基于能量有限元法的损伤充液管道振动分析_尚保佑.pdf

 振动与冲击 第 38 卷第 21 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．21 2019 基金项目 国家自然科学基金 51479079; 51579109; 51879113 收稿日期 2018 －02 －02修改稿收到日期 2018 －06 －21 第一作者 尚保佑 男， 硕士生， 1995 年生 通信作者 朱翔 男， 博士， 教授， 1980 年生 基于能量有限元法的损伤充液管道振动分析 尚保佑 1， 2， 3，朱 翔1， 2， 3，李天匀 1， 2， 3，梁孝天1， 2， 3 1． 华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉430074; 2． 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，武汉 430074; 3． 高新船舶与深海开发装备协同创新中心，上海200240 摘 要 管道结构在服役期间会出现各种形式的损伤， 其结构动力学参数和能量传播形式也会随之产生一定的变 化， 根据充液管道的动力学方程， 推导得到了充液管道振动的能量平衡方程和能量有限元方程。分别采用能量有限元法 和有限元法对充液管道的能量密度进行了计算和对比， 验证了能量有限元法求解充液管道振动响应的准确性。在此基础 上建立了基于能量密度变化和能量流变化的两个损伤指标， 讨论了单元受损后的刚度变化和阻尼变化对能量流指标的影 响， 算例表明基于能量流变化的指标能够有效地识别充液管道结构的损伤部位。研究为基于能量有限元法预报充液管道 的振动和基于该方法识别输流管道的损伤提供了理论基础。 关键词 充液管道; 结构损伤; 能量有限元法; 能量密度; 能量流 中图分类号 TH212; TH213． 3文献标志码 ADOI10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 21． 005 Vibration analysis of a damaged fluid- filled pipeline based on energy finite element SHANG Baoyou1， 2， 3，ZHU Xiang1， 2， 3，LI Tianyun1， 2， 3，LIANG Xiaotian1， 2， 3 1． School of Naval Architecture ＆ Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China; 2． Hubei Provincial Key Lab of Naval Architecture，Ocean Engineering Hydrodynamics，Wuhan 430074，China; 3． Collaborative Innovation Center for Advanced Ship and Deep- sea Exploration，Shanghai 200240，China AbstractDamage often appears in fluid- filled pipelines during their service period with a certain change of their structural dynamic parameters and energy transmission ． Here，energy balance equation and energy finite element equation of a fluid- filled pipeline’ s vibration were established according to its dynamic equation． The energy finite element and the finite element were used，respectively to compute and compare the fluid- filled pipeline’ s energy density． The correctness of the energy finite element used to solve vibration response of the fluid- filled pipeline was verified． Then，two damage inds based on energy density variation and energy flow variation were established， respectively． The effects of damaged element’ s stiffness and damping variations on the energy flow index were discussed． Examples showed that the index based on energy flow variation can be used to effectively identify the damage position of a fluid- filled pipeline structure; the study results provide a theoretical foundation for predicting a fluid- filled pipeline’ s vibration and identifying its damage based on the energy finite element ． Key words fluid- filled pipeline; structure damage; energy finite element ; energy density; energy flow 充液管道在工程领域中的运用非常广泛。这些结 构在服役期间会出现各类形式的损伤。针对管道结构 开展早期的损伤识别研究具有重大的理论意义和实际 价值。在结构损伤识别的研究中， 基于结构振动特性 的损伤识别法成为众多科研人员关注的重点。周祥 等 ［1 ］对主流的几种损伤探测识别方法进行比较， 并简 述了目前机械结构损伤识别领域中一些待解决的问 题。刘景斌等 ［2 ］则在比较各损伤识别方法优劣性的基 础上， 展望了未来损伤识别方法的发展趋势。 结构中的振动波传播和振动能量的传播通常是结 构物理参数， 如刚度、 质量和阻尼的函数， 所以结构物 理参数的变化会导致结构振动能量分布的变化。近年 来基于振动能量的损伤识别方法得到了较多的关注。 Zhu 等 ［3 ］对损伤 Timoshenko 梁和圆柱壳的振动功 率进行了分析， 提出了利用振动功率流 ［4 ］采用一局部 转动弹簧来模拟梁中的损伤， 同时也利用断裂力学的 相关理论得到局部弹簧的转动刚度。Santos 等 ［5 ］认为 ChaoXing 结构中的损伤改变了能量耗散的结构， 以能量流作为 研究的基础， 用在研究梁结构的损伤识别和检测中。 随后朱翔等 ［6 ］采用有限元法对裂纹损伤结构的功率流 进行了相关研究并且引入了结构声强的概念，以此实 现了结构表面能量分布、 传播以及在裂纹位置周围分 布的可视化分析。Pang 等 ［7 ］基于振动功率流理论， 以 呼吸裂纹板作为研究对象并对其输入功率曲线进行分 析。基于能量有限元法， 王迪等 ［8 ］求解了损伤薄板结 构的振动， 并以结构声强和能量密度为指标识别板结 构中的损伤。能量有限元法 EFEA 是近些年发展起 来的一种用于解决结构中高频振动分析的方法 ［9 ］。它 结合了统计能量法 SEA 和传统的有限元法 FEA 的 优点， 是一种混合建模分析技术 ［10 ］。一方面， 子系统可 以通过网格的形式表现， 另一方面， 类似 FEA 的方法可 通过节点描述能量的衰减过程。因此， 对于结构的模 态没有过多要求， 可以涵盖中高频段。Zhu 等 ［11 ］利用 有限元法和能量有限元法相结合的混合方法来预测结 构在中频部分的振动， 通过算例获得整个系统在不同 区域的能量分布， 验证了所提出的方法可以用于在中 频范围内的振动预测。刘知辉等 ［12 ］研究了三板耦合情 况下的能量传递系数， 并使用多种单元类型和混合单 元等方法将能量有限元的应用拓展至任意复杂耦合结 构 ［13 ］， 并分析了由耦合板结构组成的封闭箱体。葛月 等 ［14 ］研究了任意耦合角度下弯曲波、 纵波和剪切波入 射时特定入射角度下的能量传递系数， 分析了耦合板 结构中耦合角度、 耦合板厚度、 激励频率对能量传递系 数的影响。解妙霞等 ［15 ］对能量有限元在复合材料结构 动响应中的相关研究进行综述。 国内外学者针对充液管道的振动开展了大量的研 究。Tijsseling［16 ］对充液管道系统的流固耦合研究进展 进行综述。王琳 ［17 ］研究输流管道的稳定性与非线性动 力学机理， 对管道的稳定性、 分岔、 混沌等特性进行了 分析。包日东等 ［18 ］通过在模态空间展开运动控制微分 方程的方法， 分析了输流管道振动系统的非线性动态 响应。Luo［19 ］等利用微分求积法计算弯曲管道的非线 性动力响应， 阐述了微动磨损对管道损伤的影响。 Zhou 等 ［20 ］研究轴向功能梯度悬臂输流管的线性动力 学问题。 从查阅文献来看， 目前尚未有文献建立充液管道 结构振动分析的能量有限元方程， 也没有基于能量有 限元法的充液管道结构损伤识别研究。本文首先推导 建立了充液管道的能量有限元方程， 然后基于能量有 限元法对含有损伤的充液管道结构的振动特性进行分 析。分别采用传统有限元法和能量有限元法对管道中 的能量密度进行了计算， 验证本文能量有限元法的正 确性。通过分别改变含损伤充液管道中损伤部分的刚 度、 阻尼。计算充液管道在损伤前后的能量密度和能 量流， 并分析损伤参数与能量流之间的关系。 1充液管道的能量有限元方程 1． 1充液管道的能量平衡方程 由文献［ 21］可知， 输流管道的运动控制微分方 程为 μE pIp 5w x 4 t EpIp 4w x 4 ρpSp ρfSf 2w t 2 2ρ fSfU 2w xt ρfSfU 2 SfP － T 2w x 2 0 1 当不考虑管内流体流速带来的影响即 μ U 0、 P T 0 时， 输流管道运动方程退化为充液管道运动控 制微分方程 EpIp 1 iη 4w x 4 ρpSp ρfSf 2w t 2 Fδ x － x0 eiωt 2 式中 Ip是管道的截面惯性矩， Ep 是管道材料的杨氏模 量， ρp、 Sp分别是管道的材料密度和横截面积， ρf、 Sf分 别是管内流体的材料密度和横截面积， η 代表管道结构 阻尼， w x， t 表示管道的径向位移， F 代表激励的幅 值， δ 代表狄拉克函数， x 代表管道的轴向坐标， x0是激 励作用的位置， ω 是圆频率， t 表示时间。 假设方程的通解为 w x， t A1e －ikfx A2eikfx A3e －ikfx A4eikfx eiωt 3 式中 A1、 A2、 A3、 A4为由边界条件、 连续条件等确定的 待定系数。kf为复波数。若有 η ＜ ＜ 1，可得如下表 达式 k4 f ω4 c4 f 1 1 i η 4 式中， cf EpIpw2 ρ pSp ρ fSf 1/4 定义成充液管道单元的弯 曲波波速。 管道的势能密度和动能密度分别表示为 V 1 2 EI 2w x 2 2 5 T 1 2 ρS w t 2 6 管道的总能量密度为其势能密度和动能密度之 和， 因此管道的总能量密度可以表示为 e1 1 2 ρSω2{A1 2e2k2x A2 2e－2k2x A3 2e－2k1x A4 2e2k1x 2Re A1A* 2 cos 2k1x 2Im A1A* 2 sin 2k1x 2Re A3A* 4 cos 2k2x 2Im A3A* 4 sin 2k2x } 7 式中 k1、 k2分别表示为复波数 kf 的实部和虚部， 即有关系式， kf k1 ik2。 23振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing Wohlever 等 ［22 ］已经证明， 在高频计算时， 含有 A 3、 A4的近场解可以忽略不计， 此时能量密度的平稳远场 解的表达式为 e1 1 2 ρSω2{A1 2e2k2x A2 2e－2k2x} 8 在管道的振动模型中， 弯曲波功率流通常是由剪 力和弯矩携带传递， 剪力所对应的功率为 qs EI 3w x， t x 3 w x， t t 9 式中， EI 3w x， t x 3 为剪力， w x， t t 为横向速度。 弯矩所对应的功率为 qm － EI 2w x， t x 2 2w x， t xt 10 式中， EI 2w x， t x 2 为弯矩， －  2w x， t xt 为角速度。 管道中能量流的平稳解表达式 q1 EIωk3 1{ A1 2e2k2x － A2 2e－2k2x} 11 比较式 8 和式 11 ， 可得出远场能量流与远场能 量密度的梯度成正比关系 q1 － c2 gf ηω d e1 dx 12 式中， cgf2cf代表弯曲波的群速度。 取一个管道单元进行分析， 能量密度随时间的变 化应为管道单元的入射功率与耗散功率之差， 可以通 过以下表达式 ［23 ］得出  e t Πin－  q 1 x － Πdiss 13 式中 Πin为管道单元的输入功率; Πdiss为管道单元的耗 散功率。 由于结构内的耗散能量与能量密度存在如下的关 系式 ［24 ］ Πdiss ηωe 14 联立式 12 、 式 13 、 式 14 ， 不考虑外界输入的 管道单元的能量平衡方程为 2e1 x 2 － ηω c gf 2 e1 0 15 考虑外界输入则 － c2 gf ηω Δ 2e ηω e Π in 16 1． 2充液管道的能量有限元方程 采用 Galerkin 加权残值法对上述方程进行求解， 可 以得到如下的加权残值方程表达式 ［25 ］ ∫ xi2 xi1 ψ － c2 gf ηω Δ 2e ηω e － Π in dx 0 17 将能量密度值用插值函数表示为 e ∑ n j 1 Njej， 并取权 函数为形函数， 可以将其能量密度控制微分方程的加 权残值方程表示为 ∑ n j 1 ∫ xi2 xi1 c2 gf ηω dN d x TdN dx ηωNTN d {} xej－ ∫ xi2 x1 NΠ indx － N q xi2 xi1 0 18 为了表述方便， 可将式 18 写成矩阵的形式 ［ Ke］ { ee} { Pe} { Qe} 19 式中 ［ Ke］ 表示每个单元含单元刚度和质量的系数矩 阵; e{} e 则是需要求解的能量密度向量;P{} e 是在节点 处输入的激励向量;Q{} e 表示每个单元两端能量流的 进出。 通过求解式 19 ， 即可计算得到节点的能量密度， 进一步可得到每个管道单元的能量流。 1． 3损伤充液管道的能量有限元计算 当结构中出现损伤后， 损伤区域的动力学参数如 刚度、 阻尼等都会发生变化， 从而引起结构中振动能量 的变化。因此， 基于能量有限元法得到损伤结构的能 量流特性和变化特性， 从而也可为损伤结构的损伤识 别提供依据。 对充液管道损伤前后的节点能量密度进行归一化 处理， 即 Err1 ei－ e0 ∑ei－ e0 ， 来分析充液管道损伤前 后能量密度值的变化。式中 e0是未损伤前的单元能量 密度值， ei是有损伤后的单元能量密度值。 由式 12 可通过能量有限元法计算得到节点能量 密度， 进一步得到每个管道单元的能量流。定义损伤 前后管道单元的能量流差值为第二个损伤识别指标， 即 Err2 qi－ q0 ∑qi－ q0 。 其中 q0是未损伤前的能量密 度值， qi是有损伤后的能量密度值。 两种损伤指标都是基于能量有限元法， 在后文中 将采用能量有限元法对含损伤单元的充液管道的能量 密度和能量流进行计算。 2不同工况下损伤充液管道结构的振动能量 分析 2． 1管道结构能量有限元法准确性验证 在第 1 节中推导得到了充液管道的能量密度方程 和能量有限元方程， 为验证所建立的充液管道能量有 限元方程的正确性， 本文将能量有限元法 EFEA 解得 到的能量密度和传统有限元 FEA 解的结果进行对比 分析。选取一段充液管道， 管道两端固支， 管长 L 为 1 m， 外径 Ro为10． 5 mm， 内径 Ri为8 mm， 管壁材料密度 ρp为 7 800 kg/m3， 管壁杨氏模量 E 为 210 GPa， 阻尼系 数 η 为 0． 02， 管内流体单位长度质量 mf为 0． 2 kg/m， 33第 21 期尚保佑等 基于能量有限元法的损伤充液管道振动分析 ChaoXing 管内流体密度 ρf为 980 kg/m3。在管道中心处输入一 激励功率为2． 7 10 －4 W， 激励频率为8 000 Hz 的激励 力。参考能量密度值取为 1 10 －13 J/m。其中， EFEA 模型划分单元数为 10， 形函数取 n 3 的 Lagrange 插值 函数， 如图 1 所示。 有限元模型在 ANSYS Workbench 中建立， 其中 FEA 模型中模拟管道的三维体单元共 58 798 个， 如图 2 所示， 流体单元 18 706 单元， 如图 3 所示。设置流固 耦合属性， 并求解在简谐激励下的稳态响应。 图 1能量有限元模型示意图 Fig． 1Energy finite element model 图 2常规有限元管道单元网格划分图 Fig． 2FEA grid plot of pipe element 图 3常规有限元流体单元网格划分图 Fig． 3FEA grid plot of fluid element 需要注意能量有限元模型和传统有限元模型的网 格划分原则不同， 传统有限元由于捕捉频率较高的振 动响应时， 单元尺寸小， 网格规模大。而能量有限元方 法求解得到的能量密度是对时间和空间进行平均之后 得到的相对平滑的解。因此可将传统有限元法计算得 到的各节点处位移解， 按照其本身波长选取合适的长 度进行局部平均， 得到与能量有限元法计算对应的节 点处能量密度值。将两种方法求得的能量密度进行对 比， 得到充液管道沿着管道长度方向分布的能量密度 图， 如图 4 所示。 从图 4 中， EFEA 得到的各节点能量密度分布与 FEA 得到的各节点能量密度分布吻合较好， 从而验证 了本文建立的充液管道能量有限元方程的正确性。这 为后文分析损伤管道的振动特性提供了基础。 图 4两种方法沿管道长度方向能量密度分布的结果对比 Fig． 4Energy density distribution along the pipe length 2． 2损伤充液管道的振动分析 2． 2． 1损伤单元刚度变化对振动能量的影响 当管道等结构中出现损伤时， 其损伤部位的局部 刚度一般会减小。在本节中假设损伤仅引起局部刚度 减小。 与前述算例类似， 将管道分成 10 个单元， 并按管 道长度方向进行编号， 如图 5 所示。其中受损单元编 号为 6 标深色 ， 假设该单元损伤后的弹性模量分别 降低 1、 5和 10。按照能量有限元法求解损伤前 后管道的能量密度和能量流。 图 5管道的损伤模型 Fig． 5Energy finite element model of damaged pipe 当损伤单元的弹性模量降低 5时， 图 6 给出了能 量密度变化的损伤指标 Err1沿着长度方向的分布图。 图 6管道的损伤指标 Err1 分布 E 0． 95E0 Fig． 6Damage index Err1distribution E 0． 95E0 由图 6 可知， 基于能量密度变化得到的 Err1， 在受 损单元的节点处变化比较明显， 在损伤一侧的能量密 度变化值会产生突变。这是由于波传播在经过损伤位 置时由于结构不连续出现扰动和不连续的结果， 因此 可根据管道结构节点的能量密度变化情况来识别管道 的损伤位置。 同时也计算出管道中的能量流， 从而得到第二种 损伤指标并进行分析， 如图 7 所示。 43振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 图 7管道的损伤指标 Err2 分布 E 0． 95E0 Fig． 7Damage index Err2distribution E 0． 95E0 从图 7 中看出， Err2在受损 6 号单元处表现明显， 可以直观的反映出受损单元， 因此可由管道结构的能 量流变化情况来识别管道结构的损伤位置。 将损伤单元的弹性模量分别减小 1、 5 和 10， 结构的损伤采用能量流前后的差值表示， 即 Δq qi－ q0， 如图 8 所示。 图 8不同刚度变化情况下管道能量流差值比较 Fig． 8Damage index Δq of different stiffness 从图中可见随着损伤单元刚度变化幅度的增加， 管道单元能量流差值变化也更加明显， 并且都在损伤 单元处达到峰值。 2． 2． 2损伤单元阻尼变化对振动能量的影响 本算例中假设损伤仅引起局部单元的阻尼增大。 假设算例中损伤单元的阻尼分别增大 1、 5， 采用能 量有限元法计算充液管道的能量密度和能量流。图 9 给出了损伤单元阻尼增大1时， Err2的分布图。图10 为损伤单元取不同阻尼值时的能量流差值。 图 9管道的损伤指标 Err2分布 η 1． 01η 0 Fig． 9Damage index Err2distribution η 1． 01η0 从图 9 中看出， 当某个单元的阻尼发生变化时， 会 引起周围能量流明显的突变， 同样可以清晰地识别出 图 10不同阻尼变化情况下管道能量流差值比较 Fig． 10Damage index Δq of different damping 充液管道的损伤部位， 从图 10 中看出， 随着损伤单元 的阻尼增大， 损伤前后管道中能量流差值会有明显的 上升。表明损伤引起的阻尼变化越明显， 管道能量流 的变化也越明显， 从而可以反映损伤的程度变化。 3结论 本文基于能量有限元法对含有损伤的充液管道的 振动特性进行了分析。推导得到了充液管道的能量有 限元方程。将 EFEA 的方法同传统的有限元 FEA 的结 果进行了分析和验证， 表明本文建立的充液管道的能 量有限元模型的准确性。 在验证管道能量有限元方法合理性的基础上， 将 其应用于分析损伤管道结构中， 通过管道单元的弹性 模量的减小和阻尼的增大来模拟结构损伤的程度， 利 用能量有限元法计算充液管道中单元的能量密度和能 量流。通过分别建立基于能量密度和能量流的两个损 伤指标， 发现两种损伤指标都可以表征出损伤位置， 其 中能量流差值对管道结构的损伤更为敏感。 与传统的基于振动的损伤识别方法相比， 本文提 出的方法避开了繁琐的模态参数求解， 且对结构微小 的缺陷十分敏感， 有一定的优势。但应用到实际工程 中， 还需要进一步深入研究。 参 考 文 献 ［1］ 周祥，张袁元． 基于振动分析的机械结构损伤识别方法综 述［ J］ ． 机械工程与自动化， 2017 1 216- 218． ZHOU Xiang，ZHANG Yuanyuan． A review of mechanical structure damage identification based on vibration analysis［ J］． 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