基于惯容负刚度动力吸振器的梁响应最小化_陈杰.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 基金项目 重庆市自然科学基金基础研究与前沿探索专项面上项目 cstc2019jcyj-msxm2646 ; 重 庆 文 理 学 院 人 才 引 进 项 目 R2019FJD02;重庆市教委科技攻关项目KJ201901336833115 收稿日期 2019 -09 -24 修改稿收到日期 2019 -10 -11 第一作者 陈杰 男,硕士生,1993 年生 通信作者 张立民 男,博士,研究员,1961 年生 基于惯容负刚度动力吸振器的梁响应最小化 陈 杰1, 孙维光2, 吴杨俊1, 张立民1, 贺小龙3 1. 西南交通大学 牵引动力国家重点实验室, 成都 610031; 2. 中车青岛四方机车车辆股份有限公司,山东 青岛 266111; 3. 重庆文理学院 机电工程学院, 重庆 402160 摘 要提出了两种新型的被动振动控制结构,即含有惯容器和负刚度的动力吸振器振动控制结构,并抑制梁的 横向振动。 在只考虑一阶模态函数情况下,使用固定点理论推导出了这两种新型动力吸振器的最优控制参数解析表达 式。 在此基础上,将两种不同的基于惯容负刚度的新型动力吸振器模型 1 和模型 2分别与传统动力吸振器在不同质量 比下进行了对比分析,数值结果表明,基于惯容负刚度的动力吸振器比传统动力吸振器对梁的振动控制更有效。 对于质 量比小的情况,模型 2 比模型 1 具有更好的减振效果。 但是,质量比或者惯容质量比较大时,会导致模型 2 的最优负刚度 比大于 0,此时模型 2 的最优参数不适用。 此外,还简要讨论了质量比和惯性质量比对最优系统参数的影响。 关键词 振动控制;惯容;负刚度;梁;固定点理论 中图分类号 O328;TH113. 1 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 003 Minimization of beam response using inerter-based dynamic vibration absorber with negative stiffness CHEN Jie1, SUN Weiguang2, WU Yangjun1, ZHANG Limin1, HE Xiaolong3 1. Traction Power State Key Laboratory, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 2. CRRC Qingdao Sifang Co. , Ltd. , Qingdao 266111, China; 3. College of Mechanical and Electrical Engineering, Chongqing University of Arts and Sciences, Chongqing 402160, China Abstract Two new types of passive vibration control structures were proposed, namely the vibration control structure of the dynamic vibration absorber with inerter and negative stiffness, and the transverse vibration of the beam was suppressed. In the case of considering only the first-order modal function, the analytical expressions of the optimal control parameters of the two new dynamic absorbers can be derived using the fixed point theory. On this basis, two kinds of new dynamic absorbers based on inerter and negative stiffness model 1 and model 2 were compared with the traditional dynamic absorbers under different mass ratios. The numerical results show that the dynamic absorber based on inerter and negative stiffness is more effective than the traditional dynamic absorber in vibration control of beams. For the case of small mass ratio, model 2 has better vibration reduction effect than model 1. However, when the mass ratio or inerter mass ratio is large, the optimum negative stiffness ratio of model 2 is greater than 0, and the optimum parameters of model 2 will not be available. In addition, the effects of mass ratio and inerter mass ratio on the optimal system parameters are briefly discussed. Key words vibration control; inerter; negative stiffness; beam; fixed-point theory 梁式结构是机械和土木工程中的典型结构,也是 连续体结构中最简单的模型之一。 不利的振动会影响 结构的性能和寿命,所以减少梁式结构不必要的振动 在设计过程中需要重点关注[1]。 为了减少振动对工程 结构的影响,许多学者分别研究了主动控制、半主动控 制、被动控制等方法来减少振动对结构的危害。 半主动控制和主动控制的控制结构在性能方面通 常优于被动控制,但半主动和主动部分需要输入能量 并涉及稳定性和鲁棒性问题,所以被动控制在工程减 振中应用广泛[2]。 动力吸振器是一种附加在受激励的 ChaoXing 主系统上以抑制其振动的控制装置。 Den 等[3]对动力 吸振器研究发现主系统的频响函数曲线存在两个与阻 尼无关的固定点,并以此提出了动力吸振器设计的固 定点理论。 Asami 等[4]推导出了动力吸振器最优参数 的精确解,发现与固定点理论推导的结果非常接近,而 固定点理论形式简单,在工程上具有很高的实际应用 价值。 近年来,学者们发现负刚度弹簧和惯容器在减 振方面有很好的应用[5 -7]。 Shen 等[8 -12]对负刚度吸振 器有着深入的研究,提出了多种负刚度吸振器减振结 构,给出了负刚度吸振器最优参数的推导方法,还推导 了多个惯容 - 弹簧 - 阻尼结构减振的最优参数[13]。 Hu 等[14 -15]研究了惯容对振动系统的固有频率的影 响,并将惯容应用到车辆被动悬挂减振中。 Lewis 等[16] 应用多种惯容减振结构应用到列车转向架设计中,研 究发现惯容结构能提升乘坐舒适性和减少轮轨磨损。 陈龙等[17 -18]提出几种含有惯容器的汽车悬挂,具有一 定的工程应用价值。 Wang 等[19]将惯容器应用到列车 悬挂系统,可以有效的提升列车的动力学性能。 许多 研究人员已经将动力吸振器引入梁式结构[20 -21]。 Jac- quot[22]研究了正弦激励载荷下的欧拉 - 伯努利梁的动 力吸振器参数,使用梁的第一阶模态函数推导出了最 优参数的近似解表达式。 此外,Jacquot[23]还推导了随 机激励载荷下的欧拉梁的动力吸振器最优参数,最大 限度地减少了梁的均方响应的空间平均值,Jacquot[24] 还推导出了随机激励载荷下悬臂梁的最优吸振器位 置。 Jin 等[25]提出了两种基于惯容的动力吸振器结构 来抑制梁的振动,通过与传统吸振器比较,含有惯容 的吸振器能有效的减少梁的横向位移和加速度响 应。 从文献中可以看出,大多数的研究都是单独的 使用惯容或者负刚度在离散系统的应用,而基于惯 容或者负刚度的振动控制结构在连续系统中的有效 性研究较少。 本文提出了两种基于惯容负刚度的被动振动控制 结构抑制梁的横向振动。 考虑长度为 L 的欧拉 - 伯努 利梁在均布载荷 fxgt作用下的问题,并应用于某 一点 x a,分别推导了两种减振结构的梁横向位移频 响函数。 在只考虑梁的第一阶模态函数情况下,利用 固定点理论推导了动力吸振器最优参数的解析表达 式。 讨论了基于惯容负刚度的被动振动控制结构和传 统吸振器之间的比较,以及质量比和惯容质量比对最 优参数的影响。 1 模型 1 的减振结构和参数优化 动力吸振器通过弹簧和阻尼的并联连接到欧拉梁 上,动力减振器与刚性基础采用负刚度和惯容器并联, 与 Jin 等研究中的 Case Ⅱ相比,增加了负刚度。 图 1 所示为模型 1 的减振结构,其振动微分方程为 EI 􀆠4yx,t 􀆠x4 ρ 􀆠2yx,t 􀆠t2 fxgt {k[qdt - ya,t] c[q dt - y a,t]}δx - a 1a mq dt - k[qdt - ya,t] - c[q dt - y a,t] - k nqdt - bq dt 1b 式中 yx,t为梁的横向位移; EI 为梁的弯曲刚度; ρ 为梁单位长度的质量; qdt为吸振器的位移; δ 为狄克拉函数; k,m,kn,c 和 b 分别为弹簧刚度,吸振 器质量,负刚度,阻尼和惯容系数。 图 1 动力吸振器模型 1 Fig. 1 Model 1 of dynamic vibration absorber 当采用模态分析法时,梁的横向位移可以近似展 开成 yx,t ∑ ∞ i 1 qitϕix2 式中 qit为第 i 阶振型主坐标; ϕix为第 i 阶模态 函数, 满足∫ L 0 ϕix ϕjx dx Lδij和 d4ϕix / dx4 β4 iϕix, δij为克罗内克函数, βi 为梁特征方程的特 征值。 假设 fx 1, gt ejωt,在简谐外力作用下梁的 载荷为 fxgt ejωt3 微分方程稳态解的形式为 qi Qiejωt, qd Qdejωt4 梁横向位移的频响函数为 Yx,ω ∑ ∞ i 1 Qiωϕix G2x,ω - G1x,ωHωYa,ω5 其中, G2x,ω ∑ ∞ i 1 aiϕix EIβ4 iL - ρLω 2 G1x,ω ∑ ∞ i 1 ϕiaϕix EIβ4 iL - ρLω 2 Hω - ω2m bk jωc k kn- ω2m b jωc ai∫ L 0 fxϕixdx6 61振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing Ya,ω可以由式5推导, 重写为 Ya,ω G2a,ω 1 G1a,ωHω 7 引入如下参数变换 ω2 i EIβ4 i ρA , γi ωi ω1, υ k/ m ω1 , ζ c 2km , α kn k , λ ω ω1, d b m , μ m ρL, Qst 1 EIβ4 1L 8 考虑在点 x a 时的响应,梁的振幅放大因子 A 可 以定义为 A Qi δst ∑ ∞ i 1 ϕia ai γ2 i - λ2 - ϕia γ2 i - λ2∑ ∞ i 1 μaiϕia γ2 i - λ2 ∑ ∞ i 1 μϕ2 ia γ2 i - λ2 - υ21 α - λ21 d j2ζλυ λ21 dυ2 j2ζλυ 9 为了在给定的质量比 μ 下使梁振幅放大系数的最 大值最小,可以研究以下最小化最大值问题 min k,υ,ζ[max A] 10 通过对式10的数值分析,可以得到 k,υ,ζ 和 d 的最优值。 如果只考虑一阶模态函数,梁的横向位移可以进 一步的近似为 yx,t q1tϕ1x。 此时,式9可以 重写为 A A2 1 ζ2B2 1 C2 1 ζ2D2 1 11 其中, A1 1 αυ2- 1 dλ2 B1 2λυ C1 [1 αυ2- 1 dλ2] [1 μϕ2 1aυ 2 - λ2] - μϕ2 1aυ 4 D1 2λυ{1 αμϕ2 1aυ 2 - Δλ2}12 式中, Δ 1 1 dμϕ2 1a。 因此,可以使用固定点原理。 则模型 1 中最小化 梁的最大横向位移的最优参数是 υopt 1 d α Δ2 ζopt 1 dΔ - 1[α2Δ 1 3Δ] 4[Δ 1Δ α2- Δ2Δ - 1] αopt - Δ2 ΔΔ2- 1 Δ 1 1 dμϕ2 1a 13 式中, υopt, ζopt, αopt分别为模型 1 的最优固有频率比, 最优阻尼比和最优负刚度比。 当 μ 0. 1, d 0,1, ϕ1a 2时,应用式13, 可以给出最优参数下的幅值曲线,如图 2 所示,可以发 现达到优化目的。 图 2 μ 0,1, d 0. 1, ϕ1a 2时的幅值曲线 Fig. 2 The amplitude-frequency curve under μ 0,1, d 0. 1, ϕ1a 2 2 模型 2 的减振结构和参数优化 动力吸振器由一根弹簧连接到欧拉梁。 吸振器和 刚性基础通过负刚度,阻尼和惯容器并联连接。 所提 出的模型 2 的隔振结构如图 3 所示。 其振动微分方 程为 EI 􀆠4yx,t 􀆠x4 ρ 􀆠2yx,t 􀆠t2 fxgt k[qdt - ya,t]δx - a14a mq dt - k[qdt - ya,t] - knqdt - cq dt - bq dt 14b 图 3 动力吸振器模型 2 Fig. 3 Model 2 of dynamic vibration absorber 相同的,梁的横向位移频响函数可以由式5给出 G2x,ω ∑ ∞ i 1 aiϕix EIβ4 iL - ρLω 2 G1x,ω ∑ ∞ i 1 ϕiaϕix EIβ4 iL - ρLω 2 Hω - ω2m bk k kn- ω2m b jωc 71第 8 期 陈杰等 基于惯容负刚度动力吸振器的梁响应最小化 ChaoXing ai∫ L 0 fxϕixdx15 引入式8的参数变换,考虑在点 x a 处的响应, 梁的振幅放大因子 A 可以定义为 A Qi δst ∑ ∞ i 1 ϕia ai γ2 i - λ2 - ϕia γ2 i - λ2∑ ∞ i 1 μaiϕia γ2 i - λ2 ∑ ∞ i 1 μϕ2 ia γ2 i - λ2 - υ21 α - λ21 d j2ζλυ λ21 dυ2 16 为了在给定的质量比 μ 下使梁振幅放大系数的最 大值最小,可以研究以下最小化最大值问题 min k,υ,ζ[max A] 17 通过对式17的数值分析,可以得到 k,υ,ζ 和 d 的最优值。 如果只考虑一阶模态函数,梁的横向位移可以进 一步的近似为 yx,t q1tϕ1x。 此时,式16可 以重写为 A A2 2 ζ2B2 2 C2 2 ζ2D2 2 18 其中, A2 1 αυ2- 1 dλ2 B2 2λυ C2 [1 αυ2- 1 dλ2] [1 μϕ2 1aυ 2 - λ2] - μϕ2 1aυ 4 D2 2λυ[μϕ2 1aυ 2 1 - λ2]19 由于动力吸振器中阻尼与刚性基础连接,利用 固定点理论可以 得 到 动 力 吸 振 器 的 局 部 最 优 参 数[26]。 则模型 2 中最小化梁的最大横向位移的局 部最优参数是 υopt 1 d 1 α - 1 dμϕ2 1a ζopt 3μϕ2 1a1 d 21 α 4[21 α2- μϕ2 1a1 d] αopt21 dμϕ2 1a - 1 20 式中, υopt, ζopt, αopt分别为模型2 的局部最优固有频率 比,最优阻尼比和最优负刚度比。 当 μ 0. 1, d 0. 1, ϕ1a 2 时,应用等式 20,可以给出最优参数下的幅值曲线,如图 4 所示, 可以发现已经达到优化目的。 图 4 μ 0. 1, d 0. 1, ϕ1a 2时的幅值曲线 Fig. 4 The amplitude-frequency curve under μ 0. 1, d 0. 1, ϕ1a 2 3 数值仿真和讨论 本节通过数值仿真来验证上述两个模型对抑制梁 的振动的有效性。 假设动力吸振器位于梁的中间,即 a L/2。 根据边界条件,可以得到如下参数的表达式, ϕix 2sinβix, βi iπ/ L, a2i -12 2/ β2i -1,a2i 0。 为了显示基于惯容负刚度的结构的优点,还考虑了 传统动力吸振器的情况,即模型 1 中,α 0,d 0,进行 对比研究。 然后对两个减振结构模型的数值结果分别 进行讨论。 为了说明模型 1 结构抑制振动的有效性,引入相 对误差Aminmax traditonal - Aminmax model 1 / Aminmaxtraditonal, 比 较模型 1 和传统动力吸振器之间的横向位移频响函数 最小化最大值。 图 5 为 μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 时模 型 1 与传统动力吸振器幅值对比曲线,当 μ 0. 1 时, 传统吸振器的最优参数 υopt0. 833 3,ζopt0. 250 0,梁 的最小化最大横向位移响应为 Aminmax3. 328。 图 6 为 模型 1 与传统动力吸振器主系统的最小最大横向位移 对比,考虑质量比范围为0 0. 5, 当 d 0. 1 和 d 5 时 模型 1 的梁最小化最大位移响应。 从图 5 和图 6 可看 出,与传统吸振器对比,基于惯容负刚度结构的模型 1 减振效果显著,梁的最小化最大横向位移响应远远低 于传统吸振器,增大惯容质量能进一步降低梁的振动。 质量比 μ 和惯容质量比 d 对最优固有频率比 υopt,最优 阻尼比 ζopt,最优负刚度比 αopt和具有最优系统参数的 频响函数最小化最大值 Aminmax的影响分别如图7 和图8 所示。 从图 7 可以看出, υopt和 Aminmax随着质量比的增 加而减小, ζopt和 αopt随着质量比的增加而增加。 图 8 中 Aminmax随着惯容质量比的增加而减小, υopt,ζopt和 αopt 随着惯容质量比的增加而增加。 81振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 5 μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 时模型 1 与传统动力 吸振器对比 Fig. 5 Comparison between model 1 and traditional dynamic vibration absorber under μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 图 6 最小化最大位移对比 Fig. 6 The comparison of the minimization of the maximum displacement 图 7 不同质量比的最优参数和最小化最大位移曲线 Fig. 7 The curve of the optimal parameters and the minimization of the maximum displacement with different mass ratios 图 8 不同惯容质量比的最优参数和最小化最大位移曲线 Fig. 8 The curve of the optimal parameters and the minimization of the maximum displacement with different inerter mass ratios 为了验证模型 2 结构的减振效果,引入相对误差 Aminmax traditonal- Aminmaxmodel 2 / Aminmaxtraditonal,比较模型2 和传统动力吸振器之间的横向位移频响函数最小化最 大值。 图 9 为 μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 时模型 2 与传 统动力吸振器幅值对比曲线。 由于式20中最优负刚 度比 αopt要小于 0, 即 μ1 d 1/4,所以质量比和惯 容质量比不能太大。 图 10 为模型 2 与传统动力吸振 器主系统的最小最大横向位移对比,考虑质量比范围 为0 0. 2,当 d 0. 1 和 d 5 时模型2 的梁最小化最大 位移响应。 对于 d 5,质量比应该小于 0. 04,否则负 刚度不小于 0。 从图 9 和图 10 可以看出,与传统吸振 器对比,基于惯容负刚度结构的模型 1 减振效果卓越, 梁的最小化最大横向位移响应也远远低于传统吸振 器,增大惯容质量也能进一步降低梁的振动。 质量比 μ 和惯容质量比 d 对最优固有频率比 υopt,最优阻尼比 ζopt,最优负刚度比 αopt和具有最优系统参数的频响函 数最小化最大值 Aminmax的影响分别如图 11 和图 12 所 示。 从图 11 可以看出, υopt和 Aminmax随着质量比的增加 而减小, ζopt和 αopt随着质量比的增加而增加。 图 12 中 Aminmax随着惯容质量比的增加而减小, υopt,ζopt和 αopt随 着惯容质量比的增加而增加。 由于模型 1 和模型 2 的减振能力都非常优秀,则 进一步比较模型 1 与模型 2 的减振能力,引入相对误 差Aminmax model 1 - Aminmax model 2 / Aminmaxmodel 1,比较模型 1 和模型 2 之间的横向位移的频响函数最小化最大值。 91第 8 期 陈杰等 基于惯容负刚度动力吸振器的梁响应最小化 ChaoXing 图 9 μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 时模型 2 与传统动力 吸振器对比 Fig. 9 Comparison between model 2 and traditional dynamic vibration absorber under μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 图 10 最小化最大位移对比 Fig. 10 The comparison of the minimization of the maximum displacement 图 11 不同质量比的最优参数和最小化最大位移曲线 Fig. 11 The curve of the optimal parameters and the minimization of the maximum displacement with different mass ratios 图 12 不同惯容质量比的最优参数和最小化 最大位移曲线 Fig. 12 The curve of the optimal parameters and the minimization of the maximum displacement with different inerter mass ratios 图 13 为 μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 时模型 1 与模型 2 幅值曲线对比。 考虑质量比范围为 0 0. 2,惯容质量 比 d 0. 1 的梁最小化最大位移响应,如图 13 和图 14 所示。 可以看出,模型 2 的减振能力优于模型 1,随着 质量比的增加越显著。 模型 2 中质量比和惯容质量比 应符合 μ1 d 1/4,否则模型 2 最优参数不适用。 如果质量比和惯容质量比在模型 2 的允许范围内,则 模型 2 的减振能力优于模型 1;如果质量比和惯容质量 比较大,此时模型 2 不适用,则应该选用模型 1,也能有 较好的减振效果。 图 13 μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 时模型 1 与 模型 2 对比 Fig. 13 Comparison between model 1 and model 2 under μ 0. 1, a L/2, d 0. 1 02振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 14 最小化最大位移对比 Fig. 14 The comparison of the minimization of the maximum displacement 4 结 论 提出了两种基于惯容负刚度吸振器的被动减振控 制模型,应用固定点理论,分别推导了模型 1 的最优系 统参数和模型 2 的局部最优系统参数的解析表达式, 并抑制梁的横向振动。 通过仿真计算,得到如下结论 1 两种惯容负刚度吸振器对梁横振的抑制作用 均优于传统吸振器。 2 υopt和 Aminmax随着质量比的增加而减小, ζopt和 αopt随着质量比的增加而增加。 3 Aminmax随着惯容质量比的增加而减小, υopt,ζopt 和 αopt随着惯容质量比的增加而增加。 4 在有限范围内,模型 2 的减振效果优于模型 1,但适用范围较小,即1 dμϕ2 1a 0,此时模型 2 最 优参数不适用。 5 在惯容负刚度吸振器模型中,负刚度能很好 的抑制梁的振动,而惯容器能进一步的抑制振动。 本文提出的两种惯容负刚度吸振器结构均具有显 著的减振效果,为以后设计新型被动减振结构提供了 参考。 参 考 文 献 [ 1 ] 倪振 华.振 动 力 学 [ M].西 安 西 安 交 通 大 学 出 版 社, 1989. 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