基于区间摄动和双层模糊聚类的模态参数自动识别_秦仙蓉.pdf

􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈 􀪈 振 动 与 冲 击 第 ３９ 卷第 ２３ 期ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫＶｏｌ． ３９ Ｎｏ．２３ ２０２０ 基金项目 上海市科委项目（１５ＤＺ１１６１２０３） 收稿日期 ２０１９ －０６ －１９ 修改稿收到日期 ２０１９ －０９ －２３ 第一作者 秦仙蓉 女，博士，教授，博士生导师，１９７３ 年生 通信作者 刘嘉辉 女，博士生，１９９２ 年生 Ｅ⁃ｍａｉｌｌｉｕｊｉａｈｕｉ００１１＠１６３． ｃｏｍ 基于区间摄动和双层模糊聚类的模态参数自动识别 秦仙蓉， 刘嘉辉， 余传强， 王玉龙， 张 氢， 孙远韬 （同济大学 机械与能源工程学院，上海 ２０１８０４） 摘 要传统的随机子空间参数识别方法难以确定合理的系统阶次，参数识别结果易受到环境噪声的干扰。 稳定 图方法在识别结构参数时依赖于主观判断，不能自动识别。 针对以上问题，提出区间摄动和双层模糊聚类算法对基于随 机子空间识别得到的模态参数进行自适应辨别。 以高阶系统识别的固有频率为中心频率进行 ２％ 的摄动，并将该摄动 区间内识别所得的各阶频率作为同一阶频率，结合稳定图法对固有频率进行自动识别；采用双层模糊聚类算法对识别离 散性较大的阻尼比进行聚类，结合稳定图法自动识别阻尼比。 基于岸桥监测数据的工程实例模态参数识别结果表明，该 方法能够有效剔除虚假模态，提高参数识别效率，固有频率和阻尼比的自动识别效果较好。 关键词 随机子空间法；稳定图；区间摄动；模糊聚类；参数识别 中图分类号 ＴＨ２１５ 文献标志码 ＡＤＯＩ１０． １３４６５／ ｊ． ｃｎｋｉ． ｊｖｓ． ２０２０． ２３． ０１８ Ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｏｕｂｌｅ⁃ｌａｙｅｒ ｆｕｚｚｙ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ＱＩＮ Ｘｉａｎｒｏｎｇ， ＬＩＵ Ｊｉａｈｕｉ， ＹＵ Ｃｈｕａｎｑｉａｎｇ， ＷＡＮＧ Ｙｕｌｏｎｇ， ＺＨＡＮＧ Ｑｉｎｇ， ＳＵＮ Ｙｕａｎｔａｏ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０１８０４， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｅ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｔｈｅ ｒｅａｓｏｎａｂｌｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ａｒｅ ｅａｓｙ ｔｏ ｂｅ ｄｉｓｔｕｒｂｅｄ ｂｙ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ｎｏｉｓｅ． Ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｄｉａｇｒａｍ ｍｅｔｈｏｄ ｒｅｌｙｉｎｇ ｏｎ ｓｕｂｊｅｃｔｉｖｅ ｊｕｄｇｍｅｎｔ ｃａｎ ｎｏｔ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ．Ｈｅｒｅ， ａｉｍｉｎｇ ａｔ ａｂｏｖｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ｉｎｔｅｒｖａｌ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ａｎｄ ｄｏｕｂｌｅ⁃ｌａｙｅｒ ｆｕｚｚｙ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｅｒｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｏ ｉｄｅｎｔｉｆｙ ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ． Ａ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ ｏｆ ａ ｈｉｇｈ⁃ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｔａｋｅｎ ａｓ ｔｈｅ ｃｅｎｔｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｔｏ ｄｏ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｂｙ ２％， ａｎｄ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｉｓ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｗｅｒｅ ｒｅｇａｒｄｅｄ ａｓ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｏｒｄｅｒ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ． Ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ｗｅｒｅ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ ｂｙ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｄｉａｇｒａｍ ｍｅｔｈｏｄ． Ｔｈｅ ｄｏｕｂｌｅ⁃ｌａｙｅｒ ｆｕｚｚｙ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｃｌｕｓｔｅｒ ｄａｍｐｉｎｇ ｒａｔｉｏｓ ｗｉｔｈ ｌａｒｇｅｒ ｄｉｓｃｒｅｔｅｎｅｓｓ， ａｎｄ ｄａｍｐｉｎｇ ｒａｔｉｏｓ ｗｅｒｅ ａｕｔｏｍａｔｉｃａｌｌｙ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ ｂｙ ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｄｉａｇｒａｍ ｍｅｔｈｏｄ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ ｄａｔａ ｏｆ ｑｕａｙ ｃｒａｎｅ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｅｌｉｍｉｎａｔｅ ｆａｌｓｅ ｍｏｄｅｓ， ｉｍｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ， ａｎｄ ａｃｈｉｅｖｅ ｂｅｔｔｅｒ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｎａｔｕｒａｌ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ａｎｄ ｄａｍｐｉｎｇ ｒａｔｉｏｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｓｕｂｓｐａｃｅｍｅｔｈｏｄ；ｓｔａｂｉｌｉｔｙｄｉａｇｒａｍ；ｉｎｔｅｒｖａｌｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎ；ｆｕｚｚｙｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ； ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ 振动模态参数识别在建筑、桥梁、航空航天、大型 港口机械、高速列车等结构动态监测与分析领域应用 广泛，是结构产品从动态设计到生产维护过程中不可 或缺的技术［１］。 模态参数的识别方法主要分为三大 类，时域法，频域法和时频域方法。 时域方法主要包括 ＥＲＡ 法、随机减量法、ＡＲＭＡ 时序分析法、最小二乘复 指数法、ＮｅＸＴ 法以及随机子空间方法；频域方法主要 包括峰值拾取法、频域分解法、正交多项式拟合法和多 参照最小二乘复频域法等；时频域方法包括希尔伯特⁃ 黄变换方法和小波变换方法等［２］。 目前，结构模态参数识别最常用的方法是随机子 空间方法。 肖祥等［３］提出基于数据驱动的应变模态参 数随机子空间识别方法，在噪声下较好地识别出对结 构局部损伤很敏感的曲率模态振型。 李扬等［４］将随机 子空间方法与经验模态分解方法相结合，识别单测点 紊流激励响应信号的模态参数，紊流激励的仿真分析 与风洞试验分析表明该方法的识别结果具有较高的准 确性。 Ｘｉｅ 等［５］采用拉格朗日方法建立系统的耦合动 力学方程，从而得到系统的随机状态空间模型，并采用 协方差驱动的随机子空间辨识算法对航天器模态参数 进行辨识，通过数值模拟表明该方法的有效性。 Ｃａｒｄｅｎ 等［６］将协方差驱动的随机子空间识别方法应用于桥梁 结构模态参数的识别，结合模糊聚类算法从中提取反 映桥梁状态的模态参数。 尽管随机子空间方法可以有 效地识别出系统的模态参数，但是难以确定系统阶次， 并且识别结果易受环境干扰而产生虚假模态。 稳定图 法能够发现虚假模态、有效地确定系统阶次，对时域识 别方法起到了强有力的辅助作用［７］。 樊江玲等［８］对传 统时域方法中的随机子空间方法的稳定图进行改进， 引入可表征各阶估计模态贡献量大小的分量能量指标 （ＣＥＩ） 来判断模态特征稳定性，剔除虚假特征。 Ｑｉｎ 等［９］提出了一种改进的随机子空间辨识稳定图，利用 输出协方差矩阵的非零奇异值计算奇异熵增量，根据 奇异熵增量变化选择相应的模型阶数，建立了具有置 信区间的稳定图。 然而稳定图在识别模态参数时多为 主观判断，需要人为选择，并不能自动识别。 本文提出摄动法和双层模糊聚类方法对基于随机 子空间稳定图法识别得到的固有频率和阻尼比进行自 动辨别，通过岸桥不同工况下监测数据的模态参数自 适应识别结果，验证了该方法的有效性。 １ 随机子空间法及其稳定图 随 机 子 空 间 方 法（ ＳｔｏｃｈａｓｔｉｃＳｕｂｓｐａｃｅ Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ，ＳＳＩ）是环境激励下主要的时域模态参数 识别方法之一。 随机子空间法不需要人为激励，可以 直接从环境激励的响应信号中获取结构的模态参数。 系统的振动方程可以描述为 Ｍｙ （ｔ） ＋ Ｃｙ（ｔ） ＋ Ｋｙ（ｔ） ＝ ｆ（ｔ） （１） 式中Ｍ、Ｃ、Ｋ 分别是质量、阻尼和刚度矩阵，ｙ（ｔ）是位 移列阵，ｆ（ｔ）是载荷列阵。 用状态空间法对其进行描述为 ｘ（ｔ） ＝ Ａｘ（ｔ） ＋ Ｂｕ（ｔ） ｙ（ｔ） ＝ Ｃｘ（ｔ） ＋ Ｄｕ（ｔ） { （２） 式中Ａ 为状态矩阵；Ｂ 为输入矩阵；Ｃ 为输出矩阵；Ｄ 为直接传输矩阵，ｘ（ｔ）为状态向量；ｕ（ｔ）为输入向量。 上述状态空间方程是连续的，而实际工程应用中 的数据在时间上都是离散的，同时必须考虑随机因素⁃ 外界环境激励的干扰。 因此将上述状态空间方程离散 化并考虑随机因素就得到了离散化状态空间模型［１０］ ｘ（ｋ ＋ １） ＝ Ａｘ（ｋ） ＋ Ｂｕ（ｋ） ＋ ωｋ ｙ（ｋ） ＝ Ｃｘ（ｋ） ＋ Ｄｕ（ｋ） ＋ ｖｋ { （３） 式中ｘ（ｋ） ＝ ｘ（ｋΔｔ）为离散时间 ｋ 时刻的状态向量； ωｋ是由于环境激励和建模不精确而引起的过程噪声； ｖｋ是由于传感器不精确或环境对传感器的影响而引起 的测量噪声。 这里均假设为零均值的白噪声序列。 随机子空间的稳定图参数识别方法主要是通过求 解状态矩阵 Ａ 的特征值问题获得系统的模态参数，并 结合稳定图方法确定频率阶次，识别系统的固有频率。 ２ 模糊 Ｃ⁃均值聚类方法 模糊聚类算法是基于模糊数学的方法，能够根据 客观事物之间的特征、亲疏程度及相似性建立模糊相 似关系从而对客观事物进行分类［１１］。 最常用的聚类算 法为模糊 Ｃ⁃均值算法（Ｆｕｚｚｙ Ｃ⁃Ｍｅａｎｓ，ＦＣＭ），其数学描 述如下 设 Ｘ ＝ ｛ｘ１，ｘ２，，ｘｎ｝是一个有限长度的数据集， Ｘ∈Ｒｎ，则 ＦＣＭ 的目标函数定义为 Ｆ（Ｕ，Ｖ） ＝∑ ｎ ｉ ＝１ ∑ ｃ ｊ ＝１ ｕｍ ｉｊ ｘｉ－ ｖｊ ２ （４） 式中ｍ 为模糊指数，ｍ ＞１。 ｃ 为聚类数，ｖｊ表示第 ｊ 个 聚类中心，ｕｉｊ表示第 ｉ 个样本数据 ｘｉ对第 ｊ 个聚类中心 的隶属度，ｕｉｊ∈［０，１］，ｉ ＝１，，ｎ；ｊ ＝ １，２，，ｃ。 由 ｕｉｊ 构成的隶属度矩阵为 Ｕ ＝ （ｕｉｊ）ｎ ｃ。 隶属度表示为 ｕｉｊ＝∑ ｃ ｌ ＝１ ｘｉ－ ｖｊ －２（ｍ－１） ｘｉ－ ｖｌ －２（ｍ－１） （５） 聚类中心表示为 ｖｊ＝ ∑ ｎ ｉ ＝１ （ｕｉｊ） ｍｘ ｉ ∑ ｎ ｉ ＝１ （ｕｉｊ） ｍ （６） ＦＣＭ 聚类算法的基本步骤如下 步骤 １ 初始化参数。 设置聚类数量 ｃ，模糊指数 ｍ，迭代终止阈值 ε，最大迭代次数 Ｔ； 步骤 ２ 令迭代次数 ｋ ＝ １，随机初始化聚类中 心 Ｖ（ｋ）； 步骤 ３ 根据式（５）计算隶属度矩阵 Ｕ（ｋ），其中 ｋ 为迭代次数； 步骤 ４ 根据式（６） 计算下一次迭代的聚类中 心 Ｖ（ｋ ＋１）； 步骤 ５ 当 Ｕ（ｋ）－ Ｕ（ｋ －１）＜ ε 或迭代次数 ｋ ＞ Ｔ 时，则迭代结束；否则，令 ｋ ＝ ｋ ＋１ 并返回步骤 ３。 ３ 模态参数的自动识别 ３． １ 基于双层模糊聚类的阻尼比自动识别 传统 ＦＣＭ 聚类算法每次迭代只对原始数据进行 一次聚类。 与传统的模糊聚类算法不同，双层模糊聚 类算法每次迭代过程中都对数据进行两层的聚类，能 ３２１第 ２３ 期秦仙蓉等 基于区间摄动和双层模糊聚类的模态参数自动识别 够达到更优的聚类结果。 由于阻尼比离散性较大，据 此本文提出双层模糊聚类方法对阻尼比进行自动识 别。 改进的 ＦＣＭ 模糊聚类算法的详细步骤如下［１２］ 步骤 １ 初始化参数。 设置聚类数量 ｃ，终止阈值 ε，最大迭代次数 Ｔ，聚类偏差值 ｓ。 利用式（５）和式（６） 计算初始隶属度矩阵 Ｕ０和聚类中心 Ｖ０； 步骤 ２ 根据式（７）更新聚类中心 Ｖ（ｋ） ｖ（ｋ） ｊ ＝ ∑ ｎ ｊ ＝１ （ｕ（ｋ－１） ｉｊ ） ｍｘ ｉ ∑ ｎ ｊ ＝１ （ｕ（ｋ－１） ｉｊ ） ｍ （７） 式中ｋ 为迭代次数。 步骤 ３ 计算样本点与聚类中心横坐标的偏差值， 并与聚类偏差值 ｓ 进行比较，若大于聚类偏差值 ｓ，则认 为样本不属于该类，以此作为第一层聚类； 步骤 ４ 根据式（８）计算样本点距离聚类中心的 聚类 ｄ２ ｉｊ进行第二层聚类，ｋ 为迭代次数 ｄ２ ｉｊ ＝ ｘｉ－ ｖｊ ２ ＝ （ｘｉ－ ｖ（ｋ） ｊ ） Ｔ（ｘ ｉ － ｖ（ｋ） ｊ ）（８） 步骤 ５ 根据式（５）更新隶属度矩阵 Ｕ（ｋ）； 步骤 ６ 重复步骤 ２，３，４ 和 ５，当满足终止条件 Ｕ（ｋ）－ Ｕ（ｋ －１）＜ ε 或迭代次数 ｋ ＞ Ｔ 即停止迭代。 ３． ２ ｚ⁃ｓｃｏｒｅ 标准化 为了使得双层模糊聚类方法达到更好的聚类效 果，常常需要将数据无量纲处理，消除量纲对数据的影 响，即将数据标准化。 ｚ⁃ｓｃｏｒｅ 标准化方法也叫标准差 标准化方法，是数据标准化常用方法之一。 它是基于 原始数据的均值和标准差进行数据的标准化。 经过处 理的数据符合标准正态分布，即均值为 ０，标准差为 １， 其转化函数为［１３］ ｘ′ ＝ ｘ － μ σ （９） 式中ｘ 为原始样本数据，μ 为样本数据的均值，σ 为所 有样本数据的标准差，ｘ′为经 ｚ⁃ｓｃｏｒｅ 标准化后的样本 数据。 ３． ３ 基于区间摄动的随机子空间稳定图的固有频率 自动识别 在实际工程应用中，ＳＳＩ 方法可以有效地识别出系 统的固有频率、阻尼比以及振型信息，传统的稳定图通 常以系统的固有频率为横坐标，预设的系统阶次为纵 坐标。 如果系统受到环境噪声干扰较为严重时可能无 法明显得到纵向稳定轴，因此对虚假模态的判别便会 出现一定的误差。 利用区间分析，以高阶系统识别得到的固有频率 为基准，对其进行一定的区间摄动，选择合理的摄动 量，根据摄动量设定区间摄动的阈值，并将该区间内识 别得到的固有频率作为同一阶频率，统计区间内识别 得到的固有频率个数，数量低于设定的阈值则该频率 为虚假频率予以剔除，从而自动识别固有频率，提高识 别准确度。 ４ 实机监测的岸桥模态参数识别 本文以上海某深水港集装箱码头的某一岸桥为监 测对象，如图 １ 所示。 岸桥额定起重质量为 ５５ ｔ，小车 额定速度为 ４ ｍ／ ｓ。 工作时小车与吊重及货物以约为 ３． ５ ｍ／ ｓ 的平均速度在大梁上移动；非工作时小车停靠 在泊车位，即图 １ 所示位置。 图 １ 上海某深水港码头某岸桥 Ｆｉｇ． １ Ｔｈｅ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｏｆ Ｄｅｅｐｗａｔｅｒ Ｐｏｒｔ ｉｎ Ｓｈａｎｇｈａｉ 采用防水型磁电式速度传感器采集结构响应，采 样频率为 ２００ Ｈｚ。 岸桥传感器布置如图 ２ 所示。 由图 ２ 可知，岸桥 ６ 个速度传感器的布置位置依次为梯形 架顶部（Ａ）、后大梁陆侧端点（Ｂ）和（Ｃ）、中大梁中点 （Ｅ）、陆侧上横梁端点（Ｄ）以及海侧上横梁端点（Ｆ）。 Ｘ 方向定义为小车运行方向，陆侧指向海侧为正方向； Ｙ 方向定义为竖直方向，竖直向上为正方向；Ｚ 方向定 义为大车行走方向。 图 ２ 岸桥传感器布置简图 Ｆｉｇ． ２ Ｔｈｅ ｌａｙｏｕｔ ｏｆ ｓｅｎｓｏｒｓ ｆｏｒ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ４． １ 基于随机子空间的岸桥模态参数识别 选择岸桥同测点同方向的工作状态和非工作状态 ４２１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 两种工况的监测数据，采样时间为 ５０ ｓ，截取数据长度 为 １０ ０００。 采用 ＳＳＩ 方法进行岸桥模态参数识别，将频 率与系统阶次绘制于同一幅图中构成系统的稳定图。 图 ３ 是两种工况下岸桥监测数据进行参数识别得到的 岸桥系统稳定图。 在基于 ＳＳＩ 识别得到的模态参数基 础上以固有频率为横坐标，以识别得到的阻尼比为纵 坐标绘制于一幅图中得到岸桥频率和阻尼比的识别 图，如图 ４ 所示。 （ａ） 非工作状态岸桥稳定图 （ｂ） 工作状态岸桥稳定图 图 ３ 基于 ＳＳＩ 法岸桥频率稳定图 Ｆｉｇ． ３ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＳＳＩ ｍｅｔｈｏｄ （ａ） 非工作状态岸桥识别频率⁃阻尼比 （ｂ） 工作状态岸桥识别频率⁃阻尼比 图 ４ 基于 ＳＳＩ 法岸桥识别频率⁃阻尼比 Ｆｉｇ． ４ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ⁃ｄａｍｐｉｎｇ ｒａｔｉｏ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＳＳＩ ｍｅｔｈｏｄ 由图 ３（ａ）和（ｂ）可以看出，两种状态下 ０． ２ ～０． ４ Ｈｚ，０． ４ ～０． ６ Ｈｚ，０． ６ ～０． ８ Ｈｚ，０． ８ ～１． ０ Ｈｚ，１． ２ ～１． ４ Ｈｚ 之间均有明显的六条纵向稳定轴，该六条纵向稳定 轴和其他频率处识别得到的频率相比较其离散程度 小，但如何判断该六条稳定轴所对应的频率是否都是 岸桥的实际固有频率较为困难。 由图 ３（ａ）可知，当岸 桥处于非工作状态时，频率 ｆ ＝０． ６５ Ｈｚ 处对应的频率 稳定轴比较稀疏，出现了间断的情况。 因此判断频率 ｆ ＝０． ６５ Ｈｚ 为环境噪声导致的虚假模态。 根据图 ３ 和图 ４ 可以看出，两种状态下岸桥频率 和阻尼比识别结果都离散地分布在一定的区间内，其 中频率的离散程度非常小，阻尼比的离散程度较频率 略大。 ４． ２ 基于区间摄动的岸桥固有频率自动识别 ４． １ 小节中采用传统随机子空间稳定图法虽然能 够有效识别岸桥固有频率，但是其中包含虚假模态，且 系统频率阶次需要人为选择。 采用 ３． ３ 小节提出的区 间摄动对基于 ＳＳＩ 识别的岸桥两种工况下的固有频率 进行自动辨别。 根据岸桥模态参数识别结果选择 ２％ 的摄动量，设定区间摄动的阈值为 ２％，即以高阶系 统识别的固有频率为中心频率进行 ２％ 的摄动，并与 ４． １ 小节传统方法对比，岸桥的固有频率自动识别结 果，如图 ５ 和图 ６ 所示。 图 ５ 非工作状态岸桥 ＳＳＩ 频率自动辨别稳定图 Ｆｉｇ． ５ Ａｄａｐｔｉｖｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｄｉａｇｒａｍｏｆ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｂｙ ＳＳＩ ｉｎ ｕｎ⁃ｗｏｒｋｉｎｇ ｓｔａｔｅ ５２１第 ２３ 期秦仙蓉等 基于区间摄动和双层模糊聚类的模态参数自动识别 图 ６ 工作状态岸桥 ＳＳＩ 频率自动辨别稳定图 Ｆｉｇ． ６ Ａｄａｐｔｉｖｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｓｔａｂｉｌｉｔｙｄｉａｇｒａｍｏｆ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｂｙ ＳＳＩ ｉｎ ｗｏｒｋｉｎｇ ｓｔａｔｅ 由图 ５ 和图 ６ 可以看出，环境噪声导致的部分虚 假模态被有效剔除，根据实际结果对自动辨别的频率 进行筛选，可以得到岸桥 ２ Ｈｚ 以内两种状态下的多阶 固有频率，且自适应识别得到的岸桥不同工作状态下 的固有频率均较为明显。 通过图 ３（ａ）和图 ５ 以及图 ３ （ｂ）和图 ６ 的对比可知，岸桥固有频率更容易识别与选 取，识别效率有所提高。 ４． ３ 基于双层模糊聚类的岸桥阻尼比自动识别 由 ４． １ 小节图 ４ 可以看出，系统的频率及阻尼比 都离散的分布在一定的区间内，其中频率的离散程度 较小，而阻尼比的离散程度较大。 因此，为了能够较好 的对上述结果进行聚类，需要将数据标准化。 采用 ３． ２ 小节提出的 ｚ⁃ｓｃｏｒｅ 标准化方法对阻尼比进行归一化处 理，同时考虑到频率与阻尼比的量纲差距，也采用 ｚ⁃ ｓｃｏｒｅ 标准化方法对频率进行无量纲处理，消除量纲的 影响。 双层模糊聚类算法得到两种状态的聚类结果， 如图 ７ 所示。 （ａ） 非工作状态聚类图 （ｂ） 工作状态聚类图 图 ７ 岸桥频率⁃阻尼比聚类稳定图 Ｆｉｇ． ７ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ⁃ｄａｍｐｉｎｇ ｒａｔｉｏ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ｆｏｒ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ 由图 ７（ａ）和（ｂ）阻尼比的聚类结果可以发现，岸 桥两种状态下识别的阻尼比都能得到较好的聚类，并 且结合对阻尼比的聚类可以方便地对频率识别结果进 行取舍，使系统的模态参数识别变得更加容易。 将两 种状态下的频率与阻尼比的识别结果分别绘于同一幅 稳定图，如图 ８ 所示。 （ａ） 非工作状态岸桥频率和阻尼比自动识别 （ｂ） 工作状态岸桥频率和阻尼比自动识别 图 ８ 岸桥模态参数自动识别 Ｆｉｇ． ８ Ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ 由图 ８ 可以看出，岸桥两种状态下的固有频率和 阻尼比识别结果相较于图 ７ 更加直观，从稳定图中更 容易看出岸桥两种状下的固有频率和阻尼比识别结 果，其识别结果统计如表 １ 所示。 由表 １ 可知，自动识 别的岸桥非工作状态的前五阶频率分别为 ０． ３７ Ｈｚ、 ０． ５６ Ｈｚ、０． ８３ Ｈｚ、０． ９９ Ｈｚ 和 １． ６１ Ｈｚ，阻尼比分别为 １．８２％，１． １９％，１． ２８％，２． ８２％，１． ４０％。 自动识别的 岸桥工作状态的前五阶频率分别为 ０． ３６ Ｈｚ、０． ５１ Ｈｚ、 ０． ８２ Ｈｚ、０． ９６ Ｈｚ 和 １． ２３ Ｈｚ，阻尼比分别为 ２． １１％， １． ４１％，１． ２５％，２． ５８％，０． ５１％。 ６２１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 表 １ 两种工作状态下岸桥模态参数识别结果 Ｔａｂ． １ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｉｎ ｔｗｏ ｗｏｒｋｉｎｇ ｓｔａｔｅ 模态阶次 非工作状态工作状态 阻尼比／ ％频率／ Ｈｚ阻尼比／ ％频率／ Ｈｚ 振型描述 １１． ８２０． ３７２． １１０． ３６门腿在 Ｚ 方向的一阶摆动 ２１． １９０． ５６２． ４１０． ５１前大梁在 ＸＺ 平面的一阶摆动 ３１． ２８０． ８３１． ２５０． ８２整个岸桥在 Ｘ 方向的摆动 ４２． ８２０． ９９２． ５８０． ９６整个梁在 ＸＺ 平面的一阶摆动 ５１． ４０１． ６１０． ５１１． ２３整个大梁在 Ｙ 方向的上仰 岸桥监测数据自动识别出的工作状态下２ Ｈｚ 以内 的前五阶阻尼比与传统随机子空间稳定图识别的阻尼 比对比结果，如表 ２ 所示。 根据表 ２ 统计结果可知，传 统的随机子空间稳定图识别所得阻尼比的标准差最大 为０． ４３７，自动识别所得阻尼比的标准差最大为０． ３０３， 且自动识别法所得的各阶阻尼比的标准差和相对标准 偏差较传统随机子空间法均有所降低，这表明工作状 态下岸桥阻尼比的自动识别法可以有效减小阻尼比识 别结果的离散程度，改善了识别精度，自动识别结果更 为理想。 表 ２ 工作状态下岸桥阻尼比识别结果对比 Ｔａｂ． ２ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｄａｍｐｉｎｇ ｒａｔｉｏ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ ｆｏｒ ｑｕａｙｓｉｄｅ ｃｏｎｔａｉｎｅｒ ｃｒａｎｅ ｉｎ ｗｏｒｋｉｎｇ ｓｔａｔｅ 模态阶次 随机子空间稳定图识别区间摄动和双层模糊聚类自动识别 阻尼比／ ％阻尼比／ ％ 均值标准差相对标准偏差／ ％均值标准差相对标准偏差／ ％ １１． ９２０． ４０３２１． ０２． １１０． ３０３１４． ４ ２２． ４２０． ３１７１３． １２． ４１０． ２８０１１． ６ ３１． ７４０． ３１２１７． ９１． ２５０． １５６１２． ５ ４２． ５８０． ４３７１６． ９２． ５８０． ３１２１２． １ ５０． ４９０． １５３３１． ２０． ５１０． １３２２５． ９ ５ 结 论 本文提出了区间摄动和双层模糊聚类的模态参数 自动识别方法，并通过岸桥实机监测数据对其固有频 率和阻尼比进行自动识别。 （１） 采用区间摄动对基于随机子空间识别的岸桥 固有频率进行自动辨别，通过赋予最高阶次频率 ２％ 的摄动量对频率的稳定图进行处理，减少因环境噪声 干扰导致的虚假模态，提高频率识别的效率。 （２） 将双层模糊聚类法与阻尼比的稳定图进行结 合，可以有效的对阻尼比进行自动识别，减少阻尼比离 散程度，提高阻尼比识别的精度以及稳定性，解决了阻 尼比自动识别的难题。 参 考 文 献 ［ １］ 夏遵平， 王彤． 计及噪声激励的模态参数识别方法［Ｊ］． 振动工程学报， ２０１８，３１（３）３７４⁃３８１． ＸＩＡ Ｚｕｎｐｉｎｇ， ＷＡＮＧ Ｔｏｎｇ． Ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｎｏｉｓｅ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２０１８， ３１（３） ３７４⁃３８１． ［ ２］ 刘宇飞，辛克贵，樊健生，等． 环境激励下结构模态参数识 别方法综述［Ｊ］． 工程力学，２０１４，３１（４）４６⁃５３． ＬＩＵ Ｙｕｆｅｉ， ＸＩＮ Ｋｅｇｕｉ， ＦＡＮ Ｊｉａｎｓｈｅｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ａ ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｍｏｄａｌｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｕｎｄｅｒ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔａｌ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， ２０１４， ３１（４） ４６⁃５３． ［ ３］ 肖祥， 任伟新， 戴恩彬． 基于数据驱动的应变模态参数随 机子空间识别法［Ｊ］． 中南大学学报（自然科学版）， ２０１２， ４３（９）３６０１⁃３６０８． ＸＩＡＯ Ｘｉａｎｇ， ＲＥＮ Ｗｅｉｘｉｎ， ＤＡＩ Ｅｎｂｉｎ．Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｔｒａｉｎ ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄａｔａ⁃ｄｒｉｖｅｎ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｅｎｔｒａｌ Ｓｏｕｔｈ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ ）， ２０１２， ４３ （ ９ ） ３６０１⁃３６０８． ［ ４］ 李扬， 周丽， 杨秉才． 飞机紊流激励响应的模态参数识别 ［Ｊ］． 振动工程学报， ２０１６，２９（６）９６３⁃９７０． ＬＩ Ｙａｎｇ， ＺＨＯＵ Ｌｉ， ＹＡＮＧ Ｂｉｎｇｃａｉ． Ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｕｒｂｕｌｅｎｔ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ａｉｒｃｒａｆｔ ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２０１６， ２９（６） ９６３⁃９７０． ［ ５］ ＸＩＥ Ｙ， ＬＩＵ Ｐ， ＣＡＩ Ｇ Ｐ． Ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｓｐａｃｅｃｒａｆｔｕｓｉｎｇｔｈｅｃｏｖａｒｉａｎｃｅ⁃ｄｒｉｖｅｎｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ （ ＳＳＩ⁃ＣＯＶ ）ｍｅｔｈｏｄ ［ Ｊ ］．Ａｃｔａ Ｍｅｃｈａｎｉｃａ Ｓｉｎｉｃａ， ２０１６， ３２（４）７１０⁃７１９． ［ ６］ ＣＡＲＤＥＮ Ｅ Ｐ， ＢＲＯＷＮＪＯＨＮ Ｊ Ｍ Ｗ． Ｆｕｚｚｙ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ｏｆ ｓｔａｂｉｌｉｔｙｄｉａｇｒａｍｓｆｏｒｖｉｂｒａｔｉｏｎ⁃ｂａｓｅｄｓｔｒｕｃｔｕｒａｌｈｅａｌｔｈ ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ ［ Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ⁃Ａｉｄｅｄ Ｃｉｖｉｌ ａｎｄ Ｉｎｆｒａｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２０１０， ２３（５）３６０⁃３７２． ［ ７］ 宋明亮， 苏亮， 董石麟， 等． 模态参数自动识别的虚假模 态剔除方法综述［Ｊ］． 振动与冲击， ２０１７，３６（１３）１⁃１０． ＳＯＮＧ Ｍｉｎｇｌｉａｎｇ， ＳＵ Ｌｉａｎｇ， ＤＯＮＧ Ｓｈｉｌｉｎ， ｅｔ ａｌ． Ｓｕｍｍａｒｙ ｏｆ ｆａｌｓｅ ｍｏｄａｌ ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｏｄａｌ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２０１７， ３６（１３） １⁃１０． ［ ８］ 樊江玲， 张志谊， 华宏星． 一种改进的随机子空间辨识方 法的稳定图［Ｊ］． 振动与冲击， ２０１０，２９（２）３１⁃３４． （下转第 １４０ 页） ７２１第 ２３ 期秦仙蓉等 基于区间摄动和双层模糊聚类的模态参数自动识别 ＮＩ Ｊｉｎｆｅｎｇ， ＸＵ Ｃｈｅｎｇ．Ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｓｏｆｔｗａｒｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｂａｌｌｉｓｔｉｃｓ ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ２００５，２２（９）９⁃１１． ［ ３］ 徐凤军，高跃飞，曹红松，等． 某高炮自动机动力学仿真 ［Ｊ］． 计算机仿真，２０１３，３０（９）１４⁃１７． ＸＵ Ｆｅｎｇｊｕｎ，ＧＡＯ Ｙｕｅｆｅｉ，ＣＡＯ Ｈｏｎｇｓｏｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｄｙｎａｍｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａｎｔｉ⁃ａｉｒｃｒａｆｔ ｇｕｎ’ ｓ ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２０１３，３０（９）１４⁃１７． ［ ４］ 申江森，高跃飞，徐凤军． 基于 ＡＤＡＭＳ 的某突击炮发射动 力学仿真［Ｊ］． 机械工程与自动化，２０１５（２）１０５⁃１０７． ＳＨＥＮ Ｊｉａｎｇｓｅｎ， ＧＡＯ Ｙｕｅｆｅｉ， ＸＵ Ｆｅｎｇｊｕｎ． ＡＤＡＭＳ ｂａｓｅｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａｓｓａｕｌｔ ｇｕｎ ｆｉｒｉｎｇ ［ Ｊ］．Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ＆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，２０１５（２）１０５⁃１０７． ［ ５］ 方宇，秦俊奇，狄长春，等． 基于前冲击发原理的某车载迫 击炮仿真研究［Ｊ］． 计算机仿真，２０１８，３５（８）１⁃５． ＦＡＮＧ Ｙｕ， ＱＩＮ Ｊｕｎｑｉ， ＤＩ Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ， ｅｔ ａｌ． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｖｅｈｉｃｌｅ ｍｏｒｔａｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｆｒｏｎｔ ｉｍｐａｃｔ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ２０１８，３５（８）１⁃５． ［ ６］ 刘雷，陈运生． 火炮虚拟样机仿真研究［Ｊ］． 系统仿真学 报，２００５，１７（１）１１１⁃１１３． ＬＩＵ Ｌｅｉ， ＣＨＥＮ Ｙｕｎｓｈｅｎｇ． Ｓｔｕｄｙ ｏｎ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｖｉｒｔｕａｌ ｐｒｏｔｏｔｙｐｉｎｇ ｏｆ ｇｕｎ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ２００５， １７（１）１１１⁃１１３． ［ ７］ 杨军荣，何永，米粮川． 基于虚拟样机技术的双管火炮耦 合发射动力学仿真［Ｊ］． 南京理工大学学报，２００６，３０（４） ３３９⁃４４３． ＹＡＮＧＪｕｎｒｏｎｇ，ＨＥＹｏｎｇ，ＭＩＬｉａｎｇｃｈｕａｎ．Ｄｙｎａｍｉｃ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｆｉｒｉｎｇ ｆｏｒ ｔｗｉｎ⁃ｔｕｂｅ ｇｕｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｖｉｒｔｕａｌ ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ［ Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， ２００６，３０（４）３３９⁃４４３． ［ ８］ 李川，王建伟． 基于虚拟样机技术的舰炮发射动力学仿真 ［Ｊ］． 舰船电子工程，２０１３，３３（７）７６⁃７８． ＬＩ Ｃｈｕａｎ， ＷＡＮＧ Ｊｉａｎｗｅｉ． Ｄｙｎａｍｉｃｓ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｒｉｎｇ ｆｏｒ ｍａｊｏｒ ｃａｌｉｂｅｒ ｎａｖａｌ ｇｕｎ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｖｉｒｔｕａｌ ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ［Ｊ］． Ｓｈｉｐ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ２０１３，３３（７）７６⁃７８． ［ ９］ 李峰，徐诚，李树广，等． 单兵火力系统集成建模与仿真研 究［Ｊ］． 系统仿真学报，２００９，２１（１５）４５８３⁃４５８７． ＬＩ Ｆｅｎｇ， ＸＵ Ｃｈｅｎｇ， ＬＩ Ｓｈｕｇｕａｎｇ， ｅｔ ａｌ． Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｏｌｄｉｅｒ ｆｉｒｅ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ， ２００９，２１（１５）４５８３⁃４５８７． ［１０］ 张小兵． 枪炮内弹道学［Ｍ］． 北京北京理工大学出版社， ２０１４． ［１１］ 王连荣，王佩勤． 火炮内弹道计算手册［Ｍ］． 北京国防工 业出版社，１９８７． ［１２］ 刘启航． 火炮反后坐装置参数化设计与优化［Ｄ］． 南京南 京理工大学，２０１４． 􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖􀤖 （上接第 １２７ 页） ＦＡＮ Ｊｉａｎｇｌｉｎｇ， ＺＨＡＮＧ Ｚｈｉｙｉ， ＨＵＡ Ｈｏｎｇｘｉｎｇ．Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｓｕｂｓｐａｃｅ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｈｏｃｋ， ２０１０， ２９（２） ３１⁃３４． ［ ９］ ＱＩＮ Ｓｈｉｑｉａｎｇ， ＫＡＮＧ Ｊｕｎｔａｏ， ＷＡＮＧ Ｑｉｕｐｉｎｇ． Ｏｐｅｒａｔｉｏｎａｌ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｓｕｂｓｐａｃｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗｉｔｈ ａｎ ｉｍｐｒｏｖｅｄ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｄｉａｇｒａｍ ｍｅｔｈｏｄ ［ Ｊ］．Ｓｈｏｃｋ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ， ２０１６， ２０１６１⁃１０． ［１０］ 常军， 张启伟， 孙利民． 稳定图方法在随机子空间识别模 态参数中的应