圆形洞室在径向非均匀荷载下的瞬态响应_耿大新.pdf

 振动与冲击 第 38 卷第 20 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．38 No．20 2019 基金项目 江西省交通运输厅科技项目 2016D0039 ; 江西省普通本科 高校中青年教师发展计划访问学者专项 收稿日期 2018 －03 －28修改稿收到日期 2018 －05 －21 第一作者 耿大新 男， 博士， 教授， 1977 年生 通信作者 胡文韬 男， 博士， 讲师， 1986 年生 圆形洞室在径向非均匀荷载下的瞬态响应 耿大新，陶彪，胡文韬 华东交通大学 土木与建筑学院， 南昌330013 摘 要 基于弹性介质动力学理论， 研究了圆形洞室在瞬态径向非均匀荷载下的动力响应。利用波函数展开法与 Laplace 变换法， 并考虑圆形洞室内表面应力边界非均匀条件， 得到单位脉冲荷载下圆形洞室二维空间中应力和位移场在 时域内的数值解。并通过算例， 分析了径向非均匀瞬态荷载下的波动特性以及剪切模量等因素对应力位移场在径向和环 向上分布特征的影响。研究结果表明， 随着时间推移环向应力与位移的振动响应均表现出异步性， 峰值出现的位置随时 间在0 － π 之间变化， 发生极值旋转; 无量纲时间 t*＞2 时， 径向应力发生明显衰减， 而径向位移与环向响应在无量纲时间 t*＞8 时， 才出现明显衰减， 径向应力的振动周期最小; 剪切模量对洞室表面应力位移幅值有显著影响; 在非均匀荷载作 用下， 非均匀处响应幅值明显大于其他位置， 径向应力、 位移响应大于环向， 衰减速度也更快。 关键词 径向非均匀; Laplace 变换; 圆形洞室; 动力响应 中图分类号 TU43文献标志码 ADOI10． 13465/j． cnki． jvs． 2019． 20． 036 Transient response of a circular cavity under the radial inhomogeneous load GENG Daxin， TAO Biao， HU Wentao School of Civil Engineering and Architecture，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China AbstractBased on the theory of elastic medium dynamics，the dynamic response of a circular cavity under transient radial inhomogeneous load was studied． Considering the circular cavity inner surface stress boundary conditions of uneven，the numerical solution of stress and displacement of sourrounding rock was obtained in the time domain under unit impulse load by an expansion for wave function and the Laplace trans ． The factors，such as wave characteristics of radial nonuni transient loads and shear modulus，produce effects on the distribution of stress and displacement in radial and annular direction． The effects were analyzed through an example． The dynamic response of tangential stress and displacement were asynchronous with time，and the position of peak value changes from 0 to π over time． When the dimensionless parameter of time was greater than 2，radial stress damped obviously．When the dimensionless parameter of time was greater than 8，radial displacement and tangential response damped to 0 gradually． The vibration period of radial stress is minimal． Shear modulus has significant influence on the amplitude of cavity inner surface displacement． Under non- uni load，the response amplitude of non- uni location is obviously greater than that of other positions，and the response of radial stress and displacement is greater than that of ring direction，and the attenuation speed is faster． Key words radial inhomogeneity; laplace trans; cylindrical cavity; dynamic response 随着地下空间深入开发， 地下管线、 地铁隧道、 水 下隧道等结构日益增多， 弹性介质中含空腔或壳状结 构的动力响应问题一直是研究的热点。然而这些结构 多受一个随机的内部动态荷载作用， 并且结构中大多 数内源荷载并不是环向均匀的。有的结构由于受外部 约束， 荷载传递不均， 向某方向集中汇聚。因此确定非 均匀瞬态荷载引起的结构动力响应是地下工程领域中 十分重要的问题。 针对圆形洞室与薄壁壳体等在轴对称瞬态荷载下 的响应问题， 目前主要的分析方法有解析法与数值法。 解析法方面已有许多学者利用波函数展开法、 积分变 换法等方法进行研究。早在 20 世纪 90 年代初 Senjun- tichai 等 ［1 ］采用波函数展开法， 推导了全空间圆柱形腔 体在三种不同类型轴对称荷载下的径向位移、 应力、 孔 ChaoXing 隙压力的精确通解， 并通过数值反演拉普拉斯解， 而得 到时域解。在其基础上， Gao 等 ［2 －3 ］进一步研究了在衬 砌洞室内部作用三种荷载情况下的动力响应。随后， Engin 等 ［4 ］和陆建飞等［5 ］将洞室稳态下的解答， 分别推 广到半空间及任意洞室中， 研究了弹性空间内土骨架 的位移应力表达。此外， 也有类似研究考虑了瞬态弹 性波入射的情况， Karinski［6 ］、 王滢［7 ］和李伟华［8 ］分别 研究了衬砌洞室在不同种瞬态波散射下应力、 位移、 动 应力集中的时域解， 并考虑了刚度、 衬砌厚度等因素对 动应力集中的影响。翟朝娇等 ［9 ］针对反平面冲击荷载 作用下洞室的瞬态响应问题进行探讨， 研究分析了沿 z 轴方向瞬态荷载对土体动力响应的变化规律。然而当 动荷载强度非常大， 应变水平较高， 对于这类问题一般 常采用数值方法进行研究。Feldgun 等 ［10 ］开创性的利 用戈杜诺夫变分差分方法， 分析了弹性、 塑性及多孔介 质中衬砌洞室的动力响应问题， 并就解答的正确性与 Glen 等 ［11 ］的结果相印证。目前来说， 已有研究大都针 对洞室在环向均匀冲击荷载下的动力响应解析解求 解 ［12 －13 ］或者利用数值法结合有限元、 边界元等对洞室 内部均匀爆炸荷载作用下的动力响应分析 ［14 ］。但对径 向非均匀均布荷载下的动力响应与波动特性， 却一直 未见类似研究， 为此建立一种针对径向非均匀荷载作 用下圆形洞室瞬态响应的计算方法， 对隧道工程与地 下空间领域具有深远意义。 本文将基于弹性介质波动理论， 运用波函数展开法 与 Laplace 变换法， 根据圆形洞室内表面非均匀应力边 界条件， 求解出单位脉冲荷载下圆形洞室的动力响应解 答。给出了全空间洞室中应力和位移场在时域内的数值 解， 并通过算例， 分析了径向非均匀瞬态荷载下的波动特 性以及剪切模量、 不同角度对应力位移场的影响。 1圆形洞室模型及波场求解 假定岩体为单相弹性介质， 无限长圆柱形洞室埋 置其中。因而， 洞室内表面作用非对称瞬态荷载的动 力响应问题可简化为平面应变问题。径向非均匀荷载 随时间 t， 环向角度 θ 变化， 如图 1 所示， r 为极轴， a 为 圆形洞室内半径。 图 1径向非均匀荷载洞室模型 Fig． 1 Local concentrated load cavern model 瞬态荷载发生时， 因外部约束的存在荷载向极轴 处汇聚， 径向应力差导致沿径向同一圆环内的位移不 均， 进而产生剪应力。圆形洞室施加瞬态荷载到达最 大值之后又衰减至零， 强度随时间的变化可假定为三 角分布如图 2 所示。图中加荷时间无量纲化为 t* ta －1 μ1ρ －1 槡 s ， 其中 t 为加载时间， ρs为土体密度， μ1为剪 切模量。F0为三角形脉冲荷载的峰值。 图 2瞬态三角形脉冲荷载 Fig． 2 Transient triangular pulse load 2岩体的控制方程 非均匀瞬态荷载 F t 从洞室内部传递至洞室边界 后， 在岩体中产生向外传播的膨胀波， 洞室外的岩体视 为单相弹性介质， 其几何方程为 ［15 ］ εr u r r εθ 1 r u θ θ u r ε rθ 1 2 1 r u r θ u θ r － uθ          r 1 假定符合理想线弹性模型关系为 σij λ 1δijεkk2μ1εij 2 σr λ12μ1 ε r λ 1εθ 3a σθ λ12μ1 ε θ λ 1εr 3b σ rθ 2μ1ε rθ 3c 在极坐标系下， 其振动方程可表示为 σr r 1 r σ rθ θ 1 r σ r － σ θ ρs 2ur t 2 4 σ rθ r 1 r σθ θ 2 r σ rθ ρ s 2uθ t 2 5 式中 εr 、 ε θ 、 εrθ 分别为岩体径向应变、 环向应变、 切向应变; σr 、 σ θ 、 σrθ 为岩体径向应力、 环向应力、 切向应力; λ1为岩 体的 Lame 常数; δij为 Kronecker 参数， 当 i≠j 时δij0， i j 时 δji1; ur、 uθ为岩体介质的径向位移、 环向位移。 将式 1 ～ 3 代入方程式 4 ～ 5 ， 得到以位移 表示岩体的控制方程为 λ 12μ1 2ur r 2 λ1 μ 1 r 2uθ rθ λ12μ1 r u r r μ1 r2 2ur θ2 [ － λ13μ1 r2 u θ θ － λ12μ1 r2 u] r ρ s 2ur t 2 6 352第 20 期耿大新等 圆形洞室在径向非均匀荷载下的瞬态响应 ChaoXing μ 2uθ r 2 λ12μ1 r2 2uθ θ2 λ1 μ 1 r 2ur rθ － μ1 r2 uθ [ μ1 r u θ r λ13μ1 r2 u r ] θ ρ s 2uθ t 2 7 由于 ur r， θ， t 和 uθ r， θ， t 是相互耦合的， 为了解 耦引入岩体部分的位移标量势函数 φ r， θ， t 和矢量势 函数 ψ r， θ， t ， 根据 Helmholtz 矢量分解定理有 u Δ φ Δ ψ 8 位移表示为 ur φ r 1 r ψ θ uθ 1 r φ θ － ψ  { r 9 对时间 t 进行 Laplace 变换和逆变换为 F r， θ， s∫ ∞ 0 f r， θ， t e －stdt f r， θ， t 1 2πi∫ γi∞ γ－i∞ F r， θ， s estd { s 10 对时域下控制方程进行 Laplace 变换，势函数 φ r， θ， t 和 ψ r， θ， t可变换为 Laplace 域下表达 Φ r， θ， s ， Ψ r， θ， s ， 将其代入 6 ， 7 得 －2 λ12μ1 r3 2Φ θ2 － λ 1 2μ 1 r2 Φ r λ 1 2μ 1 r2 3Φ rθ2 μ1 r3 3Ψ θ3 [ λ 1 2μ 1 r 2Φ r 2 λ 1 2μ 1 3Φ r 3 μ1 r2 2Ψ rθ μ1 r 3Ψ r 2] θ ρss2 Φ r 1 r Ψ θ 11a λ1 2μ1 r3 3Φ θ3 λ1 2μ1 r2 2Φ rθ λ1 2μ1 r 3Φ r 2θ[ 2μ 1 r3 2Ψ θ2 μ1 r2 Ψ r － μ1 r2 3Ψ rθ2 － μ1 r 2Ψ r 2 － μ 1 3Ψ r ] 3 ρss2 1 r Φ θ － Ψ  r 11b 由式 11 整理可得下式  r － 1 r  θ λ1 2μ1 Δ 2 － ρ ss 2 Φ 0  r 1 r  θ μ 1 Δ 2 － ρ ss 2 Ψ { 0 12 由式 12 可得到势函数Laplace变换后， 满足如下 的 Helmholtz 方程 Δ 2Φ － k2 1Φ 0 13a Δ 2Ψ － k2 2Ψ 0 13b 式中 k1、 k2为岩体介质中膨胀波波数， s为Laplace变换 参数，Δ 2为 Laplace 算子。 k1 ρss2 λ1 2μ 槡 1 14a k2 ρss2 μ 槡1 14b 在极坐标下， Laplace 算子与 Laplace 变换后的势 函数可表示为 Δ 2Φ 1 r Φ r 2Φ r 2 1 r2 2Φ θ2 15a Δ 2Ψ 1 r Ψ r 2Ψ r 2 1 r2 2Ψ θ2 15b 采用分离变量法， 对于线性系统中变换后势函数 的解可表达为如下形式 ［16 ］ Ψr∑ ∞ n 0 fr r， s， n sinnθ， Ψθ∑ ∞ n 0 gθ θ， s， n cosnθ 15c 将式 15 代入式 13 ， 整理后可分解为两个不同 的波数方程 r2f ″ r rf r－ ［ k2 1r 2 n2］ fr 0 16a r2g ″ θ rg θ－ ［ k2 2r 2 n2］ gθ 0 16b 式 16 是 n 阶虚宗量 Bessel 函数， ki为波数，下 标i 1， 2。 式 16 中， 势函数在极坐标下的通解可用 Bessel 函数线性组合的形式表达 Φ ∑ ∞ n 0［ K n k1r A1cosnθ B1sinnθ In k1r A2cosnθ B2sinnθ ］ 17a Ψ ∑ ∞ n 0［ K n k2r C1cosnθ D1sinnθ In k2r C2cosnθ D2sinnθ ］ 17b 式中 Ai、 Bi、 Ci、 Di， i 1， 2为待定系数， In 为第一类 虚宗量 Bessel 函数， Kn 为第二类虚宗量 Bessel 函数。 根据本文假设， 在无限空间中， 在 r→ ∞ 时， 须满 足 u， v→0， In不满足假设， 因此待定系数 A 2、 B2、 C2、 D2 0， 则岩体势函数可表示为 Φ ∑ ∞ n 0 Kn k1r A1cosnθ B1sinnθ Ψ ∑ ∞ n 0 Kn k2r C1cosnθ D1sinnθ { 18 将式 18 代入表达式 9 ， 并考虑本构关系式 2 ， 可得极坐标下岩体中位移、 应力以势函数的表达如下 ur Φ r 1 r Ψ θ uθ 1 r Φ θ － Ψ r σr λ 1 Δ 2Φ 2μ 1 2Φ r 2  r 1 r Φ [] θ σθ λ 1 Δ 2 Φ 2μ 1 r 1 r 2Φ θ2 Φ r 1 r Ψ θ － 2Ψ r θ σ rθ μ 1 2 1 r 2Φ rθ － 1 r2 Φ θ 1 r2 2Ψ θ2 － r  r 1 r Ψ  []                r 19 452振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 式 中 ur L［ ur］ ， uθ L［ uθ］ ， σr L［ σr］ ， σθ L［ σθ］ ， σ rθ L［ σ rθ ］等表示在 Laplace 域下的应力位 移; Φ， Ψ 由式 18 确定。 3边界条件以及数值求解 本文研究在无限空间中半径为 a 的圆柱形洞室在 内部受非均匀性冲击荷载作用如图1 所示。确定待定系 数与波场关系后， 利用边界条件求解上述势函数中的待 定系数， 考虑圆形洞室与岩体交界面的边界条件可得 当 r a 时， σr － f θ， s σ rθ { 0 20 本文为求径向非均匀瞬态荷载下的动力响应表 达， 荷载形式如下所示， 将脉冲荷载表达式进行 Laplace 变换， 得到 Laplace 变换域下表达， 其表达式为 f θ， s 2e － sT e － sT 2 －1 2F 0f θ s2T f θ 1 cos2θ b2 sin2θ c 槡        2 21 式中 f θ 可为任意形式的径向非均匀动荷载; b， c 为 径向非均匀荷载形状参数; T 为三角形脉冲荷载的 周期。 将 Laplace 变换域下应力方程， 代入边界条件 σr － f θ， s ， σ rθ 0， 并利用三角函数的正交性， 可求解出 势函数中各待定系数， 其系数矩阵表达如下 P1100P12 0P13P140 0E11E120 E1300E             14 Al1 Bl1 Cl1 Dl             1 － M1             0 0 0 22 式中 P11、 P12、 P13、 P14、 E11、 E12、 E13、 E14为系数项， 具体 表达详见附录。通过矩阵求解出待定系数后， 代入式 19 中即可求出频域下应力与位移的解。 求得频域解答后， 由于半解析解的形式直接进行 Laplace 逆变换较为困难， 利用 Laplace 数值逆变换， 转 换为时域中的解， 本文采取的是 Durbin［17 ］数值逆变换 方法， 其变换表示为 f t* 2eat * T ∑ NSUM k 0 Re F α ik 2π T cosk 2π T t* [ － 1 2 Re F α －∑ NSUM k 0 Im F α ik 2π T sink 2π T t ] * 23 根据收敛准则确定 NSUM 的范围 Re F α iNSUM 2π {} T ≤ εT exp αT Im F α iNSUM 2π {} T ≤ εT exp αT 24 式中 T 为 时 间 间 隔， i － 槡 1，为 保 证 精 度 需 求 NSUM 50 － 5 000。本文的取值 NSUM 4 200， T 20， α 0． 25。 4计算结果与算例分析 4． 1结果验算 1 为了验证本文计算的合理性与正确性， 将本文 计算结果与文献［ 1］ 结果进行对比。为此将本文求解 的径向非均匀瞬态荷载退化为径向均匀的瞬态荷载， 即选取 b c 1， F00． 1 MPa， λ 1． 73 108Pa， a 3。 计算所得无量纲环向应力、 径向位移随时间分布图， 如 图 3 所示。本文在 t* 8 与 t* 18 峰值位置结果稍 小， 原因是参考文献［ 1］ 采用的数值逆变换方法与本文 不同， 在数值逆变换时无法完全拟合出对应的实部项 α 值。其次激励函数局部时间换算至全局时间过程取值 偏大， 将造成波数到达峰值时间略微推后。由图 3 可 知， 本文在环向应力的变化趋势上与文献［ 1］基本一 致， 说明了本文公式推导结果的合理性。 图 3本文退化为均匀的瞬态荷载与文献［ 1］ 结果比较 Fig． 3 Comparison of variation of hoop stress with time between present work and Ref．［ 1］ 2 另将本文计算结果与文献［ 18］ 数值模拟结果 相对比， 进一步验证推导结果的正确性。本文模型取 值令 F00． 068 7 MPa， a 0． 02 m， b 5， c 4， 土体物 理力学参数等与文献［ 18］ 一致， 计算所得沿洞室径向 不同位置处的正应力， 如图 4 所示。图中 r 表示 θ 0 位置上距洞室内表面的距离， 由图可知正应力分布曲 线与文献［ 18］ 数值模拟结果吻合较好， 由此说明了本 文推导结果的正确性。 图 4本文计算结果与文献［ 18］ 结果比较 Fig． 4 Result comparisons between calculation results presented in this paper and those in Ref．［ 18］ 552第 20 期耿大新等 圆形洞室在径向非均匀荷载下的瞬态响应 ChaoXing 4． 2算例分析 考虑洞室 r a 处 内表面 各个角度 θ 0， 30， 60， 90对土体应力位移响应的影响， 土体的基本参 数， 见表 1。 表 1计算参数 Tab． 1 Calculation parameters 参数数值 土体泊松比 v0． 3 衬砌密度 ρs2 700 kg/m3 Lame 常数 λ11． 73 108Pa 剪切模量 μ11． 15 108Pa 荷载最大值 F0 0． 1 MPa 洞室半径 a 3 m 集中荷载形状参数 b， c2， 1 图 5 表示洞室内壁， 不同角度上的应力与位移响 应值。从图 5 a 曲线可知， t*＞10 时各角度位移响应 曲线基本趋近于 0。随着 θ 角 0→90变化， 环向位移 先增大后减小， 0、 90的响应值为零。由于环向相互 挤压变形， 导致 uθ随时间增大， 各角度到达峰值的时间 不同并且数值上差距较大。特别地， 当接近 t*2 时， 30处位移开始减小， 60位置处的位移刚到达最大值。 表明在 30位置位移开始减小时， 使得同一内径上 60 位置的环向位移值有一小幅上升的阶段， 每个 θ 角的 振动是独立且异步的。图 5 b 中可以看出不同角度 对径向位移的影响十分显著。当 θ 从 0→30时， 径向 位移峰值减小近 20。而 θ 持续增加到90时， 位移峰 值衰减速率逐渐放缓， 愈接近 90位置， 衰减越慢， θ 对 径向位移的影响越小。与环向位移不同是各角度到达 峰值的时间相同， 振动是同步的。其中 θ 0时位移的 幅值最大， 与假设激励函数性质相同。在考虑径向非 均匀的脉冲荷载最大位移响应时， 应充分考虑 0即荷 载集中位置的情况。 图5 c 、 d 应力在 t*1 附近到达最大值， 且各角 度到达峰值的时间都相同， 环向与径向均处于受压状态。 随时间推移， 环向应力由相互挤压状态变为环向拉伸状 态， 直至趋于稳定。θ 角 0→90时应力幅值逐渐减小， 变化规律基本相同。并且 θ 改变时不仅影响应力峰值， 也导致不同角度上应力衰减的速率有所差异。由图 c 、 d 可知 θ 从 0 ～90方向上其衰减速率逐渐减小， 在 θ 0方向上能量扩散速度最快。图5 e 所示剪切应 力随时间波动递减， 呈往复态势。应力减小至 t*2 时 有一显著增大过程， 越靠近 90位置往复性越明显， 剪切 响应越小， 直到趋近0。此现象类似于环向应力， 不同之 处是环向应力随时间推移沿洞室环向拉压状态改变， 而 剪应力虽呈往复态势， 但剪切方向不会改变。 图 5不同角度对洞室内表面 r a 位移应力响应的影响 Fig． 5 Displacement stress response of the chamber surface at different angles 考虑不同径向距离对土体应力位移响应的影响， 图 6 给出 r* r/a， r 分别取 1 倍、 1． 2 倍、 1． 4 倍、 和1． 6 倍洞径， 角度取 θ 0或 30的应力位移随时间变化分 布曲线。由于 θ 0时环向位移为零， 无法考虑环向位 移的波动关系， 故任取一角度研究其波动关系， 此算例 取 30时的环向位移进行分析， 下同。值得注意的是， 652振 动 与 冲 击2019 年第 38 卷 ChaoXing 从图 a 、 b 位移曲线来看， 尽管 r*增加位移响应进 入峰值的时间各不相同， 但是不同 r*对应的曲线几乎 是同一时间衰减至 0。距离荷载中心位置越远， 振动到 达峰值的时间越长， 振动衰减的越快。 从径向与环向应力图来看， 图 6 c 、 d 曲线都 是随 r*增大响应逐渐减小。径向应力波动周期比 环向周期明显要短， 在 t* 2 左右就衰减至零。环 向应力波动时间之所以更长， 是因为在同一土环内， 环向会受到相互挤压作用， 造成波动持续的时间更 长。然而无限空间下， 径向不存在相互作用， 应力随 着入射波不断向远处传播而越来越小， 波动周期的 也更短。 图 6不同径向距离对同一角度下位移应力响应的影响 Fig． 6 Displacement stress response at different radial distances at the same angle 对不同拉梅常数下的应力位移时域响应进行分 析， 剪切模量 μ01． 15 108Pa， μ 取0． 1、 0． 3、 0． 5 倍的 剪切模量， θ 分别取 0或 30， 其他参数如表 1 所示。 图 7 a 、 b 计算结果表明不同剪切模量对响应有显 著影响。对于三角形脉冲荷载， 剪切模量增加不仅使 位移响应值提前到达最大值， 并且也导致峰值大幅度 降低。这表明介质刚度越大， 对变形吸收越多， 位移响 应也逐渐减弱。而剪切模量变化对位移响应的衰减速 率没有影响。当剪切模量较小时， 位移响应的周期也 越长， 剪切模量越大， 波动的时间越短， 响应越早趋于 平稳。 图 7 c 为剪切模量对应力响应的影响， 由图可知 剪切模量的增加使环向应力值提前到达最大值， 当剪 切模量增大至 0． 3μ0后， 剪切模量对响应到达峰值的 时间的影响降低， 0． 3μ0以后的曲线几乎同一时刻到达 峰值。而应力峰值的变化规律与位移响应规律相反， 随剪切模量增大应力峰值越来越大， 响应也愈加明显。 从图中曲线可知， 剪切模量对其衰减速率有显著影响， 剪切模量增大时， 应力衰减速率逐渐增大， 相对于位移 曲线没有表现出这种规律。并且位移与应力曲线都是 在 t * 1 左右达到峰值， 符合时域特征激励函数的 假设。 图 7不同剪切模量对同一角度下位移应力响应的影响 Fig． 7 Displacement stress response of different shear modulus at the same angle 考虑不同时刻下的沿洞室环向应力位移时域响 应， 取洞室内表面 r a 处。土体参数见表 1， t*分别取 0． 5 s、 1 s、 3 s、 5 s、 10 s 五个瞬时点。从图 8 a 可知， 在波动初始阶段 t*0． 5 时， 环向在接近 15位置位移 最大， 在 t* 1 时环向位移最大值在 30。当 t* 3 时， 环向位移最大值在 60位置出现， 这说明随时间推 移环向位移极值会随角度发生改变， 各时刻下每个角 度上的振动都是独立的， 并不是同步到达峰值后衰减。 在施加荷载初始阶段 t*＜ 3 时， uθ出现峰值的角度随 时间增大而增大。径向位移曲线分布如图 b 所示， 不 同 t * 下， 最大位移出现在洞室 θ 0和 θ 180位置。 时间变化并不影响径向位移峰值的位置， 并且越接近 90位置位移响应衰减越多。从位移响应可知， 在 t*＞3后位移波动趋于平稳， 径向位移的响应值远大于 752第 20 期耿大新等 圆形洞室在径向非均匀荷载下的瞬态响应 ChaoXing 环向位移。 图8 b 、 c 为环向应力与径向正应力沿洞室内表 面的分布。在三角形脉冲荷载作用下， 环向应力状态会 发生改变， 初始阶段环向受压， 随环向响应增大， 环向应 力逐渐变为受拉。并且环向应力的极值随时间转动。当 t*0．5， 环向应力在0和180取极大值， 当t*3 时， 极 大值发生在90和270位置。与环向应力规律不同的是 径向正应力绝大数都是受压状态， 时间不会改变径向拉 压状态。由此可以看出在洞室内表面位置， 不同瞬时的 差别， 直接影响曲线出现极值的位置。 图 8不同瞬时对洞室内表面 r a 位移应力响应的影响 Fig． 8 Displacement stress response of the chamber surface at different time 5结论 本文基于弹性动力学理论， 建立无限介质中圆形隧 道的径向非均匀瞬态荷载模型。采用波函数展开法， 并 利用三角函数正交性， 求得洞室在非均匀瞬态荷载下频 域内的半解析解， 通过 Laplace 数值逆变换得到时域下 应力位移的解答。此外， 通过算例还分析了不同角度、 介 质模量等对响应的影响。并得到了以下结论 1 径向非均匀荷载作用下， 环向位移响应随时间 推移， 各个角度的振动都是异步的， 在各角度的振动到 达峰值的时间各不相同， 其中角度为 0、 π/2、 π 等位置 处的环向位移为零。环向应力在拉压状态改变后峰值 衰减也具有异步性， 在径向应力和位移中并未出现类 似现象。且在径向非均匀荷载作用时， 由于环向响应 的异步性， 也使得结构发生破坏的几率增大。 2 在径向非均匀荷载作用时， 洞室环向应力与位 移的极值位置随时间推移发生旋转。在 t*＜1 荷载施 加初始阶段， 环向受到相互挤压， 应力极值所在位置在 0 － π 内随时间增大而增大。t*＞ 1 荷载释放过程中， 环向由受压状态变为受拉状态， 位移响应逐渐增强， 位 移的极值位置也开始旋转， 位移旋转速率明显慢于 应力。 3 剪切模量对圆形洞室响应的影响较大， 不仅使 应力位移响应的峰值提前到达， 并且极大的影响响应 的幅值。剪切模量越大时， 位移幅值越低， 应力的幅值 越高。 4 环向位移与径向相比， 其响应恢复到稳定的时 间更长， 环向振动的周期大于径向。由于应力拉压状 态发生改变， 当 t*＞4 时， 洞室内表面出现微小的负位 移。θ 在0 与 π 荷载径向集中处， 不论是径向或环向应 力其波动幅值明显大于其他方向， 且径向应力、 位移的 最值大于环向。 参 考 文 献 ［1］ SENJUNTICHAI T， RAJAPAKSE R K N D．Transient response of a circular cavity in a poroelastic medium［J］ ． International Journal for Numerical ＆ Analytical s in Geomechanics， 1993， 17 6 357 －383． ［2］ GAO G Y，GAO M，SHI G．An analytical solution on vibration response of thelining subjected to internal loading ［ C］ ∥In Proceedings of the fourth inter- national symposium on environmental vibration prediction，monitoring mitigation and uation，Beijing，China，October． 27 － 30． Beijing ScienceExpress; 2009 344 －51． ［3］ GAO M，WANG Y，GAO G Y，et al． An analytical solution for the transient response of a cylindrical lined cavity in a poroelastic medium ［J］ ．SoilDynamics＆Earthquake Engineering， 2013， 46 1 30 －40． ［4］ COSKUN I，ENGIN H，OZMUTLU A． Dynamic stress and displacement in an elastic half- space with a cylindrical cavity ［ J］ ． Shock ＆ Vibration， 2015， 18 6 827 －838． ［5］ 陆建飞，王建华． 饱和土中的任意形状孔洞对弹性波的 散射［ J］ ． 力学学报， 2002， 34 6 904 －913． LIU Jianfei， WANG Jianhua． The scattering of elastic waves by holes of arbitrary shapes in saturated soil． ［J］ ．Acta Mechanica Sinica， 2002， 34 6