阻尼夹芯复合材料加筋板的振动分析与数值模拟_路庆贺.pdf

 振动与冲击 第 39 卷第 5 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol． 39 No． 5 2020 基金项目国家自然科学基金 51375248 中国工程物理研究院 “仪表 板的设计与开发” 项目 B2- 2015- 0112 收稿日期2018 －08 －21修改稿收到日期2019 －01 －07 第一作者 路庆贺 男， 硕士生， 1992 年生 通信作者 梁森 男， 博士， 教授， 博士生导师， 1962 年生 阻尼夹芯复合材料加筋板的振动分析与数值模拟 路庆贺，梁森，周运发， 郑长升 青岛理工大学 机械工程学院，青岛266033 摘要以阻尼夹芯复合材料加筋板为研究对象， 依据一阶剪切变形理论 FSDT 和 Hamilton 原理， 推导板和加强 筋的应变能、 动能表达式， 采用变分原理建立控制微分方程， 根据相关边界条件和傅里叶级数求解方程。建立了 ANSYS 阻尼夹芯复合材料加筋板的有限元模型， 该模型考虑到阻尼夹芯复合材料加筋板中阻尼材料与纤维预浸料间的结合方 式， 用模态应变能有限元数值模拟方法研究了结构的动力学性能， 并通过对数值模拟结果与理论解的比较， 验证了模型的 合理性和有效性。探讨了不同的筋条尺寸、 不同的筋条数量、 不同的筋条分布方式对阻尼夹芯复合材料加筋板动力学性 能的影响， 得出了阻尼夹芯复合材料加筋板的一阶模态频率和损耗因子随不同参数的变化曲线， 其结论为阻尼夹芯复合 材料加筋板的优化设计提供参考。 关键词阻尼夹芯复合材料;加筋板;动力学性能;ANSYS 有限元数值模拟;损耗因子 中图分类号TB332文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 05． 035 Vibration characteristics analysis and numerical simulation for stiffened plates with damping core composite LU Qinghe ，LIANG Sen，ZHOU Yunfa，ZHENG Changsheng School of Mechanical Engineering，Qingdao University of Technology，Qingdao 266033，China Abstract Based on the first- order shear deation theory FSDT ，expressions of strain energy and kinetic energy of a stiffened plate with damping core composite and stiffeners were derived，and its governing dynamic differential equations were established using Hamilton principle． According to the relevant boundary conditions，the equations were solved using Fourier series． The finite element model for this damping core composite stiffened plate was established using the software ANSYS considering combination mode of damping material and fiber prepreg in this plate．Dynamic characteristics of the plate were studied with the finite element numerical simulation of modal strain energy． Through comparing the numerical simulation results with the theoretical solutions，the rationality and effectiveness of the finite element model were verified． Effects of different rib sizes，number of ribs and distribution of ribs on dynamic characteristics of this plate were discussed to obtain variation laws of its first- order modal frequency and loss factor versus varying curves of different parameters． The study results provided a reference for optimization design of stiffened plates with damping core composite． Key wordsdamping core composite;stiffened plate;dynamic characteristics;ANSYS finite element numerical simulation;loss factor 嵌入式共固化复合材料阻尼结构 Embedded and Co-cured Composite Damping Structure， ECCDS 是将三 种不同性质的材料通过物理或化学的方法复合而成的 一种多相固体 ［1 ］。阻尼夹芯复合材料加筋板是在嵌入 式共固化阻尼复合材料结构的基础上增添加强筋， 保 留了传统结构高阻尼性能优点的同时能够大幅增强结 构的整体性能， 如 高承载性、 高比刚度等， 在航空航天 以及船舶工程等诸多领域有着极其广泛的应用［2 ］。 Zhai 等 ［3 ］利用一阶剪切变形理论， 分析了正交复 合材料阻尼夹芯板中黏弹性层厚度对结构固有频率和 损耗因子的影响， 为其结构优化提供了依据。付小静 等 ［4 ］探讨了温度和湿热环境耦合参数对嵌入式共固化 碳纤维/双马来酰亚胺复合材料阻尼系数的影响曲线， 并提出用于求解相对阻尼系数的新方法， 最小二乘法。 王辉等 ［5 ］对复合材料的阻尼层进行穿孔， 并改变阻尼 ChaoXing 层厚度、 穿孔孔径和孔距， 研究其对整体结构模态损耗 因子和频率的影响。李雪等 ［6 ］建立了嵌入式共固化网 格阻尼结构复合材料的有限元数值模拟模型， 用改进 的模态应变能法分析了该网格结构的阻尼特性。 Bhaskar 等 ［7 ］用修正的传递矩阵法 插值多项式 对无 阻尼复合材料加筋板结构振型和固有频率进行了详细 的研究。Xu 等 ［8 ］解决了单一材料加筋板结构的自由 振动问题， 用改进的傅里叶级数描述该加强筋板的位 移函数， 为单一材料加筋板的振动问题提供了一个统 一的解决方案。杨加明等 ［9 ］利用 Ritz 法对于复合材料 中含有双层黏弹性材料的应变能和阻尼性能进行分 析。徐超等 ［10 ］基于 Layerwise 离散层理论分析了黏弹 性复合材料结构的阻尼性能。 目前国内外对阻尼夹芯复合材料结构的研究主要 体现在黏弹性阻尼薄膜的制备［11- 13 ］以及通过实验和数 值模拟的方法对结构的层间力学性能、 动力学性能进 行研究 ［14- 23 ］， 鲜有文献探究阻尼夹芯复合材料加筋板 的刚度和阻尼性能。 为此本文依据一阶剪 切 变 形 理 论 FSDT和 Hamilton 原理， 推导板和加强筋的应变能、 动能表达 式， 采用变分原理建立控制微分方程， 根据相关边界条 件和傅里叶级数求解方程。建立了 ANSYS 阻尼夹芯 复合材料加筋板的有限元模型， 该模型考虑了阻尼夹 芯复合材料加筋板中阻尼材料与纤维预浸料间的结合 方式， 用模态应变能有限元数值模拟方法研究了结构 的动力学性能， 并通过对数值模拟结果与理论解的比 较， 验证了模型的合理性和有效性。探讨了不同的筋 条尺寸、 不同的筋条数量、 不同的筋条分布方式以及改 变阻尼层厚度、 位置等因素对阻尼夹芯复合材料加筋 板动力学性能的影响。 1阻尼夹芯复合材料加筋板控制方程的推导 及求解 1． 1基本假设 为了得到控制方程， 假设如下① 阻尼夹芯复合 材料板在厚度方向的变形忽略不计;② 每层界面之间 不发生滑移; ③ 各层之间的运动关系符合一阶剪切变 形理论; ④ 各层具有相同的本构参数和密度。 阻尼夹芯复合材料加筋板的几何结构和尺寸如图 1 所示， 其中 Z 坐标的方向垂直于板的平面， z i代表第 i 层材料的中性面坐标， hi表示第 i 层的厚度， 且 － hi/2 ≤z i ≤h i/2， i 1， 2， 3． 嵌入式共固化阻尼复合材料加 筋板各层之间的位移坐标和面内位移关系如图 2 所示。 1． 2阻尼夹芯复合材料加筋板的本构关系 基于一阶剪切变形理论和上述假设， 对阻尼夹芯 图 1阻尼夹芯复合材料加筋板几何模型 Fig． 1Geometric model of damping sandwich composite stiffened plate 图 2阻尼夹芯复合材料加筋板的面内位移 Fig． 2In- plane displacement of damping sandwich composite stiffened plate 复合材料加筋板每层的位移通过下列方程进行表示 Ui x， y， z， t ui x， y， t z iαi x， y， t ， Vi x， y， z， t vi x， y， t z iβi x， y， t ， W x， y， z， t w x， y， t 1 式中 i 1， 2， 3， ui， vi表示第 i 层中性面上的位移; αi， βi表示第 i 层法线相对于 x、 y 轴的转角。 第 i 层的位移- 应变关系表示如下 ε i xx ε i yy γ i xy γ i yz γ i                   xz  x 00 0  y 0  y  x 0 0  z  y  z 0                             x Ui Vi           W 2 式中 ε i xx ，ε i yy分别代表第 i 层上沿 x 轴和 y 轴的线应 变; γ i xy ， γ i yz ， γ i xz表示第 i 层上的剪应变。 将式 1 代入式 2 ， 可得出 152第 5 期路庆贺等阻尼夹芯复合材料加筋板的振动分析与数值模拟 ChaoXing ε i xx ε i yy γ i xy γ i yz γ i                 xz ε i γ i 3a { ε i} { ξ i} z i{ k i} 3b { ξ i} u i x v i y u i y v i                  x 3c { k i} αi x βi y αi y βi                  x 3d { γ i} w y β i w x α          i 3e 每层的应力- 应变关系表示为 σ i 11 σ i 22 τ i 12 τ i 23 τ i                   13 Q i 11 Q i 12 000 Q i 12 Q i 22 000 00Q i 66 00 000Q i 44 0 0000Q i                   55 ε i 11 ε i 22 γ i 12 γ i 23 γ i                   13 4 式中 σ i 11 ， σ i 22代表正应力分量; τ i 12 ， τ i 23 ， τ i 13代表剪应 力分量。下标 1 代表纤维的 0方向， 下标 2 代表纤维 90方向。第 i 层的刚度矩阵由下式表示 Q i 11 E i 1 1 － v i 12 v i 21 ， Q i 12 v i 12 E i 1 1 － v i 12 v i 21 ， Q i 22 E i 2 1 － v i 12 v i 21 ， σ i 44 G i 23 ， Q i 55 G i 13 ， Q i 66 G i 12 ，i 1， 2， 3 其中 E i 1 ， E i 2 表示第 i 层的弹性模量; v i 12 ， v i 21表示第 i 层的泊松比; G i 12 ， G i 13 ， G i 23表示第 i 层的剪切模量。 由于复合材料层损耗因子一般为 0． 01， 相比黏弹 性层较小， 为了方便计算忽略约束层阻尼， 计算的整体 损耗因子会略低于实际损耗因子， 因此只对黏弹性层 的弹性模量和剪切模量用常复数模量表示 E 2 1 E* 1 1 iη E 2 2 E* 2 1 iη G 2 23 G* 23 1 iη G 2 13 G* 13 1 iη G 2 12 G* 12 1 iη 5 阻尼夹芯复合材料加筋板的结构如图 3 所示， 当 加强筋的宽度和高度远小于加强筋的长度时， 可以将 加强筋简化为梁， 采用 Timosimko 梁理论对其进行 建模 ［24 ］。 图 3阻尼夹芯复合材料加筋板 Fig． 3Damping sandwich composite stiffened plate 利用剪切变形理论 ［25 ］， 将平行于 x 轴方向加强筋 的位移公式表示如下 Ub x， y， z， t ub x， y0， t zα1 x， y0， t Vb x， y， z， t vb x， y0， t zβ1 x， y0， t Wb x， y， z， t wb x， y0， t－ yβ1 x， y0， t 6 式中 Ub， Vb， Wb为加强筋在 x， y， z 方向的位移; α1 ， β 1 为加强筋的转角; ub， vb， wb表示加强筋中性轴的位移。 考虑到加强筋的偏心， 加强筋中性轴上的位移可以用 板的中性面位移来表示 ub u1－ eα1， vb v1－ eβ1， wb w 7 其中 u1， v1和 w 为阻尼夹芯复合材料板上层中性面的 位移， Timoshenko 梁的线性应变和位移关系可以表 示为 εx u 1 x － e α1 x z α1 x ， ε y ε z0， γyz0， γxz α 1 w x － y β1 x ， γ xy v 1 x － e β1 x z β1 x 8 e 表示阻尼夹芯复合材料板中性面与加强筋质心 之间的偏心距， 如图 3 所示， e 1/2hb h11/2h2 同理可得平行于 y 轴方向加强筋的位移- 应变关系 εy v 1 y － e β1 y z β1 y ， ε x ε z0， γxz0， γyz β 1 w y － y α1 y ， γ xy u 1 u － e α1 y z α1 y 9 1． 3控制微分方程的推导 1． 3． 1阻尼夹芯复合材料板的能量 阻尼夹芯复合材料板的应变能表示为 Up 1 2 Σ 3 i 1V ε i xxσ i xx ε i yyσ i yy γ i xyτ i xy γ i yzτ i yz 252振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing γ i xzτ i xz dV 10 式中， V 表示阻尼夹芯复合材料板的体积。 阻尼夹芯复合材料板的动能表示为 Tp 1 2 Σ 3 i 1∫S∫ρ ihi w  t 2 ds 1 2 Σ 3 i 1 ρihi∫ s∫ u i  t 2 v i  t [] 2 ds 1 2 Σ 3 i 1 ρih3i 12∫s∫ αi  t 2 βi  t [] 2 ds 11 式中 ρi表示第 i 层的密度; S 表示第 i 层 x － y 方向中 性面的面积。 基于 1． 1 节的假设可以获得层间位移的连续性 关系 u2 1 2 u1 u3 1 4 h1α1－ h3α3 v2 1 2 v1 v3 1 4 h1β1－ h3β3 α2 u3－ u1 h2 － 1 2h2 h1α1 h3α3 β2 v3－ v1 h2 － 1 2h2 h1α1 h3α3 12 这样可以将变量减少到 9 个， 分别是 u1， u3， v1， v3， α1 ， α 3 ， β 1 ， β 3， w 1． 3． 2加强筋的能量 根据本构方程， x 方向加强筋的应变能可以表示为 UbxΣ Nx k 1 ∫ α 0 1 2 σ xεx γ xzτxz γ i xyτ i xy{} 13 式中， yk表示 x 方向第 k 条加强筋的位置， 采用狄拉克 函数 δ 表示离散加强筋， 狄拉克函数 δ 定义为 δ x － a 1，x a 0，x ≠ { a 14 式 13 可以写为 UbxΣ Nx k 1∫ a 0∫ b 0 1 2 σ xεx γxzτxz γ i xyτ i xy δ x， y － yk dxdy 15 同理， y 方向加强筋的应变能表示为 UbyΣ Ny k 1∫ a 0∫ b 0 1 2 σ yεy γ yzτyz γ i xyτ i xy δ x － xk， y dxdy 16 x 方向加强筋的动能为 TbxΣ Nx k 1∫ a 0∫ b 0 1 2 ρb U b  t V b  t W b  [] t δ x， y － yk dxdy 17 Y 方向加强筋的动能为 TbyΣ Ny k 1∫ a 0∫ b 0 1 2 ρb U b  t V b  t W b  [] t δ x － xk， y dxdy 18 根据 Hamilton 原理得到阻尼夹芯复合材料加筋板 的自由振动方程 ∫ t1 t0 δT － δU 0 19 式中 T 表示阻尼夹芯复合材料加筋板总的动能; U 表 示总应变能。 将式 10 、 11 和式 15～ 18 相加可得阻尼夹 芯复合材料加筋板的应变能 U 和动能 T U Up Ubx Uby T Tp Tbx Tby 20 联立式 19 、 20 ， 结合阻尼夹芯复合材料加筋板 的本构关系， 并根据变分原理得到自由振动下的平衡 方程 A 1 11 u1， xx A 1 12 v1， xy A 1 66 u1， yy v1， xy { 1 2 A 2 11 1 2 u1， xx u3， xx 1 4 h1α1， xx－ h3α3， xx [] A 2 12 1 2 v1， xy v3， xy 1 4 h1β1， xy－ h3β3， xy [] A 2[ 66 1 2 u1， yy u3， yy 1 4 h1α1， yy－ h3α3， yy 1 2 v1， xy v3， xy 1 4 h1β1， xy－ h3β3， xy ] } － 1 h { 2 D2 11 1 h2 u3， xx－ u1， xx－ 1 2h2 h1α1， xx h3α3， xx [] D2 12 1 h2 v3， xy－ v1， xy－ 1 2h2 h1β1， xy h3β3， xy [] D2 6[6 1 h2 u3， yy－ u1， yy－ 1 2h2 h1α1， yy h3α3， yy 1 h2 v3， xy－ v1， xy－ 1 2h2 h1β1， xy h3β3， xy ] } 1 h2 C 2 55 w， x 1 h2 u3－ u1－ 2 2h2 h1α1 h3α3 []{} A 4 11 ub， xxLjm A 4 66 vb， yyLni ρ 1h1 2u1 t 2 ρ2h2 [ 2 1 2 2u1 t 2 2u3 t 2 1 4 h1 2α1 t 2 － h3 2α3 t ]2 － ρ2h22 [ 12 1 h2 2u3 t 2 － 2u1 t 2 － 1 2h 2 h1 2α1 t 2 h3 2α3 t ]2 ρ bhb 2ub t 2 Ljm Lni 21a A 3 11 u3， xx A 3 12 v3， xy A 3 66 u3， yy v3， xy { 1 2 A 2 11 1 2 u1， xx u3， xx 1 4 h1α1， xx－ h3α3， xx [] A 2 12 1 2 v1， xy v3， xy 1 4 h1β1， xy－ h3β3， xy [] A 2[ 66 1 2 u1， yy u3， yy 1 4 h1α1， yy－ h3α3， yy 352第 5 期路庆贺等阻尼夹芯复合材料加筋板的振动分析与数值模拟 ChaoXing 1 2 v1， xy v3， xy 1 4 h1β1， xy－ h3β3， xy ] } 1 h { 2 D2 11 1 h2 u3， xx－ u1， xx－ 1 2h2 h1α1， xx h3α3， xx [] D2 12 1 h2 v3， xy－ v1， xy－ 1 2h2 h1β1， xy h3β3， xy [] D2 6[6 1 h2 u3， yy－ u1， yy－ 1 2h2 h1α1， yy h3α3， yy 1 h2 v3， xy－ v1， xy－ 1 2h2 h1β1， xy h3β3， xy ] } － 1 h2 C 2 55 w， x 1 h2 u3－ u1－ 1 2h2 h1α1 h3α3 []{} ρ3h3 2u3 t 2 ρ2h2 [ 2 1 2 2u1 t 2 2u3 t 2 1 4 h1 2α1 t 2 － h3 2α3 t ]2 ρ2h22 [ 12 1 h2 2u3 t 2 － 2u1 t 2 － 1 2h 2 h1 2α1 t 2 h3 2α3 t ]2 21b A 1 12 u1， xy A 1 22 v1， yy A 1 66 u1， xy v1， xx { 1 2 A 2 12 1 2 u1， xy u3， xy 1 4 h1α1， xy－ h3α3， xy [] A 2 22 1 2 v1， yy v3， yy 1 4 h1β1， yy－ h3β3， yy [] A 2[ 66 1 2 u1， xy u3， xy 1 4 h1α1， xy－ h3α3， xy 1 2 v1， xx v3， xx 1 4 h1β1， xx－ h3β3， xx ] } － 1 h { 2 D2 12 1 h2 u3， xy－ u1， xy－ 1 2h2 h1α1， xy h3α3， xy [] D2 22 1 h2 v3， yy－ v1， yy－ 1 2h2 h1β1， yy h3β3， yy [] D2 6[6 1 h2 u3， xy－ u1， xy－ 1 2h2 h1α1， xy h3α3， xy 1 h2 v3， xx－ v1， xx－ 1 2h2 h1β1， xx h3β3， xx ] } 1 h2 C 2 44 w， y 1 h2 v3－ v1－ 1 2h2 h1β1 h3β3 []{} A 4 66 vb， xxLjm A 4 22 vb， yyLni ρ 1h1 2v1 t 2 ρ2h2 [ 2 1 2 2v1 t 2 2v3 t 2 1 4 h1 2β1 t 2 － h3 2β3 t ]2 － ρ2h22 [ 12 1 h2 2v3 t 2 － 2v1 t 2 － 1 2h 2 h1 2β1 t 2 h3 2β3 t ]2 ρ bhb 2vb t 2 Ljm Lni 21c A 3 12 u3， xy A 3 22 v3， yy A 3 66 u3， xy v3， xx { 1 2 A 2 12 1 2 u1， xy u3， xy 1 4 h1α1， xy－ h3α3， xy [] A 2 22 1 2 v1， yy v3， yy 1 4 h1β1， yy－ h3β3， yy [] A 2[ 66 1 2 u1， xy u3， xy 1 4 h1α1， xy－ h3α3， xy 1 2 v1， xx v3， xx 1 4 h1β1， xx－ h3β3， xx ] } 1 h { 2 D2 12 1 h2 u3， xy－ u1， xy－ 1 2h2 h1α1， xy h3α3， xy [] D2 22 1 h2 v3， yy－ v1， yy－ 1 2h2 h1β1， yy h3β3， yy [] D2 6[6 1 h2 u3， xy－ u1， xy－ 1 2h2 h1α1， xy h3α3， xy 1 h2 v3， xx－ v1， xx－ 1 2h2 h1β1， xx h3β3， xx ] } － 1 h2 C 2 44 w， y 1 h2 v3－ v1－ 1 2h2 h1β1 h3β3 []{} ρ3h3 2v3 t 2 ρ2h2 [ 2 1 2 2v1 t 2 2v3 t 2 1 4 h1 2β1 t 2 － h3 2β3 t ]2 ρ2h22 [ 12 1 h2 2v3 t 2 － 2v1 t 2 － 1 2h 2 h1 2β1 t 2 h3 2β3 t ]2 21d D 1 11 α1， xx D 1 12 β1， xy D 1 66 α 1， yy β 1， xy h1 { 4 A 2 11 1 2 u1， xx u3， xx 1 4 h1α1， xx－ h3α3， xx [] A 2 22 1 2 v1， xy v3， xy 1 4 h1β1， xy－ h3β3， xy [] A 2[ 66 1 2 u1， yy u3， yy 1 4 h1α1， yy－ h3α3， yy 1 2 v1， xy v3， xy 1 4 h1β1， xy－ h3β3， xy ] } － h1 2h { 2 D2 11 1 h2 u3， xx－ u1， xx－ 1 2h2 h1α1， xx h3α3， xx [] D2 12 1 h2 v3， xy－ v1， xy－ 1 2h2 h1β1， xy h3β3， xy [] D2 6[6 1 h2 u3， yy－ u1， yy－ 1 2h2 h1α1， yy h3α3， yy 1 h2 v3， xy－ v1， xy－ 1 2h2 h1β1， xy h3β3， xy ] } －［ C 1 55 w， x α 1 ］ h1 2h { 2 C 2[ 55 w， x 1 h2 u3－ u1－ 1 2h2 h1α1 h3α3 ] } [ eA 4 11 vb， xx D 4 11 α1， xx－ C 4 55 w， x α 1] LjmeA 4 66 ub， yy D 4 66 α1， tt Lni 452振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing ρ2h1h2 4 1 2 2u1 t 2 2u3 t 2 1 4 h1 2α1 t 2 － h3 2α3 t []2 ρ2h31 12 2α1 t 2 － ρ2h1h22 [ 24 1 h2 2u3 t 2 － 2u1 t 2 － 1 2h 2 h1 2α1 t 2 h3 2α3 t ]2 eρ bhb 2ub t 2 1 12ρbh 3 b 2α1 t 2 Ljm Lni 21e D 3 11 α3， xx D 3 12 β3， xy D 3 66 α 3， yy β 3， xy－ h3 { 4 A 2 11 1 2 u1， xx u3， xx 1 4 h1α1， xx－ h3α3， xx [] A 2 12 1 2 v1， xy v3， xy 1 4 h1β1， xy－ h3β3， xy [] A 2[ 66 1 2 u1， yy u3， yy 1 4 h1α1， yy－ h3α3， yy 1 2 v1， xy v3， xy 1 4 h1β1， xy－ h3β3， xy ] } － h3 2h { 2 D2 11 1 h2 u3， xx－ u1， xx－ 1 2h2 h1α1， xx h3α3， xx [] D2 12 1 h2 v3， xy－ v1， xy－ 1 2h2 h1β1， xy h3β3， xy [] D2 6[6 1 h2 u3， yy－ u1， yy－ 1 2h2 h1α1， yy h3α3， yy 1 h2 v3， xy－ v1， xy－ 1 2h2 h1β1， xy h3β3， xy ] } － ［ C 3 55 w， x α 3 ］ h3 2h { 2 C 2[ 55 w， x 1 h2 u3－ u1－ 1 2h2 h1α1 h3α3 ] } － ρ2h3h2 4 1 2 2u1 t 2 2u3 t 2 1 4 h1 2α1 t 2 － h3 2α3 t []2 ρ3h33 12 2α3 t 2 － ρ2h3h22 [ 24 1 h2 2u3 t 2 － 2u1 t 2 － 1 2h 2 h1 2α1 t 2 h3 2α3 t ]2 21f D 1 12 α1， xy D 1 22 β1， yy D 1 66 α 1， xy β 1， xx h1 { 4 A 2 12 1 2 u1， xy u3， xy 1 4 h1α1， xy－ h3α3， xy [] A 2 22 1 2 v1， yy v3， yy 1 4 h1β1， yy－ h3β3， yy [] A 2[ 66 1 2 u1， xy u3， xy 1 4 h1α1， xy－ h3α3， xy 1 2 v1， xx v3， xx 1 4 h1β1， xx－ h3β3， xx ] } － h1 2h { 2 D2 12 1 h2 u3， xy－ u1， xy－ 1 2h2 h1α1， xy h3α3， xy [] D2 22 1 h2 v3， yy－ v1， yy－ 1 2h2 h1β1， yy h3β3， yy [] D2 6[6 1 h2 u3， xy－ u1， xy－ 1 2h2 h1α1， xy h3α3， xy 1 h2 v3， xx－ v1， xx－ 1 2h2 h1β1， xx h3β3， xx ] } －C 1 44 w， y β 1 [] h1 2h { 2 C 2[ 44 w， y 1 h2 v3－ v1－ 1 2h2 h1β1 h3β3 ] } [ eA 4 22 vb， yy D 4 22 β1， yy－ C 4 44 w， y β 1] LnieA 4 66 ub， xx D 4 66 β1， xx Ljm ρ2h1h2 4 1 2 2v1 t 2 2v3 t 2 1 4 h1 2β1 t 2 － h3 2β3 t []2 ρ2h31 12 2β1 t 2 － ρ2h1h22 [ 24 1 h2 2v3 t 2 － 2v1 t 2 － 1 2h 2 h1 2β1 t 2 h3 2β3 t ]2 eρ bhb 2vb t 2 1 12ρbh 3 b 2β1 t 2 Ljm Lni 21g D 3 12 α