基于分层模型的功能梯度输流管道耦合振动_朱竑祯.pdf

 振动与冲击 第 38 卷第 20 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．20 2019 基金项目 江苏省自然科学基金 － 青年基金 BK20160201 收稿日期 2018 －02 －06修改稿收到日期 2018 －07 －03 第一作者 朱竑祯 女， 博士， 1991 年生 通信作者 高存法 男， 博士， 教授， 1962 年生 基于分层模型的功能梯度输流管道耦合振动 朱竑祯1，王纬波2，殷学文2，高存法1 1． 南京航空航天大学航空学院机械结构力学及控制国家重点实验室， 南京 210016; 2． 中国船舶科学研究中心船舶振动噪声重点实验室， 江苏 无锡 214082 摘 要 基于 Timoshenko 梁模型， 研究了材料属性沿管道壁厚方向呈梯度变化的输流管道的耦合振动。沿厚度方 向将功能梯度材料离散为若干层均质材料; 考虑流体在轴向的可压缩性及管壁与流体间的摩擦， 通过 Hamilton 原理及流 体动量方程、 连续方程建立了功能梯度输流管道的耦合振动模型; 采用动刚度法对管道单元进行求解， 并通过算例分析了 功能梯度材料的梯度指数变化对管道动态特性的影响。 关键词 梁模型; 功能梯度; 耦合振动; 动刚度法 中图分类号 O327文献标志码 ADOI10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 20． 029 Coupled vibration of functionally graded pipes conveying fluid based on a multi- layered model ZHU Hongzhen1，WANG Weibo2，YIN Xuewen2，GAO Cunfa1 1． State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China; 2． National Key Laboratory on Ship Vibration ＆ Noise，China Ship Scientific Research Center，Wuxi 214082，China AbstractThe coupled vibration of fluid conveying pipes with gradient material property along the thickness was investigated based on the Timoshenko beam theory． A multi- layered homogeneous model was employed to discretize the functionally graded material FGM ． With the consideration of axial compressibility of fluid and its friction with pipe wall， the coupled equations were established through the Hamilton’ s principle，as well as the fluid momentum and continuum equations． The dynamic stiffness was used to solve the governing equations of the pipe element． Afterwards，the effects of gradient index of FGM on the dynamic characteristics of pipes were discussed． Key words beam model; functionally graded; coupled vibration; dynamic stiffness 功 能 梯 度 材 料 Functionally Graded Material， FGM 的概念最早由日本科学家于 1984 年提出 ［1 ］ ， 是 指材料属性随空间位置呈连续梯度变化的新型复合材 料。随着材料制备工艺的精进， 功能梯度材料目前已 经在耐磨损 ［2 ］、 缓解内部热应力及抗断裂［3 ］等应用中 展现出传统材料难以超越的独有优势。针对不同的使 用需求， 功能梯度材料具有很强的可设计性， 因此在未 来工业及工程领域具有极大的潜在应用前景。 输流管道作为一种介质运输方式， 广泛应用于水 利、 化工、 航空及海洋工程等领域中。传统管道一般采 用金属材料， 例如潜艇中布置了大量的金属管道承载 各种低速液体的流动， 包括海水以及各种机器运转产 生的废水等。经过时间的积累， 金属极易受到这些液 体的腐蚀， 从而造成金属管道内部的堵塞， 因此常常需 要斥巨资用于管道的防腐蚀处理和定期维护以保证其 使用年限 ［4 ］。此外传统的金属材料声学阻尼性能差， 流体与管壁相互碰撞挤压不仅引起耦合振动， 增大噪 声， 甚至还可能导致管道的疲劳破坏。新型复合材料 具有优良的抗疲劳、 阻尼特性以及很强的设计性， 为工 业设计引入新风， 受到广泛关注 ［5 ］。目前已有许多国 外学者研究用新型复合材料制作水下螺旋桨， 既耐腐 蚀， 且预期能比传统材料有更好的声学性能 ［6 －8 ］。但 一般复合材料层间剪切强度和拉伸强度低 ［9 ］， 而且极 易产生分层损坏从而导致复合材料的失效。而功能梯 度材料则由于其材料特性连续变化， 材料组份之间无 显著界面， 因此与传统材料和复合材料相比在优化应 力分布方面有明显的优势。船舶管道系统的可靠性直 接影响了其内部各仪器的正常运作与配合， 因而本文 考虑用功能梯度材料这种新型材料取代传统金属材料 和复合材料用于输流管道。 在工程中， 相对截面尺寸而言， 一般管道长度较 大， 因此多采用梁模型描述管道的振动。早期的理论 中大多将内部流体视为附加质量， 将流速和压力视为 ChaoXing 常量， 忽略流体与管道的耦合效果 ［10 －12 ］， 对于输送液 体的管道的描述是不精确的 ［13 ］。随耦合理论的深入发 展， William［14 ］和 Walker 等［15 ］考虑了流体在轴向的可 压缩性， Wiggert 等 ［16 ］和 Lesmez 等［17 ］计入管道的泊松 耦合效应影响， Lee 等 ［18 ］分析了重力作用和流体的黏 性， Gorman 等 ［19 ］引入了管道的径向变形和初始预应 力， 传统材料输流管道的振动理论已经发展得较为成 熟。尽管对于功能梯度材料的理论研究不少， 但大多 仅限于纯结构的研究， 如功能梯度梁 ［20 －22 ］、 功能梯度 板的数值分析等 ［23 －25 ］， 而目前对于功能梯度输流管道 方面的研究主要通过圆柱壳 ［26 ］、 Euler 梁［27 －34 ］或 Timo- shenko 梁 ［35 ］模型研究管内流速导致管道失稳的问题。 圆柱壳的模型虽然从三维角度分析管道更详细准确， 但是难以模拟复杂的组装管道。而 Euler 梁模型忽略 了截面的剪切变形， 只能适用于薄壁细长管道， 难以满 足工程各类计算需求。此外在处理管道失稳问题中， 一般只考虑管道的横向方程， 对于流体的处理是较为 简单的， 未考虑流体在轴向的可压缩性， 甚至只将流体 视为附加质量。而实际上对于管道这种链式结构来 说， 其轴向和流体的运动影响了管道上下游振动与声 的传递特性。为了分析功能梯度管道对于管道结构和 流体的影响， 将流速和压力设为变量， 计入流体在管道 轴向的可压缩性， 基于 Timoshenko 梁模型， 综合考虑了 功能梯度材料管壁与流体的相互作用， 通过 Hamilton 原理及流体动量、 连续方程得出功能梯度输流管道的 耦合振动方程。 功能梯度管道的材料属性沿厚度方向变化， 本文 采用离散模型来描述， 将管壁均匀划分若干层， 每一层 近似为均匀材料， 以此模拟连续梯度变化。动刚度法 是基于单位内控制方程的精确解， 与有限元法相比具 有较高的计算效率 ［36 ］， 因此本文利用动刚度法进行数 值求解， 然后通过算例分析了梯度指数的变化对于结 构模态、 流体模态及时域响应的影响， 为将来功能梯度 材料的工程应用提供一定理论依据。 1输流管道振动方程 1． 1管道运动方程 本文计算的输流管道为圆形截面， 管道径向坐标 记为 r， 截面内半径为 r1， 外半径为 r2。材料参数如杨 氏模量、 密度及泊松比均沿半径呈幂律变化 ［37 ］。 Q r Q1 Q2－ Q1 r － r1 r2－ r 1 n 式中 Q r 表示沿厚度方向呈连续梯度变化的材料参 数， 包括了杨氏模量 E， 密度 ρ 和泊松比 μ 等。下标 1 和 2 分别表示内界面和外界面的材料参数， n 为梯度指 数， 表征材料的体积分布规律。 本文采用层合近似模型 ［38 －40 ］， 将这种连续梯度变 化的功能梯度材料视为由多层连续梯度材料叠加成的 层合材料。如图 1 所示， 沿厚度方向把截面均匀划分 为 K 层， 每一层视为均匀材料， 以此近似模拟沿半径方 向变化的材料属性。对于第 m 层， 该层的材料参数取 为中间位置的值， 记为 Qm， 写为如下的函数形式 Qm Q1 Q2－ Q1 rm1 rm2 2 － r1 r2－ r         1 n 1 图 1管道截面径向分层模型 Fig． 1 Multi- layered model on the cross section of pipe 式中 rm1和 rm2分别为第 m 层的内外半径。当需要考虑 阻尼的影响时， 可用复弹性模量 E 1 iη 代替原弹性 模量， 其中 η 2ξ， ξ 为阻尼比， i 为虚数单位。 工程上一般采用梁模型来描述管道， 在Timoshenko 梁模型中需考虑梁的剪切变形。以 x 和 z 方向分别表 示管道的轴向和横向， 对于梁上任意一点， 轴向位移和 横向位移表示为 u0 x， y， z， t u x， t － zφ x， t w0 x， y， z， t w x， t { 2 式中 u 和 w 表示梁的中心面 z 0 的位移， φ x， t 为 截面的法线转角， t 为时间。由几何方程可得应变为 εxx u zφ τxz w － { φ 3 式中 微分符号 /x。 由本构方程， 应力表示为 σxx Q11 r u － zφ σxz Q55 r w － φ { 4 式中 Q11 r E r 1 － μ r 2， Q55 r E r 2 1 μ r 。 将应力式 4 在面内积分即可得到横截面上的轴 力、 弯矩和剪力 N ∫∫ AσxxdA A11u － B11 φ M ∫∫ AσxxzdA B11u － D11 φ Q ks∫∫ AσxzdA ksA55 w － φ        5 式中 ks为剪切修正系数， 对于圆形截面梁， 该系数取 为 ks 6 1 μ 1 α 2 7 6μ 1 α 2 20 12μ α2 ， μ 取为截面 402振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 的平均泊松比， α 为内外半径的比值。积分系数为 A11， B11， D11 1， z， z2 ∫∫AQ11 r dA， A55 ∫∫ AQ55 r dA， 而对于分层模型， 还可以进一步化为 A11∑ K m 1 Q11mπ r2 m2 － r2 m1 ，B11 0， D11∑ K m 1 Q11m π 4 r4 m2 － r4 m1 ， A55 ∑ K m 1 Q55m π r 2 m2 － r2 m1 在图 2 中， 管道与水平面的倾斜角为 θ， 则重力加 速度在轴向和横向的分量分别为 gx g sin θ 和 gz g cos θ 。 管内流体对于管壁的单位长度垂直作用力和 切向作用力分别为 Nf和 τ。 图 2管道微段局部坐标系 Fig． 2 Local coordinate system of an infinitesimal pipe element． 根据 Hamilton 原理， 对系统泛函取极值 δ∫ t 0 T － U W dt 0 6 式中 T 为动能， U 为应变能， W 为非保守力做功， 其具 体形式为 T ∫ L 0 ∫∫ A 1 2 ρ r u 2 0 w 2 0 dAdz 1 2∫ L 0 I1u 2 I1w 2 － 2I2u φ I3φ 2dx U 1 2∫ L 0 ∫∫ Aσxxεxx σ xzγxzdAdx 1 2∫ L 0 Nu － Mφ Q w － φ dx δW ∫ L 0 τ Nfφ δu τφ － Nf δwd              x 7 式中 /t， I1， I2， I3 1， z， z2 ∫∫Aρ r dA， 对于分层模型而言 I1 ∑ K m 1ρmπ r 2 m2 － r2 m1 ， I2 0， I3 ∑ K m 1ρm π 4 r4 m2－ r 4 m1 将式 6 代入式 7 中可得管道运动方程为 A11u″ τ Nfφ I1u ksA55 w″ － φ τφ － Nf I1w ksA55 w － φ D11φ″ I3φ { 8 1． 2流体方程 管道内流体的动量方程与管壁结构无关， 可参考 已有的管道理论， 表示为 pAf Nfφ τ mw gx u c cc c u 0 pAfφ － Nf τφ mw gz w 2c φ c φ c2φ ccφ { 0 9 式中 p 为流体压力， Af为流体截面积 对于充液管道 而言， 即为内径面积 ， c 为流速， mw为单位长度流体的 质量， 微分符号为 /t， /x。 根据流体力学 ［41 ］， 流体与管壁间的摩擦作用力为 τ mw fs 2Dc 2 10 式中 fs为摩擦因数， 其数值取决于雷诺数 Re ρwcD μf ， μf为液体黏性系数， D 为管道内径。 此外， 管道内流体的连续方程为 ρ w ρw A f Af c 0 11 式中 ρw为管道内流体的密度， 根据流体状态方程有 ρ w ρw p Ev 12 式中 Ev为流体的体积模量。 由于流体对于管壁的挤压而造成面积的变化， 此 外由于泊松比的效应， 轴向的应变也会引起横向变形。 因此， 式中的第二项为 ［42 ］ A f Af 2 ε 2 － μ ε 1 13 式中 ε2为横向应变， ε1为轴向应变， μ 为泊松比， 由 于泊松比数值较小， 影响相对小， 因此在该式中取为截 面的平均泊松比。 式 13 中的轴向应变为 ε1 u。图 3 为圆环截面 的受力图， 其中 F 为内力， p 为内流体对于管壁的压力， 根据受力平衡得 F pD 2 图 3圆环截面受力示意图 Fig． 3 Force diagram of annular section． 在分层模型中认为相邻层之间位移连续， 无滑移， 从而可得 ε2 pD 2∑ K m 1Emtm ， 其中 tm表示第 m 层的厚度。 502第 20 期朱竑祯等 基于分层模型的功能梯度输流管道耦合振动 ChaoXing 因此连续方程化为 p A f mwa2 c － 2μ u 0 14 式中 a2 Ev ρw1 EvD ∑Emt m ， 表示流体的波速。 2输流管道振动方程求解 为了对方程组进行简化， 将流速和流体压力线性 化， 表示为 c x， t c0 cd x， t ，p x， t p0 pd x， t 式中 c0和 p0表示稳态时的定常流速和定常压力， 而 c d 和 pd表示微小的扰动变量。 当管内流体在高速高压下方程中的非线性项对结 构的动态响应才有明显的影响 ［43 ］， 在此我们主要考虑 工程中的低速流动情况。因此为便于方程的求解， 略 去非线性项， 由流体方程 9 得到 Nfφ mwgzφ。此外 由于扰动变量远小于常量即 cd c 0， pd0， 舍去扰动项 的高次项， 从而消去管道方程式 8 中管壁与流体的相 互作用力， 结合连续方程式 14 可得功能梯度输流管 道的耦合振动方程组为 A11u″ mw fs D c0cd mwgzφ I1u ksA55 w″ － φ － p0Afφ － mw w 2c0φ c2 0φ I1w ksA55 w － φ D11φ″ I3φ gzφ fs D c0c d u c d c0u － a2 c″ d － 2μ u ″ 0 p dAf mwa2 c d － 2μ u            0 15 将式前四个方程写为矩阵形式 MΦ 0 式中 Φ ［ uwφcd］ T， M 为微分系数矩阵。 注意到|M|为关于 x 的八次微分方程， 因此将位移 未知量设为如下形式 Φ ∑ 8 j 1 eλjxdjωt 对于|M| 0 求解， 可得到八个根， 记为 λ1 ～ λ 8。 假设横向位移函数形式为 w ∑ 8 j 1 Cjeλjxeiωt 式中 i 为虚数单位 i2 － 1 ， ω 为圆频率。根据方程 15 ， 其他三个变量与横向位移的关系为 φ ∑ 8 j 1 fjCjeλjxejωt，u ∑ 8 j 1 hujCjeλjxejωt c ∑ 8 j 1 hcjCjeλjxeiωt 式中 C1～ C8为常系数， fj， huj， hcj 可由方程系数求得， 在此不作赘述。然后将轴向位移和流速函数代入式 15 最后一个方程中， 可求得压力变量。 对于一根长为 L 的管道， 将其首末两端作为单元 节点， 位移向量写为 d ［ u 0 w 0 φ 0 cd 0 u L w L φ L cd L ］ T 相应的节点力向量写为 f ［ N 0 Q 0 W 0 pd 0 N L Q L W L pd L ］ T 显然内力及压力函数都可由位移表示， 因此节点 位移和节点力都可以写成关于常系数 C1～ C8的矩阵 形式 d K1C， f K2C 16 式中 C ［ C1C2C3C4C5C6 C7C8］ T 为常 数矩阵， K1和 K2为与 ω 相关的系数矩阵。 由式可直接表示出力向量和位移向量的关系 f KDd 17 式中 KD K2K1 －1， 即为动刚度矩阵。 注意到动刚度矩阵中的系数是与频率相关的， 因 此在求解固有频率时， 不能直接求解刚度矩阵行列式， 本文采用在频率域循环的方法， 当 lg 1 |KD| 取得极大值 时， 对应的频率为固有频率。 由前文的推导过程可见， 动刚度法的精度与划分 单元数量无关， 因此对于沿轴向几何形状及材料不发 生改变的情况下， 任意长度的管道都仅需要用一个单 元模拟， 且对于计算频域没有特别限制。 3算例分析与讨论 1 为了验证本文计算方法的正确性， 将材料退 化为各向同性材料。采用文献［ 44］中的参数， 定义管 道结构材料性质为 E 70 GPa， ρ 2 500 kg/m3， ν 0． 33。 两端简支管道内径 D 30 mm， 壁厚 1． 5 mm， 长 度 L 5 m， 管内流体为水， 密度 1 000 kg/m3， 体积模量 2． 2 GPa， 黏性系数为 1． 003 10 －3 Ns/m2。根据拟合 公式， 摩擦因数为 fs1． 81g Re 6． 9 －2 。文献与本文的 计算结果对比如表 1 所示。其中列举的四阶固有频率 分别为第一、 五阶弯曲模态， 第一阶流体模态和第一阶 轴向模态。 由数据对比可见， 本文的计算结果与文献基本一 致。不过本文计算的横向模态数值略低， 因为本文的 理论中考虑了梁的剪切变形， 而文献中采用的是 Euler 梁模型。虽然本例计算的已为细长梁， 但随着模态阶 数升高和流速增大， 误差仍会略有增加。注意到在流 体模态和轴向模态中， 文献结果的实数部分变化不明 显， 而本文的计算结果中考虑到了摩擦因数随流速的 变化， 随流速增大， 固有频率实数部分减小， 虚数部分 增大。 602振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 表 1不同流速下均质输流管道振动固有频率 Tab． 1 Natural frequencies Hz for the vibration of homogenous pipes conveying fluid with different velocitiesHz 流速f b 1 f b 5 f f 1 f a 1 0［ 44］2． 175 054． 37558． 114264． 58 本文2． 174 754． 20458． 114264． 58 5 m/s fs0．016 4 ［ 44］2． 132 354． 34758． 113 0． 26i 264． 57 0． 45i 本文2． 132 054． 17658． 090 0． 26i 264． 54 0． 45i 10 m/s fs0．014 4 ［ 44］2． 000 754． 26158． 112 0． 48i 264． 57 0． 79i 本文2． 000 354． 09158． 034 0． 48i 264． 57 0． 79i 15 m/s fs0．013 3 ［ 44］1． 768 054． 11958． 110 0． 68i 264． 57 1． 09i 本文1． 767 053． 94957． 950 0． 68i 264． 37 1． 09i 20 m/s fs0．012 7 ［ 44］1． 400 253． 91958． 107 0． 88i 264． 56 1． 39i 本文1． 397 353． 75057． 831 0． 88i 264． 24 1． 39i 2 本例计算两端简支的功能梯度充液直管， 长度 为 L 6 m， 截面内径为 0． 2 m， 外径为 0． 4 m， 管壁由 铝- SiC 陶瓷材料复合而成， 内壁材料为 SiC 陶瓷， 杨氏 模量 E1 427 GPa， 泊 松 比 μ1 0． 17， 密 度 ρ1 3 100 kg/m3， 外壁材料为铝， 杨氏模量 E270 GPa， 泊 松比 μ20． 33， 密度 ρ22 700 kg/m3， 在本例中用二十 层均匀离散单元。 图 4在两端简支直管道上施加单位横向载荷 Fig． 4 The unit transverse load applied on the simply supported straight pipe． 如图 4 所示， 在管道的 L/12 处施加单位横向载 荷， 前文建立的方程中， 轴向与横向、 流体均是耦合的， 因此在结构上只施加了横向载荷即可同时引起轴向及 流体响应。图 5 绘制了当梯度指数为 n 0 时点 L/12 处在频域0 ～550 Hz 的速度响应， 响应曲线的峰值处的 频率对应了固有频率。轴向及流体响应是由耦合项引 起的， 因此其振动的幅值小于横向单位力引起的横向 振动。由图 5 可见， 流体响应曲线包含了所有模态， 而 轴向和流体响应曲线上比横向响应曲线多出的波峰对 应了轴向模态 A 及流体模态 F ， 以此响应曲线即可 区分结构模态和流体模态。 图 5n 0， 点 L/12 处 0 －550Hz 频域内速度响应曲线 Fig． 5 n 0， velocity responses at the point L/12 in frequency domain 0 ～550 Hz 图 6 不同梯度指数下速度响应曲线 Fig． 6 Velocity responses with different gradient inds． 图 6 中分别为在不同梯度指数下横向、 轴向及流 体的速度响应曲线。由图线可见， 随 n 值的增大， 结构 速度响应曲线均向右移动， 即横向和轴向固有频率均 明显提高， 且随着阶数的升高， 改变幅度也变大。而值 得注意的是在流速响应曲线中， 显然有一些波峰的位 置改变幅度很小， 几乎重合， 这些峰值对应的是流体模 态， 在图中以 F 表示。由此可见， 管道材料的变化对于 管道结构本身的影响较大， 而对于其内部的流体影响 很小。 3 工程中常见的薄壁管道， 流速增大情况下固有 频率降低， 如算例 1 所示。当第一阶固有频率降低至 零时， 则管道发生失稳。而由算例 2 可见， 将功能梯度 材料应用于管道结构上， 能显著提升固有频率， 因此能 有效地延缓因流速导致的管道失稳的发生。图 7 展示 了将算例 2 中的功能梯度材料应用于算例 1 的薄壁管 道中， 在流速增大时第一阶固有频率的变化情况。由 图 7 曲线对比可见， 随 n 值的增大， 失稳临界流速显著 提高， 保证了管道在较低流速下的稳定性。 702第 20 期朱竑祯等 基于分层模型的功能梯度输流管道耦合振动 ChaoXing 图 7不同梯度指数下第一阶固有频率随流速变化曲线 Fig． 7 Curves of the first natural frequency with the increase of flowing velocities under different gradient inds． 当管内流速为 10 m/s 时， 在管道一端 1/10 处施加 简谐激励力 sin 2πt ， 对该点的频域响应进行傅里叶逆 变换可得到时域响应， 管道材料取不同 n 值时在 0 ～1 s 内的横向位移响应曲线如图 8 所示。随着 n 值的增大， 管道的振动幅度也有了显著的降低。此外值得注意的 是， n 值由0 增加至0．5， 位移降低得非常显著， 而随着 n 值的进一步增大， 尤其在 n 值增加到2 以上， 位移的变化 幅度逐渐变小。从功能梯度的结构来分析， 图 9 展示了 取不同梯度指数时沿半径方向变化的杨氏模量变化曲 线， 其他材料参数也有类似的变化规律。当 n 增大时， 杨 氏模量呈增大趋势， 从而管道的有效刚度也增大， 因此位 移振幅减小。管壁的平均杨氏模量值显然是与曲线下覆 盖的面积呈正比的， 当梯度值从0 增加至0．5 时， 杨氏模 量的增长量大， 而随着 n 值的进一步提升， 曲线的斜率逐 渐降低， 材料参数的增长逐渐缓慢。 图 8不同梯度指数横向位移时域响应曲线 Fig． 8 Transverse displacement responses in time domain with different gradient inds． 从提高管道的稳定性和降低振动幅度的角度来 说， 这种功能梯度材料输流管道的梯度指数 n 越大越 好， 但是显然实际应用还要考虑到材料的成本、 制作工 艺等因素， 此外以这种陶瓷 － 铝功能梯度材料为例， n 值越大， 陶瓷的体积率就越高， 而虽然陶瓷材料的刚度 更大， 但其耐冲击性能低， 极易发生脆性断裂。以本文 的材料参数变化规律来说， 当 n ＞ 2 时， 其对于管道动 态特性的影响并不大， 因此对于本例的功能梯度输流 管道的梯度指数取为 2 是比较合适的。未来在工程中 若要在管道上应用功能梯度材料， 在选取梯度指数时 应综合考虑其对结构的影响、 材料参数的变化规律以 及成本和材料优缺点等实际因素。 图 9不同梯度指数的杨氏模量变化曲线 Fig． 9 Curves of Young’ s modulus with different gradient inds． 4结论 本文应用离散化的思想， 将功能梯度材料沿厚度 方向划分为若干均匀层， 考虑流体与管壁间的相互作 用， 建立了功能梯度输流管道的耦合振动模型， 并应用 动刚度法求解了管道振动的固有频率及频域、 时域响 应。当材料退化为普通均质材料时， 计算结果与文献 结果完全一致， 说明了本文所建立公式及计算方法的 正确性。此外功能梯度管道的算例反映了功能梯度材 料梯度指数的变化在提高结构固有频率、 延缓管道失 稳方面的积极意义。本文的理论对于功能梯度材料和 层合复合材料具有普适性， 为新型复合材料在管道上 的应用提供了理论依据。 参 考 文 献 ［1］ KOIZUMI M． FGM activities in Japan［J］ ． Composites Part B Engineering， 1997， 28 1/2 1 －4． ［2］ 邢世凯． 李聚霞， 吴立勋． 金属 － 陶瓷梯度功能材料在内 燃机上的应用［ J］ ． 机械工程材料， 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