颗粒冲击形式对阻尼器能量损耗影响的研究_宋晓宇.pdf

 振动与冲击 第 38 卷第 24 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．24 2019 收稿日期2018 －06 －26修改稿收到日期2018 －10 －16 第一作者 宋晓宇 男， 硕士， 1992 年生 通信作者 尹忠俊 男， 博士， 教授， 1962 年生 颗粒冲击形式对阻尼器能量损耗影响的研究 宋晓宇，尹忠俊，陈兵 北京科技大学机械工程学院， 北京 100083 摘要为揭示冲击形式与损耗功率之间的依赖关系， 基于离散单元法复现圆柱形和圆台形容器内颗粒的运动形 式， 探究由颗粒运动形式不同而造成的冲击形式以及能量损耗的差异。结果表明， 相比于圆柱形容器， 圆台形容器内颗粒 的运动存在明显的区域特性， 这种特殊的运动形式对冲击力周期分岔具有一定的抑制作用， 使其对系统的冲击形式呈 “小而密” 型。耗能结果显示， 这种 “小而密” 型冲击方式所产生的能量损耗要高于圆柱形内“大而疏” 型冲击形式， 并且 二者的耗能差值会随着振动强度的提高而增大。通过分析容器倾角的渐变过程进一步验证了冲击形式对损耗功率的显 著影响。 关键词颗粒阻尼; 冲击形式; 能量耗散; 圆台形容器 中图分类号TH212; TH213． 3文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 24． 019 A study on the effects of particle impact s on energy dissipation of dampers SONG Xiaoyu，YIN Zhongjun，CHEN Bing School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Abstract In order to reveal the dependence between the impact s and the loss power，the motion patterns of the particles in cylinder and conical containers were reproduced through the discrete element ，and the difference between the impact s and the energy loss caused by different s of particle motion was explored． The results show that compared with a cylinder container，the movement of the particles in a conical container has obvious regional characteristics． This special of motion has a certain inhibitory effect on the impact subharmonic bifurcations，so that the impact on the system is expressed as“Small and dense”type． The energy consumption results show that the energy loss caused by this“small and dense”impact mode is higher than that of the“large and sparse”type of impact in the cylinder container，and the energy consumption difference between the two increases with the vibration intensity． The significant effect of the impact on the power loss is further verified by analyzing the gradual process of the container inclination． Key wordsparticle damping;impact s;energy dissipation;conical container 生活中， 人们常用 “一盘散沙” 来形容一些涣散的、 无组织的系统或者群体。但对于受振颗粒体系， 颗粒 之间的运动并不是互不相关的， 而是通过颗粒间的摩 擦与碰撞表现出整体性或协同性。颗粒阻尼器就是利 用颗粒与颗粒以及颗粒与腔壁之间的非弹性碰撞和摩 擦消耗系统的能量， 从而达到减振的目的［1 －2 ］。 由于颗粒阻尼复杂的非线性耗能机理， 关于颗粒 的研究主要以实验与数值仿真为主要手段。Yang［3 ］设 计了多项试验， 细致研究了激振频率、 振幅、 颗粒填充 率、 尺寸等因素对颗粒阻尼有效质量和损耗功率的影 响规律。Wong 等 ［4 ］采用离散元的方法， 在充分考虑颗 粒的质量和转动惯量的前提下， 使用弹簧、 阻尼以及滑 动摩擦界面来建立模型， 并测量恢复力系数以及界面 摩擦因数来预测其能量损耗， 具有较高的精度和计算 效率。毛宽民等 ［5 －6 ］从颗粒微观力学角度研究了非阻 塞性 微 颗 粒 阻 尼 Non- Otstructive Particle Damping， NOPD 的作用机理， 并对颗粒与主结构之间的能量传 递及该过程中的能量损耗进行了定量的分析， 发现 NOPD 的摩擦耗能量与冲击耗能量具有相同的量级。 姚冰等 ［7 －8 ］对颗粒的减振机理以及在直升机叶片上的 应用 ［9 ］等多方面进行了深入研究并取得了一些有意义 的成果。胡溧等 ［10 －11 ］对颗粒阻尼的动态特性以及影 响颗粒阻尼的内外因素进行了比较系统的研究。 近年来， 颗粒阻尼在建筑领域也越来越被重视。 ChaoXing 鲁正等 ［12 －13 ］将调谐质量阻尼器与颗粒阻尼器相结合， 扩大了减振频带， 增加了减振的鲁棒性， 并将其引入高 层建筑风振控制领域， 通过风洞试验以及近似的数值 模拟方法对这种新型阻尼形式的阻尼特性进行了深入 的研究。赵玲等 ［14 ］以空心柱为研究对象， 通过自由振 动试验系统研究了颗粒参数 颗粒材料、 填充率、 质量 比等 和结构参数的变化对结构减振效果的影响。 然而， 目前对颗粒阻尼的研究主要集中在外界激 励和颗粒本身参数对阻尼效果的影响， 关于颗粒对系 统冲击方式造成的能量耗散差异的研究仍没有深入展 开。振动颗粒间存在着非弹性碰撞和摩擦， 导致颗粒 体系能迅速耗散掉颗粒自身及外界输入的动能， 这也 使得颗粒的运动具有整体性， 体现为颗粒对容器底部 的冲击力呈现窄脉冲式［15 ］。在不同的振动强度下， 颗 粒对系统的冲击力会表现出冲击分岔现象［16 －17 ］。 随着计算机性能的提升以及离散单元法［18 ］的完 善， 该方法已经成为研究颗粒运动的重要方法。基于 离散单元法的 EDEM 仿真可以跟踪区域内每个颗粒的 受力状态与速度矢量， 极大地突破了实验中由于测量 手段单一所带来的局限性。 为探究冲击形式与损耗功率之间的依赖关系。本 文采用离散单元法对圆柱形和圆台形两类容器 共 6 种 的颗粒阻尼器进行了不同工况的研究。首先将圆 柱Ⅰ与圆台Ⅳ进行对比复现颗粒间的相互作用过程， 通过分析冲击形式解释产生能耗差异的微观本质。然 后研究腔壁倾角的渐变过程， 得出腔壁倾角、 冲击形式 以及能量耗损之间的相互关系。 1仿真模型及参数 1． 1离散单元法 接触模型是离散单元理论的核心。本文的仿真实 验均采用软颗粒接触模型， 该模型中将颗粒单元的接 触过程进行法向和切向分解， 其法向接触力方程为 Fnij mij d2un dt2 cn dun dt Knun 1 颗粒单元的切向运动可分解为切向滑动与颗粒单 元的滚动 Fsij mij d2us dt2 cs dus dt Ksus 2 Mij Iij d2θ dt2 s cs dus dt Ksu s 3 式中mij为颗粒单元 i， j 的等效质量;Iij而为颗粒单元 的等效转动惯量;s 为旋转半径;un， us分别为颗粒单 元的法向和切向相对位移;θ 为颗粒单元自身的旋转 角;Fnij， Fsij分别为颗粒单元所受外力的方向和切向分 量;Mij为颗粒所受外力矩;cn， cs 分别为接触模型中的 法向和切向阻尼系数;Kn， Ks分别为接触模型中法向 及切向刚度系数。 由 Hertz［19 ］接触理论颗粒之间与作用力之间的关 系为 a 3πF ki kj RiRj 4 Ri Rj 1/3 4 α 9π 2F2 k i kj 2 R i Rj 16RiR j 1/3 5 q0 3F 2π 4 Ri Rj 3πF ki kj RiR j 2/3 6 式中a 为接触圆半径;α 为法向叠合量;q0为最大接 触压力;F 为颗粒之间的总压力;Ri和 Rj分别为两接 触颗粒的半径;ki， kj分别为颗粒的压力分布比例尺。 ki 1 － v2 i /πEi 7 kj 1 － v2 j /πEj 8 式中vi， vj分别为两接触颗粒的泊松比;Ei， Ej 为两接 触颗粒的弹性模量。则法向刚度系数表达式为 Knij 4 3 1 － v2 i Ei 1 － v2 j E j －1 Ri Rj RiR j －1/2 9 根据 Mindlin 切向接触力求解方法 ［20 ］， 得到切线 刚度计算公式 Ksij 8α1/2 1 － v2 i Gi 1 － v2 j G j －1 Ri Rj RiR j －1/2 10 式中Gi， Gj分别为两颗粒单元的剪切模量。 由牛顿第二定律， 可以得到颗粒的运动方程为 miu i ∑F Iiθ i ∑ { M 11 式中mi， Ii分别为颗粒单元 i 的质量和转动惯量;u i， θ i分别为颗粒单元 i 的加速度和角加速度;∑F 为颗 粒单元i在质心处所受外力的合力;∑M 为颗粒单元 i 在质心处所受的和外力矩。 利用中心差分法 ［21 ］对式 11 进行数值积分， 得到 以两次迭代步长的中间点的更新速度为 u it 1 2 Δt u it－ 1 2 Δt ［∑F/mi］ t Δt θ it 1 2 Δt θ it－ 1 2 Δt ［∑M/Ii］ tΔ { t 12 式中Δt 为时间步长。 对式 12 进行积分处理， 则可以得到位移等式 ui tΔt ui t u it 1 2 ΔtΔt θ itΔt θi t θ it 1 2 Δt Δ { t 13 进行再次积分则可以得到位移更新表达式 ui tΔt ui t u it Δt θ itΔt θi t θ itΔ { t 14 由此， 可以得到新的位移， 然后带入力 － 位移关系 式运用牛顿第二定律计算新的作用力， 实现跟踪每个 颗粒在任意时刻的运动。 931第 24 期宋晓宇等颗粒冲击形式对阻尼器能量损耗影响的研究 ChaoXing 1． 2仿真模型 本文建立的 3D NOPD 颗粒系统仿真模型， 如图 1 所示。包括圆柱形容器和圆台形容器两类 共 6 种 。 图 1 DEM 颗粒阻尼仿真模型 Fig． 1DEM model of the NOPD 所有容器的高 H 均为 40 mm， 下端面直径 D2为 14． 2 mm 除圆柱Ⅱ外 ， 容器形状参数见表 1。文中涉 及的所有颗粒阻尼器除形状外， 其它参数设置 包括材 质参数、 颗粒参数等 均严格一致。其中圆柱Ⅰ的模型 及材料等参数都是基于姜泽辉等研究中所用实验材料 而设定， 相关参数设置如表 2 所示。在仿真过程中阻 尼器受到竖直向上的正弦激励， 保持振动频率 f 60 Hz不变， 振动强度 Γ 分别为 2． 63， 3． 83， 8． 06， 8． 75， 9． 64， 11． 72， 12． 61， 14． 56， 15． 72， 具体选取原则见姜泽 辉等的研究。 表 1 DEM 仿真容器形状参数 Tab． 1Container shape parameters used in the DEM simulationmm 容器类型上端面 D1下端面 D2高度 H 圆柱Ⅰ14． 214． 240 圆柱Ⅱ131340 圆台Ⅰ12． 414． 240 圆台Ⅱ11． 614． 240 圆台Ⅲ10． 814． 240 圆台Ⅳ1014． 240 表 2 DEM 仿真材料特性及参数 Tab． 2Physical properties and parameters used in the DEM simulation 仿真参数参数值 颗粒材料密度 ρ/ kgm －3 7 800 颗粒材料弹性模量 Ep/Pa 206 109 颗粒材料泊松比 νp0． 3 颗粒直径 d/m 0． 001 总颗粒数量3 200 容器材料密度 ρc/ kgm －3 1 190 容器材料弹性模量 Ec/Pa 3． 3 109 容器材料泊松比 νc0． 37 恢复系数 e 0． 92 静摩擦因数 μs0． 3 滚动摩阻系数 μr0． 01 时间步 Δt/s 2． 07 107 仿真时间 t/s 3 2结果与讨论 2． 1模型验证以及冲击形式的比较 通过分析圆柱Ⅰ内颗粒对系统的冲击结果 见图 2 发现， 在 Γ 9． 64 和 Γ 14． 56 时， 冲击信号内分别 存在20 Hz和 15 Hz 的谐波， 说明在 Γ 9． 64 和 Γ 14． 56时容器内颗粒产生周期分岔现象 分别为三倍周 期分岔和四倍周期分岔 。而在 Γ 2． 63 时并没有 谐波的出现， 所以此时颗粒并没有产生分岔。以上 结果与姜泽辉等所得的结论一致。通过图 3 也发现 仿真结果与姜泽辉等研究中 文献中图 1 的实验结 果基本一致， 所以本文中仿真模型以及相关参数设 定比较可靠。 图 2圆柱Ⅰ内颗粒对系统冲击力信号的 FFT 频谱图 Fig． 2FFT spectrogram of particle- to- system impact in cylinder Ⅰ 为了突出对比结果， 本文首先将倾角最大的圆台 Ⅳ与圆柱Ⅰ进行对比。仿真结果显示， 在振动强度以 及其它参数一定的条件下， 两种容器内的颗粒对系统 呈现出截然不同的冲击方式 见图 4 。在振动强度较 低时 Γ 2． 63， Γ 3． 83 ， 颗粒对两种容器的冲击次 数以及冲击力度基本相同。但是随着振动强度的提 高， 圆柱Ⅰ内的颗粒出现了非常规律的周期分岔现象 表现为冲击脉冲稀疏 ， 而圆台Ⅳ内颗粒对系统的冲 击次数要远远多于圆柱形。也就是， 随着振动强度的 提高， 圆台Ⅳ对冲击力的分岔现象表现出明显的抑制 作用。 由图 4 可知， 当 Γ 14． 56 时， 在 0． 2 s 内圆台 Ⅳ内颗粒对系统的平均冲击力为 2． 04 N， 冲击次数 为 8 次; 圆 柱 Ⅰ 内 颗 粒 对 系 统 的 平 均 冲 击 力 为 4． 2 N， 冲击次数为 4 次。在该强度下， 圆台形容器 内颗粒每次对系 统 的 平 均 冲 击 力 仅 为 圆 柱 形 的 51 ， 但冲击次数几乎是其二倍。所以本文中将圆 台Ⅳ内颗粒对系统的这种冲击形式称为“小而密” 型， 圆柱Ⅰ内颗粒对系统的冲击形式称为“大而疏” 型。研究发现造成二者冲击形式不同的原因主要与 容器内颗粒的运动形式有关。 041振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 图 3圆柱Ⅰ内颗粒对系统的冲击力随时间的变化 Fig． 3The impact force of particles- to- system in cylinder Ⅰover time 注 由下到上振动强度依次为 2． 63， 3． 83， 8． 06， 9． 64， 11． 72， 12． 61， 14． 56， 15． 72 图 4颗粒对系统的冲击力随时间的变化 Fig． 4The impact force of particles- system over time 以 Γ 9． 64 为例， 在一个周期内 见图 5 ， 颗粒的 运动基本可以分为四个阶段， 分别是上升阶段、 过渡阶 段、 下降阶段和冲击阶段。每个周期开始颗粒都会以 振动台的速度被弹起， 颗粒进入上升阶段。 在圆柱Ⅰ内颗粒运动有很强的整体性， 颗粒被弹 起后以一个比较大的整体速度向上飞行。由于在该振 动强度下颗粒的飞行时间大于振动台的振动周期且颗 粒的向上位移较大， 所以在颗粒的上升阶段、 第一个过 渡阶段和下降过程中振动台已经做了 2 次“空载” 运 动， 在冲击阶段颗粒被再次弹起时， 振动台恰好完成了 三个周期的运动。 图 5容器内颗粒运动形式随时间变化 Fig． 5The of particle movement in the container changes over time 反观圆台Ⅳ内的颗粒则有明显的区域运动形式。 由于在运动过程中容器底部靠近内壁处的颗粒一直受 到侧壁与中心区域颗粒的强烈挤压， 使其向上运动的 速度分量比较小， 在整个飞行过程中运动位移也比较 小， 所以在过渡阶段颗粒群底部的颗粒有机会与处于 上升阶段的容器底部进行冲击， 在该过程中容器随振 动台运动了两个周期所以底部颗粒可以在过渡阶段与 容器底部冲击两次 图带黑点图表示颗粒与系统底部 冲击瞬时 。随后颗粒群整体进入下降阶段， 在冲击阶 段时， 颗粒群再次有容器底部发生第三次冲击。 在其它振动条件下， 同样也是由于圆台Ⅳ内位于 颗粒群底部的颗粒因为受侧壁与中心区域颗粒的挤压 而使其向上的位移分量较小， 从而有机会与处于上升 阶段的容器底部发生冲击。相比圆柱Ⅰ， 圆台Ⅳ内颗 粒的这种运动形式使其对冲击力的分岔现象有了一定 的抑制作用。在相同的振动条件下， 圆台Ⅳ内颗粒的 冲击次数要多于圆柱Ⅰ内的颗粒。 2． 2冲击形式对能量损耗的影响 颗粒阻尼器的耗能主要是通过阻尼器内颗粒之间 的摩擦、 碰撞所引起的。由图 6 可知， 颗粒冲击与能量 图 6圆台Ⅳ内颗粒瞬时能量损耗以及冲击力随时间的 变化 振动条件 f 60 Hz，Γ 3． 83 Fig． 6Instantaneous energy dissipation and impact force of particles in conical container Ⅳ over time vibration conditions f 60 Hz，Γ 3． 83 141第 24 期宋晓宇等颗粒冲击形式对阻尼器能量损耗影响的研究 ChaoXing 损耗具有一定的同步性。颗粒每次冲击容器底部时 都会造成颗粒间比较强烈的碰撞与摩擦从而产生大 的能量耗散。并且冲击力的大小与能量损耗量也有 一定的正比关系， 大冲击力对应的瞬时耗能也大， 反 之亦然。 通过图 7 可知， 颗粒的能量损耗累积图呈现阶梯 型， 当颗粒处于飞行过程时， 颗粒的能量损耗几乎为 零。当颗粒与容器底部发生冲击时， 在图中的能量损 耗累积线就会出现一个比较明显的阶梯［22 ］， 并且阶梯 的大小与冲击力的大小存在一定的正比关系， 冲击力 度大能量损耗就大。在振动强度较小 Γ 2． 63 时， 两种容器内的能量损耗几乎相同 见图 7 。但是， 随 着振动强度的提高， 圆柱Ⅰ内颗粒出现了分岔现象， 冲击力呈现“大而疏” 的冲击形式， 能量损耗累积阶 梯也相应的呈现阶梯“大而少” 型。相比于圆柱Ⅰ， 圆台Ⅳ由于其颗粒运动的独特性， 颗粒对系统的冲 击呈“多而密” 型。同样， 其能量损耗累积也呈现相 应的阶梯“小而多” 型。值得注意的是， 两种不同的 冲击方式所对应的能量耗散量是不同的。圆台Ⅳ内 颗粒的“小而密” 的冲击方式所产生的能量损耗要 远远大于圆柱Ⅰ内颗粒的能量损耗， 这显示了“小 而密” 型冲击形式的优越性。 图 70． 2 s 内圆台Ⅳ和圆柱Ⅰ内颗粒的能量损耗累积 Fig． 7Accumulation of energy dissipation of particles in cylinder container Ⅰ and conical container Ⅳ within 0． 2 s 为了充分说明冲击形式与损耗功率之间的依赖关 系， 本文在以上对圆柱Ⅰ与圆台Ⅳ内颗粒运动形式深 入对比的基础上， 进一步对比分析了不同阻尼器内颗 粒床的振动与耗能特性。图 8 中列举了 6 种不同容器 的颗粒阻尼器在各个振动强度下的损耗功率， 并且以 圆柱Ⅰ的冲击次数为基数 1， 得出在相同振动条件下其 它形状容器内颗粒冲击次数与圆柱Ⅰ内冲击次数的比 值曲线。 首先， 圆柱Ⅰ和圆柱Ⅱ的曲线变化显示， 尽管容器 注 实线代表损耗功率; 虚线代表冲击次数比 图 8 6 种颗粒阻尼器的损耗功率以及冲击次数比 Fig． 8The loss power and impact ratio of six particle dampers 高径比发生了变化 导致颗粒填充率发生变化 ， 但是 二者在相同振动条件下的冲击次数比值基本接近 1， 损 耗功率在较小范围内波动。即该变化并没有对二者的 冲击形式以及相应的损耗功率造成显著影响。本文中 其它种类容器内颗粒的填充率均介于圆柱Ⅰ与圆柱Ⅱ 的填充率之间， 所以由倾角变化引起的填充率的较小 波动并不是造成两类容器冲击形式以及损耗功率差异 的主导因素。 总体上看， 损耗功率与冲击次数比的曲线具有相 同的变化趋势。在振动水平较低时 Γ 2． 63， Γ 3． 83 ， 6 种阻尼器的冲击形式基本相同 冲击次数比 基本为 1 ， 损耗功率也都稳定在约 0． 005 W。但是， 随 着激振强度的提高 Γ ＞ 3． 83 ， 圆台形容器抑制冲击 力周期分岔的能力逐渐显现， 圆台形与圆柱形容器所 对应的冲击形式以及损耗功率也开始出现分化。尤其 是在 Γ≥9． 64 时， 除圆台Ⅰ外所有圆台的冲击次数都 是相同振动条件下圆柱Ⅰ内颗粒冲击次数的二倍以 上， 此时圆台形阻尼器相对应的损耗功率也远大于圆 柱形阻尼器所对应的损耗功率。并且随着振动强度的 继续增强， 这两类容器的冲击形式以及损耗功率之间 的差异将进一步扩大。 圆台形容器倾角的渐变 上端面直径的变化 引起 了损耗功率的改变， 但这种改变是基于冲击形式的变 化 见图 8 。例如， 圆台形Ⅰ倾角较小， 冲击次数介于 圆柱Ⅰ、 圆柱Ⅱ与圆台Ⅱ、 圆台Ⅲ、 圆台Ⅳ之间， 颗粒床 对冲击力周期分岔的抑制能力较弱， 所以其损耗功率 虽然高于圆柱形容器但明显小于圆台Ⅱ、 圆台Ⅲ、 圆台 Ⅳ。不过值得注意的是， 虽然圆台Ⅲ、 圆台Ⅳ的倾角比 圆台形Ⅱ要大， 但是由于倾角的变化并未导致冲击形 式的显著变化 冲击次数与圆台Ⅱ相差较小 ， 所以其 损耗功率仍没有本质的变化。综上， 圆台形倾角的变 化对损耗功率的影响取决于倾角的改变是否导致冲击 形式的变化， 进一步说明， 冲击形式才是导致损耗功率 241振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 发生显著变化的根本原因。 3结论 本文基于离散单元法理论， 结合 NOPD 中颗粒的 运动形态对不同形状容器中颗粒所产生的冲击形式进 行对比分析， 探究不同冲击形式对能量损耗的影响， 得 到的主要结论如下 1圆柱形容器与圆台形容器由于其内颗粒的运 动形式不同， 导致颗粒对系统的冲击形式也不同。当 振动强度较大时， 圆柱形容器内颗粒出现了明显的分 岔现象， 其冲击力呈现“大而疏” 型。而圆台形容器内 颗粒对冲击力的分岔现象具有一定的抑制作用， 其冲 击力呈 “小而密” 型。 2颗粒阻尼器中颗粒的能量损耗累积呈“阶梯” 型， 且阶梯形态与冲击形式具有较高的同步性。冲击 力度大则阶梯大， 冲击次数多则阶梯多。不同的冲击 形式会表现出不同的能量损耗 ， “小而密” 型冲击形式 表现出更加优异的耗能能力。 3圆台形容器的抑制周期分岔的能力与其倾角 在一定范围内呈正相关。但倾角大于某个值后， 冲击 形式也会趋于稳定， 相应的损耗功率基本保持稳定。 综上， 作为能量从振动设备向颗粒床转移的关键 环节， 冲击形式将直接影响颗粒阻尼器的能耗效果。 因此， 在以后颗粒阻尼器研究中应充分重视由冲击形 式不同而引起的能量耗散的差异， 同时也可将改变颗 粒床对系统的冲击形式作为优化颗粒阻尼器阻尼特性 的重要方向之一。 参 考 文 献 ［1］ 鲁正， 吕西林， 闫维明． 颗粒阻尼技术的研究综述［ J］ ． 振 动与冲击， 2013， 32 7 1 －7． LU Zheng，L Xilin，YAN Weiming． A survey of particle damping techology［J］ ．Journal of Vibration and Shock， 2013， 32 7 1 －7． ［2］ SAEKI M． Analytical study of multi- particle damping ［J］ ． Journal of Sound and Vibration， 2005， 281 3/4/5 1133 － 1144． ［3］ YANG M Y． Development of master design curves for particle impact dampers［D］ ． PhiladephiaThe Pennsylvania State University， 2003． ［4］ WONG C X，DANIEL M C，RONGONG J A．Energy dissipation prediction of particle dampers［J］ ．Journal of Sound and Vibration， 2009， 319 1 91 －118． ［5］ 毛宽民， 陈天宁， 黄协清． 非阻塞性微颗粒阻尼机理的散 体元研究［ J］ ． 西安交通大学学报， 1999， 33 9 80 －84． MAOKuanmin， 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