一种新的非线性系统脊骨线提取方法_张皓.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 4 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol． 39 No． 4 2020 基金项目国家自然科学基金 51578107; 51778103 ; 汕头大学科研启 动基金 NTF18012 收稿日期2018 －09 －10修改稿收到日期2018 －11 －13 第一作者 张皓 男， 博士生， 1991 年生 通信作者 李东升 男， 博士， 教授， 博士生导师， 1972 年生 一种新的非线性系统脊骨线提取方法 张皓1，李东升2，李宏男1 1． 大连理工大学土木工程学院海岸和近海工程国家重点实验室， 辽宁 大连 116024; 2． 汕头大学工学院广东省结构安全与监测工程技术研究中心，广东 汕头 515063 摘要脊骨线对于非线性系统的判断、 描述和参数识别， 具有重要的意义; 而现有的脊骨线提取方法大多理论上 较为复杂， 且有局部线性化误差较大、 数据波动剧烈等问题， 限制了工程应用。提出一种新的非线性系统脊骨线提取方 法， 该方法利用非线性系统自由振动响应的一次谐波分量， 计算谐波信号峰值点的瞬时频率， 可以方便地提取脊骨线; 这 种新的非线性系统脊骨线提取方法理论明确、 简单， 计算方便， 易于工程应用。通过三个数值算例说明了该方法的有效 性， 同时将此方法应用于非线性描述， 并综合讨论了非线性描述的几何方法; 并基于此方法进行了非线性系统参数识别， 取得了良好的效果。 关键词脊骨线; 非线性识别; 非线性描述; 参数识别 中图分类号TB12文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 04． 025 A novel for uation of backbone curve for nonlinear systems identification ZHANG Hao1，LI Dongsheng2，LI Hongnan1 1． State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering，School of Civil Engineering，Dalian University of Technology， Dalian 116024，China; 2． Guangdong Engineering Center for Structure Safety and Health Monitoring，College of Engineering， Shantou University，Shantou 515063，China AbstractBackbone curves are of great significancefornonlinearidentificationincludingdetection， characterization，and parameters identification． However，existing s to extract backbone curves are of complex theories，and there are some problems，such as linearization errors and data fluctuation． A first- order component is main part of harmonic signal，it is convenient to extract backbone curve from instantaneous frequencies of peak points based on the first- order component of free vibration response signal． The proposed is with simple conception and easy computation，it is suitable to be applied in practice． Three numerical simulations were utilized to verify its effectiveness． Meanwhile，several geometric s for nonlinear characterization were discussed． Finally，parameter identification of a nonlinear system based on the proposed was conducted， and good identification results were achieved by comparing with existing ． Key wordsbackbone curve;nonlinear identification;nonlinear characterization;parameter identification 随着工程技术的发展， 特别在航空航天工程、 机械 工程、 土木工程等领域， 结构和构件呈现出轻质化、 大 尺度、 广泛的新材料应用等新趋势， 使得工程结构的非 线性行为不可忽略。工程非线性问题已经得到工程界 和学术界的重视， 成为工程研究的重要方向。非线性 问题较为复杂， 具有如分岔、 分形、 混沌等特殊现象， 因 此传统上基于线性系统的成熟理论和方法不再适用， 这成为非线性问题面临的主要困难之一［1 －3 ］。例如， 发展较为成熟的模态分析理论的失效， 对非线性结构 的研 究 和 工 程 应 用 造 成 了 诸 多 不 便。 为 此， Rosenberg［4 ］由线性模态的概念直接推广， 提出了非线 性模态概念; 此后 Shaw 等 ［5 ］引入不变流形概念， 将 Rosenberg 的定义推广到阻尼系统; 我国学者吴志强 等 ［6 ］通过引入规范型方法对其进行了进一步推广。目 前， 关于非线性模态的研究成果已经比较丰富， 但由于 非线性模态理论复杂， 试验提取不易， 一般是以非线性 系统频率 － 能量图 Frequency Energy Plot， FEP 和脊骨 线 Backbone Curve 的形式进行应用， 两者分别是非线 性模态在频率 － 能量域和频率 － 幅值域的投影 ［7 －8 ］。 此外， 非线性识别也是工程非线性研究亟待解决 ChaoXing 的主要问题， 其过程一般分为判断、 描述和参数估计三 个步骤。Worden 等指出 非线性现象通常与振幅、 速度 和频率相关。而非线性系统脊骨线是系统固有频率与 响应幅值之间的关系曲线 ［9 ］， 恰能反映频率与振幅两 项重要因素; Feldman［10 ］的研究指出 每一种非线性系 统对应唯一的脊骨线形式， 因此脊骨线具有很好的描 述系统非线性的能力。Kerschen 等也指出 脊骨线是 研究非线性系统振动特性的时变属性的方法之一。且 脊骨线以上述非线性模态为背景， 具备坚实的理论基 础， 因此具备非线性系统参数估计的能力。而脊骨线 具备非线性判断的能力是不言而喻的， 即线性系统的 脊骨线是一条直线， 而非线性系统是曲线。因此， 脊骨 线对非线性识别的三个环节而言均具有重要的意义。 目前， 非线性系统脊骨线的提取方法主要有 Feldman提出的基于希尔伯特变换的方法， 这种方法由 于希尔伯特变换得到的瞬时频率具有很强的波动性以 及 “飞翼” 现象 ［11 ］， 如图 1 所示。求得的脊骨线一般也 具有比较大的波动性; Carrella 等认为， 在一定的响应 幅值下非线性系统可以被线性化， 由此根据线性系统 频响函数提出了相应的脊骨线提取方法。这种方法提 取的脊骨线在幅值较小和较大时均会产生一定的误 差， 只在中间频率区域效果较好， 如图 2 所示。Londoo 等提出的基于过零点频率的方法可以提取较好的脊骨 线， 但由于采样间隔的原因准确的零点不易找到， 需要 选取合适的插值方法， 而常用的多项式插值可能产生 如图 3 的龙格现象 ［13 ］， 从而导致不同的结果， 如图 4 所 示。Renson 等 ［ 14 ］提出的基于控制延拓的方法以及 Peter 等 ［ 15 ］提出的基于锁相环控制的方法主要解决了试验设 备与结构之间相互作用的问题， 得到了稳定性更好的脊 骨线， 但是其理论相对复杂， 限制了工程应用。国内学者 对非线性系统脊骨线提取方法的研究成果尚不多见。为 了克服前述脊骨线提取的弊端， 本文提出了一种新的非 线性系统脊骨线提取方法， 该方法无需经过复杂的数据 处理， 直接通过响应数据判断、 描述非线性， 理论简单， 结 果可靠， 易于工程应用。通过杜芬系统、 二次阻尼与三次 刚度结合的系统以及范德波 Van der Pol 系统三个典型 的非线性系统数值算例证明了该方法的有效性。另外， 该方法还可以用于非线性系统参数识别， 良好的识别结 果再次验证了本文方法的可靠性。 图 1希尔伯特变换得到瞬时频率的波动性及 “飞翼” 现象 Fig． 1 Fluctuation of instantaneous frequency calculated by Hilbert trans 图 2文献［ 12］ 方法与一阶谐波平衡法的脊骨线对比 Fig． 2 Comparison of Backbone curves between reference［ 12］ and one- order harmonic balance 图 3幅值插值时可能产生的龙格现象 Fig． 3 Runge phenomenon of amplitude interpolation 图4文献［ 9］ 方法在不同插值情况可能产生不同的脊骨线结果 Fig． 4 Different backbone curves calculated by different interpolation s in reference［ 9］ 1非线性系统脊骨线提取的新方法 1． 1理论介绍 弱非线性系统是线性到非线性的重要过渡， 因此 是非线性振动的重点研究对象， 也是非线性振动理论 和方法应用较为成熟的部分。另外， 实际工程中非线 性装置往往需要单独进行试验， 此时可用单自由度系 统加以简化描述。此外， 对于带有局部非线性单元的 大型结构， 如果只有某一阶模态受非线性影响明显， 且 其它阶模态与其耦合情况不明显， 也可以在该阶模态 下将结构考虑为单自由度系统。因此， 针对单自由度 系统的非线性识别是非线性识别研究的基本问题， 也 是多自由度非线性识别研究的基础。本文提出的脊骨 线提取方法主要适用于可以简化为单自由度的弱非线 性系统， 具备广泛的实际工程应用价值。 大多数实际工程应用中， 一次谐波分量往往是响 应中最重要的部分， 非线性引起的高次谐波和亚谐波 在结构阻尼的作用下被明显抑制［16 ］。响应信号的谐波 畸变是结构中存在非线性的重要标志之一。因此研究 一次谐波分量具有重要的意义。本文提出的非线性系 统脊骨线提取方法主要基于自由振动响应信号的一次 谐波分量， 如图 5 所示。单自由度非线性系统自由振 491振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 动响应是一个谐波信号， 只是该谐波信号的频率可能 随时间变化。为了简化分析， 以信号的峰值点为例加 以说明。每一个峰值点都对应一个瞬时的简谐波形， 若系统的非线性是慢变的， 可认为该峰值点所在瞬时 谐波的周期， 为前一个峰值点时刻 t n － 1与后一个 峰值点时刻 t n 1之差， 周期的倒数即为瞬时频率 f n 。 即， 非线性系统自由振动响应信号的一个峰值点 对应的时刻是 t n ， 该时刻响应的幅值为 A n ， 则该 时刻对应的瞬时频率为 f n 1 t n 1－ t n － 1 1 图 5非线性系统脊骨线提取方法示意图 Fig． 5 Proposed Backbone curve extraction 因此， 由一一对应的幅值 A n和瞬时频率 f n 即可提取非线性系统的脊骨线。值得注意的是， 按照 定义， 脊骨线是振幅与系统固有频率之间的关系曲线， 此处用瞬时频率代替了固有频率。瞬时频率反映信号 特征， 固有频率反映结构特征。有研究表明， 结构响应 信号瞬时频率的慢变部分能够反映结构本身的性 质 ［17 －18 ］。而本文所使用的瞬时频率是基于一次谐波 近似求得， 实际上就是瞬时频率的慢变部分， 因此这种 替换是合理的。下文与一阶谐波平衡理论解得到的脊 骨线对比， 以及基于本方法提取脊骨线的参数识别都 将说明本方法的有效性。 1． 2数值算例 杜芬振子是非线性振动研究的经典模型， 它能够描 述如摆、 非线性隔振器、 非线性能量收集器、 跳变现象等 诸多工程非线性问题， 针对杜芬振子的研究通常是线性 方法向非线性发展的第一步， 也是非线性方法从特殊到 一般的必经之路 ［ 19 ］。下面以杜芬振子为例， 说明本文提 出的脊骨线提取方法。对于下式的杜芬振子 m x c x kx knlx3 0 2 取初始位移为 0． 4 m， 根据 Londoo 等的研究， 质量、 阻 尼和刚度分别为 m 1． 5 kg， c 0． 8 Ns/m， k 6 000 N/m， 非线性刚度 knl 7 106Nm －3。通过 Matlab 中 ode45 函数， 运用龙格库塔法计算杜芬振子自 由振动响应， 积分步长取 0． 001。通过式 1 求得的瞬 时频率与希尔伯特变换得到的瞬时频率对比， 如图 6 所示， 最终得到的脊骨线与一阶谐波平衡理论解脊骨 线对比， 如图 7 所示。 图 6杜芬系统峰值点瞬时频率与希尔伯特变换 瞬时频率对比 Fig． 6 Comparison of instantaneous frequencies of Duffing system between peak point and Hilbert trans 图 7杜芬系统本文方法与一阶谐波平衡理论解脊骨线对比 Fig． 7 Comparison of backbone curves of Duffing system between the proposed and one- order harmonic balance 结果表明， 本文所提取的瞬时频率与希尔伯特变 换得到的瞬时频率相近， 且为其慢变部分; 脊骨线提取 结果总体上与一阶谐波平衡理论解的脊骨线吻合， 说 明本文提出的方法可以有效地提取非线性系统脊骨 线， 而且能够可靠地应用于非线性描述。虽然在振幅 较大时会产生一定的误差， 且具有一定的波动性， 但效 果与 Londoo 等的研究相近， 而相比之下本文方法要更 简单。另外， 从图 6 由希尔伯特变换得到的瞬时频率 所具有的波动性已经可以看出， 希尔伯特变换法得到 的脊骨线不可避免地具有较大的波动性， 且理论也更 为复杂。因此， 正如引言所述， 已有方法大多理论较为 复杂， 实际应用较为繁琐; 为了幅值点与频率点的对 应， 常常需要插值， 存在数值稳定性的问题。本方法的 优势在于， 理论简单、 明确， 直接使用采集到的响应数 据即可得到理想结果， 便于工程人员接受， 便于实际工 程应用。 除了杜芬振子所描述的非线性刚度， 许多实际结 构， 还会同时具有非线性阻尼。如非线性识别领域研 究较多的机翼 － 挂架模型， 就可以用二次阻尼和三次 刚度建模 ［20 ］。取王兴研究中使用的一个同时具有二次 阻尼和三次刚度的经典数值模型 x 0． 04 x x 0． 04 x 2sign x 0． 04x3 0 3 可以预见， 二次阻尼项进行三角分解将产生一个常数 项和一个二次谐波项， 因此在进行一阶谐波平衡计算 中不影响最终得到的固有频率和响应幅值之间的关 系。通过 Matlab 中 ode45 函数模拟该系统初始位移为 5 m 的自由振动响应， 并由本文方法得到的脊骨线与一 阶谐波平衡理论解对比， 如图 8 所示。可见本文方法 与理论解拟合较好， 且其形式与图 7 类似， 说明二次阻 尼对系统脊骨线的影响不大。 591第 4 期张皓等一种新的非线性系统脊骨线提取方法 ChaoXing 图 8二次阻尼和三次刚度结合系统本文方法与一阶平衡 理论解脊骨线对比 Fig．8 Comparison of backbone curves of the system with quadratic damping and cubic stiffness between the proposed and one- order harmonic balance 范德波振子是非线性振动研究较多的另一个经典 模型， 它能够描述机械、 生物、 化学等领域的诸多现 象 ［21 ］。范德波振子是自激振动系统， 速度与位移通过 运动方程的阻尼项耦合。其自由振动方程为 x t ε x t 1 － δx2 t ω2 0 x t 0 4 通过 Krylov- Bogoliubov- Mitropolsky KBM 法获得的近 似解析稳态解为 x t 2 δ 4 A2 0 － δ e －ε 槡 t cos ω0t － θ0 5 式中 A0为初始位移; ω0为对应无阻尼线性系统固有频 率; δ， ε 为系统参数。可以预见， 其振动频率不随时间 变化， 幅值将逐渐衰减而趋于稳定。其相轨迹形成一 个极限环， 其脊骨线上各点应该逐渐稳定在某一点附 近。A0取 3 m， 根据文献［ 22］ ， 系统参数 ε， δ 分别取0． 2 和1， 对应无阻尼系统固有频率 ω0取1 rad/s。同样地， 通过 Matlab 中 ode45 函数数值求解此系统自由振动响 应， 利用本文方法求得系统脊骨线如图 9 所示。说明 了本文方法应用于此类系统的有效性。同时， 上述三 个算例表明， 不同非线性系统具备不同的脊骨线规律， 因此脊骨线是进行非线性描述的重要手段。 图 9范德波系统的脊骨线 Fig． 9 Backbone curve of Van der Pol system 2基于脊骨线的非线性描述 实际工程结构中的非线性并不是总有可靠的先验知 识， 事前得知其非线性类型。因此， 要建立准确的非线性 模型， 首先要确定非线性的类型。工程中常遇到的非线性 类型主要包括非线性阻尼和非线性刚度。其中， 脊骨线对 于多项式刚度非线性和库伦摩擦非线性的描述尤为生动。 一般情况下， 可将非线性系统表示为式 6 的形式 m x c x kx fc x f k x Fsin ωet 6 对于式 2 的非线性系统， 即 fk x knlx3， 它属于 渐硬立方刚度非线性系统， 其脊骨线呈现出如图 7 所 示的形式。而对于渐软立方刚度非线性系统， 即非线 性刚度项 knl为负， fk x － knlx3， 其脊骨线的形式如 图 10 所示。呈现出的趋势与图 7 刚好相反。其它多 项式非线性的脊骨线具有类似的规律。在非线性识别 过程中， 一般使用多项式拟合非线性项， 多项式的项数 可以用脊骨线的吻合为标准进行试错确定。 图 10渐软立方刚度非线性系统脊骨线 Fig． 10 Backbone curve of nonlinear system with softening cubic stiffness 对于库伦摩擦非线性系统， 即式 6 中 f x c nl sign x ， 其脊骨线呈现出类似线性系统的形式， 如图 11 所示。对于在流体力学系统中常见的二次阻尼非线 性系统， 即式 6 中 f x c nlx | x |， 此时脊骨线规律并 不明显， 但可以借助非线性系统在不同激励水平下的 幅频响应曲线的变化进行描述， 如图 12 所示的形式。 除了脊骨线和幅频响应曲线， 相平面图也是一种非线 性描述的几何方法。比如间隙、 碰撞等分段线性的非线 性刚度系统， 各段刚度分布的不均匀、 不对称可能造成系 统脊骨线和幅频响应曲线描述的失效， 相平面图则能够 描述系统的非对称性质。如图 13 为一非对称双折线非 线性刚度系统的相平面图， 呈现出的不规则椭圆形状揭 示出系统的非对称性。事实上， 这些几何方法的结合使 用通常能够取得较好的效果， 从而满足一般的工程需求， 但需要工程人员具备一定的工程经验。多种非线性结合 的系统往往不易描述， 可能需要反复试错。 图 11库伦摩擦非线性系统脊骨线 Fig．11 Backbone curve of nonlinear system with Coulomb friction 图 12二次阻尼非线性的幅频响应曲线描述 Fig． 12 Nonlinear characterization of nonlinear system with squared damping using frequency response curves 691振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 13非对称双折线非线性系统相平面图 Fig． 13 Phase plane portrait of nonlinear system with asymmetric bilinear stiffness 3非线性系统参数识别 对于一些常见的结构， 如果根据经验已知存在某 种非线性， 并且了解其类型， 那么非线性识别问题便退 化为参数识别。可以通过所建立的理论模型计算得到 的脊骨线， 与试验数据提取的脊骨线拟合， 从而识别非 线性系统中的待定参数。本文提出的脊骨线提取方法 可以用于这种已知非线性类型的参数识别问题。但 是， 由于采集到的响应数据是离散的， 在响应数据中直 接找到的峰值点未必是实际波形的峰值点， 会造成一 定的误差。更为严格的做法是， 选取恰当的拟合函数， 对峰值点临近的若干点进行拟合， 然后求得拟合函数 的极值， 此极值点可认为是该简谐波形的实际峰值点。 如图 14 为采用二次函数拟合峰值点周围响应数据， 并 求得极值点作为新的峰值点得到的脊骨线， 与一阶谐 波平衡理论解脊骨线， 以及不进行数据拟合得到的脊 骨线对比， 三者相差不大， 但进行数据拟合后的脊骨线 更接近理论解。说明当采样频率足够大时， 直接从响 应数据提取脊骨线能够保证较高的可靠性， 同时， 进行 数据拟合后的脊骨线具备较高的精确度能够用于参数 识别。 非线性系统在每一瞬时都对应一个等效线性系 统， 通过该等效线性系统， 可以对非线性系统进行更深 入地研究， 这也是线性化方法的基本思想。如果所对 应的线性系统为 x 2ξωnx ω 2 nx 0 7 则其响应幅值为 A t A0e －ξωnt 8 将非线性系统脊骨线中的瞬时幅值点与频率点代入式 8 ， 可求得等效阻尼比 ξ t 1 ω t t ln A0－ ln A t 9 另外， 同样用瞬时频率可求得等效刚度系数 k ω t 2 m 10 例如， 对式 2 的杜芬振子系统进行参数识别， 图 15 分别是得到的等效阻尼系数和等效刚度， 通过与 Londoo 等的研究结果对比， 验证了参数识别结果的 准确性。从而说明了本文所提出的脊骨线提取方法 的可靠性。 图 14进行数据拟合前后提取脊骨线结果与一阶 谐波平衡理论解脊骨线对比 Fig． 14 Comparison of backbone curves between the proposed without data fitting，the proposed with data fitting and one- order harmonic balance 图 15本文方法识别结果与文献［ 9］ 识别结果对比 Fig． 15 Comparison of identification results between the proposed and the in reference［ 9］ 4结论 脊骨线是非线性系统的重要特征， 对于非线性的 判断、 描述和参数识别三个阶段都具有重要意义。本 文提出了一种新的非线性系统脊骨线提取方法， 该方 法基于系统响应信号的一次谐波分量， 通过计算峰值 点的瞬时频率， 与该点的幅值相对应求得非线性系统 脊骨线。通过杜芬系统、 二次阻尼与三次刚度结合的 系统以及范德波系统三个数值算例， 验证了该方法的 有效性。并将此方法应用于非线性描述， 说明脊骨线 对于描述多项式形式非线性以及库伦摩擦非线性的重 要意义， 同时讨论了非线性系统幅频响应曲线、 相平面 图和脊骨线结合使用的非线性描述几何方法。 本文所提出的方法相比于已有成果具备明显优 势， 原理简单、 明确， 不需要经过额外的数据处理， 直接 使用采集到的原始数据即可得到较可靠的结果， 便于 工程人员接受和实际应用。本文的研究在一定程度上 填补了国内在此领域研究的空白， 能够为相关研究人 员提供参考。但本文所提出方法尚为初步研究成果， 对更广泛的非线性系统的实际应用效果还有待进一步 的研究和验证。 791第 4 期张皓等一种新的非线性系统脊骨线提取方法 ChaoXing 参 考 文 献 ［1］ KERSCHEN G，WORDEN K，VAKAKIS A F，et al． Past， present and future of nonlinear system identification in structural dynamics［J］ ．Mechanical Systems and Signal Processing， 2006， 20 3 505 －592． ［2］ WORDEN K，TOMLINSON G R． Nonlinearity in structural dynamicsdetection， identification and modelling ［M］ ． LondonInstitute of Physics Publishing， 2001． ［3］ NOL J P，KERSCHEN G． Nonlinear system identification in structuraldynamics 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