转子支承系统临界转速概率分析的随机响应面法_左彦飞.pdf

 振动与冲击 第 38 卷第 24 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．24 2019 基金项目中国博士后科学基金面上资助项目 2017M610746 收稿日期2018 －05 －08修改稿收到日期2018 －08 －30 第一作者 左彦飞 男， 博士后， 讲师， 1987 年生 通信作者 江志农 男， 博士， 教授， 1967 年生 转子支承系统临界转速概率分析的随机响应面法 左彦飞1，江志农1，冯坤1，王建军2 1． 北京化工大学机电工程学院， 北京 100029; 2． 北京航空航天大学能源与动力工程学院， 北京100191 摘要为分析不确定因素影响下转子系统临界转速的概率分布规律， 提出一种基于随机响应面的转子支承系统 临界转速概率分析方法。该方法从临界转速与转子系统力学不确定参数的隐式函数关系入手， 使用临界转速的随机响应 面替代 Campbell 图， 避开了使用 Campbell 图直接进行临界转速概率分析的困难。对典型双转子支承系统临界转速概率 分析验证了该方法的准确性和高效性。 关键词转子系统; 临界转速; 概率分布; 不确定分析; 随机响应面 中图分类号V231． 96文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 24． 012 A stochastic response surface for probability analysis of critical speeds of a rotor systems ZUO Yanfei1，JIANG Zhinong1，FENG Kun1，WANG Jianjun2 1． Mechanical and Electrical Engineering，Beijing University of Chemical Technology，Beijing 100029，China; 2． School of Energy and Power Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China Abstract In order to analyze the probability distribution of the critical speeds of rotor systems influenced by uncertainties，a based on stochastic response surface was proposed． The implicit function relationship between the critical speed and the uncertain parameters of the rotor system was approximated． By using stochastic response surface of the critical speed，the Campbell diagram was replaced to avoid the difficulties of directly using it to per the stochastic critical speed analysis． The analysis of stochastic critical speed of a typical dual- rotor system verified the accuracy and efficiency of the proposed ． Key wordsrotor system;critical speed;probability distribution;uncertainty analysis;random response surface 工程中的转子支承系统存在许多非确定性因素， 主要包括 部件在公差范围内的加工误差， 材料的不均 匀， 部件间装配的随机性， 长期工作导致的磨损， 热致 几何变形等 ［1 ］。这些不确定因素可致使设计相同的转 子系统临界转速产生大幅变化。例如， 某型发动机不 同台次临界转速相差可达 10［2 ］， 即使同一台发动机， 重新拆装一次， 其临界转速和振动特性也可能发生很 大变化， 这给发动机结构可靠性设计及振动控制带来 一系列问题。研究转子系统临界转速在不确定因素影 响下的概率分布规律， 在设计上可尽量避免转子系统 工作在临界转速附近， 提高系统可靠性; 在振动控制上 可通过控制加工或装配过程中的敏感参数， 减小振动 故障发生的可能性， 因而具有重要意义。 目前较为成熟的概率分析方法主要面向叶片、 轮 盘等核心部件优化设计 ［3 －4 ］， 而与转子动力学结合的 转子系统级别的不确定性分析方法近几年刚受到关 注， 主要使用的方法有蒙特卡洛法、 区间分析法和随机 多项式展开法 Polynomial Chaos Expansion 。其中， 蒙 特卡洛法直接对不确定因素进行抽样计算， 计算量巨 大， 特别是使用三维实体有限元转子模型时， 消耗的计 算资源和时间往往无法承受。区间分析法是在统计信 息不足以描述非确定参数的概率分布或隶属函数时使 用的方法， 用以获得响应的区间范围［5 －6 ］。随机多项 式展开在转子不确定性稳态响应分析中应用较 多 ［7 －10 ］， 不过， 该方法直接对动力学方程进行随机多项 式展开， 主要适用于可以直接由动力学方程求解的问 题。而对于不能直接由系统方程求解的问题， 特别是 由 Campbell 图求系统临界转速时， 随机多项式展开法 适用性较差。 为此， 本文直接从临界转速与转子系统力学不确 定参数的隐式函数关系入手， 将可靠性分析使用的随 ChaoXing 机响应面法引入转子支承系统的临界转速概率分析 中， 提出基于随机响应面的转子支承系统临界转速概 率分析方法。 1非确定因素在转子动力学方程中的表达 转子系统中非确定因素主要包括转子材料属性的 不确定性、 部件几何加工的不确定性、 连接结构刚度的 不确定性等。由于三维实体有限元转子模型能准确模 拟系统的主要结构和力学特征， 易于考虑离心力和陀 螺效应的影响， 应用越来越广泛 ［11 －14 ］， 因此， 本文采用 三维实体有限元格式建立具有非确定因素的转子动力 学方程。 1． 1部件材料属性的不确定性 材料属性的不确定性来源于部件材料本身的不均 匀甚至缺陷或在加工处理过程中产生的特性变化。设 系统中存在 l 种独立材料属性， 随机变量 ξi是某种符 合材料密度分布规律的随机变量， 如标准正态分布， 则 第 i 个部件材料的密度可以表示为 ρi ρ 0i ξ iρ σi ， i 1， 2， ， l 1 式中ρ0i为密度的均值;ρ σi 为密度的标准差。类似的 设 ξl i为符合材料弹性模量分布规律的随机变量， 则材 料的弹性模量可以表示为 Ei E0i ξ liE σi ， i 1， 2， ， l 2 式中ξ0i为弹性模量的均值;E σi 为弹性模量的标准 差。将式 1 代入参考文献［ 15］中基于三维实体有 限元的转子系统动能表达式， 将式 2 代入势能表 达式， 进而得到质量矩阵， 陀螺矩阵及刚度矩阵非确 定形式 Mi ξ i∫ V ρ 0i ξ iρ σi NTNdV M0i ξ iM σi Gi ξ i∫ V ρ 0i ξ iρ σi NTBNdV G0i ξ iG σi Ki ξ li∫ VC T E 0 ξ liEσ CdV K0i ξ liK σi 3 式中M0i ∫ Vρ0iN TNdV，M σi ∫ Vρ σi NTNdV，G0i ∫ Vρ0iN TBNdV，G σi ∫ Vξiρ σi NTBNdV， K0i∫ VC TE 0iCdV， Kσ∫ VC TE σi CdV 分别为质量、 陀螺、 刚度的均值矩阵 和标准差矩阵。可以看出， 不确定性密度影响结构的 质量和陀螺矩阵， 不确定性弹性模量影响结构的刚度 矩阵。此外， 材料密度的局部不确定性还会对转子系 统的不平衡量造成影响。 1． 2部件几何加工的不确定性 在部件的加工过程中， 不可避免存在尺寸公差和 形位公差， 这些公差使得实际部件与理想部件在几何 形状上存在差异。如图 1 所示。 图 1理想结构的几何形状与实际结构的几何形状 Fig． 1Ideal structure geometry and actual structure geometry 而在工程实际中， 图 1 b 所示几何加工误差通常 是在公差范围内的误差， 对几何形状的影响非常小。 因此， 本文仅将几何加工误差的不确定性简化为不平 衡量的不确定性。 将上述转子结构的几何加工不确定性和“1． 1” 节 中密度不确定性统一简化为转子上某些特定位置 动 平衡修正面或转子各个盘上 的外加不平衡量。假设 有 m 个不平衡量 不平衡质量与偏心量的积 施加位 置， 则设 ξ2l 1 ～ ξ 2l m是符合不平衡量大小分布特性的 随机变量， ξ2l m 1 ～ ξ 2l 2m是符合各个不平衡量相位分 布的随机变量， 则各个位置上的不平衡量激励可以表 示为 Ω2fi ξ 2li exp jΩt α ξ2lmi ， i 1， 2， ， m 4 式中fi ξ 2l i 为 i 位置的随机不平衡量的大小; α ξ2l m i 为该不平衡量相对于零相位的相位角。 1． 3连接部位刚度不确定性 转子支承系统中的连接关系主要包括螺栓连接、 轴承等。这些连接结构刚度的不确定性主要来源于安 装状态的随机性， 转子系统运转过程连接界面的变化， 轴承游隙的不确定性等［16 ］。假设转子系统有 n 处主要 的不确定性连接关系， 设随机变量 ξ2l 2m 1 ～ ξ 2l 2m n是 符合连接刚度大小分布规律的随机变量， 则第 i 处连接 刚度的不确定性表示为 Ki ξ 2l2mi K0i ξ 2l2miK σi ， i 1， 2， ， n 5 式中K0i为连接结构刚度矩阵的平均值;K σi 为连接结 构刚度矩阵的标准差。 此外， 连接界面的变化一般也会对转子系统的不 平衡量造成影响， 本文将这种影响一并纳入式 4 中予 以考虑。 1． 4考虑不确定性的转子动力学方程的一般形式 将上述所有随机变量用向量的形式表示， 即令 ξ { ξ1ξ2ξN} T， N 2l 2m n 6 则考虑不确定因素的转子动力学方程的一般形式为 68振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing M ξ u C G ξ u K ξ u f ξ 7 在双转子系统中， 忽略式 7 中的阻尼项， 得到对 应的无阻尼双转子支承系统的动力学方程的一般形 式为 M ξ u Ω1G1 ξ Ω2G2 ξ u K0 ξ Ω2 1K1 ξ Ω 2 2K2 ξ u f ξ 8 式中M ξ 为系统质量矩阵;f ξ 为系统激励向量; Ω1 ， Ω 2分别为转子 1、 转子 2 的转速;G1， G2分别为转 子 1、 转子 2 旋转产生的陀螺效应矩阵;K1 ξ ，K2分 别为与转子 1、 转子 2 转速相关的刚度矩阵， 可简称为 旋转刚度矩阵;K0 ξ 为与转速无关的系统刚度矩阵。 此外， 还存在其他不确定性因素， 例如热致几何变形 等， 所有这些因素， 在转子系统动力学方程中最终表现 为两大类。 第一类是造成转子系统本身变化的不确定性因 素。例如， 材料的不确定性对转子动力学方程中的质 量矩阵， 陀螺矩阵， 刚度矩阵都有影响。这些因素导致 转子系统的固有特性 包括临界转速 存在不确定性。 第二类是造成转子系统所受激励变化的不确定性 因素。例如， 几何加工的不确定性 简化处理 ， 密度的 不均匀， 装配的随机性等， 都对转子不平衡量的大小、 相位产生不确定性影响， 但简化处理后并不影响转子 系统的固有特性。 2基于随机响应面的临界转速分析方法 2． 1具有不确定性的双转子系统临界转速 以无阻尼双转子系统临界转速不确定分析为例， 阐述临界转速概率分析方法。式 8 的齐次形式为 M ξ u Ω1G1 ξ Ω2G2 ξ u K0 ξ Ω2 1K1 ξ Ω 2 2K2 ξ u 0 9 该方程需要变换到状态向量空间进行求解。设转 子系统的自由度为 n，引入 2n 维状态向量 y u { } u 10 将式 9 改写为状态方程 B ξ y － A ξ y 0 11 其中， A ξ － Ω1G1 ξ Ω2G2 ξ － K0 ξ Ω2 1K1 ξ Ω 2 2K2 ξ K0 ξ Ω2 1K1 ξ Ω 2 2K2 ξ [] 0 B ξ M ξ0 0K0 ξ Ω2 1K1 ξ Ω 2 2K2 ξ [] 设其解的形式为 y ψe λt 12 将式 12 代入式 11 得 A ξ ψ λB ξ ψ 13 求解式 13 可得 n 对共轭复特征值和 n 对共轭复 特征向量 λi Ω 1 ， Ω 2， ξ σi jωi λ*i Ω 1 ， Ω 2， ξ σi － jω } i ψi Ω 1 ， Ω 2， ξ λφ {} φ i ψ*i λφ {} φ * i i 1， 2， ， n 14 式中σi为特征值的实部， 表征衰减系数;ωi为特 征值虚部， 表征系统的固有频率;j 为虚数单位;φ 为原方程即式 13 的模态振型。在具有不确定性 的双转子支承系统中， 由于旋转的影响， λi ， ψ i的实 部和虚部都是转子转速 Ω1 ， Ω 2 及 随 机 变 量 ξ 的 函数。 若已知 Ω1与 Ω2的函数关系 Ω2 f Ω1 15 可将式 14 双转子系统的固有频率表示为函数向量的 形式 ω Ω1， f Ω1 ， ξ { ω1ω2ωn} T ω 1≤ ω2≤ ≤ ωn 16 实际中， 基于数值计算并不能得到 ω 中各固有频 率函数的解析表达。在确定性分析中， 一般根据需要， 选择在关心的转速范围内求解若干组 Ω1， f Ω1 或 f －1 Ω 2 ， Ω2 对应的 ω 中各固有频率的函数值， 将 不同转速下的特定振型所对应的固有频率值平滑连 线， 近似得到各固有频率的函数曲线。Campbell 图方 法就是以 Ω1 或 Ω2为横坐标， 以固有频率 正频率 值为纵坐标， 将各个固有频率函数随 Ω1的变化曲线画 出， 做激励线 ω Ω1或 ω Ω2 17 交点即为临界转速。然而， 由于式 16 中固有频 率函数同时受不确定因素 ξ 影响， 通过直接求交点的 方式获取临界转速概率分布规律的计算量和分析难度 都很大。 2． 2转子系统临界转速的随机响应面 为了提高临界转速概率特性分析效率， 本文引入 了可靠性分析中的随机响应面分析方法。由临界转速 求解过程及式 16 、 式 17 可知， 临界转速与随机变量 ξ 存在隐式函数关系。数学上可以证明 ［17 ］， 某一阶临 界转速可以表示为 ωc a0Γ0∑ ∞ i11 ai1Γ1 ξ i1∑ ∞ i11∑ i1 i21 ai1i2Γ2 ξ i1 ， ξ i2 78第 24 期左彦飞等转子支承系统临界转速概率分析的随机响应面法 ChaoXing ∑ ∞ i11∑ i1 i21∑ i2 i31 ai1i2i3Γ3 ξ i1 ， ξ i2 ， ξ i3 18 式中ai1ir为随机多项式系数;Γp 为括号内变量 的 p 阶随机多项式。式 18 中， 当 p 趋于∞ 时， 等式两 边相等。为了便于表达， 对于 N 维随机变量， 可以改 写为 ωc∑ ∞ j 1 a jΨj ξ 19 式中ξ 为随机变量{ ξi} N i 1的向量表示;Ψ 与 Γ 按顺序一一对应，a j与 ai1ir也一一对应。对式 18 进行 p 阶截断后， 即可得临界转速随机响应面的 表达式， 为了便于后续分析按式 19 形式表示为 ωc∑ M j 1 a jΨj ξ 20 式中M 为保留的项数， 可由 M p N p N 21 得到， 其中系数a j未知。 2． 3随机响应面系数的拟合 建立了式 20 临界转速的随机响应面表达格式 后， 需要得到式中随机多项式的系数a j， 之后即可利用 随机响应面替代有限元模型进行转子系统的临界转速 的概率特性分析， 提高分析效率。 对于随机响应面法， 通常采用线性无关概率配 点法选取输入样本， 该方法所需的配点数目只需要 等于待定系数数目即可得到满意的结果［18］。此外， 中心复合抽样 Central Composite Design， CCD ， Box- Behnken Matrix Sampling BBM ， 也可用于随机响应 面法的系数拟合， 不过其基本要求是样本数量大于 未知系数数目。关于随机响应面法的系数拟合及抽 样方法， 相关研究已经比较充分， 可以通过通用有限 元程序或 MATLAB 方便实现。 3典型双转子支承系统临界转速概率分析 实例 本节以典型双转子支承系统临界转速概率分析为 例， 验证随机响应面法在实际应用中的精确性和高 效性。 3． 1转子系统临界转速的随机响应面 某典型双转子支承系统的模型如图 2 所示。在该 转子支承系统中， 轴承位置的刚度， 套齿连轴器等的连 接刚度都存在非确定性。根据工程分析需要， 假设 1 号轴承位置的水平支承刚度 K1y ξ 1 ，2 号轴承位置竖 直支承刚度 K2z ξ 2 ，刚性套齿连轴器的弯曲刚度 K65 ξ 3 存在非确定性，且 ξ1 ， ξ 2 ， ξ 3均符合标准正态分 布， K1y ξ 1 ， K2z ξ 2 的标准差为均值的5，K65 ξ 3 的 标准差为均值的 10。 图 2典型双转子支承系统 Fig． 2Typical dual rotor support system 3． 2临界转速概率分析随机响应面法准确性验证 利用随机响应面法依据式 20 低压转子激励 ω Ω1 的某阶临界转速可以表示为 ωc ac0 ac1ξ1 ac2ξ2 ac3ξ3 ac4 ξ 2 1 － 1 ac5ξ1ξ2 ac6ξ1ξ3 ac7 ξ 2 2 － 1 ac8ξ2ξ3 ac9 ξ 2 3 － 1 22 本文采用中心复合抽样法拟合上述未知系数， 在 示例中， 不确定参数个数为 3， 随机多项式阶次为 2， 共 10 个未知系数， 依据参考文献［ 19］ 以及 ANSYS 中概率 分析样本选取方法， 共需要 15 个样本点， 因此， 只需对 双转子支承系统进行 15 次确定性分析， 利用“2． 1” 节 中介绍的 Campbell 图法得到 15 个样本点对应的该阶 临界转速值， 然后进行非线性拟合， 得到 ac0～ ac9的值， 最后利用式 22 进行蒙特卡洛抽样， 对该阶临界转述 进行概率特性分析。为了验证随机响应面法计算结果 的准确性， 同时使用基于蒙特卡洛法对低压转子激励 的第 1 阶正进动和第 2 阶正进动临界转速的不确定性 进行分析。图 3 所示为低压转子激励第 1 阶正进动临 图 3第 1 阶正进动临界转速 1st F 频次分布直方图 Fig． 31st order positive precession critical speed 1st F frequency distribution histogram 88振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 界转速 1st F 频数分布直方图， 其中图 3 a 为由蒙特 卡洛方法 Monte Carlo Simulation， MCS 1000 次抽样得 到的计算结果， 图 3 b 为 5 000 次随机响应面 Sto- chastic Response Surface ， SRSM 抽样计算结果。 由于蒙特卡洛法耗费计算时间太长， 在抽样 1 000 次后 所得临界转速平均值和方差均已收敛， 所以此处并未 进行5 000次抽样计算。图中红色曲线为拟合得到的标 准正态分布曲线， 两种方法计算得到的第 1 阶临界转 速的分布规律都符合正态分布。图 4 所示为低压转子 激励第 2 阶正进动临界转速 2nd F 频数分布直方图， 第 2 阶正进动临界转速也符合正态分布。不过， 第 2 阶正进动临界转速的变化范围较大， 也就是标准差较 大。表 1 所示为蒙特卡洛法与随机响应面法计算得到 的临界转速的均值和标准差的比较。 图 4第 2 阶正进动临界转速 2nd F 频次分布直方图 Fig． 42nd order positive precession critical speed 2nd F frequency distribution histogram 从表 1 可知， 利用随机响应面法得到的临界转速 均值与方差与蒙特卡洛法得到的计算结果一致。在所 假设的随机变量的影响下， 第 1 阶正进动临界转速变 化较小， 标准差约为1 r/min， 根据正态分布的概率分布 密度函数可知， 低压转子激励第 1 阶正进动临界转速 在 2 269 3r/min 的概率约为 99． 73， 变化范围非 常小。而对于第 2 阶正进动临界转速， 其标准差约为 50 r/min， 转子第 2 阶临界转速在 5 513 150r/min 的概率约为 99． 73。 表 1蒙特卡洛法与随机响应面法计算临界转速结果比较 Tab． 1Comparison of monte carlo and random response surface for calculating critical speed results 临界 转速 CMS 均值/ rmin －1 标准差/ rmin －1 SRSM 均值/ rmin －1误差/ 标准差/ rmin －1误差/ 1st F2 269．41．062 269．60．011．041．89 2nd F5 513．650．185 512．40．0250．220．08 3． 3临界转速概率分析随机响应面法的高效性 上述概率振动特性分析实例， 已经充分验证了随 机响应面法应用于转子系统临界转速分析的准确性， 下面比较随机响应面法与蒙特卡洛法的计算效率。表 2 所示为使用有限元模型， 依据参考文献［ 20］ 获得的减 缩模型及随机响应面法进行 1 000 次蒙特卡洛抽样计算 所占用的计算机内存及消耗的计算时间。直接用原模 型进行 1 000 次蒙特卡洛抽样计算临界转速， 稳态不平 衡响应， 所消耗的时间预计为 136． 9 万 s 15． 8 d ， 使 用减缩模型后， 时间缩短到 1． 78 万 s 4． 9 h ， 而利用 减缩模型加随机响应面法分别只需要267 s 4． 5 min 。 而上述计算使用的是同一台计算机， 可见， 随机响应面 法可以大幅提高分析效率。 表 2随机响应面法与蒙特卡洛法计算效率比较 Tab． 2Comparison of monte carlo and random response surface for calculating critical speed results 所比较的 项目 原模型 蒙特卡洛法 减缩模型 蒙特卡洛法 随机响应面法 有限元 样本计算 拟合系数 及抽样 求临界转速所 需内存/MB 1 030． 715． 315． 3小于 10 求不确定临界 转速时间/s 1 369 1 000 17． 8 1 000 17． 8 150． 17 4结论 针对工程中具有不确定性转子系统临界转速概率 分析的需要， 本文提出了一种基于随机响应面的转子 系统临界转速概率分析方法。并应用该方法对典型双 转子支承系统临界转速的概率分布规律进行了分析， 验证了方法的准确性和高效性。相关结论主要有以下 几点 1转子系统部件材料的不确定性影响转子系统 的质量矩阵、 陀螺矩阵和刚度矩阵， 几何加工的不确定 性经过简化后， 可以近似为对转子系统不平衡量的影 响， 连接关系的不确定性主要表现为对系统刚度矩阵 的影响， 同时材料不均匀及连接关系的变化也会对不 平衡量的大小和分布产生影响。最终， 依据作用效果， 可将所有不确定因素分为系统不确定性和激励不确定 性两类。 98第 24 期左彦飞等转子支承系统临界转速概率分析的随机响应面法 ChaoXing 2基于随机响应面法的转子临界转速概率特性 分析利用随机响应面直接拟合转子系统中不确定性输 入参数与临界转速的隐式函数关系， 利用所得到的函 数关系表达式替代系统的有限元模型进行蒙特卡洛分 析。对典型双转子支承系统临界转速的概率分布计算 结果表明， 该方法与利用蒙特卡洛方法分析得到结果 一致。 3该方法只需要利用有限元模型进行少量样本 计算， 相比于利用有限元模型进行的蒙特卡洛分析， 随 机响应面法的分析效率得到大幅提升。 不过， 随机响应面法收敛性得以保证的前提是所 有随机变量都必须符合某种特定的分布， 才可能找到 与这种分布对应的正交多项式作为随机多项式的基。 例如与高斯分布对应的是 Hermite 多项式， 与 Gamma 分布对应的是 Laguerre 多项式。而在实际转子支承系 统中的随机变量不一定都符合同一种分布规律， 因此 该方法在复杂转子支承系统中的应用可能会受限制。 另外， 本文分析过程中假设不确定因素不会对转子的 轴对称性造成影响， 该假设对于大多数轴对称转子系 统适用， 但对于非对称转子系统如裂纹转子、 异形转子 等并不适用， 由于这类转子系统一般都具有时变特性， 需要使用时变系统动力特性分析方法进行分析， 不存 在确切的 “临界转速” 定义， 故本文未予研究。 参 考 文 献 ［1］ MA Y，LIANG Z，CHEN M，et al． Interval analysis of rotor dynamic response with uncertain parameters［J］ ． Journal of Sound ＆ Vibration， 2013， 332 16 3869 －3880． ［2］ 冯国全，周柏卓，罗贵火． 反向旋转双转子发动机振动特 性的分析方法 ［ J］ ． 南京航空航天大学学报，2012 1 33 －39． FENG Guoquan，ZHOU Baizhuo，LUO Guihuo．Analysis of vibration 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