移动的隧道轴向激励作用下两相多孔介质动力反应_包汉营.pdf

 振动与冲击 第 38 卷第 17 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．17 2019 基金项目 国家自然科学基金 51178035 收稿日期 2018 －03 －20修改稿收到日期 2018 －06 －18 第一作者 包汉营 男， 博士生， 1988 年生 通信作者 陈文化 男， 博士， 教授， 博士生导师， 1967 年生 移动的隧道轴向激励作用下两相多孔介质动力反应 包汉营，陈文化 北京交通大学 土木建筑工程学院，北京100044 摘 要 为了研究移动的隧道轴向激励作用下饱和土体的动力响应， 建立了隧道- 饱和土体的动力分析模型; 利用 波函数展开法、 镜像原理等， 推导了频域内隧道轴向激励作用下饱和土体动力响应的解析解， 并给出了饱和土体临界速度 的经验公式; 通过快速傅里叶逆变换得到了时- 空域内饱和土体的动力响应。结果表明 轴向激励作用下， 饱和土体临界 速度只与土体的剪切模量和密度有关， 且数值接近土体剪切波速的 1． 1 倍; 速度小于临界速度时， 各响应数值随着剪切模 量以及孔隙率的增大而减小， 轴向位移随着隧道埋深的增大有小幅度减小， 当隧道埋深超过半径的 10 倍时， 轴向位移趋 于稳定; 速度大于临界速度时， 各响应数值随着剪切模量以及孔隙率的增大而增大; 角度对径向位移、 轴向位移影响很小， 对环向位移的影响较大。 关键词 轴向激励; 饱和土体; 临界速度; 波函数展开法 中图分类号 TU435文献标志码 ADOI10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 17． 038 Dynamic responses of two- phase porous medium under a moving tunnel axial excitation BAO Hanying，CHEN Wenhua School of Civil Engineering and Architecture，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China AbstractIn order to study dynamic responses of saturated porous soil under a moving tunnel axial excitation，a dynamic analysis model for a tunnel- saturated soil system was established． The analytical solutions to the system’ s dynamic responses in frequency domain were derived with the wave function expansion ，the mirror principle，and Graf addition ula． The empirical ula for the critical velocity of saturated soil was also deduced． The time- space domain solutions to saturated soil’ s dynamic responses were obtained with the fast Fourier inverse trans． The results showed that the critical velocity of saturated soil under axial excitation is only related to soil’ s shear modulus and density， and its value is close to 1． 1 times of soil’ s shear wave velocity; when velocity is less than the critical velocity，response values decrease with increase in soil’ s shear modulus and porosity， and axial displacement slightly decreases with increase in tunnel buried depth，but when tunnel buried depth is more than 10 times of tunnel radius，axial displacement tends to be stable; when velocity is larger than the critical velocity，response values increase with increase in soil’ s shear modulus and porosity; angle affects soil’ s radial displacement and axial one slightly，while it affects soil’ s circumferential displacement greatly． Key words axial excitation; saturated soil; critical velocity; wave function expansion 城市地下轨道交通的迅猛发展， 缓解了路面交通 的拥堵状况， 同时也产生了许多环境振动与噪声等问 题。对于这一热点问题的研究主要包括两个方面 一 是地铁列车与轨道系统的研究; 二是地铁振动在地基 中的传播及其对地面建筑影响的研究。 针对振动的传播及其影响的研究主要有以下内 容 ① 单相均质土体在内部移动荷载作用下的动力响 应研究。该方向的研究将土体视为单相均匀介质， 根 据是否考虑隧道结构， 振动荷载的形式又包括埋置移 动荷载和隧道内部移动荷载两种类型， 研究方法主要 有理论解析法 ［1- 2 ］和有限元法［3- 5 ］; ② 两相多孔均匀介 质在内部移动荷载作用下的动力响应研究。考虑到富 水地区隧道往往处于地下水位以下， 因此这一阶段的 研究将土体视为饱和土体， 用 Biot 饱和多孔介质模型 来模拟地基土， 振动荷载的形式包括完全对称式 ［6- 7 ］和 非对称式 ［8- 10 ］， Lu 等利用波函数展开法分别研究了无 衬砌隧道和衬砌隧道内部移动环形荷载作用下全空间 饱和土体的动力响应问题; 曾晨等分别采用有限元法 ChaoXing 和 Biot 饱和多孔介质理论等研究了地铁列车荷载引起 的隧道- 饱和土体的动力响应问题; ③ 移动荷载作用下 分层介质的动力响应研究。该方向的研究对象包括单 相分层介质 ［11- 12 ］和两相多孔分层介质［13- 14 ］， 研究方法 主要为数值方法和半解析- 半数值的方法。Sheng 等采 用离散波数虚拟力法、 薄层法等研究了内部移动荷载 作用下单相层状半空间的动力响应， 胡安峰等采用传 递反射矩阵法、 格林函数法等研究了成层饱和地基在 移动荷载作用下的动力响应， 并讨论了荷载移动速度、 荷载频率等因素对动力响应的影响。 地铁列车在进出站以及紧急制动过程中会产生沿 隧道轴向的激励作用， 这种沿行驶方向的激励作用是 引起隧道和周围介质振动的重要因素之一。目前针对 沿列车行驶方向激振力所产生的动力问题的研究， 主 要集中在普通铁路中列车- 高架桥梁动力响应分析 ［15 ］， 以及地铁地面线路中轴向激励对地铁车站的影响 等 ［16 ］， 对于城市地下轨道交通中， 移动的隧道轴向激振 力作用下半空间饱和土体动力响应的研究相对较少。 本文利用波函数展开法、 镜像原理、 傅里叶变换法等， 推导了频域内隧道轴向激励作用下饱和土体动力响应 的解析解， 并给出了饱和土体临界速度的经验公式; 通 过快速傅里叶逆变换得到了时- 空域内饱和土体的动力 响应， 并研究了激振力移动速度、 土体剪切模量、 隧道 埋深、 角度、 孔隙率等对饱和土体动力响应的影响， 研 究成果对探究地铁隧道振动的响应规律以及减振降噪 方面有一定的参考价值。 1轴向激励作用下两相多孔介质动力响应 求解 1． 1轴向激励作用下两相多孔介质动力分析模型 图 1 为无衬砌隧道内移动的轴向激励作用下， 饱 和土体的动力分析模型。隧道埋深为 H， 半径为 r0， P0 为轴向激振力， 大小为 Fexp iω0t δ z1－ vt /2， 关于 P0的详细计算方法可参考文献［ 15］ 中的相应内容， 本 文只针对稳态振动情况进行研究 ， 其中 F 为荷载幅 值， δ * 为狄拉克δ函数， v为激振力的移动速度， z1 图 1移动的隧道轴向激励作用下饱和土体分析模型 Fig． 1Analysis model of saturated soil under a moving axial excitation in a tunnel 为轴向坐标， ω0为振动角频率， t 为时间， 槡 i －1。 1． 2两相多孔介质振动控制方程及求解 将土体视为饱和多孔弹性介质， 不计体力， 由 Biot 饱和土理论 ［17 ］， 隧道外围饱和土体及孔隙水的本构方 程和运动方程为 σij2μεij λδije － αδijp 1 p － αMe M 2 μu i， jj λ α 2M μ u j， ji αMwj， ji ρ bu i ρ fw i 3 αMuj， ji Mwj， ji ρ fu i m w i η k w i 4 式中 σij 、 ε ij i， j 1、 2、 3 为饱和土体应力张量和应变 张量; p 为孔隙水压力; δij为克罗奈克符号; e、  分别为 土体骨架体积应变和单位体积内孔隙流体改变量， e ui， i，  － wi， i; ui、 wi i 1、 2、 3 分别为土体骨架位移 和孔隙水的渗透位移分量; λ、 μ 为土体的拉梅常数; α、 M 为表征土颗粒和流体压缩性的 Biot 系数; ρb 、 ρ f分别 为饱和土体密度和孔隙水密度， ρb 1 － ne ρ s neρf， ρs为土体骨架密度; ne为土体的孔隙率; m a∞ρf/ne， a∞为孔隙流体弯曲系数; η 为孔隙流体黏性系数; k 为 孔隙流体动力渗透系数。 分别取隧道半径 r0， 土体拉梅常数 λ 和孔隙水密 度 ρf为特征尺度， 引入以下无量纲变量， 对式 3 、 4 进行无量纲化处理 X* X/r0 ， η * η/ r0λρ 槡 f ， k * k/r2 0 ， λ * λ/ λ， μ* μ/λ， M* M/λ， F* F/ λr20 ， ρ*b ρ b /ρ f ， ρ * s ρ s /ρ f ， ρ * f ρ f /ρ f， t * tλ/ρ 槡 f/r0 ， ω * ωr0ρf/ 槡 λ， v* vρb/ 槡 λ。 其中 X 表示与 r0有相同量纲的变量， 如 ui、 wi、 r、 H 等。将以上无量纲变量代入式 3 、 4 即可将运动方 程变为无量纲运动方程， 为简化表达方式， 后续公式中 的无量纲变量将省略上标 “* ” 。 在求解控制方程时， 需对控制方程进行傅里叶正、 逆变换， 本文采用以下傅里叶变换对 f ～ ζ∫ ∞ －∞ f Ω e －iζΩdΩ 5 f Ω 1 2π ∫ ∞ －∞ f ～ ζ e iζΩdζ 6 式中 Ω 表示时间或空间坐标变量; ζ 表示频率或波数。 为求解式 1 ～ 式 4 ， 用 Helmholtz 势函数表示 位移 U grad s1 rot ψ s 1k rot［ rot χ s 1k ］ 7 W grad f1 rot ψ f 1k rot［ rot χ f 1k ］ 8 式中 U u1， u2， u3 ， W w1， w2， w3 ; s1、 ψ s 1 、 χ s 1分别 为土体骨架的势函数; f1 、 ψ f 1 、 χ f 1分别为孔隙水的势函 数; grad 表示梯度， rot 表示旋度; k 为 z1方向的单位向 量。对于只有隧道轴向激励作用下地基土的动力问 772第 17 期包汉营等 移动的隧道轴向激励作用下两相多孔介质动力反应 ChaoXing 题， 参考文献［ 2， 6- 7］ 的处理方式， 式 7 、 8 中势函数 仅有 χs1和 χf1。 将式 7 、 8 代入式 3 、 4 ， 并对饱和土体运动 方程进行时域到频域的傅里叶变换得 Δ 2 χ ～s 1 k2 tχ ～s 1 0 9 χ ～f 1 β 2χ ～s 1 10 式中 Δ 2为拉普拉斯算子， k t ω ρ b β 2ρf / 槡 μ， β2 － ρ fω 2 /β 1 ， β 1 mω 2 － i η/k ω; 上标“～ ” 表示频域内 的变量。 对式 9 、 10 进行空间坐标 z1到波数 ξ 的傅里 叶变换得 2χ ～ s 1 r 2 1 1 r1  χ ～ s 1 r 1 k2 t － ξ 2 χ ～ s 1 0 11 χ ～ f 1 β 2 χ ～ s 1 12 式 11 为贝塞尔方程， 上标“－ ” 表示波数域内的 变量。考虑到无穷远处波的衰减， 令 r2 t k2 t － ξ 2， 且满 足 im rt ＜0， 得 χ ～ s 1 A ω， ξ H 2 0 rtr1 13 χ ～ f 1 β 2A ω， ξ H 2 0 rtr1 14 式中 A ω， ξ 为待定系数， 是角频率 ω 和波数 ξ 的函 数， 后续推导用 A 表示; H 2 0 * 为零阶第二类汉克尔 函数。 针对轴向激振力引起的介质波动特性， 采用如图 2 所示的镜像原理， 以自由表面为镜面对称出虚拟振源。 根据镜像原理可得 χ ～ s 2 AH 2 0 rtr2 15 χ ～ f 2 β 2AH 2 0 rtr2 16 由此可得总波场为 χ ～ s χ ～ s 1 χ ～ s 2 AH 2 0 rtr1 AH 2 0 rtr2 17 χ ～ f χ ～ f 1 χ ～ f 2 β 2AH 2 0 rtr1 β2AH 2 0 rtr2 18 图 2镜像原理 Fig． 2Mirror principium 由 Graf 加法公式及贝塞尔函数的相关性质可得 H 2 0 rtr2∑ ∞ n 0 εnJn rtr1 H 2 n 2Hrt cos nθ1 19 其中 εn 1n 0 2n ≠ { 0 将式 19 代入式 17 、 18 得 χ ～ s A［ H 2 0 rtr1 ∑ ∞ n 0 εnJn rtr1 H 2 n 2Hrt cos nθ1 ］ 20 χ ～ f β 2A［ H 2 0 rtr1 ∑ ∞ n 0 εnJn rtr1 H 2 n 2Hrt cos nθ1 ］ 21 参考文献［ 2， 6- 7］ 中的处理方式， 隧道内部边界条 件为 τrz － F 2πr0 δ z 1 － vt 22 对式 22 进行 t 到 ω， z1到 ξ 的双重傅里叶变换得 τ ～ rz － F r0 δ ω ξv 23 由以上各式及边界条件可得 A － F μr 0 L1 － L2－ L3 δ ω ξv 24 其中 L1 1 r2 0 － ξ 2 ［－ r tH 2 1 rtr0 － rtJ1 rtr0 H 2 0 2Hrt ］ L2 1 r0 { － rtH 2 1 rtr0 rt r0 H 2 1 rtr0 H 2 0 2Hrt ［－ r2 tJ0 rtr0 rt r0 J1 rtr0 ］ } L3 r3 tH 2 1 rtr0 － r2 t r0 H 2 0 rtr0 H 2 0 2Hrt ［ r2 t r0 J0 rtr0 r3 t － 2rt r2 0 J1 rtr0 ］ 柱坐标系下土体骨架位移及应力为 ur 2χs r 1 z 1 uθ 1 r1 2χs θ1 z 1 uz － 1 r1 χs r 1 － 2χs r 2 1 － 1 r2 1 2χs θ          2 1 25a τrz μ［ 3χs r 1 z 2 1 －  r 1 1 r1 χs r 1 2χs r 2 1 1 r2 1 2χs θ21 ］ τ rθ 2μ［1 r1 3χs r 1θ1 z 1 － 1 r2 1 2χs θ1 z 1］ τ θz μ r1［ 3χs θ1 z 2 1 － 1 r1 2χs r 1θ1 － 3χs r 2 1θ1 － 1 r2 1 3χs θ31         ］ 25b 872振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 后续推导以位移响应为例， 对式 2 、 25a 进行 t 到 ω， z1到 ξ 的双重傅里叶变换得 u ～ r iξ  χ ～ s r 1 u ～ θ iξ 1 r1  χ ～ s θ1 u ～ z － 1 r1  χ ～ s r 1 － 2χ ～ s r 2 1 － 1 r2 1 2χ ～ s θ          2 1 26 p ～ － αM e ～ M  ～ － M e ～ α β2 27 式中 e ～  u ～ r r 1 1 r1  u ～ θ θ1 u ～ r r1 iξ u ～ z， 经化简后得 e ～ 0， 由此可知 轴向激励作用下两相多孔介质的势函 数 χs1和 χf1不会对孔隙水压力产生影响。 将式 20 代入式 26 得 u ～ r － Fiξδ ω ξv μr 0 L1 － L2－ L3 ［－rtH 2 1 rtr1 ∑ ∞ n 0 εnH 2 n 2Hrt cos nθ1 n r1 Jn rtr1 － rtJn1 rtr1 ］ 28 u ～ θ Fiξδ ω ξv μr 0r1 L1 － L2－ L3 ［∑ ∞ n 0 nε nJn rtr1 H 2 n 2Hrt sin nθ1 ］ 29 u ～ z － Fδ ω ξv μr 0 L1 － L2－ L3 ［ r2 tH 2 0 rtr1 ∑ ∞ n 0 εnH 2 n 2Hrt cos nθ1 Jn rtr1 r2 t］ 30 对式 28 ～ 式 30 进行 ξ 到 z1的傅里叶逆变换， 得到频域内位移和孔隙水压力的解答 u ～ r Fiωe －iω z1 v 2πμr0v2 L1－ L2－ L3 ［－rtH 2 1 rtr1 ∑ ∞ n 0 εnH 2 n 2Hrt cos nθ1 n r1 Jn rtr1 － rtJn1 rtr1 ］ 31 u ～ θ － Fiωe －iω z1 v 2πμr0r1v2 L1－ L2－ L3 ［∑ ∞ n 0 nε nJn rtr1 H 2 n 2Hrt sin nθ1 ］ 32 u ～ z － Fe －iω z1 v 2πμr0v L1－ L2－ L3 ［ r2 tH 2 0 rtr1 ∑ ∞ n 0 εnH 2 n 2Hrt cos nθ1 Jn rtr1 r2 t］ 33 式中 L1、 L2、 L3、 rt中的 ξ － ω/v。 2动力响应及参数分析 2． 1确定土体临界速度 vcr 土体的无量纲参数参考文献［ 6］ 的取值 λ 1， μ 1， ρ f1， ρs 2， α 0． 95， η 5． 774 10 －10， k 1． 0 10 －13， n e0． 3， r0 1， a∞ 2， M 1． 67， H 10， θ π/ 6， z150， v0λ/ρ 槡 b， 无量纲激振力幅值 F 1， 不考虑 激振力的激振频率。 由式 31 ～ 式 33 计算 r1 1． 5r0处饱和土体的 动力响应， 图 3 ～ 图 5 中 a 图为 ω 10、 b 图为 ω 20 时的动力响应， 横坐标为无量纲速度。其中文献 ［ 18］ 采用的是最小二乘法处理自由表面边界， 虽然文 献［ 18］ 分析的是单相介质问题， 但是其处理自由表面 边界的方法可以应用于两相介质当中， 图 3 ～ 图 5 即为 两种不同边界处理方法计算得到的两相饱和介质的动 力响应。由图可以看出， 两种方法的计算结果能够较 好的吻合， 且不同角频率下的动力响应随着激振力移 a b 图 3频域内速度对质点径向振动位移的影响 Fig． 3Influence of velocity on the radial vibration displacement of a particle in frequency domain a b 图 4频域内速度对质点环向振动位移的影响 Fig． 4Influence of velocity on the circumferencial vibration displacement of a particle in frequency domain a b 图 5频域内速度对质点轴向振动位移的影响 Fig． 5Influence of velocity on the axial vibration displacement of a particle in frequency domain 972第 17 期包汉营等 移动的隧道轴向激励作用下两相多孔介质动力反应 ChaoXing 动速度的变化而变化， 当无量纲速度 v≈1． 1 时， 动力响 应振幅达到最大， 由此可确定出该体系的临界速度 vcr ≈1． 1v0 1． 1 λ/ρ 槡 b。图 6 是土体临界速度的散点 图， 利用 Origin 软件拟合得到隧道轴向常激励 不考虑 激振频率 作用下任意饱和土体的临界速度为 vcr a μ/λ bv 0 34 式中 a 1． 086， b 0． 498≈0． 5; v0λ/ρ 槡 b。化简 后得 图 6剪切模量对土体临界速度的影响 Fig． 6Influence of shear modulus on the critical velocity of soil vcr≈ 1． 1μ/ρ 槡 b 35 由式 35 及图 3 ～ 图 5 可以看出移动的隧道轴向 常激励作用下， 饱和土体的临界速度仅与土体的剪切 模量以及密度有关， 与隧道埋深、 响应频率等因素无 关， 同时， 临界速度的数值接近于 1． 1 倍的剪切波速。 后续内容将分别讨论以下两种工况， 工况一 速度小于 临界速度， 取 0． 65v0; 工况二 速度大于临界速度， 取 2． 60v0。 2． 2剪切模量对动力响应的影响 土体的无量纲剪切模量分别取1． 0、 1． 5、 和2． 0， 其 它基本参数同 2． 1 节， 图 7 ～ 图 9 分别为时域内剪切模 量对土体径向位移、 环向位移以及轴向位移的影响 曲线。 由图 7 ～ 图 9 可以看出 工况一中各动力响应随着 μ 的增大而减小， 但达到最大振幅的时间不随 μ 的增大 而变化; 工况二中各动力响应随着 μ 的增大而增大， uθ 达到最大值的时间随着 μ 的增大而减小; 除径向位移 外， 对于同一响应， μ 取相同数值时， 工况一的响应幅值 明显小于工况二的响应幅值， 达到幅值的时间明显大 于工况二的时间。 a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 7剪切模量对质点径向振动 位移的影响 Fig． 7Influence of shear modulus on the radialvibrationdisplacementof a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 8剪切模量对质点环向振动 位移的影响 Fig． 8Influence of shear modulus on the circumferencialvibration displacement of a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 9剪切模量对质点轴向振动 位移的影响 Fig． 9Influence of shear modulus on the axialvibrationdisplacementof a particle 2． 3隧道埋深对动力响应的影响 无量纲隧道埋深 H 分别取 3、 5、 10、 12、 15 由于 H 对不同动力响应的影响程度不同， 为了清楚的反映其 影响规律， 以下计算中 H 的取值略有不同 ， 无量纲剪 切模量取 1． 0， 其它基本参数同2． 1 节， 图10 ～ 图12 为 隧道的埋深对土体径向位移、 环向位移以及轴向位移 082振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 的影响曲线。 a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 10埋深对质点径向振动 位移的影响 Fig．10Influence of embedded depth on the radialvibrationdisplacementof a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 11埋深对质点环向振动 位移的影响 Fig． 11Influenceofembeddeddepth on the circumferencial vibration displacement of a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 12埋深对质点轴向振动 位移的影响 Fig． 12Influence of embedded depth on the axialvibrationdisplacementof a particle 由图 10 可以看出 工况一和工况二两种情况下， ur 随 H 的变化较小， 但工况一对应的最大振幅大于工况 二对应的最大幅值， 这与 2． 2 节中 μ 1． 0 时两种工况 下径向位移的响应规律相符; 由图 11 可以看出 uθ随 着 H 的增加而减小， 工况一中达到最大振幅的时间不 受 H 影响， 工况二中达到最大振幅的时间随着 H 的增 加而增加; 由图 12 可以看出 uz随着 H 的增加有小幅 度减小， 工况一中， 当 H 超过 10 时， uz趋于稳定; 工况 二中， uz随着 H 的增加波动性减弱， 这是由于随着埋深 的增大， 自由表面的反射波对响应的影响越来越小。 2． 4不同角度的动力响应规律 无量纲剪切模量取 1． 0， 无量纲隧道埋深取 10， 其 它基本参数同2． 1 节， 角度分别取 π/12、 π/4、 π/2、 3π/ 4、 11π/12。图 13 ～ 图 15 分别为不同角度处土体的径 向位移、 环向位移以及轴向位移曲线图。 由图 13、 图 15 可以看出 工况一中， 不同角度处土 体的 ur和 uz变化很小， 而工况二中 ur 和 uz都出现了 第二波峰， 这说明荷载速度大于临界速度时自由表面 反射波对响应的影响更大; 由图 14 可以看出 两种工 况下， 水平位置处的 uθ最大， 由水平位置向拱顶和仰拱 处逐渐减小， 拱顶处位移略大于仰拱处位移。 2． 5孔隙率对动力响应的影响 图 16 ～ 图 18 分别为移动的隧道轴向常激励作用 下， r16r0处单相土体和不同孔隙率的饱和土体的径 向位移、 环向位移以及轴向位移的变化曲线。无量纲 剪切模量取 1． 0， 无量纲隧道埋深取 15， 饱和土体的孔 隙率分别取 0． 30 和 0． 48。当饱和土体的参数 α、 M、 ne、 a∞、 η/k 等取值趋于零时， 可将饱和土体退化为单 相土体， 轴向激励的移动速度取 0． 65v0和 2． 60v0， 其中 v0取 ne0． 3 时的速度， 其它基本参数同 2． 1 节。 由图 16 ～ 图 18 可以看出 两种工况下， 介质的孔 隙率对振动响应的影响规律截然相反。工况一中， 单 相土体的动力响应幅值最大， 随着饱和土体孔隙率的 增加， 动力响应幅值逐渐减小; 工况二中， 饱和土体的 孔隙率越大， 动力响应幅值越大， 单相土体的动力响应 幅值最小。由此可知， 实际工程计算中， 当 v ＜ vcr时， 用 单相土体模拟地铁地基所计算的结果是偏于保守的， 而当 v ＞ vcr时， 用单相土体所计算的结果是不安全的， 因此， 此种工况下必须将地基视为多孔介质进行计算。 3结论 1 利用波函数展开法、 傅里叶变换法、 镜像原理 等推导了移动的地铁隧道轴向激励作用下， 两相多孔 介质动力响应的解析解; 饱和土体在隧道轴向移动激 振力作用下存在临界速度， 当速度达到临界速度时， 饱 和土体的动力响应幅值达到最大; 临界速度只与饱和 182第 17 期包汉营等 移动的隧道轴向激励作用下两相多孔介质动力反应 ChaoXing a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 13角度对质点径向振动 位移的影响 Fig． 13Influence of angel on the radial vibrationdisplacementof a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 14角度对质点环向振动 位移的影响 Fig． 14Influenceofangelon the circumferencial vibration displacement of a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 15角度对质点轴向振动 位移的影响 Fig． 15Influence of angel on the axial vibrationdisplacementof a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 16孔隙率对质点径向振动 位移的影响 Fig． 16Influence of porosity on the radial vibration displacement of a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 17孔隙率对质点环向振动 位移的影响 Fig． 17Influenceofporosityon the circumferencialvibration displacement of a particle a v ＜ vcr b v ＞ vcr 图 18孔隙率对质点轴向振动 位移的影响 Fig． 18Influence of porosity on the axial vibration displacement of a particle 土体的剪切模量和密度有关， 与响应频率、 隧道埋深等 因素无关; 移动的轴向常激励作用下， 饱和土体临界速 度接近于土体剪切波速的 1． 1 倍。 2 v ＜ vcr时， 饱和土体的振动位移随着剪切模量 的增大而减小; v ＞ vcr时， 振动位移随着剪切模量的增 大而增大。隧道埋深对饱和土体的环向位移的影响较 282振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 大， 随着埋深的增加环向位移有明显的减小; 对径向位 移和轴向位移的影响较小， v ＜ vcr时， 轴向位移随着埋 深的增大略有减小， 当埋深超过隧道半径的 10 倍时， 轴向位移趋于稳定。 3 移动的轴向常激励作用下， 不同角度处的环 向位移变化较大， 不论 v ＜ vcr还是 v ＞ vcr， 水平位置处土 体的环向位移始终最大， 仰拱处土体环向位移最小。v ＜ vcr时， 动力响应幅值随着土体孔隙率的增加而减小， 单相土体的动力响应幅值最大; v ＞ vcr时， 动力响应幅 值随着土体孔隙率的增加而增大， 单相土体的动力响 应幅值最小。 参 考 文 献 ［1］ FORREST J A，HUNT H E M． A three- dimensional tunnel model for calculation of train- induced ground vibration［J］ ． Journal of Sound and Vibration， 2006， 294 4 678- 705． ［2］ 张谦， 陈文化． 地铁列车出、 进站加、 减速的轴向激励引起 出平面振动［ J］ ． 振动与冲击， 2016， 35 24 96- 101． ZHANG Qian， CHENWenhua．Out- of- planevibration induced by axial excitation while a metro train arriving at or leaving a station［ J］ ． Journal of Vibration and Shock， 2016， 35 24 96- 101． ［3］ HUNG H H，YANG Y B． Analysis of ground vibrations due to undergroundtrainsby2． 5Dfinite/infiniteelement approach ［J］ ．Earthquake Engineering and Engineering Vibration， 2010， 9 3 327- 335． ［4］ HUNG H H，CHEN G H，YANG Y B．Effect of railway roughness on soil vi