一类无足自驱动系统的运动特性分析_李国芳.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 14 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．14 2020 基金项目国家自然科学基金 11962013; 11732014 ; 兰州交通大学 － 天 津大学联合创新基金 2019059 收稿日期2018 －12 －27修改稿收到日期2019 －05 －06 第一作者 李国芳 男， 博士， 副教授， 1979 年生 通信作者 丁旺才 男， 教授， 博士生导师， 1964 年生 一类无足自驱动系统的运动特性分析 李国芳，俞力洋，丁旺才，吴少培 兰州交通大学机电工程学院， 兰州 730070 摘要建立了一类简谐激励作用下、 两自由度含干摩擦无足自驱动系统的力学模型， 描述并分析了系统的运动 特性， 得到了系统参数选择的最佳范围。研究发现 在低频区， 随着激励频率 ω 的减小， 擦边分岔诱导系统碰撞次数逐渐 增加， 直至颤振序列; 在高频区， 系统存在混沌运动。在一个完整周期内， 基体的运动由黏滞、 正向驱进和负向驱进三种中 的一种或多种组成; 系统平均驱进速度 v 对激励频率 ω 和质量比 μm的变化较敏感， 摩擦比 f、 间隙 δ、 刚度比 μk对系统的 影响相对较小， 质量比 μm的最佳选择范围为［ 0． 4， 0． 8］ ; 系统正向和负向驱进的最大平均速度出现在低频区和质量比较 小时; 在高频区， 基体趋于黏滞状态。该研究结果和方法， 可为无足自驱动系统的设计及参数优化提供相应的理论依据。 关键词干摩擦; 无足自驱动系统; 驱进速度; 擦边分岔; 颤振 中图分类号O322文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 14． 002 Motion characteristics analysis of a wheel- free self- driving system LI Guofang，YU Liyang，DING Wangcai，WU Shaopei School of Mechatronic Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070，China Abstract The mechanical model for a two degrees of freedom self- driving system with dry friction subjected to simple harmonic excitation was established． The motion characteristics of the system were described and analyzed， and the optimal selection range of system parameters was obtained． It is found that in the low frequency region，with the decrease of the excitation frequency ω，the number of impacts induced by the grazing bifurcation gradually increases until to a chatter sequence． In the high frequency region，the chaotic motion can be observed． In a complete cycle，the motion of the substrate consists of one or more of three types motionssticking motion，forward driving motion，and negative driving motion． The average driving speed of the system v is sensitive to changes in excitation frequency ω and mass ratio μm． The friction ratio f，clearance δ and stiffness ratio μkhave relatively weak influence on the system，and the best choice range of mass ratio is［ 0． 4， 0． 8］ ． The maximum average speed of the forward and negative driving of the system occurs in the low frequency region and with a small mass ratio． In the high frequency region，the substrate tends to make sticking motion． The results and s in the paper provide some theoretical basis for the design and parameter optimization of wheel- free self- driving systems． Key wordsdry friction;wheel- free self- driving system;driving speed;grazing bifurcation;chatter 目前的移动机械多依靠外部能量输入、 通过车轮 或关节走行部实现连续驱进， 但这种结构体积大， 难以 在一些特定的复杂环境中发挥作用， 如在密封的输油 管道内、 狭长弯曲的血管中以及不易载重的输电线上 等。而依靠内部电磁力进行驱动的无足自驱动系统结 构紧凑、 可控性高， 更有利于实现血管疏通、 高压线除 雪及管道输送。且目前对无足自驱动系统动力学特性 的研究相对较少， 因此， 对此类系统进行运动特性的深 入研究， 在移动电子胶囊设计以及医疗器械研制等方 面， 具有重要的工程实际意义。 文献［ 1］ 设计了一个由微型振动器驱动的、 可以执 行平移和旋转的微型机器人。文献［ 2］设计了一个移 动胶囊系统， 并对其输入进行了优化控制。文献［ 3］ 对 线性胶囊系统在不同摩擦环境下的动力学特性进行了 较详细的分析。文献［ 4］ 基于系统内部质量块在水平 方向和垂直方向的振动研制出了一种振动驱动器， 该 系统通过控制水平方向和竖直方向的振动来调节驱进 方向。文献［ 5］ 设计了一个新型电磁驱动的胶囊机器 人， 采用磁路法和有限元法对驱动器进行了优化分析， 并通过实验进行了验证。文献［ 6］ 研究了一类碰撞驱 动胶囊系统的动摩擦特性。文献［ 7］ 通过对内部质量 ChaoXing 块与壳体相对速度的优化， 得到了系统运行的最大速 度。文献［ 8］ 构建了一类电磁振动驱动器， 分析了系统 的擦边运动及参数域匹配规律。 本文所研究的模型基于碰撞振动系统的相关理 论， 关于碰撞振动系统的研究， 在国内外有大量的文献 涉及。Holmes［9 ］研究了一个弹跳球的碰撞振动问题， 分析了系统运动的稳定性、 分岔和混沌行为， 并发现系 统在满足某些条件时存在 Smale 马蹄。Shaw 等 ［10 ］采 用中心流形 － 范式降维理论， 研究了一类单侧刚性约 束下单自由度碰撞振子的 动力学行为。张有 强 等 ［11 －12 ］对含干摩擦的振动系统进行了非线性动力学 行为研究， 给出了判定系统黏滑状态分界点的方法， 结 合 Lyapunov 指数分析了系统的稳定性， 并进一步分析 了干摩擦对系统周期运动、 拟周期运动、 黏滑碰撞运动 及混沌行为的影响。秦志英等 ［13 ］综述了系统周期轨线 的三类非光滑分岔， 即擦边分岔、 角点碰撞分岔和滑动 分岔， 总结了具有不同奇异性的分段线性、 非线性规范 形映射。乐源等 ［14 ］研究了一类三自由度碰撞振动系统 的激变和阵发性， 得到了系统发生激变的条件， 揭示了 激变之后的一种新的阵发性动力学现象 拟周期 － 拟 周期阵发性， 并分析了其分岔机制。伍新等 ［15 ］研究了 一类三自由度含间隙双侧碰撞振动系统 Poincare 映射 叉式分岔的反控制问题， 利用显式的叉式分岔临界准 则获得了系统出现叉式分岔的控制参数区域， 并分析 了叉式分岔解的稳定性。文献［ 16］ 研究了平面非光滑 动力系统的 Hopf 分岔， 论证了不同类型非光滑动力系 统中极限环的分布情况。 本文研究了一类由内部质量块和基体构成的两自 由度含干摩擦无足自驱动系统， 内部质量块在简谐激 励作用下， 通过弹性碰撞介质， 使基体克服外界摩擦力 向正向或负向驱进。研究建立了系统四种状态下的运 动微分方程， 通过数值方法分析了系统驱进速度对不 同参数变化的敏感性， 给出了系统驱进的条件， 得到了 系统参数的最佳选择范围， 通过对参数进一步优化获 得了系统正负方向驱进的最大平均速度。 1系统的力学模型和运动微分方程 图 1 为一种无足自驱动系统的力学模型。内部质 量块 M1通过刚度为 K1的线性弹簧和阻尼系数为 C 的 阻尼器连接在基体 M2左内壁， 无质量碰撞墙通过刚度 为 K2的线性弹簧连接在基体 M 2右内壁。内部质量块 M1所受简谐激振力的来源为电磁力， 我们可以通过改 变螺旋线圈的数量及通电电流的大小实现对简谐激振 力的控制。X1， X2分别表示 M1和 M2的位移， 基体 M2 与外界之间存在干摩擦。当 M1对 M2的作用反力较小 时， 基体 M2保持静止; 当 M1对 M2的作用反力大于地 面给 M2的最大静摩擦力时 假设初始条件下 M2 处于 黏滞状态 ， 基体 M2开始滑动， 当 M2的速度重新为零 时， M2将重新静止在新的位置上， 如此往复运动。 图 1无足自驱动系统的力学模型 Fig． 1Mechanical model of a wheel- free self- driving system 本文采用库仑摩擦模型表示两固体接触面间的干 摩擦力 Fd 0，X 2 0 － sign X 2 Fs，X 2≠ { 0 1 式中Fd为滑动摩擦力;Fs为最大静摩擦力;X 2为基 体 M2的速度。该摩擦力模型的基体速度X 2 － 滑动摩 擦力 Fd曲线如图 2 所示。 图 2库仑摩擦力模型 Fig． 2Schematic of Coulomb friction force model 内部质量块 M1在简谐激励 Psin ΩT 作用下有两 种不同的运动状态， 即 M1是否与碰撞墙发生接触。基 体 M2的运动情况有如下三种 ①M 2相对地面静止不 动， 即黏滞运动; ②M2相对地面正向驱进; ③M2相对地 面负向驱进。当基体 M2的初态为黏滞时， M2的运动 情况由其所受 M1的作用反力与摩擦力的大小关系决 定。M2受到 M1的作用反力 Fm 经无量纲化后可表 示为 fm 2ξ x 1 － x 2 x1 － x2 ，x1－ x2≤ δ 2ξ x 1 － x 2 x1 － x2 μk x1－ x2－ δ ， x1－ x2＞ { δ 2 选取系统参数为f 2， δ 0． 5， ξ 0． 05，μk 7， μm3，ω 0． 8，τ00，可以得到 M2所受 M1作用反 力 f m与基体 M2速度x 2的关系曲线， 如图 3 所示， 由图 可以看出 当x 20 时， －1 ＜ fm＜1， 系统表现为黏滞运 动;当x 2＞0 时， 系统表现为正向驱进;当x 2 ＞0 时， 系 01振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 统表现为负向驱进。 图 3 fm－ x 2 关系曲线 Fig． 3Relationship about fmand x 2 综上所述， 系统运动情况可分为如下四种 ①基体 M2保持静止， 内部质量块 M1在简谐激励 Psin ΩT 作 用下运动， 但不与碰撞墙接触; ②基体 M2保持静止， 内 部质量块 M1在简谐激励 Psin ΩT 作用下运动， 同时 与碰撞墙接触; ③基体 M2相对地面滑动， 内部质量块 M1在简谐激励 Psin ΩT 作用下运动但不与碰撞墙接 触; ④基体 M2相对地面滑动， 内部质量块 M1在简谐激 励 Psin ΩT 作用下运动， 同时与碰撞墙接触。上述四 种情况下系统的无量纲微分方程表示如下 1当x 2 0，x1－ x2＜ δ 且 2ξx 1 x1－ x2 ＜ 1，即基体 M2保持静止， 内部质量块 M1不与碰撞墙接 触而自由运动时 x 1 2ξx 1 x1－ x2 fsin ωt τ x 2 { 0 3 2当x 2 0，x1－ x2＞ δ 且 2ξx 1 x1－ x2 μk x1－ x2－ δ ＜1，即基体 M2保持静止， 内部质量块 M1与碰撞墙接触而黏滞运动时 x 1 2ξx 1 x1－ x2 μk x1－ x2－ δ fsin ωt τ x 2 { 0 4 3当x 2≠0， x1－x2＜δ 且 2ξ x 1－ x 2 x1－x2 － sign x 2≠0，基体 M2相对地面滑动， 内部质量块 M1 不与碰撞墙接触而驱进时 x 1 2ξ x 1 － x 2 x1 － x2 fsin ωt τ μmx 2 － 2ξ x 1 － x 2－ x1 － x2 － sign x 2 { 5 4当x 2≠0，x 1 － x 2 ＞ δ 并且 2ξ x 1 － x 2 x1－ x2 μk x1－ x2－ δ－ sign x 2≠0，基体 M2相 对地面滑动，内部质量块 M1与碰撞墙接触而驱进时 x 1 2ξ x 1 － x 2 x1 － x2 μk x1－ x2－ δ fsin ωt τ μmx 2 － 2ξ x 1 － x 2－ x1 － x2－ μk x1－ x2－ δ － sign x 2        6 其中的无量纲化参数为 μm M2 M1 ，μ k K2 K1 ，Ω 0 K1 M 槡1 ，ξ C 2M1Ω0， f P Fs，t Ω0T，ω Ω Ω0，δ K1 FsG， xi K1 FsXi i 1， 2 2系统的运动特性描述 采用时间历程图对内部质量块 M1和基体 M2的运 动特性进行描述。选取系统参数为μk7，f 2，δ 0． 5，ξ 0． 05，μm3，ω 0． 8，τ00，通过数值模拟 可以得到系统时间历程图， 如图 4 所示。图中黑色实 线为内部质量块 M1的运动轨迹， 虚线为基体 M2的运 动轨迹， 点划线包围的灰色区域为接触区， 表示内部质 量块 M1与碰撞墙发生接触。根据基体 M2 的运动情况 将系统的一个周期分为Ⅰ、 Ⅱ、 Ⅲ三个阶段， 分别表示 基体 M2黏滞、 负向驱进和正向驱进。在基体 M2 的每 一个运动阶段， 若内部质量块 M1未进入接触区， 用 1 表示， 当 M1进入接触区时， 用 2 表示。因此， 图 4 中系 统一个完整的运动周期可以表示为 Ⅰ- 1|→Ⅰ- 2|→Ⅰ- 1 |→Ⅱ- 1|→Ⅱ- 2|→Ⅲ- 2|→Ⅲ- 1。 图 4时间历程图 Fig． 4Time history diagram 工程实际中主要关注基体 M2驱进的方向和快慢， 其驱进方向分单向和双向， 驱进快慢 即系统平均运行 速度 v 定义为 v Δx 2 T 7 式中 Δx2∑ n j 1 Δx 2j － x20， Δx2j为第 j 个激励周期内基体 M2的位移变化量，x20为 M2的初始位移;T n 2π/ω 为 n 个完整激励周期所用的时间。 当系统参数发生变化时， 系统所呈现的周期性也 将发生变化。这里用 n- p- Ⅰ或 n- p- Ⅱ表示无足自驱动 系统的周期运动，n 为内部质量块 M1在一个完整周期 运动内所受谐激励的周期数;p 为基体 M2在一个完整 周期运动内的运动情况， 单向运动时 p 1， 双向运动时 p 2;Ⅰ表示系统正向驱进， 即v ＞0，Ⅱ表示系统负向 11第 14 期李国芳等一类无足自驱动系统的运动特性分析 ChaoXing 驱进， 此时v ＜0。 3系统的运动特性分析 选择零相位面 σ { x1， x 1， x2， x 2， θ ∈R 4 S， θ 0} 及碰撞面 σ { x1， x 1， x2， x 2， θ ∈R 4 S， x1－ x2 δ} 为 Poincar 截面，其中 θ mod ωt， 2t/ω ，取系统参 数为f 2，δ 0． 05，ξ 0． 05，μk7，μm3，τ00， 以内部质量块 M1所受简谐激励的频率 ω 为控制参数， 利用数值方法可得 ω∈［ 0． 01， 6． 5］ 时无足自驱动系统 的分岔图， 如图 5 所示。图 5 a 为内部质量块 M1的 速度x 1随激励频率 ω 变化的分岔图。图 5 b 为基体 M2平均驱进速度 v随激励频率 ω 变化的分岔图， 可以 看出 激励频率 ω ＜ 1． 01 时， 系统为周期一运动 n 1 ， 基体 M2为双向运动 p 2 ， 系统可能正向驱进或 负向驱进， 即系统表现为1- 2- Ⅰ或1- 2- Ⅱ型运动; 当ω∈ ［ 1． 01， 1． 15］时， 系统为周期二运动 n 2 ， 基体 M2 为双向运动 p 2 ， 系统正向驱进， 表现 2- 2- Ⅰ型运 动。频率 ω 较小时系统表现为负向驱进， 随着激励频 率 ω 增加， 在 ω 0． 83 时基体 M2的平均驱进速度 v达 到最小值， 此时系统负向驱进最快;在 ω 0． 99 处基 体 M2平均速度 v取得最大值， 系统正向驱进最快; 激励 频率 ω 继续增大， 基体 M2的平均驱进速度 v逐渐减 小， 在 ω∈［ 4． 66， 5． 39］ 及 ω ＞5． 98 的范围内， 基体 M2 的平均驱进速度 v近似为 0， 此时系统趋于黏滞状态。 图 5 c～ 图 5 d 为 ω∈［ 0． 01， 1． 5］ 时激励频率 ω 与 M1， M2相对速度的分岔图及局部放大图。 图 5无足自驱动系统分岔图 Fig． 5Bifurcation diagrams of the wheel- free self- driving system 图 5 b 中的黑点为基体 M2负向和正向驱进最快 的点，分别对应 ω 0． 83 时的 1- 2- Ⅱ型运动和 ω 0． 99时的 1- 2- Ⅰ型运动， 其相图、 时间历程图及频谱图 如图 6 和图 7 所示。由图 5 c～ 图 5 d 可知， 系统在 低频区的运动情况较为复杂。图 6 和图 7 相图中的虚 线、 实线、 点划线依次表示基体 M2黏滞、 正向驱进和 图 6周期 1- 2- Ⅱ型运动， ω 0． 83 Fig． 61- 2- Ⅱ motion，ω 0． 83 图 7周期 1- 2- Ⅰ型运动，ω 0． 99 Fig． 71- 2- Ⅰ motion，ω 0． 99 负向驱进， 时间历程图和频谱图中的实线与虚线分别 表示 M1和 M2的运动， 下文中相图和时间历程图的表 述方式与此相同。由系统相图可以看出ω 0． 83 的 情况下， 基体在 A→B 和 C→D 时正向驱进、 D→A 时负 向驱进、 B→C 时处于黏滞状态， 系统负向驱进的平均 速度 v －0． 174 2;在 ω 0． 99 的情况下， 基体在 A→ 21振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing B 时正向驱进、 C→A 时负向驱进、 B→C 时处于黏滞状 态， 系统正向驱进的平均速度 v 0． 318 6。 图 8 为 ω 取不同值、 其他参数不变时， 系统的相图 和基体 M2的时间 － 速度图， 其相轨迹中 O 点为状态 点， 时间速度图中虚线为速度零线。由图 8 a1 可知 ω 1． 09 时， 系统呈现为周期二运动 n 2 ，且做双 向运动 p 2 ， 由图8 a2 可知ω 1． 09 时，基体 M2 正向驱进的平均速度 v 0． 215 4， 因此， 系统为 2- 2- Ⅰ 型运动。随着激励频率 ω 增加， 在 ω∈［ 2． 36， 3． 94］ 时， 系统始终表现为周期二运动， 基体 M2的平均驱进 速度先减小后增大， 在 ω 3． 15 时达到区间最大值。 由图8 b1 和图8 b2 可知ω 3． 15 时系统呈现2- 2- Ⅰ型运动， 基体 M2的平均驱进速度 v 0． 114 8。当 ω∈［ 3． 95， 5． 01］ 时， 系统呈现周期三运动， 基体 M2的 平均驱进速度先增加后减小至零， 在 ω 4． 44 处取得 区间最大值。如图 8 c 所示，ω 4． 44 时， 系统在 图 8ω 取不同值时， 系统的相图和 M2的时间 － 速度图 Fig． 8The phase diagram of the system and the time- speed diagram of M2as different values of ω Poincar 截面上对应的状态点有三个， 此时基体 M2只 做正向驱进 v 0． 047 2 ，系统呈现3- 1- Ⅰ型运动。当 ω∈［ 5． 34， 5． 77］时， 系统为周期四运动， 在 ω 5． 60 时达到区间最大值。由图 8 d 可知， ω 5． 60 时， 基体 M2的平均驱进速度 v 0． 001 9， 系统将呈现 4- 1- Ⅰ型 运动。随着频率 ω 继续增加， 系统在 ω 5． 77 处发生 分岔， 由周期四运动转迁为周期一运动。当 ω ∈ ［ 5． 78， 5． 98］ 时， 系统做正向驱进的周期一运动， 在ω ＞ 5． 98 后， 基体 M2平均驱进速度为零， 系统为黏滞运动。 图 9 为系统在 ω 0． 85， ω 0． 579， ω 0． 15， ω 0． 05 及 ω 0． 02 处的相图， 从图可知， 在低频区， 随着 激励频率 ω 的减小， 擦边分岔诱导系统碰撞次数逐渐 增加， 直至颤振序列。 图 9系统擦边运动与颤振的相图 Fig． 9The phase diagram of the grazing motion and chatter 系统的碰撞间隙 δ 是影响该系统黏滑运动的重要非 线性因素， M1与墙体碰撞可视为接触和分离二状态， 选 取系统参数为 f 2， ξ 0． 05， μk 7，μm 3，ω 0． 8， τ00，可以得到间隙 δ 从 2． 8 ～3． 1 变化时系统间隙 δ 与接触 －分离二状态分岔图， 如图10 所示。图中纵坐标 “ 1” 表示接触状态 ， “－1” 表示分离状态， 由图 10 可知 系统在间隙 δ 3． 044 处由接触 － 分离二状态突变为分 离状态， 系统分岔点前后的相图及局部放大图， 如图 11 所示， 可见， 系统在间隙 δ 3．044 处发生了擦边分岔。 图 10系统间隙 δ 与接触 － 分离二状态分岔图 Fig． 10The bifurcation diagram of the contact- separation state with δ 31第 14 期李国芳等一类无足自驱动系统的运动特性分析 ChaoXing 图 11系统分岔点前后的相图及局部放大图 Fig． 11The phase diagram and the partial enlargement diagram before and after the bifurcation point 选取系统参数f 2， δ 0． 15， ξ 0． 05，μk 15， μm5，τ00，可以得到 ω∈［ 2． 35， 2． 55］ 时 M1的速 度随激励频率 ω 变化的分岔图及 ω 2． 48 时对应的相 图， 如图 12 所示。从图 12 可知， 系统存在混沌运动。 图 12系统的分岔图及相图 Fig． 12The bifurcation and phase diagram of the system 4各参数对系统平均驱进速度的影响分析 系统其他参数选取为f 0． 6，δ 0． 02，ξ 0． 01，μk15，τ00，以激励频率 w∈［ 0． 1， 4］ 和质量 比 μm∈［ 0． 1， 4］为变化参数， 可以得到系统的三维曲 面图和等高分布图， 如图 13 所示。图中 x， y， z 三个轴 分别表示 ω， μm，v。由图 13 可知 随着激励频率 ω 的 增加， 系统平均驱进速度 v先增大后减小; 当激励频率 ω∈［ 0． 8， 2］ 时， 基体 M2的平均驱进速度 v≥0． 1;在 点 A ω， μm 1． 84， 1． 32 处， 系统达到正向驱进的最 大平均速度， 对应的相图、 时间 － 速度图和时间历程图 如图 14 所示。由图 14 可知 系统表现为周期一运动， 且运动过程中存在黏滞、 负向驱进和正向驱进三种状 态， 系统为双向运动， 平均驱进速度为 v 0． 245 1， 呈 现 1- 2- Ⅰ型运动。 图 13系统平均驱进速度分布图 Fig． 13Distribution of the average driving speed of the system 分别取 μm0． 5、 μm 1． 5 和 μm 3，其他参数不 变， 可以得到系统平均驱进速度 v与激励频率 ω 的分岔 图， 如图 15 所示。从图 15 可知 质量比 μm增加时， 基 体 M2的平均驱进速度逐渐减小， 与此同时， 正向最大 平均驱进速度峰值所对应的激励频率 ω 也在减小， 系 统均呈现 1- 2- Ⅰ型运动。图16 为 μm3，ω 0． 1 时系 统的相图及时间历程图， 进一步验证了系统在低频区 主要存在颤振序列。 选取 f 2，δ 0． 05，ξ 0． 05，μk 7，μm 3， τ00 为系统基准参数， 图 17 a～ 图 17 d 分别为 ω， f ， ω， δ ， ω， μk ， ω， μm 参数域内系统平均驱 进速度分布图， 数字为系统平均驱进速度。由图17 a 可知 系统在低频区内受摩擦比 f 的影响较大， 当 ω ＜1 时， 系统出现负向驱进; 在高频区， 系统趋于静止， 受摩 擦比 f 的影响很小; 当摩擦比 f ＜ 1 时， 系统趋于静止， 系统平均驱进速度随激励频率 ω 的波动较小; 在 f ＞ 3 的区域内， 系统平均驱进速度随激励频率 ω 有较大的 变化; 当摩擦比 f 4 时， 系统在 ω 0． 83 和 ω 1． 01 时达到负向和正向驱进的最大平均速度。由图 17 b 可知 当 ω ＞2 时， 系统趋于静止， 间隙 δ 对系统平均驱 进速度的影响较小; 系统在 ω∈［ 0． 8， 1］ 区间内存在正 41振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 向驱进的平均速度峰值带 v≥0． 3 ， 在点 0． 8， 0． 31 和 0． 7， 1 附近取得负向驱进的最大平均速度。由图 17 c 可知 在高频区， 刚度比 μk对系统的影响较小， 系统正向驱进的平均速度峰值带集中在 ω 1 附近， 负 向驱进的最大平均速度出现在频率较小的区域。由图 17 d 可以看出 质量比 μm＜ 1． 5 的区域为系统敏感 区， 此时系统平均驱进速度随激励频率 ω 和质量比 μm 改变波动较大， 所达到的最大驱进速度也更加理想; 当 质量比 μm减小时， 正向驱进的平均速度峰值带向高频 方向略有移动，μm的最佳选择范围为［ 0． 4， 0． 8］ 。 图 14 ω， μm 1． 84， 1． 32 时系统的运动特性 Fig． 14The characteristics of the motions of the system as ω， μm 1． 84， 1． 32 图 15基体 M2平均驱进速度 v随激励频率 ω 变化的分岔图 Fig． 15The bifurcation diagram of the average driving speed with the frequency of M2 图 16系统在低频区的运动情况 μ m3， ω 0． 1 Fig． 16The motion of the system in the low frequency region μm3， ω 0． 1 图 17系统不同参数域内的平均驱进速度分布图 Fig． 17Distribution of the average driving speed in different parameter domains of system 5结论 本文研究了一类两自由度含干摩擦的无足自驱动 系统， 建立了系统不同运动状态下的微分方程， 数值模 拟了系统不同参数下的平均驱进速度 v， 得出了以下 结论 51第 14 期李国芳等一类无足自驱动系统的运动特性分析 ChaoXing 1在低频区， 随着激励频率 ω 的减小， 擦边分岔 诱导系统碰撞次数逐渐增加， 直至颤振序列; 在高频 区， 系统存在混沌运动。 2系统参数一定时， 在一个完整的周期内， 基体 的运动由黏滞、 正向驱进和负向驱进三种中的一种或 多种组成。 3系统平均驱进速度 v对激励频率 ω 的变化较 敏感， 当激励频率 ω 在低频 ω≤2 范围内变化时， 系 统平均驱进速度 v有明显的波动。系统正向与负向最 大平均驱进速度出现在低频区 对应系统呈现 1- 2- Ⅰ 型运动 ， 在高频区内， 系统趋于黏滞状态。 4系统正负方向驱进的平均速度峰值带受质量 比 μm的影响最大， 系统正向与负向最大平均驱进速度 出现在小质量比时 对应系统呈现 1- 2- Ⅰ型运动 ; 质 量比 μm在［ 0． 1， 1． 5］ 区间内变化时， 系统平均驱进速 度 v有明显的波动; 质量比 μm在［ 0． 4， 0． 8］ 的范围内， 系统有较理想的驱进效果。 5摩擦比 f、 间隙 δ、 刚度比 μk对系统平均驱进 速度 v的影响相对较弱; 其中， 摩擦比 f 越大， 系统对激 励频率 ω 的变化越敏感， 系统正向与负向驱进的最大 平均速度 v出现在摩擦比 f 最大处; 系统正向驱进的平 均速度峰值带出现在激励频率 ω 1 附近， 负向驱进的 平均速度峰值带出现在 ω 略小于 1 的位置。 本文主要研究了参数对系统运动特性的影响， 在 应用方面， 可根据工程实际所需的特定运动轨迹， 匹配 适当的系统参数， 进而设计出专用的无足自驱动系统。 本文的研究结果和方法， 可以为血管疏通、 高压线除雪 及管道输送等特定复杂环境中无足自驱动系统的设计 及参数优化提供相应的理论依据。 参 考 文 献 ［1］ VARTHOLOMEOSP， PAPADOPOULOSE．Dynamics， design and simulation of anovelmicroroboticplat employing vibration microactuators［J］ ． Journal of Dynamic SystemsMeasurementandControl， 2006， 128 1 122 －133． ［2］ LI H，FURUTA K，CHERNOUSKO F L． Motion generation of the capsubot using internal force and static friction［C］/ / Proceedings of the 45th IEEE Conference on Decision and Control． San DiegoIEEE， 2006． ［3］ LIU Y，WIERCIGROCH M，PAVLOVSKAIA E，et al． Modeling of a vibro- impact capsule system［ J］ ． International Journal of Mechanical Sciences， 2013， 66 2 －11． ［4］ BOLOTNIK N N，ZEIDIS I M，ZIMMERMANN K，et al． Dynamics of control ledmotion of vibration- driven systems ［J ］ ．JournalofComputerandSystemsSciences International， 2006， 45 157 －167． ［5］ SU G， ZHANG C， TAN R， et al．A design of the electromagnetic driver for the internal force- static friction capsubot［ C］/ / Proceedings of the IEEE/RSJ inter- National Conference on Intelligent Robots and Systems．St．Louis IEEE， 2009． ［6］ CHERNOUS’ KO F L．Analysis and optimization of the motion of a body controlled by means of a movable internal mass［ J］ ． Journal of Applied Mathematics and Mechanics ， 2006， 70 6 819 －842． ［7］ LIU P C，YU H N，CANG S． Modelling and analysis of dynamic frictional interactions of vibro- driven capsule systems withviscoelasticproperty ［J］ ．EuropeanJournalof Mechanics- A/Solids， 2019， 74 16 －25． ［8］ 王二虎， 丁旺才， 李国芳， 等． 小型电磁振动驱动器的设计 与参数匹配分析［J］ ． 机械科学与技术， 2018， 37 7 1022 －1026