利用球形弹簧摆对输电塔风振控制的有限质点法_黄正.pdf

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2． Guangdong Diankeyuan Energy Technology Co． ，Ltd． ，Guangzhou 510080，China Abstract In order to study control effect of spherical spring pendulum on wind- induced vibration of transmission towers，a reduced model of transmission tower was established with segmental isostiffness beam elements． The element interal force calculation ula based on Timoshenko beam theory for spatial beam structrues was derived． The wind- induced responses of the reduced model and the reduced model- spherical spring pendulum coupled system were analyzed with the finite particle ，respectively． On one hand，due to internal resonance property，the spherical spring pendulum realized a nonlinear energy sink to increase the frequency band width of vibration suppression and improve the robustness． On the other hand，because of nonlinear coupling between the spherical spring pendulum and the reduced model，vibration energy in wind direction was transferred to that in transverse wind direction． Although the system response in transverse wind increased，the overall response of the system decreased． The calculation results showed that the vibration reduction effect of spherical spring pendulum is excellent; when it is installed at 3 positions except tower top， vibration reduction rates for the maxium displacement and the acceleration root mean square are in ranges of 32． 5- 42． 5 and 35． 7- 65． 2，respectively;if keeping mass ratio and installation position unchanged，spherical spring pendulum has a wider design frequency band;using spherical spring pendulum can significantly reduce standard deviation of displacements so as to reduce fatigue damage risk of structures． Key words transmission tower;spherical spring pendulum;wind- induced response;vibration control;finite particle 高压和特高压输电线路作为超远距离电能输送的载体， 是电力建设的生命线工程。大跨越格构式输电 塔因为结构高、 跨度大， 具有柔度大、 阻尼小等特点， 属 于风敏感结构， 在强风载荷作用下振动效应明显， 其风 致振动控制是结构工程领域急需解决的课题。通过材 料和刚度等效， 格构式输电塔可简化为梁模型 ［1 ］， 首先 ChaoXing 输电塔被划分为若干段， 每段具有相同截面属性， 然后 确定每段的等效轴向、 弯曲、 扭转、 剪切刚度以及质量。 Dua 等 ［2 ］根据文献［ 1］方法建立输电塔的等效简化模 型， 并 研 究 湍 流 风 载 荷 作 用 下 结 构 的 极 值 响 应。 张伟 ［3 ］将输电塔简化为矩形横截面的变截面梁， 只考 虑一阶振型函数， 采用伽辽金法离散振动微分方程， 研 究了系统的幅频特性和稳定性。张庆华等 ［4 ］采用串联 多质点系力学模型 ［5 ］， 将输电塔简化为具有多个集中 质量的串联多自由度体系。刘石等 ［6 ］使用串联多质点 模型对比了调谐质量阻尼器 TMD 和主动调谐质量阻 尼器 ATMD 的风振控制效果， 研究表明经过优化的 TMD 具有与基于 LQR 最优控制理论的 ATMD 相接近 的减振效果。Lynch［7 ］研究了三维弹性摆的性质， 指出 当弹簧模态和摆模态的频率之比为 2∶ 1时， 会发生非线 性内共振， 能量在两种模式之间周期性的来回传递。 贺叶飞等 ［8 ］提出用悬挂质量摆减小输电塔结构的振 动， 数值模拟和试验结果都表明悬挂质量摆可以有效 降低塔的加速度响应。Zhang 等 ［9- 10 ］研究了平面弹簧 摆对输电塔线体系在风载荷和地震作用下的减振效 果， 证明利用弹簧摆内共振性质产生的减振效果优于 悬挂质量摆。Ikeda 等 ［11 ］将塔型结构简化为两自由度 模型， 研究单个球形摆振动吸振器 SPVA 的减振特 性， 因为单个 SPVA 在正交方向上具有相同固有频率， 它可以同时抑制两自由度结构在两个方向的振动。与 平面弹簧摆相比， 球形弹簧摆不仅能利用内共振减振， 还可以实现全向型减振， 并且能将部分顺风向振动能 量转移到横风向达到进一步降低总体响应的目的; 与 SPVA 相比， 球形弹簧摆利用内共振减振， 具有更宽的 振动抑制频带。 向量式有限元是由 Ting 等 ［12- 13 ］提出， 并被发展为 更面向空间结构分析的计算方法， 即有限质点法 ［14- 15 ］。 该方法基于向量式结构力学， 用有限数量的质点来模 拟结构的变形行为， 通过单元内力实现质点运动的互 制。该方法不需要组装单元刚度矩阵和迭代求解， 在 处理结构几何非线性、 材料非线性、 不连续行为等的计 算中具有独特优势， 已经成功用于多种类型的结构复 杂行为分析。基于有限质点法， 喻莹等 ［16 ］分别使用杆 系和梁系模型研究悬挑网架结构的倒塌过程， 并采用 梁杆混合模型分析了双层柱面网壳在强风作用下的倒 塌破坏行为。基于杆模型计算单元内力， 姚旦等 ［17 ］使 用向量式有限元研究格构式输电塔的风致响应和倒塌 过程; 孙珩等 ［18- 19 ］将有限质点法应用到地震作用下的 输电塔倒塌模拟中。 本文研究利用球形弹簧摆的内共振性质及其与结 构形成的非线性耦合， 实现非线性能量阱和能量转移， 达到降低输电塔风振响应的目的。通过建立输电塔简 化模型， 研究了球形弹簧摆在不同工况下的减振效果， 验证了其具有较宽的振动抑制频带和良好的振动控制 能力。 1输电塔的简化模型与求解 为了便于研究球形弹簧摆对输电塔的减振效果， 可将输电塔简化为悬臂型的变截面梁， 同时为了更好 考虑横担的影响， 横担也可以简化为刚性连接在输电 塔主体结构上的变截面梁。如图 1 所示， 应用有限质 点法对梁结构离散， 并假设梁单元在两个主轴方向的 特性相同， 在每个单元内横截面假设为常数， 但是它们 在不同单元之间可以是不同的。 图 1输电塔简化模型的有限质点法离散示意图 Fig． 1Discrete diagram of finite particle of the reduced model of transmission tower 1． 1质点运动方程 在有限质点法中， 假设运动变形过程中每个质点 均处于动平衡状态， 故所有质点的运动都遵循牛顿第 二定律， 可以采用简单的中心差分算法求解运动方程。 对于空间 Timoshenko 梁单元来说， 其运动变量包含三 个线位移和三个角位移， 分别对应三个力和三个力矩， 那么质点运动方程可以表示为 mpu p f ext p － f int p － f damp p ， Ipθ p mext p － mint p － mdamp p 1 式中 mp和 Ip分别是质点 p 的等效质量和等效质量惯 性矩; up和 θp分别是质点 p 的线位移和角位移向量; f ext p 和 mext p 分别是作用在质点上的等效外力和外力矩; f int p 和 mint p 分别是由于质点运动导致单元变形引起的 节点内力和力矩; f damp p 和 mdamp p 分别是质点阻尼力和力 矩， 通常假设为与质量和转动惯量相关， 表达式分别为 f damp p μmpu p以及 m damp p μIpθ p， μ 是阻尼因子。还有， mp和 Ip以及 f ext p 和 mext p 等的计算方法详见文献［ 13］ ， 不再赘述。 通常， 有限质点法采用显式的中心差分算法求解 方程 1 。那么， 质点的位移可以写为 762第 1 期黄正等利用球形弹簧摆对输电塔风振控制的有限质点法 ChaoXing Xp， tΔt 2c1Xp， t－ c2Xp， t－Δt c1 Δt 2M－1 p Fext p － Fint p 2 式中 c1 1/ 1 μΔt/2 ; c2 c1 1 － μΔt/2 ; Δt 是时 间步长; X 是质点的线位移或角位移组成的列向量; Mp 是 mp或 Ip构成的矩阵。下面将给出在单元局部坐标 系中 Timoshenko 梁单元的内力计算公式。 1． 2单元内力计算公式 考虑图 2 所示的两节点空间 Timoshenko 梁单元， 该单元有两个节点， 每个节点有六个自由度， 即三个平 动自由度和三个转动自由度。假设没有外载荷作用在 两个节点之间， 忽略扭转产生的轴向翘曲位移; u 是梁 轴线上一点沿 x 轴方向的位移， v 和 w 分别是梁轴线上 一点沿 y 和 z 方向的横向位移; φ、 ψ 和 θ 分别是横截面 关于坐标轴 x、 y 和 z 的小转角。那么， Timoshenko 梁单 元内力的计算表达式为 F2x － F1x EA lb－ la /la M2x － M1x kxGJφ2/la M1y c0 c1 ψ 1 c0 c2 ψ 2 M2y c0 c2 ψ 1 c0 c1 ψ 2 M1z d0 d1 θ 1 d0 d2 θ 2 M2z d0 d2 θ 1 d0 d1 θ 2 F1y － F2y M1z M2z /2 F1z － F2z M1y M2y /2 3 c0 1 4 β2zα2zkzGAla c1 β 2 z 4 2αz α 2 z EIy/la c2 β 2 z 2 － 2αz － α 2 z EIy/la d0 1 4 β2yα2ykyGAla d1 β 2 y 4 2αy α 2 y EIz/la d2 β 2 y 2 － 2αy － α 2 y EIz/la 4 αy 12EIz kzGAl2 a ， β y 1 1 αy， αz 12EIy kyGAl2 a ， β z 1 1 αz 5 式中 la和 lb分别是梁的参考长度和当前长度; k x是扭 曲翘曲对扭转刚度的影响因子， ky和 kz是横截面剪切 修正因子; A 是横截面面积， Iy和 Iz是截面惯性矩， J 是 截面极惯性矩， 它们计算如下 A ∫ AdA， Iy ∫ Az 2dA， Iz∫ Ay 2dA， J ∫ A y 2 z2 dA 6 值得指出的是， 有限质点法采用显式的中心差分 算法求解未知变量， 上述公式以当前时刻的前一时刻 作为参考时刻计算， 即式 3 中的内力为一个时间步的 增量值， 最终需要叠加参考时刻的内力， 然后变换到整 体坐标系中并作用到相应的质点。 图 2两节点空间梁单元 Fig． 2Two node spatial beam element 2球形弹簧摆的运动方程 如图 3 所示， 假设弹簧的自然长度为 l0， 在重力作 用下的长度 lg可以为 lg l0 mp msp/2 g/ksp 7 式中 mp是摆的质量; msp是弹簧的质量; ksp是弹簧的刚 度; g 是重力加速度。 在 xyz 坐标系中， 设球形弹簧摆的悬挂点 H 的位移 为 us， vs， ws 。质块的位移为 up， v p， wp ， 变形后的弹 簧长度可以表示为 l up－ us 2 vp－ vs 2 lg wp－ ws 槡 2 8 将球形弹簧摆看作一个单元， 根据有限质点法， 质 块处质点的运动方程为 mp msp/2 u p － ksp l － l0 up－ us /l mp msp/2 v p － ksp l － l0 vp－ vs /l mp msp/2 w p － ksp l － l0 lg wp－ ws /l － mp msp/2 g 9 弹簧张力在 xyz 坐标系中三个分量可以表示为 Tx ksp l － l0 up－ us /l Ty ksp l － l0 vp－ vs /l Tz ksp l － l0 lg wp－ ws /l 10 值得指出的是， 输电塔简化模型与球形弹簧摆通 过弹簧张力形成耦合系统， 但有限质点法不需要求解 耦合方程。 图 3球形弹簧摆的运动描述 Fig． 3Description of the motion of a spherical spring pendulum 862振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 3球形弹簧摆减振分析 在有限质点法中， 质点运动都遵循牛顿运动定律， 先求解质点运动方程， 然后计算单元内力， 同时单元内 力用于制约质点运动。因此， 对于输电塔与球形弹簧 摆耦合系统， 无需联立系统方程求解， 这是有限质点法 的一个优势。 3． 1简化模型的参数 考虑如图 1 所示的输电塔简化模型， 结构几何参 数列在表 1 中， 梁单元的参数列在表 2 中， 所有参数采 用国际标准单位。在本文中， 只考虑质量阻尼， 并设阻 尼因子 μ 0． 02。 表 1简化模型的结构几何参数 Tab． 1The structural geometric parameters of the reduced model h1h2h3h4w1w2w3w4 43． 551． 057． 062． 54． 04． 64． 03． 0 表 2梁单元参数 Tab． 2Parameters of beam element EGρkx ky， kz 206 109103 1097 8501． 2 输电塔主体部分顶部单元长 1． 0 m， 其余单元长 1． 5 m; 横担每侧划分为等长的两个单元， 靠近主体部 分的单元边长是远离主体部分单元边长的两倍。那 么， 共得到 58 个单元和 59 个质点。梁单元横截面为 空心正方形， 厚度 t 与边长 b 的比值为 1/100。输电塔 主体部分的横截面边长为 b 2． 09 － 0． 03i 11 式中， i 是单元编号， 从塔腿到塔顶编号依次为 i 1， ， 42。 表 3靠近主体部分的横担的横截面边长 Tab． 3The length of the cross section of the crossarm closed to the main part 下横担中横担上横担地线横担 0． 841 50． 735 40． 650 50． 565 7 3． 2简化模型的特性与验证 由于有限质点法不计算结构刚度矩阵， 为了展示 简化模型的固有特性， 本文用有限单元法对简化模型 进行模态分析。表 4 列出了简化模型的几个典型模态 频率和振型类型。 表 4简化模型的振型和频率 Tab． 4Modes and frequencies of the reduced model 阶数12348 频率/Hz0． 752 60． 753 0 3． 014 93． 027 513． 138 振型类型 Y 向 一阶弯曲 X 向 一阶弯曲 Y 向 二阶弯曲 X 向 二阶弯曲 Z 向 一阶扭转 除了结构自重， 分别考虑两种工况 ①在 x 向施加 恒定惯性载荷， 加速度大小为重力的倍数; ②在输电塔 主体顶部 43 号节点处施加载荷 104sin 2πt 。使用有 限质点法 FPM 和有限元法 FEM 分别计算上述两种 工况， 比较输电塔主体顶部 43 号节点的位移， 如图 4 所示， 可以看出本文方法和有限元法计算结果吻合地 很好， 证明本文公式和程序的正确性。 a位移载荷曲线 b位移时间历程 图 4简化模型主体顶部质点的位移响应 Fig． 4Load- displacement curve and time history of displacement response of the particle at top of the main part of the reduced model 3． 3风载荷模拟 通常大气边界层风可以分解为平均风和脉动风。 平均风剖面主要有对数律和指数律两种描述。根据 建筑结构载荷规范 GB 500092012 ， 采用指数律， 平均风剖面沿高度变化的规律可以表示为 U z u10 z/10 α 12 式中 u10是10 m 高度处的基本风速; α 是地面粗糙度; z 是高度。 在结构风工程中， 一般将脉动风假设为满足零均 值的高斯平稳过程的随机风， 具有各态遍历性， 可用功 率谱密度函数和相关函数来描述。这里采用 von Karman 功率谱， 即 Su f 4σ 2 uLu/U ［ 1 70． 8 fLu/U 2］5/6 962第 1 期黄正等利用球形弹簧摆对输电塔风振控制的有限质点法 ChaoXing Sv f 4σ2 vLv/U ［ 1 755． 2 fLv/U 2］ ［ 1 283． 2 fLv/U 2］11/6 Sw f 4σ2 wLw/U ［ 1 755． 2 fLw/U 2］ ［ 1 283． 2 fLw/U 2］11/6 13 式中 f 是频率; u、 v 和 w 分别代表顺风向 x、 水平横风 向 y 和竖直横风向 z; Lu、 Lv和 Lw是湍流积分尺度; σu、 σv和 σw是风速波动的标准差。根据文献［ 20］ ， 湍流 强度和平均风速之间存在如下关系 σu IuU， σv IvU， σw IwU 14 式中， Iu、 Iv和 Iw是湍流强度。顺风向湍流强度为 Iu z I10 z/10 －α 15 式中， I10是高度 10 m 处的湍流强度。使用日本规范 AIJ 1996 ， 顺风向的湍流积分尺度为 Lu 100 z/30 0． 5 16 表 5风速模拟的相关参数 Tab． 5Parameters for wind speed simulation u10I10 α z0 σu /σ v/ σw Cuy， Cvy， Cwy Cuz， Cvz， Cwz 30． 00． 140． 160． 11∶ 0． 8∶ 0． 5 7， 7， 7 10， 10， 10 根据式 12 和 14 ， 得到 σu Iuu10， 再根据表 5 中沿湍流分量的标准差之比， 可以得到其它湍流分量 的标准差、 强度和湍流分量 u 的积分尺度， 并且令湍流 分量 v 和 w 的积分尺度与 Lu之间的关系为 Lu2Lv 2Lw。Daveport［21 ］建议空间相关函数服从指数衰减规 律， 在 y 方向的衰减系数为 Ciy， 在 z 方向的衰减系数为 Ciz， 其中 i u， v， w 。 采用谐波合成法 ［22 ］模拟得到的塔顶风速时程和脉 动风速功率谱如图 5 所示， 可以看出模拟结果与给定 的目标谱吻合较好。 风速时程是由平均风和脉动风两部分组成， 因此 得到各模拟点脉动风速时程后需与相应点平均风速相 加， 对于横风向和竖风向平均风速假设为零， 从而得到 作用在输电塔结构上的风载荷时程为 F t μsAn珓v 2 /1． 6 式中 μs和 An分别是输电塔的体型系数和挡风面积; 珓v 是模拟点的风速时程， 可以是顺风向、 横风向和竖风向 的风速。 3． 4球形弹簧摆减振效果分析 为了验证球形弹簧摆的减振效果， 选择如图 1 所 示的输电塔简化模型作为被控结构。在本文中， 球形 弹簧摆系统与输电塔的质量比记作 λ， 设弹簧的质量 msp和摆的质量 mp分别为球形弹簧摆系统质量的 2 和 98; 参数设计使得球形弹簧摆满足 1∶ 2内共振， 且 摆的频率与输电塔一阶固有频率之比为 1∶ 1; 风向角假 设为 0。四个横担与主体结构的连接点从下到上分别 记作PA、 PB、 PC和PD， 分别计算球形弹簧摆安装这四 a风速时程 b功率谱密度 图 5塔顶风速时程和功率谱密度 Fig． 5Simulated time histories and power spectrum density of wind speed at the top of tower 个位置时的减振效果。 有限质点法采用中心差分算法， 为保证数值求解 稳定性， 经试算， 时间步长取为 2． 5 10 －4 s， 模拟总时 长为500 s。突加风载荷对结构振动的影响需要经过较 长时间的衰减， 如图 6 所示， 突加风载荷的影响约在 300 s 之后基本可以忽略， 因此本文以 300 ～500 s 的计 算结果来评价减振效果。 为了便于评价球形弹簧摆减振效果， 定义减振 率为 γ σs － σ c σs 100 18 式中 γ 是减振率; σs和 σc分别是无控结构和受控结 构顺风向的响应， 例如位移最大值、 加速度均方根 值等。 图 7 给出了在不同质量比下， 顺风向塔顶最大位 移、 位移标准差和加速度均方根的减振率。从图中可 以看出， 除塔顶 PD 外， 在其它位置安装球形弹簧摆均 能 起到很好地减振效果， 位移最大值的减振率在 072振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 6塔顶位移、 加速度和轴力响应时程 Fig． 6Simulated time histories of displacement，acceleration and axial force response at the top of tower a最大位移 b加速度均方根 图 7不同质量比和安装位置下的塔顶顺风向响应的减振率 Fig． 7Vibration reduction ratios of the response at the top of tower in downwind with different mass ratios and intallation positions 32． 5 ～41． 7， 加速度均方根的减振率在 35． 7 ～ 65． 2。对于不同的安装位置， 减振率随着质量比的 变化规律也不相同。当球形弹簧摆安装在 PD 时， 对加 速度的控制效果较差， 甚至当质量比为 5 时， 计算得 到的加速度幅值呈发散趋势， 如图 8 所示。由于结构 与球形弹簧摆耦合系统的非线性响应非常复杂， 为了 保证球形弹簧摆具有良好的减振效果， 应避免将其安 装在塔顶。 图 8质量比为 5和位置安装为 PD 时塔顶顺风向位移和加速 度响应时程 Fig． 8Simulated time histories of displacement and acceleration response at the top of tower in downwind with mass ratio 5 and intalled at PD 如图 9 所示， 球形弹簧摆是一种对位移响应反应 灵敏的减振装置， 能够显著减小位移标准差。位移响 应标准差与结构疲劳载荷相关性较大， 输电塔架长期 受风载荷作用， 疲劳损伤是导致输电塔线倒塌破坏的 一个重要原因。由于球形弹簧摆和输电塔简化模型是 一个非线性耦合系统， 在显著降低顺风向响应的同时 会增大横风向响应， 如图 10 所示， 但总体的响应幅值 相对于无控结构来说仍有明显降低。因此， 总体来看， 球形弹簧摆对输电塔结构具有良好的减振效果。 图 9不同质量比和安装位置下的塔顶顺风向位移标准差的减 振率 Fig． 9Vibration reduction ratios of the standard deviation of displacement at the top of tower in downwind with different mass ratios and intallation positions 为了研究球形弹簧摆设计频率对减振效果的影 响， 在 0． 60 ～0． 90 Hz 区间每间隔 0． 02 Hz 取一个值作 为设计频率。图 11 给出了在不同设计频率和质量比 工况下， 球形弹簧摆的减振率。当设计频率偏离被控 结构一阶固有频率较大时， 部分指标减振效果可能显 172第 1 期黄正等利用球形弹簧摆对输电塔风振控制的有限质点法 ChaoXing 著降低。例如， 当质量比和设计频率分别为 2 和0． 60 Hz 时位移最大值的减振率仅为 13． 9; 当质量比和设 计频率分别为 3 和 0． 88 Hz 时加速度均方根的减振 率仅为 22． 4。从图 11 中可知， 尽管球形弹簧摆的设 计频率有较宽范围的变化， 仍然具有较好的振动控制 效果。 a位移时间历程 b利萨如曲线 图 10质量比为 1和安装位置为 PA 时塔顶位移响应时间历 程和利萨如曲线 Fig． 10Simulated time histories and Lissajous curve of the response at the top of tower with mass ratio 1 and intalled at PA 4结论 本文建立输电塔简化模型， 研究球形弹簧摆的风 振控制效果。球形弹簧摆减振机理包括两个方面 一 是通过恰当地选择设计参数， 使得弹簧模态和摆模态 的频率之比为 2∶ 1， 利用这种内共振性质实现非线性能 量阱， 既能达到减振效果又能增加振动抑制的有效带 宽; 二是球形弹簧摆与结构形成一种非线性耦合系统， 能够将主激励方向即顺风向的振动能量部分转移到横 风向， 即产生自参数共振， 同时保证总体响应幅值较无 控结构明显降低。球形弹簧摆能够显著减小结构位移 响应的标准差， 可以有效降低长期受风载荷作用的输 电塔的风振疲劳破坏风险。 比较塔顶响应的减振率， a最大位移 b加速度均方根 图 11不同设计频率和质量比下的塔顶顺风向响应的减振率 Fig． 11Vibration reduction ratios of the response at the top of tower in downwind with different design frequencies and mass ratios 发现即使质量比较小， 通过选择适当的安装位置和设 计频率， 仍然可以获得较好的减振效果。因此， 球形弹 簧摆是一种经济性较好、 设计和安装简单方面的减振 装置。 参 考 文 献 ［1］ LIMONGELLI M P，MARINELLI L，PEROTTI F． A reduced model for the dynamic analysis of power transmission lines with truss supporting towers ［C］/ / Proceedings of the 5th InternationalSymposiumonCableDynamics．Santa Margherita， 2003． ［2］ DUA A， CLOBES M， HOBBEL T， et al． Dynamic analysis of overhead transmission lines under turbulent wind loading ［ J］ ． Open Journal of Civil Engineering， 2015 5 359- 371． ［3］ 张伟． 输电导线杆塔结构振动分析［ D］ ． 黑龙江 哈尔滨 工业大学， 2011． ［4］ 张庆华，顾明，黄鹏． 格构式输电塔结构多质点简化模型 研究［ J］ ． 振动与冲击， 2012， 31 5 148- 152． ZHANG Qinghua，GU Ming，HUANG Peng． Multi- degree- freedom model of a lattice transmission tower［ J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2012， 31 5 148- 152． ［5］ OZONO S，MAEDA J，MAKINO M． Characteristics of in- plane freevibrationoftransmissionlinesystem ［J］ ． Engineering Structures， 1988， 10 4 272- 280． ［6］ 刘石， 杨毅， 田丰， 等． 风载荷作用下输电塔 TMD 及 ATMD 272振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 风振控制对比研究［ J］ ． 广东电力， 2018， 31 10 65- 72． LIU Shi，YANG Yi，TIAN Feng，et al． Comparative study of wind vibration control over transmission tower with TMD and ATMD under wind load ［J］ ．Guangdong Electric Power， 2018， 31 10 65- 72． ［7］ LYNCH P． Resonant motions of the three- dimensional elastic pendulum［J］ ．InternationalJournalofNon- Linear Mechanics， 2002， 37 2 345- 367． ［8］ 贺叶飞，楼文娟，孙炳楠， 等． 悬挂质量摆对大跨越输电 塔的风振控制［J］ ． 浙江大学学报 工学版 ，2005，39 12 1891- 1896． HE Yefei，LOU Wenjuan，SUN Bingnan，et al．Wind- induced vibration control of long span transmission tower with suspended masspendulums ［J］ ．JournalofZhejiang UniversityEngineeringScience ， 2005， 39 12 1891- 1896． ［9］ ZHANG P，REN L，LI H，et al． Control of wind- induced vibration of transmission tower- line system by using a spring pendulum ［J］ ．