单自由度含干摩擦碰振系统相邻周期运动转迁规律分析_李得洋.pdf

振动与冲击 第 卷第 期 基金项目 国家自然科学基金兰州交 通大学青年科学基金项目甘肃省高等学校创新能力提 升项目 收稿日期 修改稿收到日期 第一作者 李得洋 男博士生讲师 年生 通信作者 丁旺才 男教授博士生导师 年生 单自由度含干摩擦碰振系统相邻周期运动转迁规律分析 李得洋 丁旺才 卫晓娟 丁杰 兰州交通大学材料科学与工程学院兰州 兰州交通大学机电工程学院兰州 摘要以一类单自由度含干摩擦和间隙的碰撞振动系统为研究对象通过理论计算及数值仿真分析了系统在 参数和协同变化下周期运动的分布及相邻周期运动之间的转迁规律根据周期运动的边界条件和衔接条件理论推 导得到了系统 周期运动存在的条件根据响应微扰积分计算得到系统 矩阵和 指数判断系统的稳 定性及分叉根据系统相轨线与约束面的关系将周期运动划分为四类结合 指数仿真得到了在参数和协 同变化下系统的周期运动分布图基于胞映射方法分析了系统各相邻周期运动经非光滑分岔进行转迁的规律研究发 现在擦边和鞍结分岔前后伴随着系统相轨迹的 分岔这是一种特殊的非光滑分岔现象 关键词非光滑分岔吸引域转迁规律 中图分类号 文献标志码 在实际工程中往往存在着大量含干摩擦的机械系 统当接触表面由于摩擦而磨损后机械的零部件之间 将会出现间隙从而导致碰撞和噪声的出现同时由 于间隙和干摩擦 等非光滑因素的存在使系统的 动力学行为变得十分复杂因此对干摩擦碰撞振动系 统分岔与混沌的深入研究引起了国内外学者的广泛兴 趣 研究了一单自由度受谐激励分段线性系统 的动力学响应以及由于摩擦导致的各种分岔岔式分 岔 分岔 研究了两自由度的黏滑 摩擦系统分析了系统相空间的维数可变性并对系统 周期轨道不连续分岔行为进行了详细的分析隋鑫 等应用 法和有限差分法研究了摩擦 块制动盘耦合系统表面接触刚度比对其 分岔 的影响并分析了系统的黏滑振动机理 等研 究了单自由度含干摩擦振动系统的全局动力学行为 滑移分岔是 系统中一种特有的分岔 等 用非连续映射方法建立了滑移分岔的规范形映 射并研究了余维二滑移分岔李志从等钱大帅 等利用不同的数值方法对一类受两个外激励振动系 统的滑移分岔等其它动力学行为进行了分析秦志英 等分析了一类干摩擦 振子在不同参数下混 沌和周期轨及不同周期轨之间的共存与转换陈祺 等以单模块三相振动驱动系统为研究对象运用 滑移分岔理论对系统的黏滑运动及相互之间 的切换进行了分析为更好的研究此类非光滑系统的 稳定性秦卫阳等利用响应微扰计算方法研究了含 有轴上裂纹的单盘转子系统运动的稳定性和响应分叉 现象金俐等利用 映射分析方法引进局 部映射给出了非光滑系统 指数谱计算的通 用方法付士慧等对带干摩擦的非光滑动力系统 在不连续点利用闭上链得到一个传递矩阵由此给出 一种非光滑动力系统 指数的数值计算方法 为更能反映工程实际学者们对含干摩擦碰撞振动系 统的非线性动力学行为采用不同的方法进行了研究 等采用数值方法研究了包含干摩擦的单自由 度双面冲击振子的分岔以及黏滑碰撞运动 等描述了包含库仑摩擦阻尼的双边谐激励碰撞振子 的全局动力学由吸引域的研究给出系统的完全解集 并说明擦边分岔是系统行为突变的来源丁旺才 等 应用理论分析与数值模拟对包含干摩擦的单 自由度和两自由度碰撞振动系统的分叉与混沌特性进 行研究并讨论了 截面不动点类型的转迁及其 向混沌的演化过程张艳龙等利用数值仿真对一 类由分段阻尼和弹簧及改进的 动摩擦构成的非 光滑振动系统各种摩擦诱导振动形式进行了研究 等 利用数值方法研究了振动驱动胶囊系统在不 同摩擦环境下的各种非光滑动力学行为并讨论了参 数对系统动力学行为的影响 等利用不连续 动力系统理论对带摩擦的水平碰撞振子的周期流进行 研究给出了系统周期流的一般映射结构及其稳定性 和分叉的有关结果 将两自由度含间隙和干 摩擦振动系统视为分段线性系统给出各状态阶段解 析解理论推导了黏滑振动和黏滑碰撞振动等周期运 动的存在条件并进行了数值仿真验证王同慧等 研究了一类含间隙与干摩擦动力学系统颤碰运动转迁 的规律并揭示了迟滞区内周期运动吸引子共存的现 象吕小红等通过二维参数分岔分析了冲击渐进 振动系统 和 基本碰撞运动的分岔特点以及 系统参数冲击速度和滑块渐进率之间的关联关系 曾礼平等通过考虑摩擦力矩作用和减振弹簧含间隙 变化刚度特性对搭载双质量飞轮的汽车动力传动系 统非线性频率特性进行了分析并探讨了激励振幅摩 擦力矩和空转角等参数对系统非线性频率特性的影响 规律王晓军等 基于接触力学理论和线性互补 问题的算法给出了一种含接触碰撞库伦干摩擦和 摩擦同时具有理想定常约束铰链约束非定 常约束驱动约束和具有双边约束含摩擦滑移铰的平 面多刚体系统动力学的建模与数值计算方法已有针 对含间隙和干摩擦非光滑系统的研究大都基于单个参 数变化来分析系统运动的转迁规律然而在生产实际 中系统运动特性的变化往往并非由单一参数所引起 为更全面地分析非光滑系统的全局动力学特性本文 结合 理论 指数和胞映射方法对一 类单自由度含干摩擦和间隙碰撞振动系统在多参数协 同变化下在参数域内经各种非光滑分岔进行转迁的 规律进行分析和研究 力学模型及运动微分方程 力学模型 考虑含干摩擦和间隙在周期激励下质量块阻尼 和弹簧的系统如图所示质量块振子的质量为 阻尼系数为 弹簧刚度为 作用在振子上的周期激 励力为 振子在皮带上运动皮带以匀速 运动由于右侧约束的存在当振子的位移等于间隙 时振子将与刚性约束面发生碰撞假设碰撞为刚性碰 撞且在瞬息完成用恢复系数描述碰撞过程 图含干摩擦的单自由度碰撞振动系统模型 振子运动过程分析 当 时振子的运动分为两种形式 振子在皮带上滑动此时系统的运动方程为 进行无量纲化处理得到 式中 槡 槡 槡 假设振子与皮带间的摩擦力符合库仑摩擦模 型即 { 式中 为动摩擦力 为最大静摩擦力 此时系统的解析解为 式中 第期李得洋等单自由度含干摩擦碰振系统相邻周期运动转迁规律分析 为积分常数由系 统的初始条件确定 当振子速度等于并且 时振子将会产生黏着运动此时系统的运动方程为 式中 当振子速度等于并且 时在下一时刻振子 的速度会大于带速振子的轨线会横截穿越约束面 形成穿越轨线即出现超调运动 当 时振子因受到的合外力及碰撞速度不同 而有不同类型的运动形式 如果振子与碰撞面的接触速度 且受到的合 外力 方向指向碰撞面即 时振子将黏滞于碰撞面直到 改变方 向即 在系统进入黏滞运动状态前振子会产 生一系列的颤振序列 若振子与碰撞面接触的速度 且受到的合外 力 振子与碰撞面无黏滞状态即刻以 的初 速度被其所受作用力反向拉回此时系统会产生擦边 运动导致碰撞映射产生擦碰奇异性 若 振 子 与 碰 撞 面 的 接 触 速 度 且 此时振子在黏着条件下与 碰撞面发生碰撞若碰后振子受到的合外力大于零则 振子的速度会瞬间增大到带速之后与碰撞面发生碰 撞这种现象持续到当振子受到的合外力小于零振子 即刻以 的初速度被其所受作用力反向拉回 若振子与碰撞面的接触速度 且 则 在振子与碰撞面发生碰撞后振子会以初速度 被 反向拉回 周期运动的存在条件 当振子的速度始终低于带速时系统 周期运 动存在条件的推导参见 的研究本文给出 周期运动的存在条件引入下列符号 令 则有        将 及 代入式有 令 则有        由周期运动的衔接条件 可联立求解出 和 式中 其中 由周期运动的初始条件 可分 别求解出每个阶段的初相位分别为 槡 槡         可得周期运动存在的条件为 条件 条件 由周期运动的初始条件 和 可得到仅关于时间的表达式 振 动 与 冲 击年第卷 对式利用数值方法可求解出时间 进而确 定系统的周期解 系统 映射的建立及稳定性分析 为了研究系统周期运动的稳定性存在区域以及 局部分岔问题建立三个 映射 {} {} {} 选择约束面 可研究系统可能出现的黏着滑 移轨线选择定相位面 可以统计出系统周期运动的 周期数选择约束面 可以统计出振子与约束面的碰 撞次数选择定相位面 构造系统 映射根 据响应微扰计算方法可得到系统的 矩阵具体 计算步骤如下 步骤对系统进行求解并确定其周期 步骤取定相位面上的不动点 为起始点在其附近分别取向量 以每个向量作为系统的初值向量对系统积 分一个周期得到向量 步骤令 令 根据秦志英等的研究矩阵与系统 矩阵为相似矩阵有相同的特征值因此可将 乘子的求解转化为矩阵特征值的求解这样 就可得到系统的 乘子根据陈祺等的方法可 计算出系统的 指数 相邻周期运动转迁规律分析 将系统间隙和激励频率作为研究对象取系统参 数 和 作为本文研究的各参数取值及取值范围在参数 下系统在 平面内周期运动分布图如图所示 图中用不同深浅的颜色和相应的符号表示各类周期运动 的存在区域和分布规律符号 中表示振子轨线 与约束面 之间的关系 仅表示振子低于带速滑 动 表示振子仅存在黏着运动 表示振子不仅 存在黏着运动还存在超调运动 表示振子仅存在超 调运动这样根据系统轨线与约束面 之间的关系可将 周期运动分为四大类表示激励力周期数表示振子 与约束面 碰撞的次数 分别 表示擦边分岔鞍结分岔倍周期分岔 和 表示振子在约束面 上的黏滞运动 没有 用符号表示的其它区域为参数域太小图中显示不够明显 图 参数平面内系统周期运动分布图 第期李得洋等单自由度含干摩擦碰振系统相邻周期运动转迁规律分析 从周期运动分布图 和图可看出在参数 下系统主要以 和 等 基本周期运动为主在参数下取 和 得到系统的单参分叉图见图 图系统的局部分叉图 分析 周期运动随激励频率的变化规律随着 的减小 周期运动 最外侧相轨迹表示 经 转迁为 周期运动 最内侧相轨迹表示见图 周 期运动 最外侧相轨迹表示经 转迁为 周期运动 最 内侧相轨迹表示见图 周期运动 最外侧相轨迹表示经 转迁为 周期运动 最内侧相轨迹表示 位于中间相轨迹为 时的擦边轨道见图 所以在振子与约束面 未发生碰撞的区域内 相邻周期运动的转迁规律如下 图周期运动的相图 随着间隙的减小振子在运动过程中会受到两个 约束面的共同影响相邻周期运动之间的转迁会变得 复杂且多样化 在 和 的参数域内由图 和图 可知在周期数和碰撞数不变的情况下随着频率 的减小或间隙的增大系统依次分布着 和 等基本周期运动 与 周期运动分 布在此区域的左右两端且各自分布范围较大其主要 原因为在高频区振子的最大速度始终高于带速且在分 岔点 处振子受到的合外力始终大于振子受到的最 大静摩擦力导致振子的轨线在分岔点处会横截穿越 约束面 形成穿越轨线出现超调现象而在低频区 振子的最大速度始终低于带速振子的轨线不会穿越 约束面 仅会保持低于带速的碰撞运动 这四种周 期运动之间相互转迁的基本规律为 随激振频率持续递减 分岔会接连发生导 致振子与约束面的碰撞次数逐次增加同时周期 运动的存在区域会逐渐变窄所 以在图 和图中将 周 期运动的存在区域全部统一用同一种深度的颜色表 示其细化图见图 和图由于约束面 的 存在在碰撞次数足够大时系统会呈现四种非完整 颤碰 振动随着间隙和激励频率的 减小 颤碰振动经 转迁为 颤碰振动时在一个周期内振子的粘 着轨线与约束面 持续发生有限次的碰撞而低于带速 的轨线与约束面 发生颤碰振动其相图速度和位移 时间历程图如图所示将此周期运动定义为黏碰颤 碰振动此转迁过程导致 非完整颤碰振动 不会进入黏滞运动当激励频率继续减小系统的非完 整颤碰振动转迁为三种具有黏滞特性的振动见图 图和图 中 表示颤碰黏滞振动 如图 所示振子速度始终低于带速 如图所示轨线先粘着后颤振进入黏滞和 如图 所示轨线经超调粘着颤振后进入黏滞 相邻黏滞特性颤碰黏滞振动转迁规律如下 在周期数不变的情况下 与 周期运动之间随着激励频率的减小主要以擦 边分岔实现相互之间的转迁而随着激励频率的增 大主要以鞍结分岔实现相互之间的转迁由于擦边和 鞍结分岔的分岔点不在同一位置故系统在这两个分 岔点之间的参数区域存在 和 两个稳定 振 动 与 冲 击年第卷 图 时系统的黏碰颤碰振动 周期运动共存的多态共存区如 时出现振子与碰撞面的擦切运动其相图见图 从其分岔图见图可知随着激励频率的减小由 于擦边分岔的奇异性导致振子与约束面碰撞次数加 一而周期数不变 周期运动转迁为 周期运 动而随着激励频率的增大在 处 不动点对应的两个特征值 此时系统发生鞍结分岔由此导致振子与约束面 碰撞次数减一 周期运动转迁为 周期运动 周期运动与 周期运动在 截面上的吸引 域如图 所示 图系统的颤碰黏滞振动 图系统的分叉图相图及吸引域 在周期数不变的情况下激励频率和间隙的变化 不仅可引起碰撞数的变化还可导致系统轨线与约束 面 关系变动 随着间隙的减小当系统 与 周期运动的 边界穿越 与 周期运动的共存区后系统原有周期 运动的共存区将会消失而在 边界的两侧重新形成不同的周期共存区如图 和图 所示当 边 界和 与 周期运动的擦边分岔边界相 交后如图 中的点为分岔边界交点随着间隙 继续减小 边界与擦边分岔 边界重合 与 周期运动的共存区消失 仅存在 与 周期运动的共存区而随 着间隙的增大当系统 与 周期 运动的 边界穿越 与 周期运动的周期共存区如图 中的点 为穿越点后系统原有的周期运动的共存区将会消 失而在 边界的两侧重新形 第期李得洋等单自由度含干摩擦碰振系统相邻周期运动转迁规律分析 成不同的周期共存区如图 和图 所示当 边界和 与 周期运动的鞍结分岔边界相交后如图 中的点 为边界交点随着间隙继续增大 边界与鞍结分岔边界重合 与 周期运动的共存区突然消失仅存在 与 周期运动的共存区由于系统的 边界在穿越周期共存区后分别与擦边和鞍结分岔 边界重合这样在 与 周期运动之间仅存 在 和 两个稳定周期运动共存的多态共 存区经历此多态共存区可实现 与 周期 运动之间的相互转迁见图 和图 图系统的局部分叉