基于频域本征正交分解的几何非线性动力学降阶_陈兵.pdf

􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈􀪈 􀪈 振 动 与 冲 击 第 ３９ 卷第 ２１ 期ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫＶｏｌ． ３９ Ｎｏ．２１ ２０２０ 基金项目 国家自然科学基金（５１８０６１７５） 收稿日期 ２０１９ －０４ －０３ 修改稿收到日期 ２０１９ －０５ －１１ 第一作者 陈兵 男，博士，助理研究员，１９８７ 年生 Ｅ⁃ｍａｉｌ ｃｈｅｎｂｉｎｇ＠ ｎｗｐｕ． ｅｄｕ． ｃｎ 基于频域本征正交分解的几何非线性动力学降阶 陈 兵１， 龚春林１， 仇理宽２， 谷良贤１ （１． 西北工业大学 航天学院 陕西省空天飞行器设计重点实验室，西安 ７１００７２； ２． 上海机电工程研究所，上海 ２０１１０９） 摘 要为提升几何大变形条件下的结构非线性动力学系统的求解效率，研究指定频域段的动力学行为，以悬壁 板为对象，利用频域本征正交分解（Ｐｒｏｐｅｒ Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＰＯＤ）方法研究几何非线性结构动力学降阶问题。 壁 板的几何非线性刚度基于协同转动（Ｃｏ⁃ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ，ＣＲ）方法求解，利用 ＰＯＤ 方法在指定频域范围内以计算快照生成基向 量，通过 Ｇａｌｅｒｋｉｎ 方法实现动力学系统降阶，非线性刚度以增量的形式加入外力项，系统的非线性行为通过广义外力的形 式体现。 通过对悬壁板的频域 ＰＯＤ 降阶分析与对比，结果表明（１）对线性系统，频域 ＰＯＤ 降阶分析精度高，误差均在 １％以内，求解时间远小于全阶系统，其中，１ 阶 ＰＯＤ 的求解时间不到全阶系统的 ５０％；（２）对于非线性系统，在正弦和阶 跃载荷作用下，一阶 ＰＯＤ 降阶分析误差小于１． ５％，三阶误差小于０． ５％，计算时间均少于全阶分析时间的７５％；（３）对于 多点随机激励下的几何非线性动力学，通过频域降阶，保留前六阶 ＰＯＤ 基向量，可保证降阶系统的分析误差在 ０． ５％ 以 内，且计算时间仅为全阶系统的 ７９％。 关键词 非线性动力学；降阶；本征正交分解；频域；协同转动方法；几何非线性 中图分类号 Ｖ２１４． ３ 文献标志码 ＡＤＯＩ１０． １３４６５／ ｊ． ｃｎｋｉ． ｊｖｓ． ２０２０． ２１． ０２２ Ｏｒｄｅｒ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＰＯＤ ｉｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ＣＨＥＮ Ｂｉｎｇ１， ＧＯＮＧ Ｃｈｕｎｌｉｎ１， ＱＩＵ Ｌｉｋｕａｎ２， ＧＵ Ｌｉａｎｇｘｉａｎ１ （１． Ｓｈａｎｎｘｉ Ａｅｒｏｓｐａｃｅ Ｆｌｉｇｈｔ Ｖｅｈｉｃｌｅ Ｄｅｓｉｇｎ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ， Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ， Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎ Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｘｉ’ａｎ ７１００７２， Ｃｈｉｎａ； ２． Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｅｌｅｃｔｒｏ⁃Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ， Ｓｈａｎｇｈａｉ ２０１１０９， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｉｍｐｒｏｖｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｅｆｆｉｃｉｅｎｃｙ ｏｆ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｕｎｄｅｒ ｌａｒｇｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｔｕｄｙ ｉｔｓ ｄｙｎａｍｉｃ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｉｎ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒａｎｇｅ， ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ （ＰＯＤ） ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｏｒｄｅｒ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ａ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｗｉｔｈ ａ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｅｄ ｐｌａｔｅ ｔａｋｅｎ ａｓ ｔｈｅ ｓｔｕｄｙ ｏｂｊｅｃｔ． Ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｌａｔｅ ｗａｓ ｓｏｌｖｅｄ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ ｒｏｔａｔｉｏｎ （ＣＲ） ｍｅｔｈｏｄ． ＰＯＤ ｂａｓｅ ｖｅｃｔｏｒｓ ｗｅｒｅ ｇｅｎｅｒａｔｅｄ ｗｉｔｈ ｓｎａｐｓｈｏｔｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｉｎ ａ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ， ａｎｄ Ｇａｌｅｒｋｉｎ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ． Ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｗａｓ ａｄｄｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ ｔｅｒｍ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｉｎｃｒｅｍｅｎｔ， ａｎｄ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｂｅｈａｖｉｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｗａｓ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｏｆ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｅｘｔｅｒｎａｌ ｆｏｒｃｅ． Ｔｈｅ ＰＯＤ ｏｒｄｅｒ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ ａｎｄ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｗｅｒｅ ｄｏｎｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒｅｄ ｐｌａｔｅ． Ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ （１） ｆｏｒ ａ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ ＰＯＤ ｏｒｄｅｒ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ⁃ｄｏｍａｉｎ ｈａｓ ｈｉｇｈ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ， ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １％， ａｎｄ ｉｔｓ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｉｍｅ ｉｓ ｆａｒ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｉｍｅ ｆｏｒ １ ｏｒｄｅｒ ＰＯＤ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ５０％ ｏｆ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ； （２） ｆｏｒ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ， ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ １ ｏｒｄｅｒ ＰＯＤ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １． ５％， ａｎｄ ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ３ ｏｒｄｅｒ ＰＯＤ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ０． ５％， ｔｈｅ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｉｍｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｗｏ ｃａｓｅｓ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ７５％ ｏｆ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ａｎａｌｙｓｉｓ ｕｎｄｅｒ ｓｉｎｅ ａｎｄ ｓｔｅｐ ｌｏａｄｓ； （３） ｆｏｒ ａ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃ ｓｙｓｔｅｍ ｕｎｄｅｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｐｏｉｎｔ ｒａｎｄｏｍ ｌｏａｄｓ， ｉｆ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ６ ｏｒｄｅｒｓ ＰＯＤ ｂａｓｅ ｖｅｃｔｏｒｓ ａｒｅ ｋｅｐｔ ａｆｔｅｒ ｏｒｄｅｒ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｎ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ， ｔｈｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ’ｓ ａｎａｌｙｓｉｓ ｅｒｒｏｒ ｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ０． ５％ ａｎｄ ｉｔｓ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｉｍｅ ｉｓ ｊｕｓｔ ７９％ ｏｆ ｔｈａｔ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｄｙｎａｍｉｃｓ； ｏｒｄｅｒ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ； ｐｒｏｐｅｒ ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＰＯＤ）； ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｏｍａｉｎ； ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ ｒｏｔａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ； ｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ 随着高超声速运载器的发展，大尺度机身和高飞 行动压环境将诱导飞行器产生明显的非线性现象，其 中，几何大变形导致的结构动力学非线性问题是其中 的主要问题之一。 有限元方法是结构动力学方程求解 的主要手段，随着求解对象的日益复杂，直接的结构动 力学方程求解存在较大困难，而模态方法是减少线性 结构动力学方程求解周期的有效手段。 但随着非线性 问题的引入，模态方法难以应用，故需发展一套可用于 非线性结构动力学的快速求解方法，而基于本征正交 分解的动力学降阶方法是当前的研究热点之一。 针对几何大变形下结构动力学响应问题的有限元 求解，研究人员发展了总拉格朗日法（Ｔｏｔａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ， ＴＬ）和更新拉格朗日法（Ｕｐｄａｔｅｄ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ，ＵＬ）等［１］， 但求解形式非常复杂，而协同转动方法（Ｃｏ⁃ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ， ＣＲ） ［２］将结构的几何变形分解为刚体位移和弹性变 形，使问题大大简化。 其在梁、板、壳和实体等单元上 的应用均已被广大科研工作者所验证［３⁃５］，并在气动弹 性等动力学系统中得到了成功的应用［６］。 当前的降阶方法已广泛的应用于流场分析、结构 动力学和气动弹性等领域［７⁃８］。 非线性系统的数值求 解存在较大的难度，而降阶方法是一种增强非线性动 力学系统求解效率的有效方法，相关研究人员在此开 展了大量研究［９⁃１３］。 ＰＯＤ 是一种用于提取离散数据特 征信息的数学方法，该方法从系统的内在特征角度出 发，挖掘其隐藏的信息，剔除冗余部分实现动力学系统 的降阶，因此，ＰＯＤ 方法是一种有效的降阶方法，其在 流场快速分析［１４⁃１５］、布局优化［１６］、气动弹性［１７⁃１８］、图像 处理和数据修补［１９］等领域均有广泛的应用。 早在 １９９０ 年代，Ｃｕｓｕｍａｎｏ 等［２０］将 ＰＯＤ 方法首次应用于结 构动力学问题上，基于试验研究弹性影响振荡器的维 度问题。 Ｋｉｍ 基于频域 ＰＯＤ 方法研究了动力学系统在 单输入［２１］和多输入［２２］条件下的降阶问题，并结合代理 模型分析了机翼的线性动力学行为［２３］，此外还在气动 弹性降阶问题上做了一定的工作［２４］。 后来的 Ｆａｒｈａｔ 等 采用频域 ＰＯＤ 和子空间角插值方法研究了 Ｆ１６ 战斗机 布局的全机气动弹性问题［２５］。 目前的频域 ＰＯＤ 降阶方法主要针对线性系统，而 非线性系统的研究主要从时域角度出发，选取一定的 时间窗口利用原始系统计算得到快照向量，经 ＰＯＤ 处 理得到基向量，并将原始系统经 Ｇａｌｅｒｋｉｎ 映射到 ＰＯＤ 基向量空间进行求解。 Ｗｅｉｃｋｕｍ 等［２６］基于多点降阶方 法研究了结构的瞬态动力学，并将降阶后的方程用于 稳健设计优化。 Ｂａｍｅｒ 等［２７］等基于 ＰＯＤ 和代理模型 手段对非线性系统进行近似分析，利用 ＰＯＤ 方法建立 基向量，对非线性系统进行离线降阶，并采用降阶模型 求解非线性系统，基于代理模型方法在线压缩动力学 系统方程。 Ｃａｌｂｅｒｇ 等［２８］基于时域 ＰＯＤ 方法研究了在 地震波作用下框架系统的线性和非线性瞬态响应。 时 域 ＰＯＤ 降阶的精度严重依赖于时间窗口的选择，若结 构的初始响应不具有代表性，会大大降低动力学响应 结果的分析精度，而频域分析可选定指定频域段的响 应结果作为快照向量，计算量小且精度可靠。 本文针对悬壁板的非线性结构动力学问题，基于 协同转动的几何非线性有限元方法，以刚度增量的方 式将非线性问题转换为线性形式，并使用拉普拉斯变 换建立频域下的结构动力学方程，利用 ＰＯＤ 方法开展 动力学降阶分析，对比降阶分析和全阶计算结果，明确 降阶方法的准确性和计算效率。 １ 计算对象与分析模型 图 １ 给出了三维悬壁板模型，其在力 Ｆ 作用下会 产生变形。 当力 Ｆ 较小时，壁板变形刚度近似为常值， 动力学系统为线性系统；当力 Ｆ 较大时，壁板变形较 大，常值刚度假设不再合适，此时动力学系统表现出一 定的非线性行为。 图 １ 三维壁板模型 Ｆｉｇ． １ Ｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｎｅｌ 计算模型采用如图 １ 所示的悬臂板，板长 ０． ２ ｍ， 宽 ０． ０５ ｍ，厚 ０． ００５ ｍ。 板材料为铝合金，密度 ２ ７００ ｋｇ／ ｍ３，弹性模量 ７２ ＧＰａ。 板一端固支，另一端施加力。 有限元网格模型如图 ２ 所示。 离散网格为三角形单 元，共 １４７ 个节点，２４０ 个单元，每个网格点 ６ 个自由 度，共 ８８２ 个自由度。 图 ２ 三维板单元有限元网格模型 Ｆｉｇ． ２ Ｔｈｅ ＦＥＭ ｍｅｓｈ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ３Ｄ ｐａｎｅｌ 为简化分析，质量矩阵采用集中质量矩阵，忽略转 动项的惯性力，阻尼矩阵采用瑞利阻尼阵，其表达式为 Ｃ ＝ αＭ ＋ βＫ（１） 比例因子 α 和 β 取决于阻尼比和结构固有频率。 为简化计算，阻尼矩阵基于线性系统求解，在非线性求 解过程中，阻尼矩阵假设为常值矩阵。 对于线性系统，结构动力学系统方程可表示为 Ｍｕ ＋ Ｃｕ ＋ Ｋｕ ＝ Ｆ（ｕ ，ｕ，ｕ，ｔ） （２） ４６１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 当动力学系统处于非线性状态时，运动方程可表 示为 Ｍｕ ＋ Ｃｕ ＋ Ｂ（ｕ） ＝ Ｆ（ｕ ，ｕ，ｕ，ｔ） （３） 其中，Ｂ（ｕ）是结构系统所受内力，可近似表示为 Ｂ（ｕ） ＝ Ｂ０＋ ＫＴ（ｕ）Δｕ（４） 本文针对非线性动力学系统，在频域空间建立 ＰＯＤ 基向量，并在 ＰＯＤ 基向量空间求解非线性动力学 系统，实现系统降阶以提升求解效率。 ２ 壁板几何非线性建模 结构的几何非线性问题采用协同转动有限元法求 解，其基本思想为将结构的变形分为刚体运动（包括平 移和转动）和弹性变形两部分，若弹性变形足够小，可 进行线性化处理，大大减小非线性有限元的复杂性和 计算量。 三角形壁板单元对应的坐标系如图 ３ 所示。 图 ３ 协同转动系统 Ｆｉｇ． ３ Ｃｏ⁃ｒｏｔａｔｉｏｎａｌ ｓｙｓｔｅｍ ＣＲ 方法的坐标系统包括全局坐标系｛ｘｉ｝、初始坐 标系｛ ｘ ～ ｉ｝和旋转坐标系｛ｘ ⁃ ｉ｝，其中｛ ｘ ～ ｉ｝和｛ｘ ⁃ ｉ｝的原点 Ｃ０和 ＣＲ均选在单元的质心，坐标轴 ｘ ～ １和 ｘ ⁃ １均平行于 单元的 １⁃２ 边，ｘ ～ ３和 ｘ ⁃ ３垂直于单元平面。 则从局部坐 标系向全局坐标系转换的矩阵为 ＴＴ ０ ＝ ［ｅ０ １ ｅ ０ ２ ｅ ０ ３］ （５） ＴＴ Ｒ ＝ ［ｅＲ １ ｅ Ｒ ２ ｅ Ｒ ３］ （６） 式中， ｅ０ １ ＝ ｘ０ ２１ ｘ０ ２１ ，ｅ０ ３ ＝ ｘ０ ２１ ｘ０ ３１ ｘ０ ２１ ｘ０ ３１ ，ｅ０ ２ ＝ ｅ０ ３ ｅ０ １ ｅＲ １ ＝ ｘＲ ２１ ｘ０ ２１ ，ｅＲ ３ ＝ ｘＲ ２１ ｘＲ ３１ ｘ０ ２１ ｘ０ ３１ ，ｅＲ ２ ＝ ｅＲ ３ ｅＲ １ 在旋转坐标系下，弹性位移 δｐ ⁃ ｄ和内力 ｆ 之间的关 系矩阵称为材料刚度矩阵，可表示为 ｆ ＝ Ｋｐ ⁃ ｄ （７） 式中， ｐ ⁃ ｄ ＝ ｛ｕ ⁃ Ｔ ｄ１ θ ⁃Ｔ ｄ１ ｕ ⁃ Ｔ ｄ２ θ ⁃Ｔ ｄ２ ｕ ⁃ Ｔ ｄ３ θ ⁃Ｔ ｄ３｝ ｆ ＝ ｛ｎ ⁃ Ｔ １ ｍ ⁃ Ｔ １ ｎ ⁃ Ｔ ２ ｍ ⁃ Ｔ ２ ｎ ⁃ Ｔ ３ ｍ ⁃ Ｔ ３｝ 内力相对于总位移向量的刚度矩阵可定义为 δｆ ＝ ｄｅｆ ＫＴδｄ，ＫＴ＝ ∂ｆ ∂ｄ （８） 基于虚功原理，有 δｄＴｆ ＝ δｐ ⁃ Ｔ ｄｆ （９） 假设 δｐ ⁃ ｄ ＝ Λδｄ，故 ｆ ＝ ΛＴｆ，则内力的增量可表 示为 δｆ ＝ δΛＴｆ ＋ ΛＴδｆ（１０） 则 ΛＴδｆ ＝ ΛＴＫδｐ ⁃ ｄ ＝ ΛＴＫΛδｄ ＝ ＫＭδｄ（１１） δΛＴｆ ＝ ＫＧδｄ（１２） 故最终的刚度矩阵 ＫＴ可表示为 ＫＴ＝ ＫＭ＋ ＫＧ（１３） 式中ＫＭ是材料刚度矩阵；ＫＧ为几何刚度矩阵。 ３ 基于 ＰＯＤ 的非线性动力学降阶 ３． １ ＰＯＤ 基本理论 ＰＯＤ 方法的目的是基于动力学系统快照向量，寻 找一组标准正交基 Φ ＝ ｛ϕｉ｝ ｍ ｉ ＝１，使原系统向正交基投 影后误差最小。 假设 Ｕ ＝ ｛ｕｋ｝ ｎ ｋ ＝１是一组预先求解的快照数据，其 中 ｕｋ（ｘ） 表示 ｔｋ时刻的数据，则 ＰＯＤ 投影应满足式 （１４）。 ∑ ｎ ｉ ＝１ ｕｉ－∑ ｍ ｊ ＝１ （ｕｉ，ϕｊ）ϕｊ ２ → ｍｉｎ ΦＴΦ ＝ Ｉ { （１４） 式（１４）的最小值问题等价为原系统在 ＰＯＤ 基上 的投影最大，即 ５６１第 ２１ 期陈兵等 基于频域本征正交分解的几何非线性动力学降阶 ∑ ｎ ｉ ＝１ （ｕｉ，Φ）２→ ｍａｘ（１５） 引入拉格朗日乘子 λ，将上述问题转化为优化问题 Ｊ（Φ） ＝∑ ｎ ｉ ＝１ （ｕｉ，Φ）２－ λ（Φ ２ － １）（１６） 式（１６）的极大值求解问题等价于 （ＵＴＵ － λＩ）ΦＴ＝ ０（１７） 最终的优化问题转化为求特征值问题。 假设矩阵 Ｒ 是 Ｕ 的相关矩阵，其表达式为 Ｒｉｊ＝ １ ｍ （ｕｉ，ｕｊ）（１８） 计算矩阵 Ｒ 的特征值和特征向量，并按特征值从 大到小的顺序排列，得到矩阵 Ｒ 的一组特征值｛λｉ｝ ｍ ｉ ＝１ 及其对应的特征向量｛ψｉ｝ ｍ ｉ ＝１。 第 ｊ 个 ＰＯＤ 基向量是快照数据｛ｕｋ｝ ｎ ｋ ＝１的线性组 合，如下式所示 φｊ＝ １ λｊ∑ ｍ ｉ ＝１ ψｊｉｕｉ（１９） 其中，ψｊｉ表示矩阵 Ｒ 第 ｊ 个特征向量的第 ｉ 个元素 值。 ＰＯＤ 正交基存在一个显著的特点，其特征值呈快 速下降的趋势，前几个正交基向量可表征系统的大部 分特征，一般情况下，可只取前 ｐ 个正交基，则对应的 ＰＯＤ 基包含的广义能量为 Ｅ（ｎ） ＝ ∑ ｐ ｉ ＝１ λｉ ∑ ｍ ｊ ＝１ λｊ （２０） 其中，λ 表示按大小顺序排列的快照相关矩阵的 特征值。 ３． ２ 频域非线性动力学降阶 结构动力学的非线性问题可分解为线性运动与非 线性扰动的叠加。 其中，对于几何非线性问题，其刚度 项是结构变形量的函数，可表示为 Ｋ（ｕ） ＝ Ｋ０＋ ΔＫ（ｕ）（２１） 其中，Ｋ０是线性刚度矩阵，ΔＫ（ｕ）是由几何大变 形而产生的刚度增量。 当几何变形量在一定的范围内时，附加刚度项为 ０，此时结构动力学处于线性阶段，结构动力学问题可 转换到频域下进行，相对于一般的时域求解问题，频域 下的结构动力学可关注指定频域段的动力学行为，而 忽略对动力学行为影响较小的高频段，减少 ＰＯＤ 快照 向量的数量，结果更加具有说服力，避免了时域下快照 向量分析时间窗口选择的盲目性。 当几何变形量超过 一定范围后，结构动力学进入非线性阶段，附加刚度是 结构变形量的函数，需采用一定的手段实现频域下的 动力学分析。 ３． ２． １ 频域下的 ＰＯＤ 降阶 对时域结构动力学方程进行频域转换可得 Ｕ（ω） ＝ （ｉＣω － ω２Ｍ ＋ Ｋ） －１Ｆ（ω） （２２） 在指定的频域下选择一系列频率样本点（频率增 量为固定值 Δω），进行频域动力学分析得到一系列响 应值 Ｕｉ，将快照向量 Ｕｉ组合得到快照向量集合 Ｕ ＝ ［Ｕ １ Ｕ２］，形成修正矩阵 Ｒ ＝ ＳＴＳ（２３） 式中，Ｓ ＝ ［Ｒｅ（Ｕ）Ｉｍ（Ｕ）］。 对修正矩阵 Ｒ 进行分 析，得到特征值和对应的特征向量，其中特征值按从大 到小的顺序排列，即 ＲΨ ＝ ΨΛ，由特征值和特征向量可 形成 ＰＯＤ 基向量 Φ ＝ ＳΨΛ－ １ ２ （２４） 保留前 ｒ 阶 ＰＯＤ 基向量，可得截断的 ＰＯＤ 基 Φｒ， 该基向量可用于线性的时域和频域分析。 计算结果通 过 Ｇａｌｅｒｋｉｎ 映射可将求解空间转换到降阶的 ＰＯＤ 空间 进行分析，求解完成后，通过计算结果与截断 ＰＯＤ 模态 的线性组合，可得到时域下的结构位移为 ｕ（ｔｊ） ≈∑ ｒ ｉ ＝１ φｉｐｉ（ｔｊ）（２５） ３． ２． ２ 非线性问题处理 针对结构动力学中的非线性问题，其处理包括线 性部分求解和非线性扰动的处理。 运动方程可表示为 Ｍｕ ＋ Ｃｕ ＋ （Ｋ０＋ ΔＫ（ｕ））ｕ ＝ Ｆ（２６） 对于线性部分求解，假设非线性刚度项为 ０，此时 结构动力学方程求解与一般的求解方法一致，采用无 条件稳定的 Ｎｅｗｍａｒｋ⁃β 法求解微分方程。 对于非线性 部分求解，将非线性刚度引起的内力项移至方程右端， 形成广义外力，再按线性方法求解，如式（２７）所示。 Ｍｕ ＋ Ｃｕ ＋ Ｋ０ｕ ＝ Ｆ － ΔＫ（ｕ）ｕ（２７） 附加刚度引起的内力作为广义外力项处理，可减 少动力学系统求解过程中的求逆次数，非线性结构动 力学求解过程如图 ４ 所示。 非线性动力学计算过程中方程每迭代一步刚度矩 阵更新一次，并将非线性刚度与线性刚度的差值（附加 刚度）与结构变形量的乘积作为广义内力，外力项减去 广义内力形成广义外力，可基于 Ｎｅｗｍａｒｋ⁃β 法并结合 Ｎｅｗｔｏｎ⁃Ｒａｐｈｓｏｎ 方法求解该动力学方程。 频域降阶方法将非线性动力学方程映射到 ＰＯＤ 空 间下求解，减少了方程的求解维度，实现非线性结构动 力学降阶，求解完成后再将计算结果映射到原始空间， 可得到最终的非线性结构动力学方程的计算结果。 ４ 计算结果与讨论 ４． １ 基于质量⁃弹簧⁃阻尼系统的算例验证 ２０ 自由度的质量⁃弹簧⁃阻尼器的动力学系统如图 ６６１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 ５ 所示。 图 ４ 非线性降阶求解流程 Ｆｉｇ． ４ Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｒｄｅｒ 图 ５ 质量⁃弹簧⁃阻尼器系统 Ｆｉｇ． ５ Ｍａｓｓ⁃ｓｐｒｉｎｇ⁃ｄａｍｐｅｒ ｓｙｓｔｅｍ 假设力 ｆ（ｔ）施加在第 ２０ 个质量块上，质量、弹簧 和阻尼均为均匀分布，则弹簧系统的结构动力学方 程为 Ｍｕ ＋ Ｃｕ ＋ Ｋｕ ＝ Ｆ（２８） 其中， Ｍ ＝ ｍ １ １ １ ， Ｃ ＝ ｃ １－ １ － １２－ １ － １１ ， Ｋ ＝ ｋ １－ １ － １２－ １ － １１ 假设 ｍ ＝１． ０，ｃ ＝０． ６ 和 ｋ ＝１． ０。 施加载荷为阶跃 输入，采样频率范围为 ０ ～ ４ ｒａｄ／ ｓ，采样点 ４０ 个，各采 样点均匀分布。 基于频域动力学方程求解，每个快照 包含实部和虚部两部分，共产生 ８０ 个 ＰＯＤ 模态。 降阶动力学系统分别保留 ２、４、６ 和 ８ 阶基向量， 计算结果与全阶系统的频域响应结果对比如图 ６ 所示。 对于 ２０ 自由度的线性质量⁃弹簧⁃阻尼系统，在频 域下采用 ＰＯＤ 降阶时，保留 ８ 阶 ＰＯＤ 基向量的求解结 果与全阶分析结果基本一致，且相对于原始系统 ８０ 个 特征模态，ＰＯＤ基向量仅保留其中１ ／ １０就可完全复现 图 ６ 系统频域响应（第 １２ 个质量块） Ｆｉｇ． ６ Ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ｓｙｓｔｅｍ （ｔｈｅ １２ｔｈ ｍａｓｓ） 原始系统的动力学行为。 随着 ＰＯＤ 基向量的减少（８ 阶至 ２ 阶），求解结果 相比于全阶分析结果误差不断增大，但动力学行为基 本保持一致。 因此频域 ＰＯＤ 降阶分析相对于原始动力 学系统具有较高的精度，但要保证 ＰＯＤ 降阶分析的精 度，必须保留一定数量的 ＰＯＤ 基向量。 ４． ２ 三维悬臂板非线性结构动力学降阶分析 基于有限元的模态分析可得悬壁板的前四阶固有 振型如图 ７ 所示。 （ａ） 一阶振型 （ｂ） 二阶振型 （ｃ） 三阶振型 （ｄ） 四阶振型 图 ７ 壁板模态振型 Ｆｉｇ． ７ Ｔｈｅ ｍｏｄｅｌ ｏｆ ｔｈｅ ｐａｎｅｌ 基于动力学求解可知，壁板系统的一阶 ～ 四阶固 有频率分别为 ３． ３ Ｈｚ、２０． ８ Ｈｚ、２５． ８ Ｈｚ 和 ３２． ６ Ｈｚ。 基于前两阶固有频率，假设结构阻尼比均为 ０． ０１，求解 可得瑞利阻尼的比例因子 α 和 β 分别为 ０． ０５７ 和 ０． ００８ ３。 基于协同转动方法建立壁板非线性刚度矩阵，当 壁板在 １０ Ｎ、５０ Ｎ、１００ Ｎ、２００ Ｎ、３００ Ｎ、４００ Ｎ、６００ Ｎ、 １ ０００ Ｎ 和 １ ５００ Ｎ 的静力作用下，壁板的变形如图 ８ 所示。 在不同静力作用下，壁板的最大变形量如图 ９ 所示。 通过位移和受力的比例关系分析可知，在 ４００ Ｎ 以下时，位移的增长因子与受力完全一致，因此壁板表 现为线性特性；在 ６００ Ｎ 以上时，位移的增长与受力呈 不同的比例，此时结构系统表现为非线性，且在非线性 刚度的影响下，位移的增长小于静力的增长。 结构动力学在频域下的求解方程为 ７６１第 ２１ 期陈兵等 基于频域本征正交分解的几何非线性动力学降阶 图 ８ 静力分析结果云图 Ｆｉｇ． ８ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｔａｔｉｃ ｆｏｒｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ 图 ９ 静力分析结果 Ｆｉｇ． ９ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｓｔａｔｉｃ ｆｏｒｃｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｕ（ω） ＝ （ － ω２Ｍ ＋ Ｋ ＋ ωｊＣ）Ｆ（ω）（２９） 考虑到壁板的固有振动特性，频率采样范围覆盖 前三阶固有振动频率，取为［０． １，３０］，每隔 ０． １ Ｈｚ 采 样一次，共 ３００ 个快照向量，采样时将频率换算为圆频 率，并代入式（２９）进行求解。 为研究频域 ＰＯＤ 方法的适用性，考虑壁板在持续 外力作用和外力消失后的自由振动两类典型情形，为 简化计算，对应壁板作用力形式分别为正弦载荷和阶 跃载荷。 引入误差值判断降阶系统的求解精度，误差 函数定义为 ｅｒｒ ＝ １ Ｎ∑ Ｎ ｉ ＝１ ｘｆ，ｉ－ ｘＰＯＤ，ｉ ｘｆ，ｉ （３０） 式中Ｎ 表示求解过程中的时间节点总数；ｘｆ，ｉ表示在时 间点 ｉ 处的全阶分析结果；ｘＰＯＤ，ｉ表示降阶系统在 ｉ 时间 点处的分析结果。 为研究非线性系统的降阶问题，必须保证非线性 方法在线性段所分析得到的结果与线性方法分析所得 结果一致，这是非线性降阶适用于非线性动力学系统 的基本要求。 因此本节首先研究频域 ＰＯＤ 在线性结构 动力学问题上的应用情况，其次研究非线性动力学 行为。 ４． ２． １ 壁板线性动力学分析 当壁板受力较小时，其动力学行为表现为线性特 性，基于静力分析结果，可取 Ｆ０＝３００ Ｎ，利用非线性求 解方法研究壁板在线性段的动力学频域降阶问题。 ① 正弦载荷 壁板在正弦振荡载荷 Ｆ ＝ Ｆ０ｓｉｎ（２πｔ）作用下，以悬 臂板自由端的中点作为监视点，基于频域 ＰＯＤ 降阶分 析和全阶壁板振动特性分析的对比结果如图 １０ 所示。 （ａ） 位移时程图 （ｂ） 速度时程图 （ｃ） 振动相位图 图 １０ 壁板振动特性 Ｆｉｇ． １０ Ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｐａｎｅｌ’ｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ 频域快照向量相关矩阵的前三阶特征值分别为 ４． ７２，４． ８ １０ －５和 ６． ３ １０－１１，一阶 ＰＯＤ 基向量几乎 包含了所有的广义能量。 ＰＯＤ 降阶系统相对于全阶系 统的误差和计算时间如表 １ 所示。 表 １ 全阶系统与降阶系统结果对比 Ｔａｂ． １ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ’ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ 误差／ ％计算时间／ ｓ 全阶系统０３． ６ １ 阶 ＰＯＤ０． ２１． ６ ３ 阶 ＰＯＤ０． ０６２． ２ ６ 阶 ＰＯＤ０． ０５２． ７ 全阶系统和 １／３／６ 阶 ＰＯＤ 降阶系统对比结果表 明，频域 ＰＯＤ 降阶方法对持续外力作用情形下的线性 动力学系统具有较好的适用性，计算结果基本一致。 相对于全阶系统，ＰＯＤ 降阶系统可减少近一半的求解 时间。 由于悬壁板的有限元单元之间相互依赖性强， 结构动力学方程信息冗余度大，基于频域 ＰＯＤ 降阶分 ８６１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 析，仅需保留一阶 ＰＯＤ 基向量即可较好的复现结构动 力学系统特征。 ② 阶跃载荷 假设壁板受阶跃力作用，阶跃力形式如式（３１） 所示 Ｆ ＝ Ｆ０ｔ ≤ ｔ０ ０ｔ ＞ ｔ０ { （３１） 积分时间步长取 ０． ０１ ｓ，在起始状态下（ｔ ＜ ０． ０５ ｓ）施加载荷 Ｆ０，之后壁板处于自由振动状态，以悬臂板 自由端中点为监视点，基于频域 ＰＯＤ 降阶和全阶的壁 板振动特性分析与对比如图 １１ 所示。 （ａ） 位移时程图 （ｂ） 速度时程图 图 １１ 壁板振动特性 Ｆｉｇ． １１ Ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｐａｎｅｌ’ｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ 在阶跃载荷作用下，全阶系统与降阶系统的误差 和计算时间对比如表 ２ 所示。 表 ２ 全阶系统与降阶系统结果对比 Ｔａｂ． ２ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ’ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ 误差／ ％计算时间／ ｓ 全阶０１． ８ １ 阶 ＰＯＤ０． ９０． ７ ３ 阶 ＰＯＤ０． ３１． １ ６ 阶 ＰＯＤ０． ０７１． ３ 由分析结果可知，对于线性结构系统的自由振动 情形，频域 ＰＯＤ 降阶分析方法同样适用，虽然一阶 ＰＯＤ 降阶具有一定的误差，但误差较小（仅为 ０． ９％）， 且能够减少一半以上的求解时间，而三阶和六阶 ＰＯＤ 降阶分析结果与全阶分析结果几乎完全一致，求解时 间分别为全阶系统的 ６１％和 ７２％。 由正弦载荷和阶跃载荷作用下的线性结构动力学 降阶分析结果可知，非线性降阶方法在线性段具有极 高的分析精度，基于 ＰＯＤ 的降阶方法可大幅减小动力 学系统的阶数，甚至只需保留一阶基向量即可复现全 阶系统的动力学行为。 ４． ２． ２ 壁板非线性动力学分析 在壁板自由端施加正弦载荷和阶跃载荷，为更加 明显的区别于线性假设分析结果，取 Ｆ０＝ ２ ０００ Ｎ，此 时壁板在大变形状态下处于几何非线性状态，针对壁 板的几何大变形问题，采用协同转动方法更新刚度矩 阵。 频域采样与线性分析一致，采用正弦信号和阶跃 信号激励壁板的振动。 ① 正弦载荷 以壁板自由端中点作为监视点，正弦载荷作用下 的壁板振动特性如图 １２ 所示。 （ａ） 位移时程图 （ｂ） 速度时程图 （ｃ） 振动相位图 图 １２ 壁板振动特性 Ｆｉｇ． １２ Ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｐａｎｅｌ’ｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ 相对于线性系统，结构动力学的非线性求解采用 Ｎｅｗｍａｒｋ⁃β 方法，每个迭代步更新一次刚度，相对于线 性系统，求解时间大大增加。 在正弦载荷作用下，以非 线性分析结果为基准，线性假设和降阶系统的结构动 力学求解误差和计算时间如表 ３ 所示。 表 ３ 全阶系统与降阶系统结果对比 Ｔａｂ． ３ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ’ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ 误差／ ％计算时间／ ｓ 线性全阶６． ２３． ６ 非线性全阶０１６． ８ １ 阶 ＰＯＤ０． ６１２． ４ ３ 阶 ＰＯＤ０． ０８１４． ２ ９６１第 ２１ 期陈兵等 基于频域本征正交分解的几何非线性动力学降阶 由对比结果可知，非线性系统由于附加刚度的作 用导致壁板振幅小于线性系统，对于连续外载荷作用 下的结构动力学系统，结构振动频率由外载荷决定，故 线性和非线性系统振动频率一致。 但由于线性系统未 考虑附加刚度问题，导致最终的求解结果误差较大（误 差为 ６． ２％）。 基于频域 ＰＯＤ 降阶的非线性系统分析 结果与全阶系统基本一致，较小的误差说明在连续外 载荷作用下该方法适用于结构的几何非线性问题。 ② 阶跃载荷 以壁板自由端中点作为监视点，正弦载荷作用下 的壁板振动特性如图 １３ 所示。 （ａ） 位移时程图 （ｂ） 速度时程图 图 １３ 壁板振动特性 Ｆｉｇ． １３ Ｔｈｅ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｏｆ ｐａｎｅｌ’ｓ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ 阶跃载荷作用下，以全阶非线性结构动力学分析 结果为基准，线性结果和降阶结果的误差和计算时间 如表 ４ 所示。 表 ４ 全阶系统与降阶系统结果对比 Ｔａｂ． ４ Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ’ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅｄ ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍ 误差／ ％计算时间／ ｓ 线性１３． ４１． ８ 非线性０１１． ６ １ 阶 ＰＯＤ１． ２７． ６ ３ 阶 ＰＯＤ０． ５８． ７ 对于无外力的结构自由振动情形，由于非线性系 统产生附加刚度，减小了系统的固有频率，故在阶跃载 荷作用下，非线性系统的振幅和振动周期均小于线性 系统。 大载荷作用下，基于线性假设的求解结果误差 高达 １３． ４％，结果难以满足要求，而一阶和三阶 ＰＯＤ 降阶系统均与全阶非线性系统的计算结果一致，误差 分别为 １． ２％ 和 ０． ５％，精度较高，且求解时间仅为全 阶系统的 ６５． ５％和 ７５％，求解效率具有较大提升。 因 此，基于频域 ＰＯＤ 的结构非线性动力学降阶方法适用 于结构自由振动情形下的非线性结构动力学特性 分析。 ４． ２． ３ 随机激励下的非线性动力学分析 重点研究多点随机激励下的动力学行为和降阶精 度问题研究。 假设有 ５ 个激励点和 １ 个监测点，其分 布如图 １４ 所示。 图 １４ 激励点和监测点分布 Ｆｉｇ．１４ Ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ｐｏｉｎｔｓ ａｎｄ ｍｏｎｉｔｏｒｉｎｇ ｐｏｉｎｔｓ 假设各点的随机激励力服从高斯白噪声分布。 激 励点 １ ～ ５ 的噪声强度分别为 ３３ ｄＢＷ，３８ ｄＢＷ，４３ ｄＢＷ，４８ ｄｂＷ 和 ５３ ｄＢＷ。 基于全阶和降阶分析，结果如图 １５ 所示。 （ａ） 位移⁃时间曲线 （ｂ） 速度⁃时间曲线 （ｃ） 加速度⁃时间曲线 图 １５ 多点随机激励下的振动特性 Ｆｉｇ．１５ Ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｎｔｉｌｅｖｅｒ ｐｌａｔｅ ｕｎｄｅｒ ｍｕｌｔｉ⁃ｐｏｉｎｔ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ ０７１振 动 与 冲 击 ２０２０ 年第 ３９ 卷 结果表明悬臂板的最大位移可达 ７０ ｍｍ，处于几 何非线性状态。 随着保留的 ＰＯＤ 基向量的增加，降阶 系统与全阶系统的结果更加吻合。 对于不同的降阶系 统，当保留的基向量不同时，其误差和分析时间如表 ５ 所示。 表 ５ 全阶和降阶系统的误差和求解时间 Ｔａｂ． ５ Ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ａｎｄ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｉｍｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｆｕｌｌ ｏｒｄｅｒ ａｎｄ ｒｅｄｕｃｅｄ⁃ｏｒｄｅｒ ｓｙｓｔｅｍｓ 误差／ ％计算时间