一种基于Seth应变张量的超弹性模型_赵子涵.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 2 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol． 39 No． 2 2020 基金项目军内科研项目 012016018000A22407 收稿日期2019 －04 －28修改稿收到日期 2019 －07 －17 第一作者 赵子涵 男， 博士生， 1991 年生 通信作者 穆希辉 男，博士， 研究员， 1963 年生 一种基于 Seth 应变张量的超弹性模型 赵子涵1， 2，穆希辉1，杜峰坡1 1． 陆军工程大学 弹药工程系， 石家庄050000; 2． 中国人民解放军 32181 部队， 石家庄 050000 摘要为精确表征橡胶类材料在大变形范围内的力学行为， 基于 Seth 应变张量不变量提出了一种适用于橡胶 类材料的不可压缩各向同性超弹性模型。为考察其预测能力， 分别利用 Treloar 经典试验数据和某型炭黑填充橡胶试验 数据对该模型、 Yeoh 模型和二阶多项式模型进行了参数识别。结果表明， 在同时使用单轴拉伸和等双轴拉伸试验数据情 况下， 相较于其他两种常用模型， 该模型能够更准确地拟合两种橡胶材料的试验数据， 并较好地预测纯剪切 或平面拉 伸 试验数据。最后， 分别基于前述三种超弹性模型对橡胶衬套进行了静刚度仿真计算和试验验证。结果表明， 基于所 提出的超弹性模型得到的径向刚度和轴向刚度仿真误差分别为 6． 61 和 9． 72， 显著小于基于其他两种模型得到的仿 真误差。因此， 提出的模型在一定误差范围内能够有效适用于橡胶产品的性能分析。该模型仅含 4 个材料参数， 对不同 的橡胶材料有较好地适用性， 具有良好的工程应用价值。 关键词橡胶类材料; Seth 应变张量; 各向同性; 超弹性; 橡胶衬套 中图分类号TH145． 4 1文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 02． 032 New hyperelastic model based on seth strain tensor ZHAO Zihan1， 2，MU Xihui1，DU Fengpo1 1． Department of Ammunition Engineering，Army Engineering University，Shijiazhuang 050000， China; 2． 32181 The Chinese People’ s Liberation Army Troops，Shijiazhuang 050000， China Abstract Based on the Seth strain tensor invariant，a new hyperelastic model for isotropic and incompressible rubber- like materials was proposed，which can describe the mechanical behavior of the rubber- like material over a large range accurately． In order to investigate its applicability and accuracy，the parameters of the proposed model，as well as the Yeoh model and the second- order polynomial model were identified by using Treloar classical data and carbon black filled rubber test data respectively． The results show that only the proposed model can reliably fit the test data of two different rubber- like materials in uniaxial tension and equibiaxial tension tests while others cannot． Finally，based on the three hyperelastic models mentioned above，the finite element analysis and experiment verification on the static stiffness of a rubber bushing were carried out． As compared with experimental data，the simulation errors of radial stiffness and axial stiffness based on the proposed model are 6． 61 and 9． 72 respectively，which are significantly smaller than those based on other two models． Therefore，the proposed model can be applied to the perance analysis of rubber products． The proposed model merely includes four material parameters， so，it can be used widely for various rubber- like materials and has good engineering value． Key wordsrubber- like material;Seth strain tensor;isotropy;hyperelastic model;rubber bushing 橡胶类材料在工程领域被广泛用于制作轮胎、 橡 胶履带以及各类密封件等［1 －3］。在不考虑时间效应 的情况下， 通常将其看作各向同性不可压缩超弹性材 料。建立可靠的超弹性模型以准确描述各种变形下 橡胶类材料的力学行为对于相关产品性能研究具有 十分重要的意义。在大变形范围内能否准确描述不 同变形模式下橡胶类材料力学行为是评价超弹性模 型优劣的主要标准。研究表明［4 －5］， 现有模型尚不能 够较好地适用于多种应变等级下的力学性能试验数 据， 且无法依靠单类试验准确预测多种变形模式下的 力学行为。 近年来国内外学者对超弹性模型现存问题进行了 分析， 并在前人工作基础上发展出了许多新的超弹性 ChaoXing 模型。Yaya 等 ［6 ］在 Mooney- Rivlin 模型基础上提出了 一种可压缩性的超弹性模型， 通过对 Treloar 数据拟合， 证明了该模型预测能力与三阶 Odgen 模型相近; Khim 等 ［7 ］基于管子模型和 Rayleigh 分布提出了一种非高斯 链网络模型， 该模型考虑了分子链延展的有限性， 能够 准确重现多种橡胶材料试验数据; Zhao 等 ［8 ］建立了各 向同性超弹性模型的偏导微分方程， 并通过 Lie- group 理论给出了一个具体的三参数模型; Nkenfack 等基于 混合积分法对 8 链模型进行了改进， 有效结合了分子 链模型和唯象模型的优点， 但由于模型参数较多而影 响了其推广应用; Bechir 等 ［9 ］在 neo- Hookean 模型基础 上提出了一种新的应变能函数， 该模型能够仅靠单轴 拉伸试验数据较好地预测小变形范围内多种变形模式 下试验数据; Lin［10 ］在不可压缩假设下， 推导了右 Cauchy- Green 变形张量不变量 I1和 I2之间的数学关 系， 采用插值算法得到了新的超弹性模型， 能够仅通过 单轴拉伸和等双轴拉伸试验数据预测平面拉伸和其他 变形模式下的应力 － 应变关系; Xiao［11 ］基于对数应变 张量不变量， 提出了一种构造多轴弹性势的显式方法， 能够仅通过单轴变形模式的试验数据得到多轴弹性 势; Yuan 等 ［12 ］在 Xiao 等的研究基础上， 提出了一种适 用于一般可压缩变形情况下的多轴超弹性模型， 且其 参数具有直接的物理意义; 李雪冰等 ［13 ］通过在 Yeoh 模 型中引入含有右 Cauchy- Green 变形张量第二不变量 I2 的相关项， 有效克服了 Yeoh 模型在预测等双轴拉伸时 出现的 “偏软” 现象; 于海富等 ［14 ］基于分子统计理论提 出了一种混合超弹性模型， 该模型采用修正 Gaussian 模型和修正 8 － 链网络模型的非线性组合分别描述 Gaussian 变形和非 Gaussian 变形部分; 魏志刚等 ［15 ］以 平面拉伸的应力 － 应变关系式为基函数， 提出了一种 将其拓展为适用于平面应力状态一般模型的方法， 并 给出了一个具体函数形式。 上述超弹性模型与经典模型相比， 普遍能够更好 地反应各变形下橡胶类材料的力学行为， 但模型本身 也更为复杂， 参数多且求解困难， 不易在商用有限元软 件中得到推广应用。本文基于 Seth 应变张量不变量提 出一种含有四参数的超弹性模型。为考察其预测能 力， 使用单轴拉伸和等双轴拉伸试验数据对该模型、 Yeoh 模型和二阶多项式模型进行参数拟合， 然后使用 获得的参数预测纯剪切 或平面拉伸 试验数据。为考 察其适用性， 分别利用 Treloar 经典试验数据和炭黑填 充橡胶试验数据对三种超弹性模型进行参数识别与分 析。最后， 对橡胶衬套进行静刚度仿真分析和试验研 究以验证本文提出的模型对橡胶产品性能分析的适 用性。 1超弹性模型的一般形式 根据超弹性理论， 橡胶类材料的应力 － 应变关系 可由应变能函数 W 得出。第一类 Piola- Kirchhoff 应力 张量 P 与变形梯度张量 F 关系为 ［16 ］ P W F 1 在等温条件下， 假设材料为各向同性， 式 1 可 写为 P 2［ FW1 I1F － FC W2 I3 F －1TW 3］ 2 式中 Wi W/Ii i 1， 2， 3 ; Ii i 1， 2， 3 为右 Cauchy- Green 变形张量 C FTF 的不变量。将橡胶类 材料视为不可压缩材料， 则 I31， 式 2 可改写为 P 2［ FW1 I1F － FC W2］－ pF － T 3 式中 p 为拉格朗日乘子。在不同变形模式下， 根据边 界条件消除式 3 中的拉格朗日乘子 p 后， 即可确定相 应的应力 － 应变关系。 目前通常采用单轴拉伸、 等双轴拉伸和纯剪切 或 平面拉伸 等 3 种试验确定橡胶类材料的应力 － 应变 关系。假设笛卡尔坐标系基向量为 e1， e2， e3 ， 在单轴 拉伸、 等双轴拉伸和纯剪切 或平面拉伸 下， 变形梯度 F 分别为 FUT 1/槡λ e1 e 1 e2 e 2 λe3 e 3 FET λ e1 e 1 e2 e 2 1/λ 2 e 3 e 3 FPT e1 e 1 λ e2 e 2 1/λ e3 e 3 { 4 式中 λ 为伸长率。根据边界条件消除拉格朗日乘子 p， 可得三种变形模式下的名义应力为 PUT2 λ － 1 λ 2 W1 W2 λ PET2 λ － 1 λ 5 W1 λ 2W 2 PPT2 λ － 1 λ 3 W1 W2          5 2基于 Seth 应变张量的超弹性模型 橡胶类材料的应力 － 应变关系在整个拉伸范围内 呈现出显著的非线性。研究表明， 当模型中缺少第二 不变量 I2的相关项时不能准确重现多轴变形下的试验 数据 ［17 －18 ］。本文基于 Seth 应变张量不变量［19 ］建立一 种超弹性模型， 能够准确反映橡胶类材料大变形范围 内多种变形模式下的力学行为。 当 n≠0 时， Seth 应变张量 E n的表达式为 E n 1 2n C n － I 6 根据极分解定理有 F RU VR 7 822振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 式中 U 和 V 为右、 左伸长张量， 其特征值为主伸长率 λi i 1， 2， 3 ， R 为转动张量。根据谱分解可知 U ∑ 3 i 1 λiNi Ni 8 式中 Ni i 1， 2， 3 为 U 的正交特征向量。因此， 式 6 可以表示为 E n 1 2n ∑ 3 i 1 λ2n i Ni N i －[]I 9 则 Seth 应变张量的第一不变量为 I n 1 tr E n 1 2n λ 2n 1 λ 2n 2 λ 2n 3 －3 10 由 Seth 应变张量第一不变量 I n 1 的指数形式推广 得到应变能函数 W 表达式 ［20 ］ W ∑ n ∑ r crn λ 2n 1 λ 2n 2 λ 2n 3 － 3 r 11 式中 n 取不为0 的任意数。显然， 式 11 满足 Valanis- Landel 假设 ［21 ］。 右 Cauchy- Green 变形张量 C 的不变量 Ii i 1， 2， 3 与主伸长率 λi i 1， 2， 3 存在如下关系式 I1 λ 2 1 λ 2 2 λ 2 3 I2 λ 2 1λ 2 2 λ 2 2λ 2 3 λ 2 1λ 2 3 I3 λ 2 1λ 2 2λ 2 3 { 1 12 当 n 1 和 r 1 时， 式 11 即为 neo- Hookean 模型 W c1 1 I1－3 13 当 n 1 和 r 1 时， 式 11 即为 Mooney- Rivlin 模型 W c1 1 I1－3 c 1 －1 I2－3 14 当 n 同时取正负值时， 应变能函数 W 能够更充分 地反映各不变量对材料应力 － 应变关系的影响 ［22 ］。而 高阶项有助于提升橡胶类材料大变形的拟合效果［23 ］。 考虑以上因素， 最终定义应变能函数 W 为 W c1 －1 λ －2 1 λ －2 2 λ －2 3 －3 c1 1 λ 2 1 λ 2 2 λ 2 3－3 c1 2 λ 4 1 λ 4 2 λ 4 3－3 c 2 2 λ 4 1 λ 4 2 λ 4 3－3 2 15 由式 12 可知 1 λ21 1 λ22 1 λ23 I2 λ21 λ 2 2 λ 2 3 I1 λ41 λ 4 2 λ 4 3 I 2 1－2I        2 16 根据式 16 可将式 15 写为关于不变量 I1和 I2 的函数关系式 W c1－1 I2－3 c1 1 I1－3 c 1 2 I 2 1－2I2－3 c2 2 I 2 1－2I2－3 2 17 3模型参数识别 超弹性模型的材料参数通常采用单轴拉伸、 等双 轴拉伸和纯剪切 或平面拉伸 等试验进行确定。 Carroll［24 ］认为单轴拉伸和等双轴拉伸是均匀变形的两 种极限状态， 其他变形处于两种变形状态之间。通过 单轴拉伸和等双轴拉伸数据拟合模型参数， 能够更好 地反映所有变形状态下的力学行为。 因此， 本文首先采用单轴拉伸和等双轴拉伸数 据拟合模型参数， 然后对纯剪切 或平面拉伸 数据 进行预测。为考察该模型的预测能力， 选取两种典 型的基于不变量的超弹性模型 Yeoh 模型和二 阶多项式模型作为比较对象， 分析三种模型对不同 橡胶材料基础试验数据的拟合和预测效果。Yeoh 模型和二阶多项式模型分别如式 18 和式 19 所示。 WYeoh c10 I1－3 1 c20 I1－3 2 c30 I1－3 3 18 WPoly c10 I1－3 c01 I2－3 c11 I1－3 I2－3 c20 I1－3 2 c02 I2－3 2 19 3． 1基于 Treloar 试验数据的模型参数识别 首先， 利用 Treloar 试验 ［25 ］中的单轴拉伸和等双轴 拉伸数据对三种模型进行参数识别。曲线拟合采用 1stopt 软件中的通用全局优化算法 Universal Global Optimization， UGO 。拟合结果如图 1 a 和图 1 b 所 示， 模型参数如表 1 所示。然后， 采用具有相同参数值 的各模型对纯剪切试验数据进行预测， 结果如图 1 c 所示。 表 1针对两组试验数据的模型拟合参数 Tab． 1 The parameters values of each model for two test data 模型Treloar 试验数据 某型炭黑填充 橡胶试验数据 本文模型 c1－14． 711 1 10 －3; c1 11． 657 7 10 －1; c1 2 －2． 459 5 10 －4; c2 23． 257 0 10 －7． c1－17． 666 6 10 －2; c1 19． 668 6 10 －1; c1 2 －5． 506 9 10 －2; c2 26． 218 8 10 －4． Yeoh 模型 c101． 838 7 10 －1; c20 －8． 840 6 10 －4; c303． 175 3 10 －5． c109． 977 6 10 －1; c20 －1． 754 6 10 －1; c302． 818 9 10 －2． 二阶多项 式模型 c101． 157 1 10 －1; c012． 329 1 10 －2; c11 －1． 112 8 10 －3; c201． 958 6 10 －3; c025． 211 9 10 －5． c105． 995 1 10 －1; c013． 393 1 10 －1; c11 －8． 645 8 10 －1; c203． 514 3 10 －1 c023． 279 8 10 －1． 为量化各模型拟合效果， 采用决定系数法计算各 模型的拟合优度 ［26 ］， 计算公式为 R2 1 － SSerr/SStot 20 式中 SSerr∑ N i 1 P i－ Pi 2; SS tot ∑ N i 1 Pi－ P 2; P i为 试验值; P i为模型拟合值; P为Pi的平均值; N为试验数 据数量。 为节省篇幅， 各模型拟合优度随各模型拟合预 测结果给出， 如图 1 和图 2 所示。 922第 2 期赵子涵等一种基于 Seth 应变张量的超弹性模型 ChaoXing 图 1 Treloar 试验数据与各模型拟合预测结果 Fig． 1 Comparison of Treloar test data with fitting and prediction results of new model 由图 1 可知， 相较于 Yeoh 模型和二阶多项式模 型， 本文提出的模型拟合优度更高， 能够更准确地反映 该种胶料的力学行为。Yeoh 模型对等双轴拉伸数据的 拟合优度较低， 拟合曲线呈现出 “偏软” 的现象， 主要原 因可能在于 Yeoh 模型中只含有不变量 I1。二阶多项 式模型对纯剪切数据的预测能力较差， 并且虽然其对 等双轴拉伸数据的拟合优度较高， 但拟合曲线趋势与 试验数据有明显区别， 说明当伸长率继续增加时， 拟合 误差会越来越大。 分析 Treloar 试验数据可以发现， 试验用胶料 即 8硫化橡胶 在三种变形状态下的伸长率都较大， 其 中单轴拉伸的伸长率 λ≈7． 6， 等双轴拉伸的伸长率 λ≈4． 45。但并非所有橡胶类材料的伸长率都能够达 到该程度 ［27 ］。为进一步考察本文模型的适用范围， 利 用上述三种模型对某型炭黑填充橡胶试验数据进行了 拟合预测分析。 3． 2基于炭黑填充橡胶试验数据的模型参数识别 委托易瑞博科技有限公司对某型炭黑填充橡胶进 行了单轴拉伸、 等双轴拉伸和平面拉伸试验， 试验数据 如图 2 所示。同样地， 首先采用单轴拉伸和等双轴拉 伸试验数据分别拟合各模型参数， 结果如图 2 a 和图 2 b 所示， 拟合参数如表 1 所示。然后， 采用具有相同 参数值的各模型对平面拉伸试验数据进行预测， 结果 如图 2 c 所示。 图 2炭黑橡胶试验数据与各模型拟合预测结果 Fig． 2 Comparison of test data of carbon black filled rubber with fitting and prediction results of new model 由图 2 可知， 该炭黑填充橡胶在三种变形模式下 的伸长率远低于 Terloar 试验数据。在仅使用单轴拉伸 和等双轴拉伸数据的情况下， 本文提出的模型和二阶 多项式模型能够较好地拟合单轴拉伸和等双轴拉伸试 验数据， 但二阶多项式模型不能准确预测平面拉伸数 据。而 Yeoh 模型对该炭黑填充橡胶试验数据的拟合 预测整体效果较差。分析三种模型拟合预测效果不同 的原因， 除 Yeoh 模型只含有不变量 I1相关项外， 虽然 二阶多项式模型含有不变量 I1和 I2的相关项， 但其最 高阶仅为 2 阶， 而本文提出的模型中包含不变量 I1和 I2相关项的最高阶为 4 阶。由此也说明式 11 中参数 n 和 r 的取值对模型拟合预测能力的重要意义。 4橡胶衬套静刚度分析与试验验证 为考察本文提出的超弹性模型对橡胶产品性能分 析的适用性， 同时进一步对比验证其预测能力， 分别基 于该模型、 Yeoh 模型和二阶多项式模型定义材料属性， 对橡胶衬套进行静刚度仿真分析和试验验证。 032振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 4． 1橡胶衬套静刚度仿真分析 某型橡胶衬套由外钢圈、 内钢圈和中间橡胶层组 成， 其中橡胶层通过硫化与内、 外钢圈粘连， 如图 3 所示。 图 3橡胶衬套及其有限元模型 Fig． 3 Rubber bushing and its finite element model 橡胶层所用材料为“3． 2” 节所述炭黑填充橡胶。 根据式 17 利用 ABAQUS 软件的 UHYPER 子程序定 义材料属性， 模型参数如表 1 所示。内、 外钢圈材料参 数设置为 E 210 000 MPa， v 0． 3。因为橡胶为近似 不可压缩材料， 所以橡胶层采用 C3D8H 杂交单元， 而 内、 外钢圈则采用 C3D8R 单元。 参考试验工况对橡胶衬套施加载荷边界条件。为 模拟硫化连接， 在橡胶层与内、 外钢圈的接触面间设置 固定约束， 对外钢圈设置固定约束， 建立参考点并与内 钢圈内表面建立耦合约束。以参考点位移作为输入条 件， 得到橡胶衬套的载荷 － 位移仿真曲线。其中， 位移 载荷的具体设置为 径向加载量 4 mm， 轴向加载量 8 mm。橡胶衬套等效应力分布如图 4 所示， 其径向刚 度和轴向刚度的载荷 － 位移曲线图 6 所示。 图 4橡胶衬套静刚度仿真等效应力分布图 Fig． 4 Equivalent stress distribution of static stiffness simulation of rubber bushing 为进一步对比验证本文模型的预测能力， 分别利 用 Yeoh 模型和二阶多项式模型重新定义橡胶层材料 属性， 模型参数如表 1 所示， 网格单元的选择、 划分和 边界条件的设置等保持不变。仿真结果如图 6 所示。 4． 2试验验证 橡胶衬套静刚度试验在 MTS833 试验台上进行。 首先， 通过夹具将橡胶衬套固定于试验台， 如图 5 所 示， 并施加一定预紧力以保证衬套外钢圈保持固定。 然后， 分别以 10 mm/min 的速度对衬套施加径向位移 至 4 mm 和轴向位移 8 mm， 之后卸载至 0 mm， 以此作 为 1 个试验循环， 连续重复 3 个试验循环。 图 5橡胶衬套静刚度试验 Fig． 5 Staticstiffness test of rubber bushing 需要注意的是， 橡胶衬套存在滞回特性［28 ］， 在循环 加载试验过程中会产生残余变形。但本文提出的模型 并未考虑橡胶材料的黏弹性特性， 不能模拟材料的滞 回和软化现象， 即仿真中卸载路径与加载路径相同。 因此， 选取 3 次加载试验数据， 消除残余变形量后计算 平均值， 得到橡胶衬套静刚度试验数据如图 6 所示。 图 6橡胶衬套静刚度仿真结果和试验数据 Fig． 6 Comparison of simulation results with experimental data of static stiffness 根据静刚度仿真和试验分析， 得到橡胶衬套径向 刚度、 轴向刚度及仿真误差如表 2 所示。分析图 6 和 表 2 可知， 1 基于本文模型的径向刚度仿真误差约为 6． 61， 轴向刚度仿真误差约为 9． 72， 与试验结果有 一定误差， 其主要原因是 ①由图 2 可以看出， 在模型 参数识别过程中， 拟合预测结果存在一定误差， 而该误 132第 2 期赵子涵等一种基于 Seth 应变张量的超弹性模型 ChaoXing 差会进一步影响仿真精度; ②为降低仿真难度， 有限元 模型忽略了内、 外钢圈与橡胶层之间的硫化粘滞作用， 这也会导致仿真误差的产生; ③橡胶衬套存在滞回特 性， 在消除其残余变形过程中可能引入误差。总体来 说， 仿真误差均在 10以内， 能够基本反映橡胶衬套静 刚度曲线趋势。 2 基于本文提出模型的静刚度仿真 误差显著小于基于其他两种模型的仿真误差。该结果 进一步表明， 本文模型对于炭黑填充橡胶试验数据的 拟合优度更高， 能够更准确地反映橡胶衬套的静态力 学行为。 表 2橡胶衬套静刚度仿真与试验数据 Tab． 2 The simulation and experimental results of static stiffness of rubber bushing 试验结果 仿真结果 本文模型Yeoh 模型 二阶多项 式模型 径向刚度/ Nmm －1 553． 23589． 80693． 95651． 15 轴向刚度/ Nmm －1 195． 10214． 74253． 60235． 66 径向刚度 误差/ 6． 6125． 4417． 70 轴向刚度 误差/ 9． 7229． 9820． 79 5结论 本文基于 Seth 应变张量不变量提出了一种适用于 橡胶类材料的各向同性超弹性模型。该模型以右 Cauchy- Green 变形张量的第一和第二不变量为自变 量， 满足 Valanis- Landel 假设。选取基于不变量的 Yeoh 模型和二阶多项式模型为比较对象， 利用 Treloar 试验 和某型炭黑填充橡胶的试验数据对三种模型进行了参 数拟合。通过比较分析试验数据和拟合预测结果， 发 现本文提出的模型具有以下优势 1 在仅使用单轴拉伸和等双轴拉伸试验数据的 情况， 该模型能够可靠地反映橡胶类材料在三种变形 状态下的力学行为。 2 该模型对于两种橡胶类材料的试验数据都具 有较好地拟合和预测效果， 具有一定的适用性。 3 该模型仅含四个参数， 在分析计算中易于收 敛， 且其预测能力和适用性优于 Yeoh 模型和二阶多项 式模型， 具有一定的工程应用价值。 最后， 基于三种超弹性模型对橡胶衬套进行了静 刚度仿真分析和试验验证。结果表明， 基于本文提出 模型得到的径向刚度和轴向刚度的仿真误差分别为 6． 61和 9． 72， 显著小于基于其他两种模型得到的 仿真误差。因此， 本文提出的超弹性模型能够在一定 误差范围内适用于橡胶产品的性能分析。 参 考 文 献 ［1］ 危银涛，冯希金，郑小刚，等． 乘用车子午线轮胎泵浦噪 声机理的实验 － 数值混合分析方法［J］ ． 振动与冲击， 2015， 34 11 166 －172． WEI Yintao，FENG Xijin，ZHENG Xiaogang，et al．A hybrid experimental- numerical analysis for radial tire air pumpingnoisegenerationmechanism ［J］ ．Journalof Vibration and Shock， 2015， 34 11 166 －172． ［2］ 周振凯，徐兵，胡文军，等． 橡胶隔振器大变形有限元分 析［ J］ ． 振动与冲击， 2013， 32 5 171 －175． ZHOU Zhenkai， XU Bing， HU Wenjun， et al．Large deation finite element analysis of rubber isolator［J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2013， 32 5 171 －175． ［3］ 赵子涵， 穆希辉，郭浩亮，等． 橡胶履带轮静态接地压力 测试与建模［ J］ ． 农业工程学报， 2018 3 72 －79． ZHAO Zihan，MU Xihui，GUO Haoliang，et al． Test and modeling on static ground pressure of rubber trackconversion system ［J］ ．TransactionsoftheChineseSocietyof Agricultural Engineering， 2018 3 72 －79． ［4］ HOSSAIN M，STEINMANN P． More hyperelastic models for rubber- likematerials consistenttangentoperatorsand comparative study［ J］ ． Journal of the Mechanical Behavior of Materials， 2013， 22 1/2 27 －50． ［5］ STEINMANN P，HOSSAIN M，POSSART G． Hyperelastic models for rubber- like materialsconsistent tangent operators and suitability for Treloar ＇s data［J］ ．Archive of Applied Mechanics， 2012， 82 9 1183 －1217． ［6］ YAYA K， BECHIR H．A new hyper- elastic model for predicting multi- axial behaviour of rubber- like materials ulation and computational aspects［J］ ．Mechanics of Time- Dependent Materials， 2018， 22 2 167 －186． ［7］ KHIM V N，ITSKOV M． Analytical network- averaging of the tube model． Rubber elasticity ［J］ ．Journal of the Mechanics ＆ Physics of Solids， 2016， 95 254 －269． ［8］ ZHAO F．Continuum constitutive modeling for isotropic hyperelastic materials［J］ ． Advances in Pure Mathematics， 2016， 6 9 571 －582． ［9］ BECHIR H， CHIER L， CHAOUCHE M， et al． Hyperelastic constitutive model for rubber- like materials based on the first Seth strain measures invariant［J］ ．European Journal of Mechanics- A/Solids， 2006， 25 1 110 －124． ［ 10］ LIN B．Anewmodelforhyperelasticity ［J］ ．Acta Mechanica， 2009， 208 1/2 39 －53． ［ 11］ XIAO H．Elastic potentials with best approximation to rubberlike elasticity［J］ ． Acta Mechanica，2015， 226 2 331 －350． ［ 12］ YUAN L，GU Z，YIN Z，et al． New compressible hyper- elastic models for rubberlike materials［ J］ ． Acta Mechanica， 2015， 226 12 4059 －4072． ［ 13］ 李雪冰，危银涛． 一种改进的 Yeoh 超弹性材料本构模型 ［ J］ ． 工程力学， 2016， 33 12 38 －43． LI Xuebing，WEI Yintao．An improved Yeoh constitutive model for hyperelastic material［J］ ． Engineering Mechanics， 2016， 33 12 38 －43． 232振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing ［ 14］ 于海富，李凡珠，杨海波，等． 橡胶材料的混合高弹性本 构模型研究［ J］ ． 橡胶工业， 2018 5 509 －513． YU Haifu，LI Fanzhu，YANG Haibo，et al． Study on hybrid hyperelastic constitutive model for rubber material［ J］ ． China Rubber Industry， 2018 5 509 －513． ［ 15］ 魏志刚，陈海波． 一种新的橡胶材料弹性本构模型［J］ ． 力学学报， 2019， 51 2 473 －483． WEI Zhigang，CHEN Haibo． A new elastic model for rubber- like materials ［J］ ．Chinese Journal of Theore