基于双稳定层合板的准零刚度隔振系统_邓泽华.pdf

􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈 􀪈 振 动 与 冲 击 第 ３９ 卷第 ２１ 期ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫＶｏｌ． ３９ Ｎｏ．２１ ２０２０ 基金项目 国家自然科学基金青年基金（５１６０５２９９） 收稿日期 ２０１９ －０６ －０５ 修改稿收到日期 ２０１９ －０８ －０６ 第一作者 邓泽华 男，硕士生，１９９５ 年生 通信作者 李昊 男，博士生，高级工程师，１９８７ 年生 基于双稳定层合板的准零刚度隔振系统 邓泽华， 李 昊， 周徐斌 （上海卫星工程研究所，上海 ２００２４０） 摘 要根据并联负刚度机构来降低系统总体刚度的原理，利用双稳定复合材料层合板自身的负刚度特性与线性 弹簧串联组成新的负刚度机构，提出了一种具有静刚度可调节性的准零刚度（ＱＺＳ）隔振系统。 对提出的准零刚度隔振系 统的力学原理进行了说明，利用 Ｈａｍｉｌｔｏｎ 原理推导了系统的静力学与动力学理论模型。 采用理论和有限元方法分析了隔 振系统的刚度特性，结果显示提出的隔振系统在保证准零刚度特性的基础上，能够通过串、并联线性弹簧的刚度匹配实现 不同的静刚度特性。 对制备出的原理样机进行了刚度特性和隔振性能验证实验。 刚度实验测得的力⁃位移曲线与仿真结 果吻合良好。 隔振实验表明，设计出的准零刚度隔振系统能够有效拓宽具有相同正刚度的线性隔振系统的隔振频带。 基 于实验结果，结合理论模型对隔振性能的影响因素进行了分析和讨论。 关键词 负刚度；准零刚度（ＱＺＳ）；隔振系统；双稳定层合板 中图分类号 Ｏ３２８ 文献标志码 ＡＤＯＩ１０． １３４６５／ ｊ． ｃｎｋｉ． ｊｖｓ． ２０２０． ２１． ０１６ Ａ ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｂｉ⁃ｓｔａｂｌｅ ｌａｍｉｎａｔｅ ＤＥＮＧ Ｚｅｈｕａ， ＬＩ Ｈａｏ， ＺＨＯＵ Ｘｕｂｉｎ （Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓａｔｅｌｌｉｔｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００２４０， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｈｅｒｅ， ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｔｏ ｄｅｃｒｅａｓｅ ｔｈｅ ｏｖｅｒａｌｌ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ａ ｐａｒａｌｌｅｌ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ， ｕｓｉｎｇ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｆｅａｔｕｒｅ ｏｆ ａ ｂｉ⁃ｓｔａｂｌｅ ｌａｍｉｎａｔｅ ａｎｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｐｒｉｎｇ ｉｎ ｓｅｒｉｅｓ ｔｏ ｆｏｒｍ ａ ｎｅｗ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ， ａ ｎｏｖｅｌ ｂｉ⁃ｓｔａｂｌｅ ｌａｍｉｎａｔｅ⁃ｂａｓｅｄ ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ （ＱＺＳ） ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｕｎａｂｌｅ ｓｔａｔｉｃ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ｔｈｅ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ． Ｈａｍｉｌｔｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｒｉｖｅ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ａｎｄ ｓｔａｔｉｃ ｍｏｄｅｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ． Ｔｈｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗｅｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ｗｉｔｈ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ａｎｄ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄｓ． Ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｃａｎ ｒｅａｌｉｚｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｔａｔｉｃ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｋｅｅｐ ｔｈｅ ＱＺＳ ｆｅａｔｕｒｅ ｂｙ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ ｓｅｒｉｅｓ ａｎｄ ｐａｒａｌｌｅｌ ｌｉｎｅａｒ ｓｐｒｉｎｇｓ． Ｔｈｅ ｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎ ｔｅｓｔｓ ｏｆ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ａｎｄ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｗｅｒｅ ｃｏｎｄｕｃｔｅｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｅｄ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ ｐｒｏｔｏｔｙｐｅｓ． Ｉｔ ｗａｓ ｓｈｏｗｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｆｏｒｃｅ⁃ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｃｕｒｖｅｓ ａｇｒｅｅ ｗｅｌｌ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔｓ； ｔｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｃａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｂｒｏａｄｅｎ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｂａｎｄ ｏｆ ａ ｌｉｎｅａｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ． Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｅｓｔ ｒｅｓｕｌｔｓ， ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ ｍｏｄｅｌ， ｉｎｆｌｕｅｎｃｅ ｆａｃｔｏｒｓ ｏｎ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｗｅｒｅ ａｎａｌｙｚｅｄ ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ； ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ（ＱＺＳ）； ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ； ｂｉ⁃ｓｔａｂｌｅ ｌａｍｉｎａｔｅ 被动隔振系统相比于主动隔振系统具有技术性能 稳定、可靠性高等优势，因此被广泛应用于卫星微振动 控制领域［１］。 传统的线性被动隔振系统只有当外界扰 动频率大于系统固有频率的 ２倍时才有隔振效果，在 静位移受限的情况下难以满足低频隔振的需求［２］。 为 了同时保证低频隔振以及较大的静承载能力，非线性 隔振系统引起了学者的广泛关注［３］。 准零刚度隔振系 统（ＱＺＳ）是一种具有高静刚度、低动刚度特性的非线 性隔振系统，其基本原理是利用负刚度机构与正刚度 机构并联以达到降低系统固有频率的目的［４］。 从 １９８９ 年 Ａｌａｂｕｚｈｅｖ 等［４］首次在理论上较为综合地描述了准 零刚度隔振系统以来，Ｋｏｖａｃｉｃ 等［５⁃１０］对其开展了一系 列的研究。 准零刚度隔振系统设计最重要的环节是负 刚度机构的实现，近年来许多学者提出了不同形式的 负刚度机构［１１］。 其中较为典型的有斜置弹簧［１２］、欧拉 压杆［１３］和屈曲梁［１４］等，此类机构通过对弹性部件施加 特定的约束，使其发生一定的形变或储备一定的能量， 从而实现负刚度特性。 然而这样一来会增加额外的体 积和质量，使得系统难以实现紧凑、轻量化的设计要 求，在诸如卫星结构等特性场景中的应用容易受到限 制；王毅等［１５］提出了一种带滚球装置的紧凑型准零刚 度隔振系统，该系统以滚球接触副和水平弹性件作为 负刚度机构，对微幅振动具有敏感性，能够有效隔离低 频振动。 然而由于引入了微小的滚球机构，使得系统 结构变得复杂，不易于安装。 Ｚｈｅｎｇ 等［１６］利用同轴配 置的环形永磁体构成负刚度机构，降低了线性隔振系 统的固有频率。 但是由于磁性弹簧刚度取决于磁铁的 几何参数，使得负刚度机构无法在线调节。 双稳定复合材料层合板是一种具有两种稳定状态 的特殊复合材料结构［１７］。 在其不稳定的中间状态附近 会呈现出负刚度特性，用其代替复杂的弹簧机构来作 为负刚度机构，会有重量轻、可操作性强的优点［１８］。 Ｓｈａｗ 等［１９］在线性隔振系统中并联双稳定层合板，使系 统在静平衡位置附近处的刚度降低。 通过实验的方法 证明了双稳定层合板的引入能够拓宽系统在基础谐波 激励下的隔振频带并且降低峰值响应。 李昊等［２０］利用 混杂双稳定复合材料层合板作为负刚度部件，通过对 正负刚度元件的刚度进行匹配设计，实现了隔振装置 的准零刚度特性。 由于双稳定层合板的负刚度特性由 其构型所决定，使得准零刚度隔振系统的静刚度受限 于层合板的构型设计（如纤维铺层以及金属铺层的厚 度），这样一来便增加了结构设计的复杂程度。 针对上述问题，本文提出了一种由双稳定复合材 料层合板与线性弹簧串、并联组合的准零刚度隔振系 统，通过改变串联弹簧刚度来调节机构负刚度大小，使 其能够与不同刚度大小的并联弹簧进行匹配来实现准 零刚度特性，从而满足不同的静承载需求。 对其力学 模型进行了理论推导，通过理论及有限元分析与实验 相结合的方法验证了其静刚度特性的可调节性以及低 频隔振性能。 １ 理论模型 将正方形双稳定复合材料层合板的四个角点简 支，限制竖直方向上的面外位移，对中心施加集中载 荷，其构型转变过程如图 １ 所示。 可以看出当层合板 处于稳定状态时，沿 ｘ 轴或 ｙ 轴具有较大的弯曲曲率， 中心点的面外位移为０ 时，层合板在 ｘ 轴和 ｙ 轴方向具 有相同的弯曲曲率，呈现出马鞍形状态。 正方形双稳定复合材料层合板构型转变过程中的 典型中心点力⁃位移曲线如图２ 所示。 其中 Ｂ 点对应稳 定状态 １，Ｆ 点对应稳定状态 ２，Ｄ 点对应马鞍形状态。 在一个加载循环中，当外力大于 Ｃ 点对应的临界载荷 后，层合板将绕过不稳定路径 Ｃ⁃Ｄ⁃Ｅ⁃Ｆ 直接跳变至 Ｇ 点，撤去外载荷后，层合板将稳定于 Ｆ 点。 可以看出在 Ｃ 点和 Ｅ 点对应的区间内，力⁃位移曲线的斜率为负值， 说明层合板在马鞍形状态附近具有负刚度特性，可利 用这一特性将其作为负刚度元件来构建准零刚度隔振 系统。 图 １ 横向载荷作用下双稳定层合板的不同构型 Ｆｉｇ． １ Ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｔａｇｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒａｎｓｖｅｒｓｅ ｆｏｒｃｅ⁃ｔｈｒｏｕｇｈ ｏｆ ａ ｂｉｓｔａｂｌｅ ｌａｍｉｎａｔｅ 图 ２ 双稳定层合板典型力⁃位移曲线［２１］ Ｆｉｇ． ２ Ｔｙｐｉｃａｌ Ｌｏａｄ⁃ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｂｉｓｔａｂｌｅ ｌａｍｉｎａｔｅｓ［２１］ 将正方形双稳定复合材料层合板的四个角点和中 心点通过线性弹簧与基础连接，构成新的准零刚度隔 振系统，其结构如图 ３（ａ）所示。 将被隔振质量置于层 合板中心，当隔振系统处于静平衡状态时，层合板的中 心点和角点处的面外位移为 ０，不提供回复力。 当对系 统施加基础激励 Ａｓ（ｔ）时，层合板中心点与角点相对平 衡位置产生偏移量，分别对应图 ３（ｂ）中的 ｑ 和 ｘｓ。 对 于上述结构，可将层合板等效为非线性弹簧，当系统输 出为层合板中心点时，相当于被隔振质量通过非线性 弹簧串联角点弹簧后与基础相连，同时又通过中心弹 簧与基础连接。 因此从整体上来看，层合板与角点弹 簧属于串联关系，构成系统的负刚度机构，而中心弹簧 则与其并联，作为正刚度部件。 对于上述的准零刚度隔振系统，采用 Ｈａｍｉｌｔｏｎ 原 理建立隔振系统的动力学模型 ∫ ｔ２ ｔ１［δ（Ｔ － Ｖ） ＋ δＷ］ｄｔ ＝ ０ （１） 式中Ｔ 为系统总动能；Ｖ 为系统总势能；Ｗ 为外载荷所 做的功。 １． １ 系统势能 本文所采用的双稳定复合材料层合板为正交纤维 铺层与混杂金属层构型，其结构如图 ４ 所示。 以层合 板中心为原点，ｘ、ｙ 轴平行于板边界，ｚ 轴沿板的厚度方 向建立坐标系；纤维层相对中间金属层采用等厚度铺 ７１１第 ２１ 期邓泽华等 基于双稳定层合板的准零刚度隔振系统 层，下层纤维方向平行于 ｘ 轴，上层平行于 ｙ 轴。 Ｌｘ和 Ｌｙ为层合板的边长，Ｈｆ和 Ｈｍ分别为纤维层和金属层 的厚度。 （ａ） 准零刚度隔振系统结构设计 （ｂ） 激励作用下的准零刚度隔振系统 图 ３ 准零刚度隔振系统 Ｆｉｇ． ３ ＱＺＳ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ 图 ４ ［０／ 金属／９０］混杂双稳定层合板示意图 Ｆｉｇ． ４ Ｖｉｅｗ ｏｆ ａ ［０／ Ｍｅｔａｌ／９０］ ｈｙｂｒｉｄ ｂｉｓｔａｂｌｅ ｌａｍｉｎａｔｅ 层合板在固化前为平板形态，当其从固化温度降 低至室温时，由于预浸料在沿纤维方向和垂直纤维方 向上的热膨胀系数不匹配，板内会产生一定的残余热 应力，当层合板的尺寸足够大时，将会产生较大的面外 位移。 因此在表述其面内应变时考虑对经典的 Ｋｉｒｃｈ⁃ ｈｏｆｆ 层合板理论中引入 Ｖｏｎ Ｋａｒｍａｎ 非线性假设，引入 几何非线性项的中心面应变表达式为 ε０＝ ε０ｘ ε０ｙ γ０ｘｙ ＝ ∂ｕ０ ∂ｘ ＋ １ ２ ∂ｗ ∂ｘ ２ ∂ｖ０ ∂ｙ ＋ １ ２ ∂ｗ ∂ｙ ２ ∂ｕ０ ∂ｙ ＋ ∂ｖ０ ∂ｘ ＋ ∂ｗ ∂ｘ ∂ｗ ∂ｙ （２） 式中，ｕ０、ｖ０、ｗ 分别为中心面在 ｘ、ｙ、ｚ 方向上的位移。 根据文献［１８］的推导过程，金属混杂双稳定层合 板的总势能可以根据势能密度函数在层合板的中心层 积分获得 Ｖｂｉｓｔａｂｌｅ＝∫ Ｌｘ ２ －Ｌｘ ２∫ Ｌｙ ２ －Ｌｙ ２ １ ２ ε０ Ｋ [] Ｔ ＡＢ ＢＤ [] ε０ Ｋ []－ Ｎｔ Ｍｔ Ｔ ε０ Ｋ []ｄｙｄｘ （３） 式中Ａ，Ｄ，Ｂ 分别为层合板的拉伸刚度矩阵、弯曲刚度 矩阵和拉弯耦合刚度矩阵，可通过纤维材料和金属材 料的刚度系数求得；Ｋ 为层合板的弯曲曲率，其表达式 与小变形条件下保持一致；Ｎｔ和 Ｍｔ为单位长度层合 板内残余热应力的合力及合力矩，与温度和材料的热 膨胀系数有关。 根据 Ｒａｙｌｅｉｇｈ⁃Ｒｉｔｚ 法的思想，将层合板的面外位 移、中心应变分量用泛函的形式来表示。 由于正交铺 设层合板的弯曲方向与 ｘ、ｙ 轴平行，因此可假设其面 外位移函数为 ｗ（ｘ，ｙ） ＝ ｑ ＋ ａ１ｘ２＋ ｂ１ｙ２＋ ａ２ｘ４＋ ｂ２ｙ４＋ ａ３ｘ６＋ ｂ３ｙ６＋ ｅｘ２ｙ２（４） 式中，ａｉ、ｂｉ、ｅ 和 ｑ 均为待定参数，即广义坐标。 对于层 合板上任意一点的面外位移，均可通过此函数来描述。 对于正交铺层的层合板，由于在变形过程中板内 存在拉弯耦合，因此其中心面应变包含有薄膜应变与 弯曲应变。 薄膜应变与中心面应变的关系为 ε０＝ εｍｅ－ Ａ－１ＢＫ ＋ Ａ－１Ｎｔ（５） 参考文献［２１］的方法，假设层合板的薄膜应变与 层合板的截面形状相关，将薄膜应变分量设为 εｍｅｘ（ｘ，ｙ） ＝ ｃ１＋ ｃ２ｙ２＋ ｃ３ｙ４＋ ｃ４ｙ６＋ ｃ５ｘ２ｙ２， εｍｅｙ（ｘ，ｙ） ＝ ｄ１＋ ｄ２ｘ２＋ ｄ３ｘ４＋ ｄ４ｘ６＋ ｄ５ｘ２ｙ２（６） 式中ｃｉ和 ｄｉ为待定参数。 联立式（２）和式（５）可以得 到用泛函表示的层合板中心面应变，再将其代入式（３） 便可得到含待定参数的层合板势能表达式。 假设串联弹簧与层合板的连接点为 ｌｘ ２ ， ｌｙ ２ ，在微 振动情况下，由于层合板角点在水平方向上的位移相 对竖直方向上的位移为小量，因此在表示由层合板引 起的串联弹簧的变形量时可忽略其水平方向的相对 位移 ｘｓ＝ ｗ ｌｘ ２ ， ｌｙ ２ （７） 再考虑中心弹簧的变形量 ｑ，可以得到串联弹簧和并联 弹簧的总势能 Ｖｓｐｒｉｎｇ＝ １ ２ ［ｋｐ（ｑ － Ａｓ（ｔ））２＋ ４ｋｓ（ｘｓ－ Ａｓ（ｔ））２］（８） 式中Ａｓ（ｔ）表示基础位移激励；ｋｓ和 ｋｐ分别为串联弹 簧和并联弹簧的刚度。 将式（３）和（８）相加得到隔振系统的总势能表达式 Ｖ ＝ Ｖｂｉｓｔａｂｌｅ＋ Ｖｓｐｒｉｎｇ（９） ８１１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 １． ２ 系统动能 层合板的动能可通过对面外位移的微分进行体积 分得到 Ｔｂｉｓｔａｂｌｅ＝ １ ２ （２Ｈｆρｆ＋ Ｈｍρｍ）∫ Ｌｘ ２ －Ｌｘ ２∫ Ｌｙ ２ －Ｌｙ ２ ∂ｗ ∂ｔ ２ ｄｙｄｘ（１０） 式中，ρｆ和 ρｍ分别为纤维层和金属层的密度。 由于被隔振物体的运动状态与层合板中心一致， 因此其动能可表示为 Ｔｍａ＝ １ ２ ｍｑ ２ （１１） 将式（１０）和（１１）相加得到隔振系统的总动能表 达式 Ｔ ＝ Ｔｂｉｓｔａｂｌｅ＋ Ｔｍａ（１２） １． ３ 外载荷做功 对层合板中心施加垂向载荷 Ｆ，使隔振系统偏离静 平衡位置，则载荷所做的功为 Ｗ ＝ Ｆｑ（１３） １． ４ 静力学模型 将准零刚度隔振系统的基础固定，建立其静力学 分析模型。 令激励项 Ａｓ（ｔ）为 ０，式（１）的动能项不计， 其余项不随时间变化，则有 δ（Ｖ － Ｗ） ＝ ０（１４） 将式（９）、（１３）代入可得到包含未知参数 ｑ、ａｉ、ｂｉ、ｃｉ、 ｄｉ、ｅ 的 １８ 个非线性方程，进一步利用 ｑ、ａｉ、ｂｉ、ｅ 来表示 ｃｉ、ｄｉ，从而将非线性方程的数量减小到 ８ 个，得到方 程组 Ｋ（Ｘ） － Ｆ（Ｘ） ＝ ０（１５） 其中 Ｘ ＝ ［ｑａｉｂｉ ｅ］ Ｔ Ｋ（Ｘ） ＝ ∂Ｖ ∂ｑ ∂Ｖ ∂ａｉ ∂Ｖ ∂ｂｉ ∂Ｖ ∂ｅ [] Ｔ Ｆ（Ｘ） ＝ ∂Ｗ ∂ｑ ∂Ｗ ∂ａｉ ∂Ｗ ∂ｂｉ ∂Ｗ ∂ｅ [] Ｔ （１６） 方程组（１５）的解对应隔振系统在静力学分析时的解， 将求解出的未知参数回代到式（４）中即可预测隔振系 统受静载时的变形量。 在这里需要指明的是， 当 Ｊａｃｏｂｉａｎ 矩阵（１７）正定时，隔振系统处于稳定状态 Ｊ ＝ ∂（Ｋ（Ｘ） － Ｆ（Ｘ）） ∂（ｑ ａｉｂｉ ｅ） （１７） １． ５ 动力学模型 将式（９）、（１２）和（１３）代入式（１）可得 ∫ ｔ２ ｔ１ ［δ（Ｔｂｉｓｔａｂｌｅ＋Ｔｍａ） －δ（Ｖｂｉｓｔａｂｌｅ＋Ｖｓｐｒｉｎｇ） ＋δＷ］ｄｔ ＝０（１８） 式（１８）中第一项为系统总动能的变分，利用分部积分 可展开为 δ（Ｔｂｉｓｔａｂｌｅ＋ Ｔｍａ） ＝ － （２Ｈｆρｆ＋ Ｈｍρｍ） ∫ Ｌｘ ２ －Ｌｘ ２∫ Ｌｙ ２ －Ｌｙ ２ ∂２ｗ ∂ｔ２ δｗ ｄｙｄｘ － ｍｑ δｑ （１９） 根据式（１８）成立的条件可以得到一组关于 ｑ、ａｉ、 ｂｉ、ｃｉ、ｄｉ、ｅ 的微分方程组，将其整理成矩阵的形式，可得 到隔振系统的动力学方程 ＭＸ ＋ Ｋ（Ｘ） ＝ Ｆ（Ｘ，ｔ）（２０） 式中Ｍ 为隔振系统的质量矩阵；Ｆ（Ｘ，ｔ）为激励，展开 后为 Ｍ ＝ （２Ｈｆρｆ＋ Ｈｍρｍ）∫ Ｌｘ ２ －Ｌｘ ２∫ Ｌｙ ２ －Ｌｙ ２ ∂ｗ ∂Ｘ（ｉ） ∂ｗ ∂Ｘ（ｊ） ｄｙｄｘ ＋ ｍ∫ Ｌｘ ２ －Ｌｘ ２∫ Ｌｙ ２ －Ｌｙ ２ ∂ｑ ∂Ｘ（ｉ） ∂ｑ ∂Ｘ（ｊ） ｄｙｄｘ，ｉ，ｊ ＝ １，，８ Ｆ（Ｘ，ｔ） ＝ ∂Ｗ ∂Ｘ（ｉ） ＋ ｋｐＡｓ（ｔ） ∂ｑ ∂Ｘ（ｉ） ＋ ４ｋｓＡｓ（ｔ） ∂ｘｓ ∂Ｘ（ｉ），ｉ ＝ １，，８ （２１） 考虑到阻尼对系统动力学响应的影响，可在式中 引入 Ｒａｙｌｅｉｇｈ 阻尼模型 Ｃ ＝ αＭ ＋ βＫ（２２） 式中，α 和 β 分别为隔振系统的质量阻尼系数和刚度阻 尼系数。 在微振动条件下，可认为阻尼力大小与速度 呈线性关系，因此隔振系统的动力学方程最终可表 示为 ＭＸ ＋ ＣＸ ＋ Ｋ（Ｘ） ＝ Ｆ（Ｘ，ｔ）（２３） ２ 实验方法 采用 ０． ０８ ｍ ０． ０８ ｍ 层合板［０／ ＡＬ／９０］（铝板 厚 ０． ３ １０ －３ ｍ，单层碳纤维 ＣＦＲＰ 厚 ０． ２４ １０ －３ ｍ） 作为隔振系统的负刚度元件，与线性弹簧进行串、并联 组合制备出准零刚度隔振系统原理样机。 利用拉压试 验机对层合板和隔振系统进行静力学实验，验证其负 刚度特性和准零刚度特性，在此基础之上通过隔振实 验对设计出的准零刚度隔振系统进行隔振性能验证。 ２． １ 原理样机 根据图 ３ 中的基本原理，制备出的准零刚度隔振 系统原理样机如图 ５ 所示。 双稳定层合板的角点通过 四根螺纹杆与刚性底座连接。 利用垫片和定位套筒将 层合板的四个角点简支于螺纹杆中间的光滑段，限制 角点在竖直方向上的位移。 层合板中心点通过螺纹杆 与并联弹簧连接，通过调节中心螺母的位置可以调节 层合板的弯曲状态。 角点串联弹簧与中心并联弹簧采 用两根线性弹簧对称安装的方式，由于线性弹簧均为 压缩弹簧，因此需要调节螺母的位置将弹簧预压一定 的形变量，以保证隔振器在平衡位置附近振动时弹簧 一直处于受力状态，可知串联弹簧与并联弹簧的刚度 ９１１第 ２１ 期邓泽华等 基于双稳定层合板的准零刚度隔振系统 为两个线性弹簧的刚度之和。 图 ５ 准零刚度隔振系统原理样机 Ｆｉｇ． ５ Ｐｒｏｔｏｔｙｐｅ ｏｆ ａ ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ２． ２ 静力学实验 本文采用拉压试验机对制备出的双稳定层合板和 准零刚度隔振系统原理样机进行了刚度测量实验，搭 建的实验装置如图 ６ 所示。 实验均采用压缩方法，利 用计算机控制拉压试验机的上横梁向下缓慢移动，通 过中心螺杆模拟集中加载的方式使层合板从一个稳定 状态转变为另一稳定状态，夹具上的力传感器可记录 下每一时刻的力数据。 在实验过程中为了给中心螺纹 杆预留出一定的移动空间，因此将刚性底座拓展成了 三层的结构，同时为了防止层合板发生跳变，需要用夹 具固定住刚性底座，从而保证能够获得完整的力⁃位移 曲线。 图 ６ 静力学实验装置 Ｆｉｇ． ６ Ｓｔａｔｉｃｓ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｒｉｇ ２． ３ 隔振实验 隔振实验示意图如图 ７ 所示，在基础和被隔振质 量块上各布置一个加速度传感器用来测量该处的加速 度信号，振动控制器根据接收到的反馈信号对输出信 号进行实时调节，保证激励的准确性。 图 ８ 为搭建的 隔振实验平台，在实验前需要调整层合板中心的调节 螺母的位置，使层合板接近于马鞍形状态，此时被隔振 质量由中心弹簧承载。 隔振器底部的刚性支座和激振 器采用螺纹固连，保证其运动与基础在激振方向具有 同步性。 设定正弦加速度激励信号幅值并保持不变，以 图 ７ 隔振实验与控制系统示意图 Ｆｉｇ． ７ Ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍ 图 ８ 搭建的隔振实验平台，圈内为加速度传感器 Ｆｉｇ． ８ Ｔｈｅ ａｓｓｅｍｂｌｅｄ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ ｒｉｇ， ｃｉｒｃｌｅｓ ｓｈｏｗ ｌｏｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｃｃｅｌｅｒｏｍｅｔｅｒｓ １ Ｈｚ／ ｓ 的扫频速率对准零刚度隔振系统进行激振，当 系统响应达到稳态后，记录该频率下激励与响应的加 速度时间序列，用振动传递率来评价系统的隔振性能 Ｔａ＝ ２０ｌｇ ＲＭＳ（ｚｏｕｔ） ＲＭＳ（ｚｉｎ） （２４） 式中ｚｉｎ表示激励信号的加速度时间序列；ｚｏｕｔ表示响应 的加速度时间序列；ＲＭＳ 表示取均方根值。 ３ 分析与讨论 本文利用有限元软件 ＡＢＡＱＵＳ 建立了准零刚度隔 振系统的有限元模型，如图 ９ 所示。 其中层合板采用 了壳单元（Ｓ４Ｒ），层合板的角点和底部的参考点采用 线性弹簧单元连接，Ｃｏｕｐｌｉｎｇ 约束可以保证连接的参考 点之 间 不 发 生 相 对 运 动。 同 时 利 用 计 算 软 件 Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ 对隔振系统的静力学和动力学模型进行数 值求解，将理论与有限元结果同实验结果进行对比分 析。 层合板中碳纤维层与混杂金属层的材料参数如表 １ 所示。 ３． １ 负刚度分析 双稳定层合板作为准零刚度隔振系统的负刚度元 件，对其静力学特性的准确预测是后续研究隔振系统 ０２１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 图 ９ 准零刚度隔振系统有限元模型 Ｆｉｇ． ９ Ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ 表 １ 双稳定层合板材料参数 Ｔａｂ． １ Ｍａｔｅｒｉａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｂｉｓｔａｂｌｅ ｌａｍｉｎａｔｅ ＣＦＲＰＡＬ Ｅ１１＝１４０ ＧＰａＥ２２＝８ ＧＰａＥ ＝７０ ＧＰａ Ｇ１２＝５ ＧＰａν１２＝０． ３１２ν ＝０． ３ α１１＝ －０． １ １０ －６ ／ ℃ α２２＝３０ １０ －６ ／ ℃ αｍ＝２３． ３ １０ －６ ／ ℃ ρ ＝１ ６５０ ｋｇ／ ｍ３ Ｔｃｕｒｉｎｇ＝１００ ℃ ρ ＝２ ７００ ｋｇ／ ｍ３ 的基础。 移除图 ９ 中的弹簧单元，将层合板角点用 ＭＰＣ⁃Ｌｉｎｋ 的约束方式与底部参考点连接，使层合板处 于简支状态，得到层合板静力学分析有限元模型。 参 照实验方法，将底部参考点固定，在静力分析步中设定 温度场从 １００ ℃降至 ２０ ℃，同时对层合板中心施加位 移约束，使其沿 ｚ 轴从 － ２． ５ １０ －３ ｍ 移动到 ２． ５ １０ －３ ｍ 的位置，并提取中心点的力⁃位移曲线，结果如 图 １０ 所示。 可以看出，实验测得的曲线与图 ２ 所示的 典型力⁃位移曲线具有一致的趋势，但是需要注意的是 实验测得的两个方向的临界载荷为 ８． ２１ Ｎ 与 －１０． ２２ Ｎ，曲线没有关于原点对称。 分析出现此现象的原因是 层合板在制造过程中 ０纤维层与 ９０纤维层存在材料 参数误差以及固化过程中温度控制误差，故将仿真参 数中 ９０纤维层的材料参数 α２２由 ３０ １０ －６ ／ ℃调整为 ２７ １０ －６ ／ ℃，温差 ΔＴ 由 －８０ ℃调整为 －８２ ℃。 将修 正后的参数代入有限元模型和理论模型中进行求解， 从图 １０ 中的结果可以看出，有限元分析与理论模型所 预测出的曲线与实验结果能够很好的吻合，层合板在 １ １０ －３ ｍ 的位移区间内呈现出负刚度特性。 实验 所测层合板负刚度极值为 － １２ ９４５ Ｎ／ ｍ，有限元分析 与理论模型预测的结果分别为 － １２ ９１１ Ｎ／ ｍ 与 －１２ ３５３ Ｎ／ ｍ，误差在 ５％ 以内，可见采用的仿真方法 具有较高的准确度。 采用有限元方法来分析串联弹簧刚度对系统负刚 度的影响，用弹簧单元替换掉层合板四个角点处的 ＭＰＣ⁃Ｌｉｎｋ 约束，参照实验方法对模型进行加载，通过改 变四根串联弹簧的刚度，得到不同刚度取值下机构的 力⁃位移曲线，结果如图 １１ 所示。 对比层合板的力⁃位 移曲线可以发现，机构的临界载荷与稳定状态下的面 外位移均保持不变。 随着弹簧刚度的减小，负刚度区 间的宽度不断减小，曲线斜率的绝对值逐渐上升，说明 系统负刚度特性随着串联弹簧刚度的变化而改变。 值 得注意的是，当串联弹簧的刚度减小到 ３ ｋＮ／ ｍ 时，负 刚度区间宽度接近于 ０，负刚度机构将发生“突变” 现象［２２］。 图 １０ ８０ ｍｍ ８０ ｍｍ 层合板力⁃位移曲线仿真与实验结果对比 Ｆｉｇ． １０ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ａｎｄ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｌｏａｄ⁃ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｃｕｒｖｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ８０ ｍｍ ８０ ｍｍ ｌａｍｉｎａｔｅ 图 １１ 负刚度机构力⁃位移曲线 Ｆｉｇ． １１ Ｌｏａｄ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍｅｃｈａｎｉｓｍ ３． ２ 准零刚度分析 通过改变串联弹簧的刚度大小使负刚度机构的刚 度特性发生改变，对图 １１ 的力⁃位移曲线求取一阶导 数，根据负刚度极值选择相应的线性弹簧与其并联使 系统在平衡位置处的刚度为 ０。 为了探究系统达到准 零刚度时线性弹簧的匹配规律，根据有限元仿真结果 拟合出了串联弹簧与并联弹簧刚度的关系曲线，结果 如图 １２ 所示。 可以看出并联弹簧的刚度随着串联弹 簧的刚度增大而减小，当串联弹簧的刚度处于 ５ ～ １０ ｋＮ／ ｍ 时，曲线迅速下降，此时并联弹簧的刚度变化十 分敏感；随着串联弹簧刚度的进一步增大，并联弹簧刚 度减小的速率逐渐变慢，最后趋于层合板负刚度极值 的绝对值。 图 １２ 中还给出了由理论模型预测出的串 联弹簧与并联弹簧的关系曲线，对比有限元结果可以 发现，两者总体变化趋势一致，但是当系统达到准零刚 度时，理论模型求解出的并联弹簧刚度要小于有限元 结果，其误差范围在 ５％ ～１０％。 将理论模型中的温差 １２１第 ２１ 期邓泽华等 基于双稳定层合板的准零刚度隔振系统 由 －８０ ℃调整为 －８２． ５ ℃，得到的曲线与有限元结果 吻合的很好，可见理论模型对温度变化非常敏感，考虑 到有限元模型具有更高的求解精度，故以修正后的温 差作为理论模型的标准参数。 由两种方法所预测出的 结果可知，在双稳定层合板负刚度特性一定的情况下， 只要满足图 １２ 中的弹簧刚度匹配关系，就可以构造出 具有不同静刚度大小的准零刚度隔振系统。 图 １２ 串联弹簧与并联弹簧的刚度匹配关系曲线 Ｆｉｇ． １２ Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｃｕｒｖｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｓｅｒｉｅｓ ｓｐｒｉｎｇ ａｎｄ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐｒｉｎｇ 参照图 １２ 的匹配关系曲线，以刚度为 ６． １ ｋＮ／ ｍ 和 ２３． ５ ｋＮ／ ｍ 的串联弹簧为基准，选取了两组不同刚 度的线性弹簧，基于图 ５ 所示的构造方式制备出了具 有不同静刚度特性的两台隔振系统原理样机，其参数 如表 ２ 所示。 需要指明的是，由于实测的弹簧刚度与 理论值具有一定的误差，因此原理样机并不能够达到 理想“准零刚度”状态。 表 ２ 实验弹簧刚度 Ｔａｂ． ２ Ｓｐｒｉｎｇ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓｅｓ ｉｎ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ 原理样机 并联弹簧刚度／ （Ｎｍ －１） 串联弹簧刚度／ （Ｎｍ －１） Ａ１４ ７３６２３ ５８１ Ｂ３１ ６３８６ １４４ 采用修正后的材料参数，将表 ２ 中的弹簧刚度代 入有限元及理论模型中进行求解，再将得到的力⁃位移 曲线与实验结果进行对比，结果如图 １３ 所示。 从图 １３ 可以看出，由有限元分析和理论模型所预测出的结果 一致，两者与实验所测曲线吻合程度很好。 观察图 １３ 中力⁃位移曲线的变化趋势可以发现，随着位移由负到 正逐渐变化，曲线在静平衡位置附近的斜率明显减小， 在远离平衡点处具有较大的斜率。 实验所测样机 Ａ 和 样机 Ｂ 的最小刚度值分别为４９８ Ｎ／ ｍ 和７ ９６８ Ｎ／ ｍ，结 合表 ２ 中的并联弹簧参数可求得对应的最小负刚度值 分别为 －１４ ２３８ Ｎ／ ｍ 和 －２３ ６７０ Ｎ／ ｍ，间接验证了图 １１ 所得结论，并且说明利用中的关系曲线进行准零刚 度隔振系统的设计是符合其静力学特性的。 （ａ） 原理样机 Ａ （ｂ） 原理样机 Ｂ 图 １３ 准零刚度隔振系统力⁃位移曲线 Ｆｉｇ． １３ Ｆｏｒｃｅ⁃ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ３． ３ 隔振性能分析 利用动力学理论模型对设计出的准零刚度隔振系 统进行隔振性能分析，求解过程中将纤维材料的质量 阻尼系数设为 ２００，以模拟实际情况中的材料阻尼。 线 性增加激励信号的频率，将各频率点处的加速度传递 率连接起来绘制成加速度传递率曲线，并与隔振实验 结果进行对比，结果如图 １４ 所示。 从图 １４ 可以看出，由理论模型所求解出的传递率 曲线与实验结果总体趋势一致，在高频处的预测结果 同原理样机 Ａ 的吻合程度很好，但是在共振峰附近同 两者都存在一定的偏差。 实验所测曲线在高频段出现 了波动的现象，考虑到实验过程中质量块在高频处的 加速度值处于很小的量级，结构之间的摩擦、传感器精 度以及导线的微小扰动都会对测量数据造成一定的影 响，导致结果出现偏差。 对比具有相同正刚度的线性 系统的传递率曲线可以发现，制备出的原理样机具有 更小的起始隔振频率以及更低的共振峰响应值，说明 利用本文所提出的设计方法来构建具有不同静刚度特 性的准零刚度隔振系统是可行的。 图 １４ 中还给出了理想弹簧匹配模式下（ｋｓ＝ ６． １ ｋＮ／ ｍ，ｋｐ＝２５． ９ ｋＮ／ ｍ；ｋｓ＝２３． ５ ｋＮ／ ｍ，ｋｐ＝１４． ４５ ｋＮ／ ｍ）的准零刚度隔振系统的传递率曲线，可以看出随着 激励频率的增加，曲线达到共振峰值之后具有明显的 ２２１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 向下跳跃现象，经起始隔振频率后传递率迅速过渡至 一较低的稳定值，相比于实验结果，理想弹簧匹配模式 下的准零刚度隔振系统具有更好的隔振性能。 为了探 究弹簧刚度误差对隔振性能的影响效果，对弹簧刚度 大于理想匹配刚度时的隔振系统进行了传递率求解， 其结果如图 １５ 所示。 可以看出，当并联弹簧具有刚度 误差时，传递率曲线的峰值与系统固有频率都大于理 想状态。隔振频段的曲线呈缓慢下降趋势，传递率值 （ａ） 原理样机 Ａ （ｂ） 原理样机 Ｂ 图 １４ 准零刚度隔振系统隔振实验结果（被隔振质量为 １． ２５ ｋｇ，激励幅值为 ５０ ｍｇ） Ｆｉｇ． １４ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｔｅｓｔ ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ （ｔｈｅ ｉｓｏｌａｔｅｄ ｍａｓｓ ｉｓ １． ２５ ｋｇ， ｔｈｅ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｍａｇｎｉｔｕｄｅ ｉｓ ５０ ｍｇ） 图 １５ 不同并联弹簧刚度误差下的准零刚度隔振系统传递率 （理想弹簧匹配刚度ｋｓ＝２３． ５ ｋＮ／ ｍ，ｋｐ＝１４． ４５ ｋＮ／ ｍ） Ｆｉｇ． １５ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｒａｔｅ ｏｆ ｑｕａｓｉ⁃ｚｅｒｏ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｓｏｌａｔｉｏｎ ｓｙｓｔｅｍ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｐｒｉｎｇ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｅｒｒｏｒｓ （ｔｈｅ ｉｄｅａｌ ｓｐｒｉｎｇ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｋｓ＝２３． ５ ｋＮ／ ｍ， ｋｐ＝１４． ４５ ｋＮ／ ｍ） 要高于理想状态，这种影响随着误差的增大还会进一 步增加。 在原理样机的制备过程当中，由于层合板的安装 误差使其中心点偏离马鞍形状态将会导致隔振系统偏 离理想静平衡位置。 为了模拟此种情况，对理论模型 施加了 －０． ８５ Ｎ 的预应力，此时层合板中心点位移为 －０． ５ ｍｍ，求解出此种状态下隔振系统的传递率曲线， 结果如图 １６ 所示。 可以看出，与弹簧的刚度误差类 似，装配误差也会对隔振性能产生一定程度的削弱。 图 １６ 考虑装配误差时的加速度传递率（理想弹簧匹配刚度 ｋｓ＝２３． ５ ｋＮ／ ｍ，ｋｐ＝１４． ４５ ｋＮ／ ｍ） Ｆｉｇ． １６ Ａｃｃｅｌｅｒａｔｉｏｎ ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ ｒａｔｅｓ ｗｉｔｈ ａｓｓｅｍｂｌｙ ｅｒｒｏｒ （ｔｈｅ ｉｄｅａｌ ｓｐｒｉｎｇ ｍａｔｃｈｉｎｇ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｋｓ＝ ２３． ５ ｋＮ