压缩脆性介质爆破破坏时冲击荷载与初始应力卸载特征_姚颖康.pdf

 振动与冲击 第 38 卷第 24 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．24 2019 基金项目国家自然科学基金 51379194; 41807265 ;湖北省自然科学 基金面上项目 2017CFB310 收稿日期2018 －02 －06修改稿收到日期 2018 －07 －16 第一作者 姚颖康 男， 博士， 高级工程师， 1981 年生 通信作者 孙金山 男， 博士， 副教授， 1980 年生 压缩脆性介质爆破破坏时冲击荷载与初始应力卸载特征 姚颖康1， 2，孙金山1，贾永胜2，吴亮3，倪明亮1，明胜1，陈洋3 1． 中国地质大学 工程学院， 武汉430074; 2． 江汉大学 爆破工程湖北省重点实验室， 武汉 430056; 3． 武汉科技大学 理学院， 武汉430081 摘要针对含压缩应变能脆性介质的爆破破坏机制问题， 开展了建筑物底层立柱的现场爆破试验。分析了立柱 保留部分的应变变化过程。动应变监测结果表明， 炮孔炸药爆轰时， 炮孔远区的爆炸荷载时程曲线大致呈三角形折线状， 爆炸荷载升压阶段应变率高于卸压阶段; 装药长度约 20 cm 时， 爆炸荷载作用时间约为 1 ms。爆炸冲击波作用消失后， 由 于碎块运动速度远低于冲击波和应力波传播速度， 起爆后爆破介质的承载能力仍可保持数毫秒时间， 此时介质主要受爆 生气体膨胀作用， 附加动应变较低。介质完全破碎后， 碎块以较高的初速度发生抛掷飞散， 其承载能力迅速消失， 初始应 变随之释放至 0; 应变释放的时程曲线接近于直线形， 且卸载的应变率较低。构建了一维直杆的爆炸冲击与初始应力卸 载力学模型， 通过对直杆加载和卸载过程在时间域上的叠加， 近似模拟了压缩立柱爆破时保留区的应变历程。对爆破试 验的模拟表明， 炸药爆炸作用结束数毫秒时间后初始应力才开始卸载。 关键词爆破; 爆炸荷载; 初始应变; 应变释放; 应变监测; 力学模型 中图分类号TU746文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 24． 036 Characteristics of shock load and initial stress unloading in blasting of compressed brittle medium YAO Yingkang1， 2， SUN Jinshan1， JIA Yongsheng2， WU Liang3， NI Mingliang1， MING Sheng1， CHEN Yang3 1． Engineering Faculty，China University of Geosciences，Wuhan 430074，China; 2． Hubei Key Laboratory of Blasting Engineering， Jianghan University，Wuhan 430056，China; 3． College of Science，Wuhan University of Science and Technology，Wuhan 430081，China Abstract In order to study the blasting mechanism of brittle medium containing compress strain energy，the filed blasting experiments of the first- floor columns of high buildings were conducted，and the strain of the reserved part of the columns was monitored． The strain monitoring result shows that during the blasting process，when explosive in blasting hole is initiated，the time history curve of blasting load far from the blasting hole is approximately in the shape of triangle， and the strain rate in load increasing stage is higher than that in load decreasing stage． If the charge length is about 20 cm，the time of the explosion shock is about 1 ms． After the explosion shock wave disappears，the bearing capacity of the blasted medium can be maintained for several milliseconds after the detonation，because the moving speed of the fragment is much lower than the shock wave and the stress wave propagation speed． At this time，the medium is mainly affected by the explosive gas and the additional dynamic strain far from blasting holes is low． When the medium is completely destroyed，the fragments are thrown at a high initial velocity，and its bearing capacity disappears rapidly，then the initial strain rapidly releases to 0． The monitoring results show that the time history curve of strain relief is close to a straight line． The mechanical model of one- dimensional bar is deduced to analyze the explosion shock and initial stress relieving process． Through the superposition of the loading and unloading process of the straight bar in the time domain， the strain history of the reserved zone in the compression column blasting was simulated． The simulation of the blasting experiment shows that the initial stress began to unload after a few milliseconds of explosive shock． Key wordsblasting;explosion load;initial strain;strain relieving;strain monitor;mechanical model 爆破是岩石和混凝土等硬脆性材料开挖和破碎的 主要方式。岩石类材料爆破破碎时， 首先是炸药爆轰 在介质中产生冲击波， 对介质施加高量级的冲击荷载， 形成爆生裂隙; 随后， 爆生气体进入已生成的裂隙中， ChaoXing 使裂隙尖端产生应力集中并驱动裂隙不断扩展、 贯通， 进一步加剧介质的破碎， 最终驱动碎块向临空面方向 运动。然而， 在高层建筑物的拆除爆破工程中， 建筑物 底层的立柱在上部荷载作用下将受到较高的初始应 力。此类介质或结构在爆破破碎时， 与无初始应力介 质所经历的受力过程是不同的。 许多学者曾发现爆破过程中初始应力对介质动态 响应的影响。如刘殿书等 ［1 ］在爆破动光弹实验中， 发 现模型中较高水平的初始应力对应力波的产生和传播 过程产生了显著影响。张志呈等 ［2 ］在爆破实验中发 现， 含初始应力场模型中的爆破振动值远大于实验前 的预测值， 并认为初始地应力场产生的波导效应造成 了爆破振动的增强。张正宇等 ［3 ］根据东风水电站地下 厂房爆破试验结果， 认为爆破开挖过程中初始地应力 的卸除对围岩的影响大于爆破荷载的影响。 针对上述现象， 国内外学者也曾开展了相关的理 论研究。Abuov 等 ［4 ］研究了隧道岩体爆破开挖时初始 地应力快速卸荷对保留岩体的损伤机制; Carter 等 ［5 ］研 究了隧道岩体初始应力的瞬态卸荷在围岩中诱发振动 与动应力场。卢文波等 ［6 －7 ］认为中高地应力条件下岩 体爆破开挖引发的围岩振动主要由地应力动态卸载所 引起的; 孙金山等 ［8 ］和祝启虎［9 ］对高地应力条件下岩 体爆破开挖瞬态卸荷引起的围岩松动和损伤效应进行 了研究， 认为开挖瞬态卸荷在节理裂隙岩体中造成的 损伤不可忽视。 然而， 由于室内相似模型试验无法模拟实际工程 用条状炸药的爆轰过程， 对爆破介质的加载和卸载机 制难以真实再现。而理论分析模型和数值模型则基于 大量假定和简化， 研究结果的可靠性往往难以保证。 本文通过对建筑物底层立柱的现场爆破实验和一维弹 性杆的理论分析， 研究了承载混凝土立柱的爆破破坏 机制， 以及压缩脆性材料爆破时保留部分的加载和卸 载特征。 1压缩钢筋混凝土立柱爆破实验 为研究含压缩应变能脆性介质爆破时保留区的冲 击加载与应变释放机制， 对建筑物底层钢筋混凝土立 柱的爆破过程进行了应变监测分析。 1． 1爆破方案 爆破的钢筋混凝土立柱均位于待拆除建筑物的第 一层， 爆破部位位于柱的下侧， 炮孔布置 3 排， 装填直 径 32 mm 的圆柱状乳化炸药， 毫秒延期导爆管雷管 起爆。 1． 1． 1 虹锦公寓工程 虹锦公寓为 18 层框架结构楼房， 如图 1 所示。一 楼结构平面图及试爆立柱位置见图 2。立柱混凝土标 号为 C40， 截面尺寸为 800 mm 800 mm， 受力纵筋为 直径 22 mm 的 HRB335 钢筋。 图 1虹锦公寓外观 Fig． 1 Hongjin building 图 2虹锦公寓一楼结构平面图 Fig． 2 First floor structure of Hongjin building 炮孔直径 D 40 mm， 炮孔深度 L 58 cm。如图 3、 图 4 所示。炮孔沿立柱轴向共布置 3 排， 间距 b 30 cm。上下排炮孔均为 2 个炮孔， 横向间距 267 mm， 各装 200 g 炸药。中间 一 排 3 个 炮 孔， 横 向 间 距 200 mm， 中间炮孔装药 200 g， 两侧 100 g 100 g， 空气 间隔 100 mm。 图 3虹锦公寓爆破立柱 Fig． 3 Blasted column of Hongjin building 图 4虹锦公寓立柱配筋及装药结构 Fig． 4 Reinforcement and charge structure of blasted column of Hongjin building 852振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 如图 5 所示， 爆破后高度约 700 mm 范围混凝土受 到破坏。其中， 炮孔周围的混凝土完全破碎， 仅保留弯 曲钢筋， 竖向受力钢筋最大挠度 30 ～ 50 mm。混凝土 碎块大部分抛出并集中堆积在立柱底部。立柱孔底部 分的混凝土局部未完全破碎。 图 5虹锦公寓立柱爆破效果 Fig． 5 Blasting result of Hongjin building 1． 1． 2 凯风大厦工程 凯风大厦为 12 层框架剪力墙结构楼房， 如图 6 所示。一楼结构平面图及试爆立柱位置见图 7。试爆 立柱 混 凝 土 标 号 为 C40， 截 面 尺 寸 为 500 mm 500 mm， 受力纵筋为直径 22 mm 的 HRB335 钢筋。 图 6凯风大厦外观 Fig． 6 Kaifeng building 图 7凯风大厦一楼结构平面图 Fig． 7 First floor structure of Kaifeng building 炮孔直径 D 40 mm， 炮孔深度 L 40 cm， 共布置 3 排炮孔， 每排一个炮孔， 排距 a 30 cm， 每孔装药量 为 130 g。试爆立柱配筋及装药结构如图 8、 图 9 所示。 图 8凯风大厦爆破立柱 Fig． 8 Blasted column of Kaifeng building 图 9凯风大厦立柱配筋及装药结构 Fig． 9 Reinforcement and charge structure of blasted column of Kaifeng building 爆破结果如图 10 所示， 爆破范围内大部分混凝土 在爆破后被抛出， 箍筋被鼓开， 竖向主筋发生弯曲， 挠 度为 40 ～70 mm， 混凝土碎块大部分集中堆积在立柱 底部， 且粒径较大。炮孔底部部分混凝土未完全破碎 且未与钢筋剥离。 图 10凯风大厦立柱爆破效果 Fig． 10 Blasting result of Kaifeng building 1． 2应变监测方案 爆破前在靠近立柱顶部且距离梁底约 20 cm 处粘 贴应变片。虹锦公寓应变测点与炮孔最近距离为 2． 2 m， 凯风大厦为 2． 1 m 见图 3、 图 8 。 应变片采用 50 mm 长 120 Ω 的 BX120 － 50AA 混 凝土应变片， 采用 1/4 桥连接方式。数据采用 DH8302 动态信号测试分析系统进行采集， 虹锦公寓和凯风大 厦实验的采样频率为 1 MHz。 952第 24 期姚颖康等压缩脆性介质爆破破坏时冲击荷载与初始应力卸载特征 ChaoXing 1． 3测点总体应变时程特征 通过现场实验， 获得了立柱爆破时的监测点的整 体应变过程， 如图 11、 图 12 所示。在该应变时程曲线 图中， 当立柱充分破碎时， 其轴向压力将全部或大部分 得到卸载， 因此测试得到的混凝土最终应变为拉应变， 但其实际处于静力平衡状态。因此， 为了反映立柱的 真实应变状态， 在实测应变曲线中设爆破后立柱的应 变为 0， 则得到了真实的立柱应变时程曲线。 图 11虹锦公寓爆破立柱应变时程曲线 Fig． 11 Strain history curve of Hongjin building 图 12凯风大厦爆破立柱应变时程曲线 Fig． 12 Strain history curve of Kaifeng building 动态应变测试结果表明， 保留区的加载及动态响 应过程总体可分为 4 个阶段 第一阶段， 立柱在上部荷载的作用下， 呈轴心压缩 或小偏心压缩状态， 因此， 测点处混凝土初始呈静态压 缩状态， 具有一定的初始应变值。 第二阶段， 炸药起爆后向炮孔壁施加强烈压缩作 用， 进而对炮孔远区的立柱施加压缩作用。测点处混 凝土在原压缩应变基础上急剧增大并迅速恢复至初始 应变量。 第三阶段， 保留区应变恢复后继续发生相对拉伸 应变， 直至到达一峰值。在此过程中发生一次波动 过程。 第四阶段， 达到拉伸峰值后逐渐卸载至 0， 并经 0 值附近的多次震波动后恢复至静态。初始存储的弹性 能以及爆炸产生的压缩变形能均完全耗散。 其中， 凯风大厦应变时程曲线存在 2 个显著的拉 伸峰值， 且存在一定的时间间隔， 其原因应是爆破时由 于雷管延时误差和立柱结构差异， 部分结构先破坏后 一部分初始应力先卸载， 另一部分结构破坏略微滞后， 应力发生二次卸载。 2爆炸荷载加载与卸载特征 炸药爆炸过程极其复杂， 炮孔内的压力变化目前 无法监测， 但许多学者在理论分析基础上， 提出了炮孔 压力的不同模型， 例如指数衰减型荷载模型或三角形 荷载模型 ［10 －13 ］等。实际爆破工程中， 多个炮孔对未破 坏部位的作用是炮孔压力衰减且相互叠加而成的， 它 源于炮孔压力， 但又不完全相同。在工程实践或理论 研究过程中， 对炮孔远区荷载的分析是分析结构响应 和损伤机制的基础。 2． 1爆炸荷载作用模式 炸药爆炸后， 炮孔远区的介质首先受到爆炸加载 作用， 表现在应变曲线上为一个压缩相的波形， 整体呈 “三角形” 折线 见图 11、 图 12 。 对其放大后发现 如图 13、 图 14 所示。设介质的 初始应变为 0 ， 其加载与卸载的过程还存在波动并非 理想的光滑曲线， 且在峰值附近还存在短暂的“平台 期” 。但整体而言炮孔远区的爆炸荷载作用时程曲线 仍大致为三角形的折线形。 图 13虹锦公寓爆破爆炸附加动应变时程曲线 Fig． 13 Strain history curve made by shock wave of Hongjin building 图 14凯风大厦爆炸冲击附加动应变时程曲线 Fig． 14 Strain history curve made by shock wave of Kaifeng building 2． 2爆炸荷载作用时间特征 炸药爆炸时爆炸荷载的持续作用时间是爆炸作用 模拟时的重要参数， 许多学者曾通过理论与测试对其 进行了研究。如张建华等 ［14 ］的计算显示炮腔压力约在 062振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 几百微秒内衰减; 张正宇等 ［15 ］认为爆炸应力波持续时 间约为 10 －6 ～ 10 －1 s， 爆生气体压力作用时间约为 10 －3 ～10 －1 s。徐国元等 ［16 ］爆破实验测试结果显示爆 炸应变波持续时间约为 20 μs。卢文波等针对柱状装 药孔底起爆方式， 提出了爆炸荷载作用持续时间的计 算模型。目前， 针对实际爆破工程中爆炸冲击荷载作 用时间的实验研究较少。两次现场实验的监测数据表 明 见图 13、 图 14 和表 1 1 虹锦公寓炮孔同时采用连续装药与空气间隔 装药时， 爆炸荷载的加载 升压 过程约为 0． 3 ms， 且应 变 应力 随时间线性增大， 其应变率为 1． 76 s －1。卸 载用时 0． 9 s， 约为加载过程的 3 倍时间， 应变率亦更 低， 整个过程呈非线性特征。 2 凯风大厦炮孔全部采用连续装药时， 爆炸荷载 的加载 升压 过程为 0． 24 ms， 且应变 应力 整体也 呈现线性增大， 其应变率达到1． 44 s －1。爆炸荷载的卸 载 卸压 过程相对简单， 在达到峰值后略缓慢波动卸 载后， 立即快速卸压至 0。卸压过程历时接近 1 ms， 卸 载过程的应变率为 0． 37 s －1， 低于加载过程。 3 两次实验中爆炸冲击作用在立柱中产生的最 大附加压缩应变约为 300 ～600 με， 按照混凝土弹性模 量约为 30 GPa 计算， 其在监测点处产生的平均附加压 应力约为 9 ～18 MPa。 表 1爆炸冲击作用特征参数 Tab． 1 Characteristic parameters of explosion shock 工况 峰值应变/ με 加载 时间/ ms 应变率/ s －1 卸载 时间/ ms 应变率/ s －1 虹锦公寓5280． 301． 760 00． 900． 586 7 凯风大厦3450． 241． 437 50． 940． 367 0 3初始应力卸载特征 建筑物底层的混凝土立柱爆破破坏过程中， 其自 身储存的变形能和初始应力还将发生快速卸载。关于 爆破过程中初始应力的卸载过程， 有学者认为， 在介质 充分破碎时， 当爆炸荷载升压后再卸压至初始应力的 时刻， 初始应力开始释放， 并假定了直线型、 三角函数 形和幂函数形的应力卸载函数。但缺乏实测数据的 证明。 3． 1初始应力卸载模式 实测应变曲线如图 15、 图 16 所示。A 阶段为爆炸 荷载主要作用阶段， 随后出现的 B 阶段应变曲线接近 于 A 阶段的反射波形， 波形接近 1/2 周期， 但周期变 大。阶段 B 的前期应变率接近爆炸冲击卸压过程， 而 后期的应变率则显著降低。B 阶段波动仅根据波形的 观察难以解释其发生机制。 在 C 阶段中， 介质的应变以远低于爆破荷载应变 率的速率恢复至 0 值， 此时初始应变得以完全释放。 该阶段应变时程曲线接近于直线， 因此可近似认为初 始应力的呈线性卸载模式。 图 15虹锦公寓应变释放时程曲线 Fig． 15 Strain relief history curve of Hongjin building 图 16凯风大厦应变释放时程曲线 Fig． 16 Strain relief history curve of Kaifeng building 3． 2初始应力卸载时间历程特征 测量结果显示， 如表 2 所示。虹锦公寓和凯风大 厦的初始压缩应变为 483 με 和 287 με， 对应的初始压 应力约为 14． 5 MPa 和8． 6 MPa。爆破作用结束至初始 应变卸载至 0 时经过的时间 tr分别为 5． 14 ms 和 2． 18 ms， 平均应变率为 0． 093 9 s －1和 0． 131 4 s－1。 但是， 由于无法判断初始应力卸载的真实时刻， 卸 载的真实时间和应变率难以确定。 表 2立柱初始应变值与卸载时间 Tab． 2 Initial strain and unloading time of columns 工况初始应变/με tr/ms 平均应变率/s －1 虹锦公寓4835． 140． 093 9 凯风大厦2872． 180． 131 4 4初始应力卸载后的结构响应特征 测试结果如图 17、 图 18 和表 3 所示。当混凝土立 柱的初始压缩应变释放至 0 之后， 其应变还将由前期 的 “压缩相” 转化为 “拉伸相” ， 即立柱在达到“中性点” 后仍将继续向炮孔方向运动， 并在介质中产生“拉应 力” 。虹锦公寓和凯风大厦的拉应变峰值分别达到 732 με和 150 με， 用时分别为 5． 02 ms 和 4． 05 ms， 对 应的应变率为 0． 145 8 s －1和0． 037 0 s－1。而钢筋拉伸 162第 24 期姚颖康等压缩脆性介质爆破破坏时冲击荷载与初始应力卸载特征 ChaoXing 荷载随时间的上升和下降均大致呈线性变化。 虹锦公寓的拉伸应变较大， 甚至接近初始应变与 爆炸冲击应变之和。其原因应是波的反射引起拉应变 时， 钢筋的弯曲同样也对立柱产生拉伸作用。由于裸 露钢筋两端受混凝土约束， 爆破作用使其中部弯曲并 伸长， 造成 “拉弓效应” ， 这使其约束端承受较高的拉伸 荷载。由于凯风大厦钢筋数量较少且装药量较小， 由 钢筋所造成的拉伸作用较弱， 其拉应变峰值也就较低。 测点的拉伸应变在达到峰值后， 再以较快的速度 恢复至 0。随后应变幅度迅速衰减， 并经历多次振荡， 在经过约 100 ms 量级的时间内基本达到静力平衡 状态。 图 17虹锦公寓后期应变时程曲线 Fig． 17 Late dynamic strain of Hongjin building 图 18凯风大厦后期应变时程曲线 Fig． 18 Late dynamic strain of Kaifeng building 表 3动态拉伸过程特征参数 Tab． 3 Parameters of dynamic tensile process 工况 拉应变峰值/ με 拉应变增大时间/ ms 应变率/ s －1 虹锦公寓7325． 020． 145 8 凯风大厦1504． 050． 037 0 实验结果如表 4 所示。由于荷载和结构的差异， 立柱后续的应变振荡过程的时间存在一定的差异。如 虹锦公寓振荡频率略低， 振荡持续时间较长， 而凯风大 厦表现为较短时间的高频振荡。 表 4应变振荡特征参数 Tab． 4 Characteristic parameters of strain fluctuating 工况持续时间/ms主频率/Hz 虹锦公寓 2420 34． 5 凯风大厦16047． 6 5承载立柱爆破破坏过程力学分析 为进一步分析立柱爆破时， 初始应力的卸载模式 和起始时间， 应进一步进行理论分析。由于在炮孔远 区， 柱状药包产生的柱面应力波相对于立柱较小的截 面可近似视为平面波， 若不考虑立柱的横向变形， 则可 采用一维的波动力学模型对实验过程进行近似模拟， 以进一步阐释承载立柱的爆破破坏机制。 5． 1冲击作用下一维波动力学模型 如图 19 所示的不考虑横截面的变形的一维直杆， 长度为 L， x 0 端固定， x L 处端自由， 杆端作用有均 布荷载 P t 。设直杆的任意截面处， 任意时刻的位移 为 u x， t 。由于直杆在初始时刻存在轴向压缩初始应 力， 因此设其杆自由端初始应力为 P0， 杆中处处轴向应 力也为 P0， 则 t 0 时刻， 由初始应力引起距离固定端 x 处的初始位移为 u x， 0 b L x 1 式中 b P0 E L。 图 19一维直杆力学模型 Fig． 19 One- dimensional mechanical model of straight bar 为简化分析， 直杆的阻尼简化线性黏性阻尼， 则直 杆质点运动的一维波动方程为［17 ］ 2u t 2 － a2 2u x 2 ζ u t 0 0 ≤ x ≤ L， t ≥ { 0 2 其中， a E ρ 1 － μ 1 － 2μ 1 μ 槡 3 ζ c ρ 式中 a 为纵波波速; E 为弹性模量; ρ 为密度; μ 为泊松 比; c 为等效阻尼系数。 直杆固定端位移始终为 0， 即 u 0， t 0 4 t 0 时刻直杆任意位置处的速度也为 0， 即 u t t 0 0 5 直杆自由端受均布压力 P t作用 E u x x L P t 6 波动力学的求解可转化为齐次边界条件的定解问 题， 用本征函数展开法求解。 设 262振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing W x， t u x， t－ P t E x Wx ux－ P t E ， Wxx uxx－ 0 uxx Wt ut－ P t E x， Wtt utt－ P″ t E x 0 ≤ x ≤ L， t ≥          0 7 将式 6代入式 1～ 式 5 ， 得 Wtt－ a2Wxx ζWt － P″ t E ζ P t E x W t 0 b L － P 0 E x 0 Wt t 0 － P 0 E x W x 0 0，Wx x L 0 0 ≤ x ≤ L， t ≥            0 8 式 8可以化为求解问题 Ⅰ 、 问题 Ⅱ的解 W1， W2的问题。 Ⅰ Wtt－ a2Wxx ζWt 0 W t 0 0 Wt t 0 － P 0 E x W x 0 Wx x L 0 0 ≤ x ≤ L， t ≥          0 W1 9 Ⅱ Wtt－ a2Wxx ζWt － P″ t E ζ P t E x W t 0 Wt t 0 0 W x 0 Wx x L 0 0 ≤ x ≤ L， t ≥        0 W2 10 则原方程的解转化为 u x， t W P t E x W1 W2 P t E x 11 解问题 Ⅰ时， 运用分离变量法， 令 W1 x， t X x T t 12 将式 11代入式 8 ， 得 T″ ζT a2T X″ X － λ const 13 得 X″ λX 0 X 0 0， X L { 0 14 和 T″ ζT a2λT 0 15 结合式 9的边界条件， 仅当 λ ＞ 0 时， X x有非 零解， 其固有值为 λk 2k － 1 2L π 2 ， k 1， 2， 3 16 相应的固有函数为 Xk x Cksin 2k － 1 2L πx， k 1， 2， 3 17 将式 15代入式 14得到 T″ ζT a2λkT 0， k 1， 2， 3 18 式 18是二阶常系数齐次线性微分方程， 其解的 形式与特征方程 t2 ζt a2λk 0 的根有关。令 Δk ζ 2 － 4a2λk ， Δ k ＜ 0， Δk＞ 0 和Δk 0 时， 解的形式 有三种情况 ［18 ］ 。 Δ k ＜ 0 时为常见的欠阻尼振动情 况 ［19 ］， 得对应的特征根为 t1， 2 － ζ 2 1 2 4a2λk － ζ 槡 2i， k 1， 2， 3 19 进一步得到 Tk t e － ζt 2 akcos 1 2 4a2λk － ζ 槡 2 [ t bksin 1 2 4a2λk － ζ 槡 2 ] t ， k 1， 2， 3 20 联立式 12 、 式 17 、 式 20 ， 得 W1 x， t e － ζt 2∑ ∞ k 1 Akcos 1 2 4a2λk － ζ 槡 2 [ t Bksin 1 2 4a2λk － ζ 槡 2 ] t sin 2k － 1 2L πx 21 再结合式 9的 2 个初始条件， 解得 Ak 0 Bk 4 L4a2λk － ζ 槡 2∫ L 0 － P 0 E xsin 2k － 1 2L πxd { x 22 得 W1 x， t e－ ζt 2∑ ∞ k 1 Bksin t 2 4a2λk － ζ 槡 2sin2k － 1 2L πx 23 根据 Duhamel 原理 ［20 ］， 若函数 φ x， t， τ是下列问 题 Ⅲ的解 Ⅲ φtt－ a2φxx ζφt 0 φ t τ 0 φt t τ － P″ τ E ζ P τ E x φ x 0 0，φx x L 0 0 ＜ x ＜ L， τ          ＜ T 24 则问题 Ⅱ的解为 W2 x， t∫ t 0 φ x， t， τ dτ 25 令 t t － τ， 由式 23得 φtt－ a2φxx ζφt 0 φ t 0 0 φt t 0 － P″ τ E ζ P τ E x φ x 0 0，φx x l 0 0 ＜ x ＜ L， t ＞          0 26 362第 24 期姚颖康等压缩脆性介质爆破破坏时冲击荷载与初始应力卸载特征 ChaoXing 式 26的解法与问题 Ⅰ相同， 得 φ x， t e － ζt 2∑ ∞ k 1 Akcos 4a2λ2 k － ζ 槡 2t 2 [ Bksin 4a2λ2 k － ζ 槡 2t ] 2 sin 2k － 1 2l πx 27 结合式 26 2 个初始条件得 Ak 0 Bk 4 L4a2λ2 k － ζ 槡 2∫ L 0 － P″ τ E ζ P τ E xsin 2k － 1 2l πxd        x 28 将 t t － τ 代入式 27 、 式 28 ， 结合式 25 ， 得 W2 x， t∫ t 0 ∑ ∞ k 1 e －ζ t－τ 2 Bk sin 4a2λ2 k － ζ 槡 2 t － τ 2 sin 2k － 1 2L πx dτ 29 因此， 由式 11 、 式 23与式 29可得原问题 的解 u x， t W P t E x W1 W2 P t E x 30 另外， 通过对式 30的解求 x 一阶偏导， 可得到直 杆不同位置处的动态应变 ε  x u x， t 31 通过数值计算式 30和式 31可得到直杆中的 位移和应变的近似解。 立柱爆破过程中， 除了结构直接受到的加载卸载 作用外， 还发生动态的响应， 因此， 在弹性状态下可对 爆炸冲击、 初始应力释放和钢筋拉伸3 个动态压缩和拉 伸过程进行叠加， 进而得到立柱爆破时非爆破区的动 态响应过程。 5． 2动荷载与初始应力释放函数 5． 2． 1 爆炸冲击荷载函数 根据应变测试的结果， 在对计算精度要求不高时， 爆炸荷载加载和卸载函数采用三角折线形分段函数， 如图 20 所示。设自由端的荷载函数 P t ， 由式 32 表示。 图 20爆炸荷载时程曲线 Fig． 20 Blast load history curve P t 0，t≤0 P1t t1 ， 0 ＜ t≤t1 － P1 t2－ t1 t － t1 P1，t1 ＜ t≤t2 0，t≥t          2 32 5． 2． 2 初始应力释放函数 为确定应力释放的模式， 假定以如图 21 和式 33 所示线形卸载函数模拟初始应力的释放过程。初始时 刻， 自由端在载荷 P0作用下产生位移 b 并处于静止状 态。卸载开始时， 初始荷载按照函数 P t 线性减小 至 0。 图 21初始应力释放时程曲线 Fig． 21 Initial stress unloading history curve P t P0， t≤t3 P0 t4－ t t4－ t 3 ， t3＜ t≤t4 0， t≥t        4 33 5． 2． 3 钢筋拉伸荷载函数 根据应变测试结果， 立柱混凝土破碎抛掷引起的 轴向钢筋拉伸荷载函数 T t 采用三角折线形分段函 数， 如图 22 和式 34 所示。 图 22钢筋拉伸作用函数 Fig． 22 Load history curve of tension caused by steel bars T t 0， t≤t5 T0 t － t5 t6－ t 5 ， t5＜ t≤t6 － T0 t7－ t6 t － t6 T0， t6 ＜ t≤t7 0， t≥t          7 34 5． 3初始应力卸载特征模拟 以虹锦公寓工程爆破立柱为例， 设立柱爆破后自 由端至固定端 将立柱顶部梁柱节点处近似视为固定 462振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 约束 的长度为 2． 4