中低频集中质量悬臂式簧片仪基频分析方法研究_惠安民.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 5 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol． 39 No． 5 2020 基金项目航空科学基金 201704Q5001 收稿日期2018 －07 －06修改稿收到日期2018 －11 －12 第一作者 惠安民 男， 博士生， 1991 年生 通信作者 闫明 男， 博士， 教授， 博士生导师， 1978 年生 中低频集中质量悬臂式簧片仪基频分析方法研究 惠安民1，闫明1，冯麟涵2，姜丽杰1，刘海超1 1． 沈阳工业大学 机械工程学院，沈阳110870; 2． 海军研究院，北京100161 摘要簧片仪是一种中低频冲击响应谱测量装置， 设计时可将其简化为端部附带集中质量的悬臂梁。簧片仪的 振型方程中存在超越函数， 对于等截面簧片仪来说， 可使用二分法等数值方法求解， 计算量较大， 该方法不适用于复杂截 面簧片仪基频设计。首先利用悬臂梁自由端受集中力的挠度公式， 推导出其等效刚度等效单自由度的弹簧振子系统， 利 用弹簧振子相关频率公式解决求解集中质量等截面悬臂梁的基频问题， 该方法与振型方程求解的基频对比， 发现在 10 Hz 以下的中低频区域， 可以很好的保证等截面悬臂梁的基频精度， 大于 10 Hz 的中频段， 误差随频率的升高而迅速增大。 接下来， 通过 Mohr 积分的方法， 推导出等强度集中质量悬臂梁自由端的最大挠度， 并给出其基频的设计公式， 该方法与试 验进行对比， 发现误差与等截面悬臂梁有相同趋势， 因此利用瑞利能量法修正设计公式中的质量参数， 修正后与实验误差 在 5左右。经理论与试验验证， 所提出的簧片仪设计方法简单可行、 计算结果可信。 关键词簧片仪;等强度集中质量悬臂梁;基频;Mohr 积分 中图分类号TH113． 1文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 05． 038 Fundamental frequency analysis for medium- low frequency concentrated mass cantilever reed instrument HUI Anmin1，YAN Ming1，FENG Linhan2，JIANG Lijie1，LIU Haochao1 1． School of Mechanical Engineering，Shenyang University of Technology，Shenyang 110870，China; 2． Naval Academy，Beijing 100161，China Abstract Reed instrument is a measuring device for medium- low frequency impact response spectra． It can be simplified as a cantilever beam with concentrated mass at its free end during its design． There is a transcendental function in its vibration mode shape equation． For a reed instrument with uni cross- section，this equation can be solved with the bisection ，but the numerical computation is time- consuming． This is not suitable for fundamental frequency design of reed instruments with complex cross- section． Here，firstly，the deflection ula for a cantilever beam subjected to a concentrated force at its free end was used to derive the equivalent stiffness of a single- DOF spring- mass system equivalent to the beam． The relevant natural frequency ula of this single- DOF spring- mass system was proposed to solve the fundamental frequency problem for a uni cross- section cantilever beam with a concentrated mass． Comparing the beam’ s fundamental frequency calculated using the proposed with that using the vibration mode shape equation，it was found that within the medium- low frequency range of less than 10 Hz，the fundamental frequency accuracy of the cantilever beam with uni cross- section can be well kept;within the medium frequency range of larger than 10 Hz，error rapidly increases with increase in frequency;Mohr integral was used to deduce the maximum deflection at free end of a uni strength concentrated mass cantilever beam，and give the design ula of its fundamental frequency． Comparing its fundamental frequency data calculated with the proposed to test data，it was found that the error has the same trend as that of the cantilever beam with uni cross- section;Rayleigh energy is used to modify mass parameters in the design ula，and the error between the modified data and test ones is about 5． Through theoretical calculation and test verification，it was shown that the proposed design for a reed instrument’ s fundamental frequency is simple and feasible，and the computation results are believable． Key words reed instrument;uni strength concentrated mass cantilever beam;fundamental frequency; Mohr integral ChaoXing 近年来， 随着先进水中作战武器的杀伤力不断提 升， 海军舰艇所面临的冲击环境越来越恶劣， 各国海军 对舰艇和舰载设备的抗冲击性能的要求也越来越高， 而实船水下非接触爆炸试验是检验舰艇及舰载设备抗 冲击能力的重要手段， 其中， 该实验一项重要的工作就 是测量冲击响应谱 以下简称冲击谱 。通过实船水下 非接触爆炸试验 ［1 ］， 测量得到完整、 准确的冲击谱， 才 能有效指导舰艇及舰载设备抗冲击能力的设计［2- 4 ］。 就目前而言， 各国海军测量冲击谱的主要手段为 利用 压电式加速度传感器测量得到冲击环境下加速度的时 间历程曲线， 再通过 Duhamel 积分获得冲击谱。然而 测量冲击谱的压电式加速度传感器在受到强冲击载荷 的作用下极易发生零飘现象， 造成中低频冲击谱测量 失真 ［5- 7 ］。一般采用以下几种方法， 减小中低频冲击响 应谱的测量误差 ① 给加速度传感器加装机械滤波器， 该方法对加速度信号和冲击响应谱的修正效果有限; ② 趋势项误差数学修正方法， 如， 最小二乘法 ［8 ］、 小波 变换法 ［9 ］、 经验模式分解法［10 ］、 Hilbert- Huang 变换修 正 ［11 ］等， 数学修正法对冲击响应谱的修正效果对数学 模型中的调整参数依赖性较强， 而这些调整参数主要 靠工程人员依据经验给定， 主观性较强; ③ 根据冲击响 应谱的定义用弹簧振子和簧片仪修正中低频冲击响应 谱， 该方法增加了试验成本， 但测量到的中低频冲击响 应谱精度高。相对弹簧振子而言， 簧片仪体积小、 质量 轻、 结构简单， 因此试验人员更愿意选用。 簧片仪本质上是端部带集中质量的悬臂梁。从理 论上说， 该悬臂梁含有无穷阶模态， 理论设计并求解其 基频时， 方程中存在求解超越函数的情况［12- 14 ］， 增加了 设计的难度。本文提出应用 Mohr 积分的方法推导出 改进的等强度集中质量悬臂式簧片的近似基频设计公 式， 并用试验加以验证。 1端部有集中质量悬臂梁的频率分析 1． 1理论模型 簧片仪的理论模型如图 1 所示， 为端部集中质量 的悬臂梁， 且其截面高度远小于悬臂梁的长度， 假定横 向振动过程中， 悬臂梁轴线始终保持在其对称平面内， 为简化模型及降低计算难度， 忽略剪切变形和转动惯 量的影响。图 1 中， 等截面集中质量悬臂梁的弯曲振 动可用横向位移 Y x， t 表示， 其中 t 为时间、 其单位长 度的质量为 ρS ρ 为等截面集中质量悬臂梁密度， S 为 截面积 、 截面抗弯刚度为 EI E 为材料的弹性模量， I 为截面惯性矩 、 端部质量块质量为 M、 悬臂梁长为 l。 图 1簧片仪理论模型 Fig． 1Theoretical model of reed gage 1． 2振动方程及频率特征方程的建立 由牛顿第二定律及弯矩与挠度的关系式可得匀质 等截面梁的无阻尼横向振动的偏微分方程为［15 ］ EI 4y x 4 ρS 2y t 2 0 1 该四阶微分方程采用分离变量法求解， 即令方程 的解 Y x， t  x q t 2 q t Acos ωt Bsin ωt 3  t λ1cos μx λ2sin μx λ3cosh μx λ4sinh μx 4 其中该梁横向振动的振型函数的前三阶阶导数为  t μ－ λ1sin μx λ2cos μx λ3sinh μx λ4cosh μx ″ t μ2－ λ1cos μx － λ2sin μx λ3cosh μx λ4sinh μx  t μ3 λ 1sin μx － λ2cos μx λ3sinh μx λ4cosh μx            5 式中 q t 为时间相关函数， 其中常数 A， B 由悬臂梁的 初始条件确定;  x 为振型函数， 其常数 λ1 ～ λ 4为待 定系数， 其值由模型的四个边界约束决。μ4 ω2 ρS EI ; ω 为单自由度系统 q t 的固有圆频率。 根据已有模型可知该集中质量等截面悬臂梁两端 的边界约束条件为固定端位移约束  0 0 固定端转角约束  0 0 集中质量端弯矩约束 ″ l 0 集中质量端剪力约束 EI l － Mp2 l 代边界约束条件于振型函数 4 及其各阶导数 5 中可求得线性方程组 μ2 cosh μl cos μlμ2 sinh μl sin μl k1 sinh μl － sin μl Q1 cosh μl － cos μl k1 cosh μl cos μl Q1 sinh μl － sin μl [] λ3 λ [] 4 0 6 372第 5 期惠安民等中低频集中质量悬臂式簧片仪基频分析方法研究 ChaoXing 式中 k1 μ 3EI; Q 1 Mω 2。 若该线性方程组存在非零解{ λ1λ4} T， 其系数行 列式必为零， 故有 μ2 cosh μl cos μlμ2 sinh μl sin μl k1 sinh μl － sin μl Q1 cosh μl － cos μl k1 cosh μl cos μl Q1 sinh μl － sin μl 0 7 由上述行列式 7 可解得等截面集中质量悬臂梁 的频率特征方程为式 8 所示; 由于该方程存在超越函 数 sinh μl 与 cosh μl， 设计人员一般只有先确定方程式 8 中的 μl 值后， 才能确定等截面集中质量悬臂梁的 固有频率， 最后在通过 μl 值反求悬臂梁的几何参数。 故通过求解此方程的解来确定固定频率的等截面集中 质量悬臂梁的几何尺寸， 存在相当难度。 1 cos μlcosh μl α1μl cos μlsinh μl － sin μl cosh μl 0 8 式中 α1 M ρSl ; 等截面集中质量悬臂梁的理论频率 f 公 式如式 9 所示 f u2 EI ρ 槡 S 9 2Mohr 积分法自由振动模型的建立 在弯曲变形不大且材料本身符合线性规律的情况 下， 悬臂梁的挠度与其自由端受的集中力的大小是存 在线性关系的， 其挠度曲线公式为 yx － l2 x 6EI 3l － lx F 10 如图 2 悬臂梁受简单载荷下的弯曲挠度图， 其中 yx为悬臂梁自由端受 F 力后位于固定端点 lx处的弯曲 挠度， l 为悬臂梁长度， lx为悬臂梁固定端到被测挠度 点长度。 图 2悬臂梁受简单载荷下的弯曲挠度图 Fig． 2Bending deflection diagram of cantilever beam under simple load 可见在一定的条件下， 如图 3 所示的等截面集中 质量悬臂梁上任意位置的挠度都是符合胡克定律的。 本文根据悬臂梁这一特性， 利用悬臂梁自由端受集中 力的挠度公式， 首先推导出其等效刚度等效单自由度 的弹簧振子系统， 利用弹簧振子相关频率公式解决求 解集中质量等截面悬臂梁的基频问题， 推广等效刚度 模拟单自由度弹簧振子的原理， 通过 Mohr 积分的方 法， 推导出如图 4 所示等强度集中质量悬臂梁自由端 的最大挠度， 并给出其基频的设计公式。 图 3等截面集中质量悬臂梁 Fig． 3Equal- cross- section concentrated mass cantilever beam 图 4等强度集中质量悬臂梁 Fig． 4Equal- strength concentrated mass cantilever beam 具体方法如下 对于如图 3 所示的等截面集中质 量悬臂梁来说， 由式 10 可知其最大挠度发生在自由 端， 其值为 yB － l3 3EIF; 可得其等效刚度和等效单自由 度弹簧振子的频率 Keq F yB 3EI l3 11 feq 1 2π Keq 槡 M 1 2π 3EI l3 槡M 12 式中 Keq为悬臂梁的等效刚度; yB 为悬臂梁自由端挠 度; feq为等效单自由度弹簧振子固有频率。 对于如图 4 所示的等强度集中质量悬臂梁来说， 可利用 Mohr 积分原理求其自由端处最大挠度。即 Δ ∫ l M xM x EI dx ∫ l T xT x GIp dx ∫ l F xF x EA dx 13 式中 Δ 为等强度集中质量悬臂梁自由端挠度; T x 为 扭矩; T x 为单位力扭矩; GIP为截面扭转刚度; M x 为弯矩; M x 为单位力弯矩; EI 截面抗弯刚度; F x 为轴向拉力; F x 轴向单位拉力; EA 截面抗拉刚度; 代入如图 4 中所示相关的设计参数， 可得其悬臂 梁自由端最大挠度为根部变截面悬臂梁挠度 ω2与等 截面悬臂梁挠度 ω1之和， 即为 ωi∫ l1 0 M xM x EI1 dx ∫ l1l2 l1 M xM x EIx dx 472振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing ω1 ω 2 14 ω1 1 EI∫ l1 0 Fx2dx l3 1F 3EI1 15 ω2 1 E∫ l1l2 l1 Fx2 Ix dx 16 其中 Ix bxh3 12 h3 12［ b2－ b1 l2 x － l1 b1］ 17 ω2 C0F 2K0 l2 0－ l 2 1－ C0Fb K2 0 l2－ C0Fb2 K3 0 ln K0l0 b K0l1 b 18 式中 x 为积分截面到悬臂梁自由端面的距离; ω1为悬 臂梁等截面段挠度; ω2为悬臂梁等强度段挠度; ωi为 改进的等强度集中质量悬臂梁自由端挠度; l1， l2分别 为悬臂梁等截面段梁长及等强度段梁长; EI1为等截面 区域截面抗弯刚度; EIx为等强度区域截面抗弯刚度， 变截面系数 K0 b2－ b1 l2 ; 厚度系数 C0 12 Eh3; 宽度系数 b b1- K0l1; 悬臂梁总长 l0 l1 l2; 由于变截面段设计 成为等强度梁的原因， 可计算推导出 b 0。 故由上述推导， 可求出等强度悬臂梁自由端最大 挠度 ωimax， 等效刚度 Keq， 及其近似基频设计频率公式 分别为 ωimax l3 1F 3EI1 C0F 2K0 l2 0 － l2 1 19 Keq F ωi 6K0EI1 3EI1C0 l2 0 － l2 1 2K0l 3 1 20 f 1 2π Keq 槡 M 1 2π 6K0EI1 ［ 3EI1C0 l2 0 － l2 1 2K0l 3 1］ 槡 M 21 3频率标定试验 试验采用 DH131E 型压电式加速度传感器记录悬 臂梁质量端在振动过程中的加速度时域变化数据， 采 用 ECON 公司生产的 8 通道数据采集仪， 型号 MI- 7008 进行数据采集， 取其加速度信号自功率谱的第一个尖 峰峰值， 为该悬臂梁的一阶固有频率， 对采集的数据进 行整理绘图; 如图 5 所示为等强度集中质量悬臂式簧 片仪样机频率标定试验实物图， 其等强度集中质量悬 臂梁期望固有频率取样点分别为 2 Hz， 6 Hz， 10 Hz， 20 Hz。 试验利用小型手动冲击锤冲击等强度悬臂梁集中 质量端提供初始激励， 等强度悬臂梁的激励响应信号 为加速度传感器记录的加速度时域信号， 如图 6 所示， 为6 Hz 等强度集中质量悬臂梁受激励后加速度响应的 时域信号以及自功率谱图。 图 5簧片仪样机频率标定试验实物图 Fig． 5Frequency determination test for reed gage 图 66 Hz 等强度集中质量悬臂梁激励加速度响应时域 信号以及自功率谱图 Fig． 6Time domain signal of acceleration response of 6 Hz equal intensityconcentratedmasscantileverbeamandself power spectrum 4 悬臂梁频率对比分析 分别对等截面集中质量悬臂梁及等强度集中质量 悬臂梁的数据进行分析比较; 1对于等截面集中质量悬臂梁来说， 利用二分 法对频率特征方程 9 进行迭代求解， 可分别计算出 μl 的数值解， 并根据所求 μl 数值解及悬臂梁振动方程频 率式 9 ， 设计等截面集中质量悬臂梁相关几何参数与 自由端质量块质量如表 1 所示。 表 1等截面集中质量悬臂梁设计参数 Tab． 1Design parameters of constant cross- section concentrated mass cantilever beam 期望 频率/Hz μl 数值解 梁长度 l/m 截面宽 b/m 截面高 h/m 配重 M /kg 20． 856 4000． 230． 0250． 0010． 64 61． 017 3340． 200． 0250． 0010． 10 101． 070 1000． 200． 0250． 001 50． 12 201． 302 2700． 170． 0250． 001 50． 04 572第 5 期惠安民等中低频集中质量悬臂式簧片仪基频分析方法研究 ChaoXing 根据表 1 等截面集中质量悬臂梁设计参数， 应用 上述近似基频设计式 12 ， 计算出该几何参数下等截 面集中质量悬臂梁的基频， 并与表 1 中的理论公式计 算出的基频进行对比， 如表 2 所示。 表 2等截面集中质量悬臂梁的基频 Tab． 2Fundamental frequency of constant cross- section concentrated mass cantilever beam 期望频率/Hz理论频率/Hz 设计公式/Hz误差/ 22． 000 002． 016 50． 825 66． 019 556． 291 14． 64 109． 990 2610． 550 55． 61 2020． 478 723． 318 913． 87 2对于等强度集中质量悬臂梁， 应用等强度集 中质量悬臂梁近似基频设计式 21 ， 可求解出其设计 参数如表 3。 表 3等强度集中质量悬臂梁几何参数 Tab． 3Geometric parameters of constant intensity concentrated mass cantilever beam 期望 频率/Hz b1/ m b2/ m 厚度 h/ m l1/ m l2/ m 配重质量/ kg 20． 0250． 038 30． 0010． 080． 150． 75 60． 0250． 0450． 0010． 080． 10． 195 100． 0250． 0450． 001 50． 080． 10． 23 200． 0250． 0450． 001 50． 080． 10． 05 应用近似基频设计式 21 计算出的等强度集中质 量悬臂梁基率与频率标定实验实测基率对比如表 4 所示。 表 4等强度集中质量悬臂梁基率计算对比 Tab． 4Comparison of frequency calculation of constant intensity concentrated mass cantilever beam 期望频率/ Hz 设计公式/ Hz 实测基频/ Hz 误差 绝对值 / 22． 031 22． 124． 19 66． 102 56． 252． 36 1010． 3239． 587． 76 2022． 14019． 8811． 37 通过对表 2 等截面集中质量悬臂梁的基频分析， 可知在低频范围内， 等截面集中质量悬臂梁的近似基 频设计公式与理论公式计算得到的基频差距不大， 完 全符合设计的精度需求， 但在 10 Hz 以上的中频段， 其 误差随频率的增高而增大。 由表 2、 4 集中质量悬臂梁基频计算绘制的图 7 等 截面与等强度集中质量悬臂梁频率误差所示， 在等强 度集中质量悬臂梁的近似基频设计公式中， 也存在相 同的频率误差走势， 即在低频段， 设计误差很小， 满足 设计要求， 但在大于 10 Hz 以后的中频段， 误差随频率 的增加而显著增大。 图 7等截面与等强度集中质量悬臂梁频率误差 Fig． 7Frequency error of constant cross- section and constant intensity concentrated mass cantilever beam 分析出现误差随频率的增加而显著增大， 其主要 原因为利用 Mohr 积分方法等效单自由度弹簧振子时， 该模型为理想模型， 即质量集中于振子中， 而忽略弹簧 自身质量; 在低频时， 由于悬臂梁本身的质量在总质量 中占比较小， 悬臂梁本身质量对频率计算的影响可以 近乎忽略; 但随着频率的逐渐提升， 悬臂梁本身的质量 在总质量占比升高明显， 故悬臂梁自身质量对频率计 算的影响就越发显著。为克服中频段误差， 可考虑利 用瑞利能量法求解等效质量进行修正， 对等强度集中 质量悬臂梁修正后， 其等效质量以及修正后基频与误 差如表 5 所示。其低频段、 中频段与实测误差皆在 5 左右。 表 5修正等强度集中质量悬臂梁基率 Tab． 5Corrected frequency of constant intensity concentrated mass cantilever beam 实测 频率/Hz 等效 质量/kg 修正前设计 公式/Hz 修正后设计 公式/Hz 误差 绝对值 / 2． 120． 7592． 031 22． 024． 71 6． 250． 2016． 102 56． 004 9． 580． 23910． 32310． 115． 53 19． 880． 05922． 14020． 312． 16 5结论 等截面集中质量悬臂梁， 通过理论公式计算与近 似基频设计公式计算的基频验证比较后， 可以得出近 似基频设计公式计算精度符合设计需求; 在 0 ～ 10 Hz 的中低频范围内， 近似基频设计公式计算等截面集中 质量悬臂梁式簧片仪的基频精度较高， 可直接应用于 设计; 如设计频率范围大于10 Hz 的簧片仪应考虑簧片 本身质量对基频的影响， 修正等效质量后， 可提高设计 公式精度。 等强度集中质量悬臂梁， 近似基频设计公式同样 在 0 ～10 Hz 的中低频范围内， 可以保证良好的设计精 度， 其误差值均小于 10， 但超过 20 Hz 后， 其计算误 差高于 10， 故如设计 10 Hz 以内中低频等强度簧片 仪， 可直接应用近似基频设计公式， 如设计基频超过 10 672振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing Hz 等强度簧片仪， 应考虑簧片本身质量， 应用等效质 量计算其频率， 可以显著提高近似等效设计公式的中 频段精度。 本文提出的近似基频设计公式在低、 中频段， 完全 符合设计的精度要求， 可直接设计簧片本身几何参数 及自由端集中质量， 来计算基频， 可提高设计效率， 降 低计算成本。 参 考 文 献 ［1］ SCAVUZZO R J， PUSEY H C．Naval shock analysis and design ［M］ ．FallsChurch TheShockandVibration Ination Analysis Center， 2000． ［2］ 傅健， 孟丽丽， 赵鹏铎， 等． 低频簧片仪冲击特性与破坏规 律分析［ J］ ． 噪声与振动控制， 2016， 36 2 205- 208． FU Jian， MENG Lili， ZHAO Pengduo， et al． Analysis of shock characteristics and failure law for low- frequency reed gage ［ J］ ． Noise and Vibration Control， 2016， 36 2 205- 208． ［3］ 耿盼盼， 刘永文． 舰用燃气轮机抗冲击时域模拟研究［ J］ ． 机械强度， 2013， 35 3 349- 353． GENG Panpan， LIU Yongwen． Time domain simulation study on shock resistance of marine gas turbine［J］ ． Mechanical Strength， 2013， 35 3 349- 353． ［4］ 任晨辉， 杨德庆． 船用新型多层负刚度冲击隔离器性能分 析［ J］ ． 振动与冲击， 2018， 37 20 81- 87． REN Chenhui，YANG Deqing． Perance analysis of a new marine multi- layer negative stiffness shock isolator ［ J ］ ． Journal of Vibration and Shock， 2018， 37 20 81 -87． ［5］ 吴祖堂， 杨德猛， 邹虹． 压电加速度传感器冲击测量中低 失真的理论分析与试验验证［ J］ ． 传感技术学报， 2010， 23 11 1586- 1589． WU Zutang， YANG Demeng， ZOU Hong． Theoretical analysis and experimental verification of low distortion in impact measurement of piezoelectric acceleration sensor［J］ ． Journal of Sensing Technology， 2010， 23 11 1586- 1589． ［6］ 曾泽璀， 闫明， 赵鹏铎， 等． 中低频冲击响应谱测量技术综 述［ J］ ． 造船技术， 2016 4 30- 33． ZENG Zecui， YAN Ming， ZHAO Pengduo， et al． Summary of lowandmediumfrequencyshockresponsespectrum measurement technology［ J］ ． Shipbuilding Technology，2016 4 30- 33． ［7］ 方诗麟， 卢梅， 李铁． 基于冲击响应谱的导弹冲击试验条 件制定与优化方法研究［ J］ ． 振动与冲击， 2018，37 1 203- 207． FANG Shilin， LU Mei，LI Tie． Institution and optimization of the percussion experiment condition of missiles based on the shock response spectrum［ J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2018， 37 1 203- 207． ［8］ SMALLWOOD D O．Shockresponsespectrumatlow Frequencie ［J］ ．TheShockandVibrationBulletin， SAVIAC， 1986， 1 279- 288． ［9］ 杜志鹏， 汪玉， 杨洋， 等． 舰艇水下爆炸冲击信号拟合及应 用［ J］ ． 振动与冲击， 2010， 29 3 182- 184． DU Zhipeng， WANG Yu，YANG Yang，et al． Fitting and application of underwater explosion impactsignal of warship ［ J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2010， 29 3 182- 184． ［ 10］ GABERSON H A，CHALMERS R H． Modal velocity as a criterion of shock severity［ J］ ． Shock and Vibration Bulletin， 1969， 40 2 31- 49． ［ 11］ DATIG M，SCHLUMANN T． Perance and limitations of Hibert- Huang transation HHTwith an application to irregular water waves［J］ ．Ocean Engineering，2004，31 14 1783- 1834． ［ 12］ 王栋． 附带有考虑集中质量的转动惯性的梁固有振动分析 ［ J］ ． 振动与冲击， 2010， 29 11 221- 225． WANG Dong． Naturalvibrationanalysisofbeamswith rotational inertia considering concentrated mass［ J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2010， 29 11 221- 225． ［ 13］ 任兴民， 秦卫阳， 文立华． 工程振动基础［ M］ ． 北京 机械 工业出版社， 2006． ［ 14］ 刘建英， 王效岳， 宫金良． 考虑不同边界条件悬臂梁的模 态研究［ J］ ． 振动与冲击， 2017， 36 19 221- 226． LIU Jianying， WANGXiaoyue， GONGJinliang．Modal analysis of cantilever beams considering different boundary conditions［J］ ． Journal of Vibration and Shock，2017， 36 19 221- 226． ［ 15］ WANG Zhuang，HONG Ming，XU Junchen， et al． Analytical and experimental study of free vibration of beams carrying multiple masses and springs［J］ ． Journal of Marine Science and Application， 2014， 13 1 32- 40． 772第 5 期惠安民等中低频集中质量悬臂式簧片仪基频分析方法研究 ChaoXing