基于无参数经验小波变换的风电齿轮箱故障特征提取_丁显.pdf

振 动 与 冲 击 第 39 卷第 8 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol.39 No. 8 2020 基金项目 国家自然科学基金51775186;鲁能集团有限公司科技项目 528060170002 收稿日期 2018 -11 -21 修改稿收到日期 2019 -04 -27 第一作者 丁显 男,博士,高级工程师,1983 年生 通信作者 滕伟 男,博士,副教授,1981 年生 基于无参数经验小波变换的风电齿轮箱故障特征提取 丁 显1, 徐 进1, 滕 伟2, 王 伟2 1. 鲁能集团有限公司,北京 100020; 2. 华北电力大学 电站能量传递转化与系统教育部重点实验室,北京 102206 摘 要风电机组通常以集群规模化运行,机组结构复杂、振动测点多,所产生的振动数据量大,仅靠人工进行故 障诊断具有较大挑战。 提出基于无参数经验小波变换的风电齿轮箱故障特征提取方法,运用尺度空间方法和经验法则对 振动信号的傅里叶谱进行自动分割,获得不同的滤波频带,据此设计一系列经验小波滤波器对信号进行分解和重构,获得 不同频带下的经验模式,进一步采用裕度因子对分解后的经验模式进行排序,选取裕度因子最大的经验模式作为故障敏 感模式;该方法能在无需预设任何参数的情况下对振动信号进行分解与故障特征提取,具有自适应性。 风电试验台和实 测风电齿轮箱故障案例验证了方法的有效性。 关键词 无参数;经验小波变换;裕度因子;自适应;故障特征提取 中图分类号 TP183 文献标志码 ADOI10. 13465/ j. cnki. jvs. 2020. 08. 014 Fault feature extraction of a wind turbine gearbox using adaptive parameterless empirical wavelet trans DING Xian1, XU Jin1, TENG Wei2, WANG Wei2 1. Luneng Group Co. , Ltd. , Beijing 100020, China; 2. Key Laboratory of Power Station Energy Transfer Conversion and System, Ministry of Education, North China Electric Power University, Beijing 102206, China Abstract Wind turbines operate as an equipment cluster, bringing massive vibration signals due to their complex structures and multiply vibration measures. Only analysing the vibration signals to detect fault by human is challenging. In this paper, a fault feature extraction for wind turbine gearboxes was proposed on the basis of the parameterless empirical wavelet trans. The scale space and empirical law were utilized to automatically split the Fourier spectrum of the vibration signal, and different frequency bands were obtained. A series of empirical wavelet filters were designed based on the split frequency bands to decompose the signal into multiply empirical modes. The metric of margin factor was adopted to sort the empirical modes, and the empirical mode with maximum margin factor was recognized as the most sensitive one to fault. The proposed is adaptive without any presented parameters. The fault signals from an experimental plat and a real wind turbine gearbox verified the proposed . Key words parameterless; empirical wavelet trans; margin factor; adaptive; fault feature extraction 风能具有清洁、可再生及低成本等优点,风力发电 作为新能源的支柱产业近年来发展迅猛[1]。 风电机组 由叶片吸收风能并将其转化为叶轮旋转的机械能,进 一步通过增速齿轮箱将叶轮的低转速进行升速进而驱 动发电机产生电能。 风电齿轮箱由多级齿轮传动系统 及支撑轴承组成,是进行动力传递与速度转换的重要 部件,与此同时,它还承受来自随机风冲击与电网波动 的双重载荷,导致其成为风电机组中容易失效的关键 部件。 另一方面,风电齿轮箱造价昂贵,更换与维修过 程复杂,成本较高,开展风电齿轮箱的振动监测与故障 诊断对于降低风电场运行维护成本,避免重大经济损 失具有积极意义。 在机械系统的故障诊断中,包络解调是提取齿轮 或轴承故障特征的有效方法,然而需要人工选择调制 频带是该方法的主要缺点。 随着先进信号处理方法的 发展,短时傅里叶变换[2]、小波分析[3]、循环平稳[4]、谱 峭度[5]、最小熵解卷积[6]等方法被广泛应用于强噪声 背景下齿轮与轴承的故障显现,并取得较好的分析效 ChaoXing 果。 然而,风电机组通常以集群化模式运行,齿轮箱振 动测点较多、数据量大,亟需自适应的故障特征提取方 法以实现精确的故障定位及自动化的故障诊断。 上述 方法在自适应解调故障信息时存在局限,如小波基函 数的选择难以匹配不同的故障信号特点,谱峭度的频 带划分是等间隔的。 经验模式分解、集总经验模式分解等能够将振动 信号自适应分解,在旋转机械的故障分析中取得了一 定的效果[7 -8]。 然而该方法缺乏完备的滤波理论基 础,所分解的信号不具有明确的物理意义,并且存在模 态混叠的问题。 为解决上述问题,Gilles[9]提出了经验 小波变换Empirical Wavelet Trans,EWT,其思想 是通过对信号的傅里叶谱进行划分,构造一系列正交 小波滤波器组将信号分解为若干经验模式,然后对分 解的经验模式进行 Hilbert 变换,得到具有物理意义的 瞬时频率和瞬时幅值。 近年来,EWT 在机械设备的故 障诊断领域得到应用[10]。 针对傅里叶谱的划分,Gilles 提出基于极大值方法确定需要划分的频带个数,采用 相邻极大值之间的中值作为滤波器的边界,但是该方 法需人为预设频带个数,缺乏自适应性。 随后,基于尺 度空间的傅里叶谱划分方法获得关注,它从傅里叶谱 中的局部极小值点发展出一系列的尺度曲线,并根据 经验法则确定尺度曲线的阈值,超过阈值的尺度曲线 所对应的局部极小值点作为滤波器的边界。 经验法则 的引入使得基于尺度空间的傅里叶谱分割能够根据信 号特点自适应确定滤波器个数和分割边界位置,做到 信号的自适应、无参数化分解。 本文论述基于尺度空间的傅里叶谱分割方法,针 对分割后的傅里叶谱边界设计用于经验小波变换的带 通滤波器组,并应用该方法将风电齿轮箱故障信号分 解为一系列经验模式,进一步,提出采用裕度因子作为 分解后经验模式的筛选指标,获得反映故障特征的准 确经验模式。 本文方法能够根据风电齿轮箱的振动特 点分解振动信号,并自动选择故障敏感的频带,具有较 好的自适应性和智能性。 实际风电齿轮箱振动分析证 明了该方法的有效性。 1 基于尺度空间的傅里叶谱分割 经验小波变换中,带通滤波器的数目和滤波器的 边界是准确分解信号、提取故障特征的关键。 文献 [11]提出了一种基于尺度空间的傅里叶谱边界划分方 法,能够快速寻找到傅里叶谱中有意义的模式,具有无 参数化和自适应性。 对于离散函数 fm,其离散尺度空间表示 Lm, s如式1所示 Lm,s ∑ n ∞ n -∞ fm - ngn;s1 式中 s 为 尺 度 参 数; 核 函 数 g n; s 1/ 2πs e - n2/ 2s。 工程实际中,常使用截断获得有限脉冲响应滤波 器,则离散尺度空间 Lm,s如式2所示 Lm,s ∑ n P n -Pfm - ngn;s 2 式中, P 必须足够大,以使其逼近误差足够小,通常取 P Cs 1,3 C T 时,生成曲线 Ci所对应的局部极小值点就为尺 度空间中有意义模式的边界点,同时也是傅里叶谱分 割的边界点。 因此,寻找有意义的模式相当于确定阈值 T,使得 长度大于 T 的尺度空间曲线为傅里叶谱的分割曲线。 本文采用经验法则[12]方法确定阈值 T 设尺度空间中曲线 Ci的长度 Li出现的累计概率 分布函数,如图 1 所示。 图 1 尺度空间曲线长度的概率分布 Fig. 1 Probability distribution function of scale curves 其横坐标为尺度曲线的长度,其最大值 Lmax maxLi。 纵坐标为各曲线长度 Li s 的概率 PLis N0[Lis]/ N0,其中 N0[Li s]表示 Li T,则点 ωi便为其傅里叶谱分 割的边界点,如此可以找到傅里叶谱分割的所有边界 点ωnn 1, 2, , N -1,将傅里叶谱分割为连续的 N 个频带,其中 N0≥N。 上述的边界点 ωn成为经验小 波变换中滤波器设计的依据,如图 2 所示。 2τn为第 n 个滤波器上升沿的过渡段,同时也是第 n -1 个滤波器 下降沿的过渡段。 [ωn -1, ωn]为第 n - 1 个滤波器的 有效滤波频带。 图 2 傅里叶谱分割中参数定义 Fig. 2 Definition of parameters in Fourier spectral segmentation 2 经验小波变换 2. 1 经验尺度函数和经验小波函数 确定傅里叶谱中的分割频率和滤波频带之后,根 据 Littlewood-Paley 和 Meyer[13]小波的构建方式构建经 验尺度函数φ 1 和经验小波函数ψ n,如式5和式6 所示 φ 1ω 1, 当ω≤ 1 - γωn; cos π 2 β 1 2γωn ω- 1 - γωn[], 当1 - γωn≤ ω≤ 1 γωn; 0, 其他 5 ψ nω 1, 当1 γωn≤ ω≤ 1 - γωn1; cos π 2 β 1 2γωn1 ω- 1 - γωn1[], 当1 - γωn1≤ ω≤ 1 γωn1; sin π 2 β 1 2γωn ω- 1 - γωn[], 当1 - γωn≤ ω≤ 1 γωn; 0, 其他 6 很明显,经验尺度函数φ 1 对应图 2 中的低通滤波 器,经验小波函数ψ nn 2,,N对应图2 中的带通滤 波器。 上式中,ωn为第 n -1 个和第 n 个滤波器的分界 点,γ 为过渡带系数,应满足 γ minn ωn 1- ωn ωn 1 ωn , 0 γ 1 及 τn γωn。 βx为示性函数,通常定义为 βx 0, 当 x ≤ 0; x435 - 84x 70 x2- 20 x3, 当 x ∈ [0,1]; 1, 当 x ≥ 1 7 集合{φ1t,{ψnt} N n 2}为经验小波的紧框架结构。 2. 2 经验小波变换 与传统的小波变换相似,经验尺度函数的逼近系 数 Wε f1,t和经验小波函数的细节系数 W ε fn,t可计 算为 Wε f1,t∫fτφ1τ - tdτ f ωφ 1ω ˇ 8 Wε fn,t∫fτψnτ- tdτ f ωψ nω ˇ 9 根据上述系数,信号可以被重构为 ft Wε f1,t∗ φ 1t ∑ N n 2 Wε fn,t∗ ψ nt W ε f1,ωφ 1ω ∑ N n 2 W ε fn,ωψ nω ˇ 10 分解得到的逼近系数和细节系数经重构后可得经 验模式 fkt为 f1t Wε f1,t∗ φ 1t 11 fkt Wε fk,t∗ ψ kt 12 式中 ∗为卷积运算; 为复共轭运算; ˇ为傅里叶逆变 换; Wε f1,ω, W ε fn,ω分别为逼近系数 W ε f1,t和 细节系数 Wε fn,t的傅里叶变换。 可以看出,基于尺度空间的傅里叶谱分割能够自 适应的确定滤波器边界,进一步构建经验尺度函数和 经验小波函数之后,可以将振动信号予以分解,获得多 个经验模式,此种方法称为无参数经验小波变换。 3 风电齿轮箱故障特征提取 3. 1 风电传动试验台数据分析 风电传动试验台如图 3 所示。 它由驱动电机、定 轴齿轮箱、行星齿轮箱和负载装置组成,可以模拟各种 齿轮故障下的振动状态。 图 3 风电传动试验台 Fig. 3 Transmission plat of wind turbine 101第 8 期 丁显等 基于无参数经验小波变换的风电齿轮箱故障特征提取 ChaoXing 试验时,驱动电机作为输入端,驱动定轴齿轮传 动,进而带动行星齿轮箱,将动力传递给负载装置。 定轴齿轮箱为二级传动,从输入端到输出端各级齿 轮齿数为29,100,36,90。 测试时,驱动电机的设 定转动频率为 25 Hz,由于驱动电机为异步电机,其 实际转动频率约为 24. 14 Hz,采用加速度振动传感 器安装于定轴齿轮箱的壳体进行数据采集,信号采 样频率 8 192 Hz。 试验台实测振动波形如图 4 所示。 图 4 振动信号时域波形 Fig. 4 Time-domain wave of vibration signal 通过图 4 的时域波形可以发现,其振动信号中已 经存在较为明显的冲击,但由于受噪声干扰,冲击周期 并不均匀,难以确定对应的故障特征频率。 应用基于尺度空间的方法对图 4 中振动信号的傅 里叶谱进行分割,分割结果如图 5 所示。 图 5 傅里叶谱分割结果 Fig. 5 Result of fourier spectrum segmentation 图 5 中,傅里叶谱频率成分复杂,包含有多种低频 振动和高频噪声。 在不需要预置参数的情况下,傅里 叶谱被自动的划分为连续的 31 个频带,根据无参数经 验小波变换的思路,构建滤波器组之后,将上述振动信 号分解为31 个经验模式,其前10 个经验模式如图6 所 示。 从图 6 可知,经验模式 5 出现非常规律的冲击成 分,表明定轴齿轮箱中某齿轮存在故障。 从分解后的经验模式中寻找隐含故障的经验模式 仍然需要人工经验,缺乏智能性。 因此,考虑到裕度因 子对冲击性故障比较敏感,故采用如式13所示的裕 度因子作为指标筛选分解的经验模式 图 6 前 10 个经验模式 Fig. 6 The first ten empirical modes MF xmax 1 N ∑ N i 1 xi 2 13 式中 xi为振动序列中的单一数据值; xmax为振动序列 中的最大值。 对上述 31 个模式分量按裕度因子的大 小排序,裕度因子最大的 5 个经验模式,如图 7 所示。 图 7 裕度因子最大的前五个分量 Fig. 7 The first five empirical modes with the largest margin factor 从图 7 可知,裕度因子最大的经验模式对应着图 6 中的第 5 个经验模式,采用裕度因子排序的方法能够 自动探寻到对故障最敏感的经验模式。 进一步,将该 经验模式进行频谱分析和包络分析,结果如图 8 所示。 从图 8 可知,其傅里叶谱具有较好的频率聚集性,说明 故障频率在该频带内具有明显的调制规律;在其包络 谱中,7 Hz 及其高次谐波成分明显,说明中间轴上的齿 轮存在故障24. 14 29/100 7 Hz。 201振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 8 裕度因子最大的经验模式对应的傅里叶谱和包络谱 Fig. 8 Fourier spectrum and envelope spectrum of the empirical mode with maximum margin factor 对定轴齿轮箱开盖检验,发现中间轴上小齿轮缺 齿,如图 9 所示。 从图 9 可知,在中间轴每转动一周, 会产生明显的振动冲击,转动频率为 7 Hz,缺齿故障验 证了本文方法的有效性。 图 9 定轴齿轮箱缺齿故障 Fig. 9 Missing gear of the intermediate shaft in fixed-shaft gearbox 3. 2 故障风电齿轮箱振动分析 某 2. 0 MW 风电齿轮箱运行过程中出现故障,该 齿轮箱由一级行星轮结合二级定轴齿轮组成,现场运 行人员开展振动测试,采样频率为 25 600 Hz,测试时, 齿轮箱高速轴的转动速度为 1 416 r/ min。 齿轮箱的各 级齿数如表 1 所示。 由高速轴的转速和各级齿数算得 的各轴转动频率如表 2 所示。 表 1 风电齿轮箱各级齿数 Tab. 1 The numbers of teeth of multiple gears in wind turbine gearbox 参数数值 行星轮35 太阳轮17 齿圈87 太阳轴大齿轮101 中间轴小齿轮24 中间轴大齿轮82 高速轴齿轮21 表 2 风电齿轮箱各轴转动频率 Tab. 2 Shaft rotational frequenciesHz 参数数值 行星架0. 234 太阳轴1. 430 中间轴6. 040 高速轴23. 600 测试时,采集 3 s 的振动信号,如图 10 所示,图中 振幅约为 20 m/ s2,信号呈现较强的随机性,并没有明 显的故障表征。 运用第“1”节中的基于尺度空间的傅 里叶谱分割方法对图 10 中振动信号的傅里叶谱进行 自动分割,结果如图 11 所示。 傅里叶谱被不均匀地分 割为 59 份,经过经验小波变换和信号重构,可获得 59 个经验模式。 应用式13的裕度因子指标对分解后的 经验模式进行排序,裕度因子最大的前五个经验模式 如图 12 所示。 可见,裕度因子最大的经验模式中呈现 非常明显的周期性冲击,对应着齿轮箱中的某个部件 故障。 图 10 齿轮箱振动信号 Fig. 10 Vibration signal of the wind turbine gearbox 进一步,将裕度因子最大的经验模式进行傅里叶 变换,其傅里叶谱如图 13 所示。 对应着图 11 所分割 的第二个频带,故障冲击成分即隐藏在该频带中,其包 络谱图见图 13,该图中出现规律的 6 Hz 及其倍频成 分,对应着表 2 中中间轴的转动频率,预示着中间轴上 的齿轮出现故障。 图 11 傅里叶谱分割结果 Fig. 11 Result of Fourier spectrum segmentation 301第 8 期 丁显等 基于无参数经验小波变换的风电齿轮箱故障特征提取 ChaoXing 图 12 裕度因子最大的前五个分量 Fig. 12 The first five empirical modes with the largest margin factor 图 13 裕度因子最大的经验模式对应的傅里叶谱和包络谱 Fig. 13 Fourier spectrum and envelope spectrum of the empirical mode with maximum margin factor 打开该齿轮箱进行检查,发现中间轴小齿轮存在 断齿故障,如图 14 所示。 验证了上述诊断结论,同时 表明本文提出的无参经验小波变换结合裕度因子的方 法能够在无需人工干扰情况下自适应地识别出齿轮的 故障频率,给出诊断结果。 图 14 中间轴小齿轮断齿故障 Fig. 14 Broken gear of the intermediate shaft in the wind turbine gearbox 3. 3 齿圈分布式故障特征提取 某风电齿轮箱额定功率为 850 kW,其结构为一级 行星齿轮结合两级定轴齿轮,各级齿数如表 3 所示。 表 3 风电齿轮箱各级齿数 Tab. 3 The numbers of teeth of multiple gears in wind turbine gearbox 参数数值 行星轮37 太阳轮21 齿圈96 太阳轴大齿轮65 中间轴小齿轮18 中间轴大齿轮77 高速轴齿轮25 测试时,叶轮的转速为 25. 8 r/ min,根据行星轮系 故障特征频率的计算方法,齿圈的故障特征频率为 25. 8/60 3 1. 29 Hz,即当齿圈存在局部或分布式故 障时,每一个行星轮公转一圈都会导致振动信号变化 一次,由于风电齿轮箱通常安装 3 个行星轮,故齿圈的 故障特征频率为三倍的叶轮转频。 来自齿圈外侧加速 度传感器的振动信号,如图 15 所示。 采样频率为 5 120 Hz,采样时间为 30 s。 图 15 中的振幅呈现无规 则的冲击。 图 15 振动信号时域波形 Fig. 15 Time-domain wave of vibration signal 将时域波形进行傅里叶变换,并基于尺度空间进 行傅里叶谱的自适应分割,结果如图 16 所示。 共获得 66 个频带。 按式13对所有频带重构的时域信号进 行排序,裕度因子最大的前五个信号,如图 17 所示。 相比于图 15 中的原始信号,裕度因子最大的经验模式 展现出更明显的周期性冲击,且冲击间隔更为规则。 将图17 中裕度因子最大的经验模式进行傅里叶变 换,其结果如图 18 中间所示。 占据了 1 861 1 916 Hz 的较窄频带,说明无参经验小波变换方法能够自适应 地提取敏感频带,所对应的包络谱如图 18 下所示。 从 图 18 可知,出现明显的 1. 3 Hz 及其倍频成分,该成分 与行星级齿圈的故障特征频率对应,表明该齿轮箱行 星级齿圈存在故障。 401振 动 与 冲 击 2020 年第 39 卷 ChaoXing 图 16 傅里叶谱分割结果 Fig. 16 Result of fourier spectrum segmentation 图 17 裕度因子最大的前五个分量 Fig. 17 The first five empirical modes with the largest margin factor 图 18 裕度因子最大的经验模式对应的傅里叶谱和包络谱 Fig. 18 Fourier spectrum and envelope spectrum of the empirical mode with maximum margin factor 拆解的行星级齿圈如图 19 所示。 内齿圈上存在 一定程度的磨损痕迹箭头指向,属于典型的分布式 故障,该磨损类故障与图 18 所提取的故障特征吻合, 验证了本文提出方法的有效性。 图 19 行星级齿圈磨损痕迹 Fig. 19 Worn ring gear of planetary stage 4 结 论 本文提出了基于无参数经验小波变换的风电齿轮 箱自适应故障特征提取方法,基于尺度空间对振动信 号的傅里叶谱进行自动分割,以此设计一系列带通滤 波器进行信号滤波和重构,获得不同带宽下的经验模 式。 进一步,结合裕度因子进行经验模式排序,获得反 映故障特征最为明显的经验模式,实现无需人工干预 的自适应故障诊断。 文中提出的自适应故障特征提取方法通过风电齿 轮箱试验台和实测风电齿轮箱故障数据得以验证,表 明该方法在风电机组的振动分析与故障诊断方面具有 较强的实用价值。 参 考 文 献 [ 1 ] 王玉国. 风电场建设与管理[M]. 北京中国水利水电出 版社,2017. [ 2 ] 李恒,张氢,秦仙蓉,等. 基于短时傅里叶变换和卷积神经 网络的轴承故障诊断方法[J]. 振动与冲击,2018, 37 19 124 -131. LI Heng, ZHANG Qin, QIN Xianrong, et al. Fault diagnosis for rolling bearings based on short-time fourier trans and convolution neural network [ J].Journal of Vibration and Shock, 2018, 3719 124 -131. [ 3 ] 秦毅,秦树人,毛永芳. 基于小波脊线的解调方法及其在 旋转机械故障诊断中的应用 [J]. 机械工程学报,2009,45 2 231 -237. QINYi,QINShuren,MAOYongfang.Demodulation approach based on wavelet ridge and its application in fault diagnosis of rotating machinery [J]. Journal of Mechanical Engineering, 2009, 452 231 -237. [ 4 ] ANTONI J. Cyclic spectral analysis of rolling-element bearing signals facts and fictions [ J ].Journal of Sound and Vibration, 2007, 3043/4/5 497 -529. [ 5 ] ANTONIJ,RANDALLRB.Thespectralkurtosis application to the vibratory surveillance and diagnostics of rotating machines [ J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2006, 202 308 -331. 下转第 117 页 501第 8 期 丁显等 基于无参数经验小波变换的风电齿轮箱故障特征提取 ChaoXing [ 9 ] AL-BEDOOR B O, KHULIEF Y A. Vibrational motion of an elastic beam with prismatic and revolute joints[J]. Journal of Sound Vibration, 1996, 190 195 -206. [10] ZHAO L, HU Z D. Active vibration control of an axially translating robot arm using the self-sensing actuator [ J]. Shock and Vibration , 20152015 964139. [11] 刘宁,杨国来. 移动质量作用下轴向运动悬臂梁振动特性 分析[J]. 振动与冲击,2012, 313 102 -105. LIU Ning, YANG Guolai.Vibration property analysis of axially moving cantilever beam considering the effect of moving mass [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012, 31 3 102 -105. [12] YAU D T W, FUNG E H K. Dynamic response of a rotating flexible arm carrying a moving mass[J]. Journal of Sound and Vibration, 2002, 2571 107 -117. 附 录 式27 中部分矩阵表达式为 [C1] L L d[ϕ]T dx [ϕ] [ϕ]T d[ϕ] dx L - x - [ϕ] T[ϕ] [] [Cm] [C1] S L d[ϕ]T dx [ϕ] - [ϕ]Td[ϕ] dx {} x S [K1] 3L 2 4L2 - L 2L - θ 2 [ϕ] T[ϕ] L 2 2L2 9L 5x [ L L 2L - x][ϕ] Td[ϕ] dx - L 2 2L2 L - x d[ϕ]T dx [ϕ] L 2 L2 2L - xL - x[ϕ] d2[ϕ] dx2 - L 2 L 2L - x d[ϕ]T dx d[ϕ] dx [Km1] 3L 2 4L2 - L 2L - θ 2 [ϕ] T[ϕ] L L2 - 3L 2 L3 d[ϕ] T dx [ϕ] L - x2L 2 L d 2[ϕ]T dx2 [ϕ] [Km2] S L - 3L S 2L2 d[ϕ] T dx [ϕ] L S 2L2 [ϕ]T d[ϕ] dx L - xL S L2 d2[ϕ]T dx2 [ϕ] - S 2 L L S L2 L - x []d[ϕ] T dx d[ϕ] dx F ρAa θ 2 2 L2- x2 - gsin θ L L - x [] [Q1] L 2L θ xθ [ϕ]T - L θxd[ϕ]T dx [] [Q2] 3ρAaθ 2L ∫ L 0[ϕ]dx {q} d[ϕ]T dx d[ϕ] dx {q}T [Qm] L 2S θ Sθ gcos θ[ϕ]T- SS θ d[ϕ]T dx [] 􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘􀥘 上接第 105 页 [ 6 ] LI G, ZHAO Q. Minimum entropy deconvolution optimized sinusoidal synthesis and its application to vibration based fault detection [J]. Journal of Sound and Vibration, 2017390 218 -231. [ 7 ] 李康强,冯志鹏. 基于 EMD 和能量算子的模态参数识别 在行星齿轮箱中的应用 [J]. 振动与冲击,2018, 378 1 -8. LIKangqiang,FENGZhipeng.Modalparameter identification based on empirical mode decomposition and energy operator for planetary gearboxes [ J].Journal of Vibration and Shock, 2018, 378 1 -8. [ 8 ] HU A J, YAN X A, XIANG L. A new wind turbine fault diagnosis based on ensemble intrinsic time-scale decomposition and WPT-fractal dimension [J]. Renewable Energy, 2015,83 767 -778. [ 9 ] GILLES J.Empiricalwavelettrans[ J ].IEEE TransactionsonSignalProcessing,2013,61 16 3999 -4010. [10] 黄南天,张书鑫,蔡国伟,等. 采用 EWT 和 OCSVM 的高压 断路器机械故障诊断 [J]. 仪器仪表学报,201512 2773 -2781. HUANG Nantian, ZHANG Shuxin, CAI Guowei, et al. Mechanical fault diagnosis of high voltage circuit breakers utilizing empirical wavelet trans and one-class support vectormachine[ J ].ChineseJournalofScientific Instrument, 201512 2773 -2781. [11] GILLESJM,HEALK.Aparameterlessscale-space approach to find meaningful modes in histograms-application to image and spectrum segmentation [ J ].International JournalofWavelets,MultiresolutionandInation Processing, 2014, 126 1 -17. [12] RUDEMO M.Empirical choice of histograms and kernel density estimators [J]. Sc