轴心轨迹测量中圆弧形导致的偏差及其修正方法_马会防.pdf

 振动与冲击 第 38 卷第 24 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．24 2019 收稿日期2019 －01 －15修改稿收到日期 2019 －03 －23 第一作者 马会防 男， 硕士， 高级工程师， 1980 年生 轴心轨迹测量中圆弧形导致的偏差及其修正方法 马会防，万召 中国航发商用航空发动机有限责任公司， 上海200241 摘要对转子轴心轨迹测量中圆弧形导致的偏差进行了分析， 探讨了测量截面上转子半径、 径向位移对偏差大 小的影响， 分析表明 测量截面圆半径越小、 径向位移越大， 测量值与实际值偏差也就越大; 在对偏差进行分析的基础上， 提出了一种偏差修正方法， 给出了修正计算公式， 该方法需输入测试截面的转子半径， 然后可基于测得的位移计算实际的 轴心位移。修正方法可以消除圆弧导致的测量偏差， 提高测量精度， 可用于实时测量系统， 也可用于测量后的数据后处 理。该方法具有重要的工程应用价值， 对于提高测量精度等方面具有重要的参考价值。 关键词轴心轨迹; 测量; 偏差; 修正 中图分类号TH701; TB936文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 24． 034 Deviation caused by circular arc in axis orbit measurement and its modification MA Huifang，WAN Zhao AECC Commercial Aircraft Engine Co． ，Ltd． ，Shanghai 200241，China Abstract Analysis on deviation caused by circular arc in axis orbit measurement was conducted，and the effects of the radius in the measurement plane and the displacements in the radial direction on the deviation were discussed． The results show that the smaller the radius in the measurement plane is，the more the deviation is;and the more the displacement in the radius direction is，the more the deviation is． Based on the analysis on the deviation，a modification was presented，which was able to compute the real displacements of the axis orbit based on the measured displacements，with the radius in the measurement plane as an ． By using the proposed modification ，the deviation caused by circular arc can be eliminated，and improvement on measurement accuracy is made． The modification has a significant engineering application value，which is suitable for both real- time testing systems and offline systems． Key wordsaxis orbit;measure;deviation;modification 通过两个相互垂直的位移传感器， 可以对转子进 行轴心轨迹的测量。轴心轨迹的分析， 在水泵 ［1 －2 ］ 、 发 电机 ［3 －5 ］、 机床［6 ］等多种旋转设备均有应用， 基于对轴 心轨迹分析所得到的特征， 可判断设备的运行状态; 特 别是在故障诊断方面， 关于轴心轨迹的研究成果非常 丰富， 例如， 基于轴心轨迹的转子升速过程故障特征提 取 ［7 ］， 基于轴心轨迹形态的转子裂纹故障分析［8 ］， 基于 轴心轨迹自动辨识高速主轴系统的故障等等， 这些研 究表明轴心轨迹在旋转设备中已有广泛而重要的 应用。 近些年来来， 随着我国大力发展航空发动机， 轴心 轨迹在航空发动领域中的应用也日益深入与广泛。文 献［ 9 －14］ 在系统动特性、 载荷下的响应、 系统稳定性 等方面应用到轴心轨迹， 文献［ 15 － 16］将轴心轨迹引 入到指尖封严与泄漏特性的研究中， 文献［ 17］结合航 空发动机转子对轴心轨迹的提纯进行了研究， 文献 ［ 18］ 在分析静偏心对挤压油膜阻尼器减振特性的影响 时， 从轴心轨迹方面进行了研究， 文献［ 19 －20］ 在进行 发动机旋转叶片 － 机匣碰摩、 轴承座松动等研究时， 也 进行了轴心轨迹的分析， 文献［ 21］ 则基于叶尖间隙测 量系统的轴心轨迹测量技术进行了探讨。 航空发动相关的轴心轨迹测量， 需要结合结构具 体特点进行研究， 例如， 研究挤压油膜厚度的动态变化 时， 可在挤压油膜阻尼器中进行轴心轨迹测量， 由于油 膜半径间隙一般在 0． 1 ～0． 25 mm， 即径向上位移范围 为 0． 25 mm， 范围较小， 因此对轴心轨迹的测量精度 较高， 需要尽可能地减少测量误差; 再如， 研究叶片断 裂飞脱的试验中， 径向上位移范围较大， 这在种情况 下， 如何测得较为精确的轴心轨迹， 值得深入研究， 已 ChaoXing 有文献中对该方面的研究较少， 文献［ 22］仅涉及到轴 心轨迹的提纯， 而非对轴心轨迹直接提高测量精确度 的研究。 为满足越来越高的测试要求， 进一步提高轴心轨 迹的测量精度， 本文分析了测试截面上转子圆弧形对 测试结果的影响， 探讨了测量截面上的转子半径 R 以 及径向位移对测量精度的影响， 研究表明， 测量截面上 的转子半径越小、 径向位移越大， 则测量值与实际值偏 差就越大。在对测量偏差进行分析的基础上， 提出了 一种测量偏差的修正方法， 给出了修正计算公式， 该方 法需要输入测试截面的转子半径， 然后基于测得的位 移可计算实际的轴心位移， 可以消除圆弧导致的测量 偏差， 在一定程度上提高测量精度。 该方法简单， 实用性强， 即可用于实时测量系统， 也可用于测量后的数据处理中， 具有重要的实际工程 应用价值， 对于提高振动测量精度等方面具有重要的 参考价值。 1偏差分析 1． 1偏差产生的原因 轴心轨迹的测量， 一般选取转子某个截面， 在截面 上布置两个相互垂直的位移传感器， 开始采集后， 每一 个数据采集时刻都可以从两个传感器分别获取一个位 移值， 将该组位移值绘制在平面上， 形成轴心轨迹的一 个点， 下一个采集时刻， 形成轴心轨迹的下一个点。 假设某个时刻， 转子轴心只在一个方向上产生了 位移， 如图 1 所示， 转子轴心由 O 点水平移动到 O’ 点， 在 X 方向 水平方向 的位移为|OO’ | x， 测量值与实 际位移值一致; 转子轴心在 Y 方向上未发生位移， 但 是， Y 方向上的位移传感器会测得一个位移值 y， 显然， y 属于测量偏差。同样， 如果仅在 Y 方向上产生轴心位 移时， 则在 X 方向上会产生一个位移测量偏差值。 图 1测量偏差示意图 Fig． 1 Sketch for measurement deviation 由图 1 可知， 产生测量偏差的原因在于被测截面 是个圆弧形， 由于测点位置是固定的， 当转子轴心在一 个方向上移动时， 必然在另一个方向上引起测量偏差。 图 1 只是轴心位置的一个特例， 当轴心位置不在 图示的坐标轴上时， 轴心位移测量值并不等于轴心的 实际位移值， 两个传感器的测量值都含有一定的偏差 量， 测量值是真实位移值与偏差值的叠加值， 下面将采 用 MATLAB 仿真计算对旋转过程中产生的偏差进行更 为详细的说明与描述。 MATLAB 对转子进动时轴心轨迹的仿真计算模 型， 如图2 所示， 转子以偏心半径 e 进行圆形进动， 转子 截面半径 R， 设位移传感器布置在坐标轴的正半轴上， 两传感器测得的位移值分别为 x， y， 显然 x， y 是圆心坐 标 x0， y0 的函数， 其关系式为 x R2－ y 槡 2 0 x0－ R y R2－ x 槡 2 0 y0－ { R 1 式中 x0 ecos θ ; y0 esin θ 。 由式 1 可根据圆心坐标 x0， y0 得到测量值 x， y。 图 2 MATLAB 仿真模型示意图 Fig． 2 Sketch for MATLAB simulation model x， y 构成的轴心轨迹中包含有测量偏差的轴心轨 迹。根据该 MATLAB 仿真模型进行计算， 可以模拟出 测量得到的轴心轨迹， 例如， 偏心距 e 1 mm、 转子截面 半径 R 3 mm 时， x， y 的仿真结果如图 3 所示。 图 3 MATLAB 模拟的轴心轨迹测量结果 Fig． 3 Results of measurement on axis orbit from MATLAB simulation 由图 3 可知 1 当一个通道的测量值达到最大 时， 该通道此时的测量偏差最小; 2 当一个通道的测 量值达到最大时， 另一个通道此时的测量偏差最大。 442振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 将上述的 x， y， 绘制成轴心轨迹， 如图 4 所示。 图 4 x 与 y 构成的轴心轨迹 Fig． 4 Axis orbit of x and y 由图 4 可知， 轴心轨迹在第一、 第三象限的测量偏 差较大， 当然， 这与传感器的布置位置有关系， 如果传 感器不是布置在 0， 90， 而是布置在 90， 180， 则测量 偏差将在第二、 第四象限较大。 1． 2偏差大小的量化分析 由 “ 1． 1” 节可知轴心轨迹产生测量偏差的原因， 但 未知这种偏差对测量结果的影响具体有多大， 本节将 尝试量化分析偏差的大小。 图 1 所示情形 在 X 方向的位移测量值不含有 测量偏差量， 而在 Y 方向上的测量值恰恰全部为偏差 量， 非常适合于进行偏差的量化分析与研究。 结合图 1， 图中所示偏差量 y 可以表示为 y |AB| |AO| － | BO|， 图中测试截面上的圆半径为 R， 即|BO’ | |AO| R， 可得 y |AO| －|BO| 2 － |OO| 槡 2 R －R2－ x 槡 2 2 式中 y 为偏差量的绝对值， 为考察偏差量的相对大小， 以 y/x 的百分比表示偏差量的相对值。 根据工程中常见的转子位移幅值范围， 取 X 方向 上的位移 x 具体范围值为 0． 05 ～2 mm， 取常见的转子 半径 R 为 10 ～ 200 mm， 根据式 1 可计算 x， y ， x∈ 0． 05， 2 ， y∈ 0． 05， 2 ， R∈ 10， 200 范围内 y/x 的 百分比， 如图 5 所示。 图 5 y/x 百分比曲面 Fig． 5 Surface of y/x percentage 由图 5 可知 1 X 方向位移值的大小， 位移值 x 越大， Y 方向测量的偏差相对值就越大， 近似于一种线 性增加; 2 测量截面圆半径的大小， 圆半径 R 越小， 测 量偏差相对值就越大， 非线性增加， 圆半径 R 较小时， 增加很快; 3 位移值与测量截面圆半径的联合影响， 当圆半径 R 较小， 且位移值较大时， 测量偏差相对值很 大 可达 10 量级 ; 当圆半径 R 较大， 且位移值较小 时， 测量偏差相对值较小。 根据上述分析， 在工程应用中， 我们可以 1 采用式 1 对测量偏差的大小进行评估; 2 为减少测量偏差， 在径向跳动都满足测量精度 要求的各转子截面中， 尽可能地将测量截面选择在转 子截面半径较大处; 3 对测量精度要求高的情况下， 有必要对测量值 进行修正。 2偏差的修正 2． 1修正方法 由 “ 1． 2” 节可知在一定情况下， 轴心轨迹的测量偏 差较大， 需要进行修正， 以消除修这种圆弧形导致的测 量偏差。 修正方法与原理 见图 6 ， 当转子轴心由 O 点运 动到 O’ 点时， 在 X 方向上的测量值为 x， 其实际位移 值为 x0， 同样， 在 Y 方向的测量值为 y， 其实际位移为 y0。如果求出 x0与 y0， 则求出了转子轴心的实际 位移。 图 6修正方法解释用图 Fig． 6 Explanation for modification 在坐标系 XYO 中， 圆 O’ 的中心坐标为 x0， y0 ， 它 与 坐 标 轴 交 于 B 点 和 C 点，两 点 坐 标 分 别 为 0， R y 、 R x， 0 ， 则将两点坐标代入圆 O’ 的方 程， 可得方程组 0 － x0 2 R y － y0 2 R2 R x － x0 2 0 － y0 2 R { 2 3 解方程组可得， 解一 542第 24 期马会防等轴心轨迹测量中圆弧形导致的偏差及其修正方法 ChaoXing x01 R x 2 － R y 2 4R2 R x 2 R y 2 槡 －1 y01 R y 2 － R x 2 4R2 R x 2 R y 2 槡        －1 4 解二 x02 R x 2 R y 2 4R2 R x 2 R y 2 槡 －1 y02 R y 2 R x 2 4R2 R x 2 R y 2 槡        －1 5 从数学上讲， 式 3 方程组的确存在两组解， 解不 唯一， 如图 7 所示， 圆 O’ 与圆 O’ ’ 均是方程组的解， 两 圆都通过点 B、 点 C， 且半径均为 R。 图 7式 3 方程组的两个解 Fig． 7 Two solutions for equation group 3 分析解二的表达式可知， x0， y0分别由两项相加而 得， 若 忽 略 带 有 根 号 的 第 二 项， 则 x0， y0分 别 为 R x /2， R y /2， x0， y0的值可达到 R 的量级， 而 一般情况下的位移值较小， 即测试截面半径 R 远大于 位移测量值 x， y 以及修正后的位移值 x0， y0， 因此可以 排除解二的可能; 但在位移值与 R 量级接近的特殊情 况下， 需要谨慎考虑解二的可能性。 由公式可知， 在轴心轨迹测量的 ti时刻， 根据 ti时 刻测得的 X 方向、 Y 方向的测量值 xi， yi， 及时计算出实 际轴心位移值 x0i， y0i， 所以， 轴心轨迹的修正方法可在 实时测量系统中对轴心轨迹进行实时修正。当然也可 以先采集、 存储数据， 获得数据后再进行后处理以修正 数据。 2． 2修正方法的验证 由于 “ 2． 1” 节中采用理论推导的方法得到修正公 式， 这种情况下很难再采用理论方法证明公式的正确 性， 但可以采用实例计算进行一次验证。 前面 “ 1． 1” 节中的轴心轨迹数据含有圆弧形导致 的偏差， 可用 “ 2． 1” 节中的数据修正方法进行修正。以 X 轴为起始点， 逆时针方向为顺序， 对轴心轨迹上的各 点依次利用 “ 2． 1” 节解一中的式 4 ， 进行数据的修正。 修正前后的轴心轨迹对比如图 8 所示。 图 8修正前后轴心轨迹对比 Fig． 8 Axis orbits before and after being modified 由图 8 可知修正后的数据圆度明显得到改善。 前面 “ 1． 1” 节中的轴心轨迹理论上是半径为 1 mm 的一个圆， 修正后的轴心轨迹上各点的 x， y 与其对应 的理论值相减， 可得到 x， y 在各处的偏差量， 如图 9 所示。 图 9修正值与理论值的偏差量 Fig． 9 Deviation between modified data and theoretical data 修正后的数据与理论值偏差在 10 －15 mm 以内， 偏差非常小， 修正方法可以消除圆弧形导致的测量 偏差。 2． 3工程应用 某转 子 轴 心 轨 迹 测 量 截 面 上 的 圆 半 径 R 为 20 mm， 该测试对测试结果精度要求较高， 需要对测 得的轴心轨迹进行修正， 以消除圆弧形测量截面引起 的偏差。 运用 “ 2． 1” 节解一中的式 4 ， 对 X， Y 方向上各时 刻的位移测量数据依次、 逐点进行修正， 修正前后的时 域数据对比如图 10 所示。 由修改前后的 X， Y 方向的时域数据图可知， 在 各峰值处测量偏差变小， 这与图 1 中所示的情形是 相应的， 图 10 中的峰值对应于图 1 所示的轴心轨 迹在坐标轴上的情景， 此 时， 测 量 值 接 近 实 际 位 移值。 修正前后的轴心轨迹如图 11 所示。 642振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 图 10修正前后 XY 方向的时域数据 Fig． 10 Time field data in X and Y direction before and after being modified 图 11修正前后的轴心轨迹 Fig． 11 Axis orbits before and after being modified 轴心轨迹在第一、 第三象限得到较大量的修正。 3结论 首先， 本文分析了转子轴心轨迹测量中圆弧形导 致的测量偏差， 以及偏差的大小与截面半径、 径向位移 的关系; 其次， 提出了偏差的修正方法， 该方法计算公 式简单， 容易理解， 便于应用， 可用于实时测量系统， 也 可用于后处理程序中， 最后， 提供了一个轴心轨迹修正 的实例。 本文解决了轴心轨迹测量中圆弧面导致的偏差问 题， 有利于提高测量结果精度， 具有很强的工程实际应 用价值。 参 考 文 献 ［1］ 胡敬宁，薛岩，张德胜，等． 高压多级离心泵启动瞬态轴 心轨迹研究［ J］ ． 农业工程学报， 2015 增刊 1 61 －70． HU Jingning，XUE Yan，ZHANG Desheng，et al． Research ontransientaxistrajectoryofhigh- pressuremultistage centrifugal pump on starting［J］ ． Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering， 2015 Sup1 61 －70． ［2］ 蒋小平，朱嘉炜，冯琦，等． 基于多重激励的悬臂式多级 离心泵轴心轨迹研究［J］ ． 农业机械学报， 2017， 48 12 105 －113． JIANG Xiaoping， ZHU Jiawei， FENG Qi， et al．Axis trajectory of cantilever multistage centrifugal pump based on multiple excitation［ J］ ． Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery ， 2017， 48 12 105 －113． ［3］ 崔亚芹，钟守平，潘安伟，等． 基于 COMTRADE 录波的水 电机组轴心轨迹动态分析［J］ ． 水利水电技术，2018， 49 7 122 －128． CUIYaqin， ZHONGShouping， PANAnwei， etal． COMTRADE recording wave- based dynamic analysis on shaft centerline orbit of hydropower unit［ J］ ． Water Resources and Hydropower Engineering ， 2018， 49 7 122 －128． ［4］ 南方电网调峰调频发电有限公司，北京华科同安监控技 术有限公司． 一种通过轴心轨迹分析水轮发电机组轴瓦 状态的方法 CN201810156122． 8［ P］ ． 2018 －08 －17． ［5］ 薛延刚，王勇劲，赵海英，等． 基于时序贴近度与改进 SVM 的水机轴心轨迹诊断［ J］ ． 排灌机械工程学报， 2017， 35 12 1054 －1057． XUE Yangang，WANG Yongjin，ZHAO Haiying，et al． Axis orbit automatic identification on time- series similarity mining for hydropower units［J］ ． Journal of Drainage and Irrigation Machinery Engineering ， 2017， 35 12 1054 －1057． ［6］ 崔立，张洪生． 基于轴心轨迹自动辨识的高速主轴系统故 障诊断研究［J］ ． 上海第二工业大学学报， 2018， 35 2 134 －139． CUI Li，ZHANG Hongsheng． Study on fault diagnosis of high- speed spindle system based on automatic identification of axis orbit［ J］ ． Journal of Shanghai Second Polytechnic University， 2018， 35 2 134 －139． ［7］ 冉祥锋，姜宏，周建平，等． 基于轴心轨迹的转子升速过 程故障特征提取方法研究［J］ ． 机床与液压， 2018， 46 17 173 －176． RAN Xiangfeng，JIANG Hong，ZHOU Jianping，et al． Study on fault feature extraction in rotor acceleration process based on axis orbit［ J］ ． Machine Tool ＆ Hydraulics ， 2018， 46 17 173 －176． ［8］ 向玲， 张悦． 基于轴心轨迹形态的转子裂纹故障分析［ J］ ． 动力工程学报， 2018， 38 5 380 －385． XIANG Ling，ZHANG Yue． Fault analysis of a cracked rotor based on morphological characteristics of axis orbits［J］ ． Journal of Chinese Society of Power Engineering ， 2018， 38 5 380 －385． ［9］ 王飞， 罗贵火， 崔海涛． 转速比对双转子系统非线性动力 学特性影响［J］ ． 南京航空航天大学学报， 2018， 50 3 367 －374． WANG Fei，LUO Guihuo，CUI Haitao． Influence of speed ratio on nonlinear dynamic characteristics for dual rotor system［J］ ． Journal of Nanjing University of Aeronautics ＆ Astronauticsv， 2018， 50 3 367 －374． ［ 10］ 范伟，李建兰，刘建雄，等． 旋转失速激振力作用下航空 742第 24 期马会防等轴心轨迹测量中圆弧形导致的偏差及其修正方法 ChaoXing 发动机转子振动特性［J］ ． 航空动力学报， 2017， 32 5 1120 －1130． FAN Wei，LI Jianlan，LIU Jianxiong，et al． Aeroengine rotor system vibration characteristics under action of rotating stall transverse load［J］ ． Journal of Aerospace Power， 2017， 32 5 1120 －1130． ［ 11］ 颜文忠， Konstantin Shaposhnikov， 张大义，等． 基础振动对 转子系统动力特性影响的试验研究［J］ ． 推进技术， 2016， 37 11 2157 －2164． YAN Wenzhong， SHAPOSHNIKOVKonstantin， ZHANG Dayi， etal．Experimentalinvestigationondynamic characteristics of rotor system subject to foundation vibration ［J ］ ．JournalofPropulsionTechnology， 2016， 37 11 2157 －2164． ［ 12］ 白雪川， 曹树谦， 杨蛟，等． 机动飞行时航空发动机反向旋 转双转子动力学实验研究［ J］ ． 机械科学与技术， 2015， 34 4 623 －628． BAI Xuechuan， CAO Shuqian， YANG Jiao， et al． Experiment research on aero- engine counter- rotating dual- rotor dynamics subjected to maneuvering conditions［ J］ ． Mechanical Science and Technology for Aerospace Engineering， 2015， 34 4 623 －628． ［ 13］ 徐方程， 刘占生， 张雯，等． 箔片摩擦效应对转子 － 箔片轴 承系统动力学特性影响试验［ J］ ． 航空动力学报， 2014， 29 11 2758 －2766． XU Fangcheng， LIU Zhansheng， ZHANG Wen， et al． Dynamic perance tests of bump- type gas foil journal bearing- rotor system in start- up and shut- down procedures ［J］ ． JournalofAerospacePower，2014，29 11 2758 －2766． ［ 14］ 唐振寰， 周海仑， 成晓鸣． 转子系统非协调进动在波德图 中的响应分析［ J］ ． 机械设计与制造， 2018 4 84 －86． TANGZhenhuan， ZHOUHailun， CHENGXiaoming． Research on response of non- synchronous of rotor system in the bode diagram［ J］ ． Machinery Design ＆ Manufacture， 2018 4 84 －86． ［ 15］ 杜春华，吉洪湖，胡娅萍，等． 指尖封严的转子轴心轨迹 与泄漏特性的试验［J］ ． 航空动力学报， 2016， 31 11 2575 －2584． DU Chunhua，JI Honghu，HU Yaping，et al． Experiment on axis locus of rotor and leakage characteristics of finger seal ［J］ ．JournalofAerospacePower，2016，31 11 2575 －2584． ［ 16］ 杜春华， 吉洪湖， 胡娅萍，等． 低前挡板型小尺寸刷式封严 泄漏特 性 的 试 验［J］ ． 航 空 动 力 学 报， 2017， 32 2 298 －305． DU Chunhua，JI Honghu，HU Yaping，et al． Experimental investigation on leakage characteristics of small size brush seal with low front plate［J］ ． Journal of Aerospace Power， 2017， 32 2 298 －305． ［ 17］ 乔保栋，姜广义，赵开宁． 航空发动机转子轴心轨迹提取 研究［ C］ ∥2015 航空试验测试技术学术交流会． 北京 中 航工业沈阳发动机设计研究所， 2015． ［ 18］ 赵项伟，罗贵火，王飞． 静偏心对挤压油膜阻尼器减振特 性影响 的 数 值 分 析［J］ ． 航 空 发 动 机， 2018， 44 3 42 －48． ZHAO Xiangwei， LUO Guihuo， WANG Fei． Numerical analysisofeffectsofstaticeccentricityonvibration characteristics of squeeze film damper［J］ ． Aeroengine ， 2018， 44 3 42 －48． ［ 19］ 慕琴琴，燕群，黄文超． 航空发动机旋转叶片 － 机匣碰摩 动力学特性研究［ J］ ． 航空计算技术， 2017， 47 6 9 －13． MU Qinqin，YAN Qun，HUANG Wenchao． Study on rubbing dynamic characteristics of aero- engine rotatingblade- casing ［ J］ ．Aeronautical Computing Technique ， 2017， 47 6 9 －13． ［ 20］ 徐洪志， 王南飞， 蒋东翔． 双转子系统轴承座松动的动力 学模型及故障特性［J］ ． 航空动力学报， 2016， 31 11 2781 －2794． XU Hongzhi，WANG Nanfei，JIANG Dongxiang． Bearing pedestal looseness dynamic model of dual rotor system and fault feature［ J］ ． Journal of Aerospace Power ， 2016， 31 11 2781 －2794． ［ 21］ 魏之平． 基于叶尖间隙测量系统的轴心轨迹测量技术研 究［ J］ ． 测控技术， 2013， 32 7 35 －37． WEI Zhiping． Research on axes- track measurement based on tip clearance measurement system ［J］ ． Measurement ＆ Control Technology ， 2013， 32 7 35 －37． ［ 22］ 邱博，王志华，李中成． 基于阶次提取法的轴系轴心轨迹 分析［ J］ ． 船海工程， 2017， 46 1 69 －72． QIU Bo，WANG Zhihua，LI Zhongcheng． Analysis of shaft centerline orbit based on order extraction［ J］ ． Ship ＆ Ocean Engineering ， 2017， 46 1 欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁欁 69 －72． 上接第 208 页 ［ 15］ MARAGOS P，SUN F K． Measuring the fractal dimension of signalsmorphological covers and iterative optimization［J］ ． IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41 1 108 －121． ［ 16］ YANGL， LIUS， TSOKAS， etal．Mathematical programming for piecewise linear regression analysis［J］ ． Expert Systems with Applications an International Journal， 2016， 44 C 156 －167． 842振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing