和动力可靠度方法比较复杂的情况提出 了新方法结论如下 将 谱的滤波方程与结构运动方 程联合成以白噪声为激励的运动方程组该方程组为 非经典振动问题采用复模态方法将结构的响应分析 化为基于白噪声激励下的响应和可靠度计算利用白 噪声激励的特点获得结构响应的简明解析解 传统的土木结构均为欠阻尼结构实模态响 应由三角函数与指数函数乘积联合表述因此表达式 复杂而其复模态法响应仅用指数函数表示在各类运 算中具有方便的特点 本文将滤波方程与结构振动方程联立后进行 求解仅是将复杂的激励模型转化为白噪声激励分析 表示结构的振动特性对于地面加速度的响应无影响 说明了本文方法仅为一种数学方法其他类型的平稳 地震动激励模型也可按此法进行简化分析 本文将结构响应的功率谱表达成结构振动特 征对应的功率谱的线性组合获得的结构阶谱的解 析表达式且非常简明 本文方法对多自由度结构的地震动分析同样 适用且简洁明了 参 考 文 献 胡聿贤地震工程学第版北京地震出版 社 周锡元吴育才工程抗震的新发展北京清华大 学出版社 方同张天舒演变随机激励下线性结构的非平稳响应 特性 振动工程学报 何军非平稳随机激励下系统首次穿越概率的近似解法 应用数学和力学