周期分布不规则体对弹性波的二维散射_巴振宁.pdf

书书书  振动与冲击 第 39 卷第 14 期JOURNAL OF VIBRATION AND SHOCKVol．39 No．14 2020 基金项目国家自然科学基金 51778413; 51578373 收稿日期2018 －12 －19修改稿收到日期2019 －03 －26 第一作者 巴振宁 男， 教授， 博士生导师， 1980 年生 周期分布不规则体对弹性波的二维散射 巴振宁1， 2，高旭1，梁建文1， 2 1． 天津大学建筑工程学院， 天津 300072; 2． 天津大学滨海土木工程结构与新材料教育部重点实验室， 天津 300072 摘要建立了一种基于均布线载动力格林函数的周期间接边界元方法 PIBEM ， 进而研究了全空间中周期分布 不规则体对弹性波的散射问题。方法利用平面波入射下， 各不规则体周围波场频域内仅相差一个相位的特征， 仅需针对 其中一个不规则体进行离散和求解， 即可求得问题的解; 相对于选取有限多个不规则体进行近似求解的方法， 该方法具有 较高精度的同时， 最大限度的降低了求解自由度; 在对方法正确性验证的基础上， 以全空间中空洞和加塞两种模型为例开 展了数值计算分析， 重点探讨了空洞形状、 空洞间距和加塞刚度等参数对减振效应的影响。数值分析结果表明 周期分布 空洞与多个空洞的位移幅值具有差异， 且频率低时差异更为显著; 三种形状空洞中， 周期分布圆形空洞减振效果最佳， 周 期分布三角形空洞减振效果最差; 周期分布加塞与周期分布空洞减振原理不同， 加塞通过消耗地震波的能量减振， 而空洞 通过阻隔地震波减振; 周期分布软加塞的消能减振效果优于周期分布硬加塞。 关键词周期分布不规则体; 格林函数; P 波和 SV 波; 散射 中图分类号P315． 3文献标志码ADOI 10． 13465/j． cnki． jvs． 2020． 14． 029 Two- dimensional scattering of elastic waves by periodic distribution irregularities in an elastic full space BA Zhenning1， 2，GAO Xu1，LIANG Jianwen1， 2 1． School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China; 2． Key Laboratory of Coast Civil Structure Safety， Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China Abstract A periodic indirect boundary element PIBEMbased on the dynamic Green’ s functions of unily distributed loads was used to study the scattering and diffraction of plane P-waves and SV- waves by periodically distributed irregular bodies in a full- space． By virtue of the fact that the dynamic responses around each of the canyons along the x- axis has the particular feature of repeating themselves with a certain delay of phase in frequency domain，the effort can be reduced to discretize and solve only a single irregular body． Compared with the of truncating a finite number of irregular bodies for approximate solution，the proposed in this paper has the advantages of higher precision and greater memory reduction． The accuracy of the was verified by comparing its degenerated results with published results． Numerical calculations were pered for the periodically distributed cavities and cavities with media in frequency domain and the influences of the cavity shape，spacing and stiffness of media on the vibration- isolating effect were discussed． The numerical results show that the displacement amplitude in the case of periodically distributed cavities is different from that in the case of multiple cavities，and the difference is significant at low frequency，indicating that it is difficult to obtain accurate solutions by truncating a finite number of cavities． Among three kinds of shaped cavities，the periodically distributed circular cavities have the best vibration- isolating effect，and the periodically distributed triangular cavities have the worst． The principle of periodically distributed cavities is different from that of periodically distributed cavities with media，the later consumes the energy of seismic waves to reduce earthquake effect，while the er blocks seismic waves to reduce earthquake． The vibration- isolating effect of periodically distributed cavities with flexible media is better than that of periodically distributed cavities with rigid media． Key wordsperiodically distributed heterogeneous bodies;Green’ s functions;P- waves and SV- waves;scattering and diffraction ChaoXing Pao 等 ［1 ］， 采用波函数展开法， 开创性地解决了全 空间中单个空洞在弹性波入射下的动应力集中问题。 从此之后， 空洞对弹性波的散射问题一直是国内外颇 为引人关注的问题之一。 目前， 已有诸多学者针对空洞对弹性波的散射问 题开展了理论研究， 其分析方法主要分为解析法和数 值法两大类。解析法方面 刘殿魁等 ［2 ］采用波函数展 开法和 “分区契合” 技术， 求解了在 SH 波入射下全空 间中圆孔附近的动应力集中响应; Lee［3 ］创造性的利用 大圆弧假定将解答推广到半空间中， 得到了圆形空洞 对入射平面 SH 波散射的解析解; Lee 等 ［4 ］对半空间中 单个衬砌空洞对平面 SH 波的散射问题进行了研究; 罗 昊 ［5 ］运用构造辅助函数法给出了凸起地形下圆形空洞 对入射 SH 波散射的封闭解; 丁美 ［6 ］运用镜像法得到 了， 在柱面 SH 波入射下衬砌空洞的散射解析解。由于 波型转换问题的存在， 空洞对 P 波和 SV 波的散射问题 就显得复杂的多。直到 1993 年， Lee 等 ［7 －8 ］才分别给 出了 P 波和 SV 波入射下圆形空洞散射的解析解; 纪晓 冬 ［9 ］得到了单个衬砌空洞对平面 P 波散射的解析解; 梁建文等 ［10 ］采用波函数展开法得到了在饱和半空间中 圆形空洞对平面 P 波散射问题的解析解。 虽然解析法在问题本质分析方面有着数值法不可 替代的作用， 但是因波动问题的复杂性， 解析法对复杂 截面问题的研究不太适用， 且解析法多针对于 SH 波入 射的情况。由于波形转换问题的存在， P 波和 SV 波入 射时， 较难获得解析解。故目前学者多采用数值方法 研究此类问题。Barros 等 ［11 ］采用间接边界方程法， 求 解了层状黏弹性半空间中圆柱形空洞对斜入射波的散 射问题; Kattis 等 ［12 ］运用边界元法研究了 P1 波和 SV 波入射时均匀无限饱和空间中无衬砌隧道和衬砌隧道 的应力集中问题; Stamos 等 ［13 ］采用边界元法求解了均 匀半空间中无限长圆柱形隧道对地震波的三维散射问 题; Niu 等 ［14 ］采用边界元法研究了三维均匀半空间中 任意形状空洞对弹性波散射的问题; 梁建文等 ［15 ］运用 间接边界元法分析了在平面 P 波入射下二维层状半空 间中空洞的散射问题; 刘中宪等 ［16 ］运用间接边界元法 求解了平面 P 波和 SV 波入射下弹性半空间中衬砌隧 道的散射问题; 梁建文等 ［17 －19 ］采用间接边界元法， 分 别研究了半空间中三维空洞对平面 P 波、 SV 波和 SH 波的散射作用。 值得注意的是， 以上文献多以单个模型作为研究 对象， 目前， 针对多个空洞对弹性波散射的研究还很 少。据作者所知， 有熊体凡等 ［20 ］和梁建文等［21 ］分别采 用边界元法和波函数展开法研究了半空间中多个空洞 对波的散射问题。然而， 对于更加复杂的周期分布 无 限多个 空洞对弹性波的散射问题还鲜有学者进行研 究。值得注意的是， 全空间中周期散射问题在光学、 电 磁学、 声学等领域具有广泛的应用价值。光学领域中 的周期性纳米结构可以用于提高太阳能电池的转化效 率 ［22 ］; 周期性结构散射体在电磁学中也具有广泛应用， 如滤波器、 相控阵天线等 ［23 ］; 声波在周期性结构的散射 下会使一定频率范围内的声波的传播被抑制或禁止， 故周期结构在无源隔声等领域也具有广泛应用前 景 ［24 ］。然而， 目前针对周期分布不规则体情况的精确 求解在数学处理上仍具有一定的困难， 如果直接选取 有限个不规则体进行求解， 则会因放松其他不规则体 的边界条件， 引入误差的同时， 极大的增加计算量和存 储空间。有时甚至难以求解。因此， 本文提出了一种 新的以全空间周期分布线载动力格林函数为基础的间 接边界元法来求解此问题。此方法在提高求解精度的 同时也大大减少了储存空间。值得注意的是本文提出 的方法对任意截面形状的空洞 不规则体 均适用。文 中对提出的方法进行了介绍和验证， 并以全空间中周 期分布空洞和加塞为例， 进行了数值计算分析。通过 问题的研究， 本文阐明了周期分布空洞间相互作用对 弹性波散射的影响， 同时说明了， 在一定的频率范围内 周期分布空洞或加塞对 P 波和 SV 波有阻挡作用。 1模型与计算方法 模型如图 1 所示。周期分布任意截面形状不规则 体 标号为不规则体“－ ∞” ， ，“－ 2” ， “－ 1” ， “0” ， “ 1” ， “ 2” ， ， “∞” 位于全空间中， 各个不规则体与全 空间交界面分别为 S － ∞， ， S－2， S－1， S0， S1， S2， ， S∞ 。 各个不规则体沿 x 轴等间距周期分布， 间距距离为 L。 入射波为平面 P 波和平面 SV 波， 入射方向与 x 轴夹角 为 ψ， 入射圆频率为 ω。 从图 1 可知， 全空间中周期分布不规则体对平面 P 波和 SV 波的散射属于无限边界的散射问题。如果直 接选取研究区域中有限个不规则体进行求解， 则会放 松其他不规则体的边界条件， 引入误差的同时， 也极大 的增大了计算量和存储空间。有时甚至难以求解。但 值得注意的是， 图 1 的模型在平面 P 波和 SV 波入射 时， 各个不规则体周围的波场完全相同， 仅因 x 轴位置 上的差异在时域中存在一个时间差 在频域中存在一 个相位差 ， 因此只要其中任一不规则体的边界条件得 到满足， 其余不规则体的边界条件也将自动满足［25 ］。 利用这一特点， 我们可以仅对一个不规则体进行离散 和求解， 即可得到问题的解。 具体求解时， 我们选取标号为 “0” 的不规则体进行 求解。然后针对求解区域， 如图 2 所示。采用“分区契 合” 方法将求解区域分解为加塞闭合域 ΩH和加塞外部 开口域 ΩL。加塞内闭合域 ΩH内仅存在散射波场， 加 202振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 塞外部开口域 ΩL存在自由波场和散射波场。ΩH中的 散射波场完全独立， 不受其他加塞闭合域的影响， 因而 本文采用文献［ 26］ 中提出的全空间均布线荷载动力格 林函数， 通过在边界 S0上的各离散单元上施加虚拟均 布荷载产生动力响应来模拟。ΩL中的自由波场的求 解过程本文不再赘述， 具体求解过程见文献［ 27］ 。针 对于 ΩL中的散射波场， 考虑到各个不规则体产生的散 射波场完全相同， 仅因 x 轴位置上的差异而在频域中 存在一个相位差， 因而本文在 Snchez- Sesma 等研究中 全空间均布线荷载动力格林函数的基础上提出了全空 间周期分布线载动力格林函数， 进而通过在不规则体 与全空间交界面 S0上的离散单元上施加虚拟周期分布 线载产生的动力响应来模拟散射场。以下将详细叙述 加塞闭合域 ΩH和加塞外部开口域 ΩL散射波场的具体 构造过程。 图 1全空间中周期分布不规则体平面 P 波和 SV 波入射模型 Fig． 1 Model of scattering of plane P wave and SV wave by periodic irregular bodies in a full- space 图 2求解模型分区示意图 Fig． 2 Decompose the model into a closed irregular body and an opened full- space 1． 1基于均布线载构造闭合域波场 本文采用 Snchez- Sesma 等给出的全空间均布荷 载动力格林函数来模拟闭合域波场。假定“0” 号不规 则体与全空间交界面 S0被离散为 K 个线单元， 每个单 元长度为 ΔSl l 1 ～ K 。在边界上某一单元 ξl xl， zl 处施加均布荷载时， 任意一点 x x，z 处的位移和 牵引力 假定该点所在单元的法向量已知 可表示为 usi x∑ K l 1 glij x， ξl  j ξ l ， i， j 1， 3 1 tsi x∑ K l 1 tlij x， ξl  j ξ l ， i， j 1， 3 2 式中， i， j 1， 3， 数字 “ 1” 和 “ 3” 分别为 x 方向和 z 方向; 上标 “s” 为散射场; j ξ l 为沿 j j 1， 3 方向作用的虚 拟均布荷载密度; glij x， ξl 和 tlij x， ξl 分别为二维平面 内全空间线均布荷载的位移和牵引力动力格林函数， 表示在边界 S0上第 l 个单元 中点为 ξl 作用沿 j 方向 的单位均布荷载时， 在 x 点产生的沿 i 方向的位移和牵 引力。线均布荷载动力格林函数可通过沿每个单元积 分集中力源动力格林函数求得 glij x， ξl∫ ξl ΔS l 2 ξl－ ΔS l 2 Gij x， ξl dSξ， i， j 1， 3 3 tlij x， ξl 0．5δnl∫ ξl ΔS l 2 ξl－ ΔS l 2 Tlij x， ξl dSξ， i， j 1， 3 4 式中 ΔSl为第 l 个单元长度; δnl为狄拉克函数; G 和 T 为在点 ξl xl， zl 处作用集中力源时， 在点 x 处产生 的位移和牵引力， 其表达式为 Gij x， ξl ［ δijA － 2γiγj － δ ij B］/ 8iρ ， i， j 1， 3 5 Tij x， ξl XVγjni YV γinj γ knkδij ZVγiγjγknk， i， j 1， 3 6 302第 14 期巴振宁等周期分布不规则体对弹性波的二维散射 ChaoXing 式中V iμ 2ρr;X B λD qr 2μα2 ;Y B D kr 2β 2 ; Z C －4B; 其余各参数可见 Snchez- Sesma 等的研究。 1． 2开口域散射波场和全空间周期分布动力格林 函数 依据前文所述， 本文提出了通过在“0” 号不规则体 与全空间交界面 S0上的离散单元上施加虚拟周期分布 荷载产生的动力响应来模拟散射场。 如图 3 所示， 全空间中周期分布荷载 q 对任意一 点 x x，z 处的位移和牵引力可分别表示为 图 3全空间中周期分布荷载动力函数示意图 Fig． 3 Periodically distributed loads acting on inclined lines in a full- space use， i ∑ ∞ n －∞ usn， i x ∑ ∞ n －∞∑ K l 1 gln， ij x， ξn， l  n， l ξ n， l ， i， j 1， 3 7 tse， i ∑ ∞ n －∞ tsn， i x ∑ ∞ n －∞∑ K l 1 tln， ij x， ξn， l  n， j ξ n， l ， i， j 1， 3 8 式中 上标 “s” 为散射场; us n， i x 和 t s n， i x 分别为在第 “n” 个均布荷载作用下对任意一点 x x，z 处的位移 和牵引力; gln， ij x， ξn， l 和 t l n， ij x， ξn， l 分别为在第“n” 个 均布荷载作用下的位移格林函数和牵引力格林函数， 分别表示在边界 Sn上第“l” 个单元作用沿 j 方向的单 位均布荷载时， 在任意点 x x，z 产生的沿 i 方向的 位移和牵引力; n， j ξ n， l 为沿 j j 1， 3 方向作用的第 “n” 个虚拟均布荷载密度; ξn， l为边界 Sn的第“l” 个 单元。 值得指出的是， 第“n” 个均布荷载和第“0” 个均布 荷载作用下对任意一点 x x，z 处产生的位移和牵 引力可表示为 usn， i x∑ K l 1 gln， ij x， ξn， l  n， j ξ n， l ， i， j 1， 3 9 tsn， i x∑ K l 1 tln， ij x， ξn， l  n， j ξ n， l ， i， j 1， 3 10 us 0， i x∑ K l 1 gl0， ij x， ξ0， l  0， j ξ 0， l ， i， j 1， 3 11 ts 0， i x∑ K l 1 tl0， ij x， ξ0， l  0， j ξ 0， l ， i， j 1， 3 12 利用在 x 轴上的位置差异而导致在频域中存在一 个相位差的特性， 可知第“n” 个荷载作用下在 x x，z 处产生的位移和牵引力与第“0” 个荷载作用下 在 x x － nL，z 处产生的位移和牵引力应相同 在 考虑相位差的影响后 。由图 1 以及式 9 、 式 10 、 式 11 和式 12 可得 usn， i x eiknL∑ K l 1 gl0， ij x， ξ0， l  0， j ξ 0， l ， i， j 1， 3 13 tsn， i x eiknL∑ K l 1 tl0， ij x， ξ0， l  0， l ξ 0， l ， i， j 1， 3 14 式中 x x － nL，z ， L 为周期分布荷载间的距离; k ω/ca， ω 为圆频率， ca cp/cos ψ 或 ca cs/cos ψ 为 平面 P 波和 SV 波沿 x 轴传播的视速度， cp和 cs分别为 压缩波速和剪切波速。将式 13 和式 14 分别代入式 7 和式 8 则可得到用“ 0” 号荷载表示的周期分布荷 载作用下的位移和牵引力 use， i∑ K l 1 ∑ ∞ n －∞ ejknLgl0， ij x， ξ0， l ，  0， j ξ 0， l ， i， j 1， 3 15 tse， i∑ K l 1 ∑ ∞ n －∞ eiknLtl0， ij x， ξ0， l  0， j ξ 0， l ， i， j 1， 3 16 式中∑ n ∞ n － ∞e iknLgl 0， ij x， ξ0， l 和 ∑ n ∞ n － ∞e iknLtl 0， ij x， ξ0， l 为周 期分布线载动力格林函数; eiknL为因 x 轴上的位置差异 而产生的相位差。 1． 3边界条件及问题求解 1． 3． 1空洞边界条件及问题求解 如上所述， 本文只需满足任意一个不规则体的边 界条件， 故以边界 S0上的一个离散单元为例进行叙述， 若不规则体为空洞， 则边界条件可以表示为 ts， L e， i tf 0， i， j 1， 3 17 式中 ts， L e， i tl0， ijL 0， j， 上标 “s” 和“f” 分别为散射场和自由 场; 上标 “L” 为全空间; ts， L e， i 和 t f 分别为散射场和自由场 的应力， 可分别由式 16 和 Wolf 的研究获得， L 0， j为虚 拟荷载密度。 402振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 由式 17 可求得虚拟荷载密度 L 0， j。故任意一点 x x，z 处位移和应力可以分别表示为 ui us， L e， i ufi， i， j 1， 3 18 ti ts， L e， i lfi， i， j 1， 3 19 式中 上标 “s” 和 “f” 分别为散射场和自由场; us， L e， i和 t s， L e， i 分别为全空间的位移和应力， 可由将 L 0， j分别代入式 15 和式 16 求得; ufi和 tfi分别为自由场的位移和应 力， 具体求解方法详见 Wolf 的研究。 1． 3． 2加塞边界条件及问题求解 同样， 若不规则体为加塞， 也以边界 S0上的一个离 散单元为例进行叙述， 应力和位移连续条件可以表 示为 ts， L e， i tfi ts， V i ， i， j 1， 3 20 us， L e， i ufi us， V i ， i， j 1， 3 21 式中 上标 “s” 和“f” 分别为散射场和自由场， 上标“L” 和 “V” 分别为全空间和加塞; ts， L e， i tl0， ijL 0， j， t s， V i tlijV j， us， L e， i ul0， ijL 0， j， u s， V i ulijV j; t s， L e， i 和 t s， V i 分别为全空间和加 塞的应力， 可由式 16 和式 2 获得; us， L e， i和 u s， V i 分别为 全空间和加塞的位移， 可由式 15 和式 1 获得; tfi和 ufi分别为自由场应力和位移， 可由文献［ 27］获得; L 0， j 和 V j 为虚拟荷载密度。 由式 20 和式 21 可求得虚拟荷载密度 L 0， j和 V j。故任意一点 x x，z 处的位移和应力可以分别 表示为 ui us， L e， i ufi， i， j 1， 3 22 ti ts， L e， i tfi， i， j 1， 3 23 式中 上标 “s” 和 “f” 分别为散射场和自由场; us， L e， i和 t s， L e， i 分别为全空间的位移和应力， 可由将 L 0， j分别代入式 15 和式 16 求得; ufi和 ufi分别为自由场的位移和应 力， 具体求解方法详见 Wolf 的研究。 2验证 Pao 等采用波函数展开法求解了全空间中单个空 洞在弹性波入射下的动应力集中问题。本文通过与 Pao 等研究中的动应力集中因子解析结果的比较来验 证方法的正确性。计算中， 取泊松比 μ 0． 25， 剪切波 数分别为 βa ωa/cs 0． 1、 1． 0 和 1． 5， ω 为圆频率， a 为空洞半径 计算时取 1． 0 ， cs为剪切波速， 不考虑阻 尼的影响。平面 SV 波入射角度为 0 表示水平入 射 。且经验算将空洞间距取为 L/a 500， 周期分布空 洞可退化为单个空洞。从图 4 可知， 本文结果 图 4 b 与 Pao 等的研究 图 4 a 的结果比较吻合， 从 而证明了本文方法的正确性。 除此之外， 为了进一步验证本文方法的正确性， 本 文将周期空洞与多个空洞进行对比。实际上， 随着空 洞数量的不断增加， 多个空洞的结果应不断趋近周期 空洞的结果。计算中， 取泊松比 μ 0． 25， 阻尼比 ξ 0． 001， 无量纲频率 η ωa/πcs0． 5。平面 SV 波入射 角度为90， 空洞间距 L/a 8． 0。位移计算点 x 方向坐 标为区间 － 4． 0 ≤ x/a ≤4． 0， z 方向坐标为 z/a －1． 25。 无量纲位移幅值为 u/ASV和 w/ASV， 来分别 表示水平向位移幅值和垂直向位移幅值， 其中 ASV为入 射 SV 波的位移幅值。多个空洞的计算结果采用 Wolf 研究中所述方法求得。从图 5 可知， 随着空洞个数的 增加， 多个空洞的结果趋近于周期空洞的结果， 从而进 一步证明了本文的正确性。 图 4本文计算结果与 Pao 等研究的比较 Fig． 4 Comparison between the results given by the present and article 图 5周期空洞与多个空洞计算结果的比较 Fig． 5 Comparison between the results of periodic and multiple cavities 502第 14 期巴振宁等周期分布不规则体对弹性波的二维散射 ChaoXing 3算例与分析 3． 1周期分布空洞与多个空洞对比 为了研究周期分布圆形空洞与多个圆形空洞对 P 波和 SV 波的散射问题， 图 6 和图 7 给出了空洞间距为 L/a 8． 0 时， 单个空洞、 三个空洞、 五个空洞、 七个空洞 和周期分布空洞的位移幅值。其中， 单个空洞、 三个空 洞、 五个空洞和七个空洞的计算结果均采用 Wolf 研究 中所述方法求得。位移计算点 x 方向坐标为区间 －4． 0≤x/a≤4． 0， z 方向坐标为 z/a － 1． 5。无量纲 频率取为 η ωa/πcs 1． 0 和 1． 5。a 为圆形空洞半 径。计算中 P 波和 SV 波入射角度取 ψ 90， 不考虑 阻尼的影响， 取泊松比 μ 0． 25。无量纲位移幅值为 u/Ap u/ASV 和 w/Ap w/ASV ， 分别表示水平 向位移幅值和垂直向位移幅值， 其中 AP和 ASV分别为 入射 P 波和 SV 波的位移幅值。 从图 6 和图 7 可知， 多个空洞与周期分布空洞的 位移幅值具有差异， 且这种差异大小受到入射波频率 的影响。当 η 1． 0 时， 七个空洞与周期分布空洞位移 幅值在最值上具有 36． 78的差异， 而 η 1． 5 时， 差异 减小， 位移幅值最大值差异为 13． 45。由此说明通过 选取一定数量的空洞进行问题的求解存在一定的误 差， 而且大大增加了计算量和存储空间。 其次， 随着空洞数量的增加， 多个空洞与周期分布 空洞整体上具有相似的规律， 而单个空洞与周期分布 空洞的位移幅值空间分布具有较大的差异。除此之 外， 由于空洞间的动力相互作用， 空洞数量的增加， 使 得位移幅值整体上也成增大趋势。 图 6P 波入射时周期分布空洞与多个空洞位移幅值 Fig． 6 Displacement amplitudes of periodically and of multiple cavities during P- wave incidence 图 7SV 波入射时周期分布空洞与多个空洞位移幅值 Fig． 7 Displacement amplitudes of periodically and of multiple cavities during SV- wave incidence 602振 动 与 冲 击2020 年第 39 卷 ChaoXing 3． 2空洞间距对位移幅值的影响 为了研究空洞间距离对“0” 号空洞附近位移幅值 的影响， 图 8 和图 9 给出了全空间中周期分布圆形空 洞间距分别为 L/a 4． 0、 6． 0 和∞ 时 其中 L/a ∞ 代 表单个空洞 ， “ 0” 号空洞附近位移幅值云图。计算中， 位移计算点 x 方向坐标为区间 － 4． 0≤x/a≤4． 0， z 方 向坐标为区间 －2． 4≤z/a≤ －1． 4， 取无量纲频率 η 1．0， P 波入射角度取 ψ 0、 45和 90。取阻尼比 ξ 0． 001， 泊松比 μ 1/3。 从图 8 和图 9 可知， 空洞间距对位移幅值的空间 分布和幅值大小具有一定的影响。首先， 由于空洞间 相互作用， 随着空洞间距的减小， 位移幅值的空间分布 变得更加复杂。其次， 当 P 波水平入射时 ψ 0 ， 随 着空洞间距的减小， 水平向位移幅值 u/Ap和垂直向 位移幅值 w/Ap逐渐变小; 当 P 波斜入射 ψ 45 和 垂直入射时 ψ 90 ， 由于空洞间的动力作用， 随着空 洞间距的减小， 水平向位移幅值 u/Ap和垂直向位移 幅值 w/Ap逐渐变大。值得注意的是， 空洞间距为 L/a 4． 0的周期分布空洞， 位移幅值在区间－ 4． 0≤ x/a≤0． 0 和区间 0． 0≤x/a≤4． 0 两段上重复出现， 存在周期性， 这个现象也进一步证明了本文所述方法 的正确性。 图 8周期分布空洞与单个空洞位移幅值图 水平方向 Fig． 8 Displacement amplitudes of periodic cavities and single cavity horizontal direction 3． 3周期分布空洞位移幅值谱结果 为研究周期分布空洞对一定频率范围内 P 波和 SV 波的减振作用， 图 12 和图 13 给出了空洞间距为L/a 6．0时 ， “ 0” 号空洞附近观测点处位移幅值谱结果。其余 参数与图8 和图9 相同。圆形空洞的半径为 a。三角形 与矩形空洞尺寸及分布形式， 如图10 和图11 所示。 P 波入射时， 首先， 从图 12 可知， 对于垂直向位移 幅值， 在一些频率范围内， 周期分布空洞会对 P 波有一 定的减振作用 与自由场相比， 自由场位移幅值为 1． 0 。 对于空洞间的位移观测点 x/a 2． 0， z/a －1． 5;x/a 3． 0， z/a － 1． 5 ， 减振频率多集中于 η 1． 5 ～2． 0内。然而对于空洞后的位移观测点 x/a 0． 25， z/a － 1． 5;x/a 0． 5， z/a － 1． 5;x/a 0． 75， z/a － 1． 5 ， 减振频率范围在低频 0． 0≤η≤ 1． 0 、 中频 1． 0≤η≤2． 0 和高频 2． 0≤η≤3． 0 均有 分布。除此之外， 三种空洞形状的减振效果不尽相同， 整体上圆形空洞减振效果最佳， 三角形空洞减振效果 最差。 702第 14 期巴振宁等周期分布不规则体对弹性波的二维散射 ChaoXing 图 9周期分布空洞与单个空洞位移幅值图 垂直方向 Fig． 9 Displacement amplitudes of periodic cavities and single cavity vertical direction 图 10三角形空洞尺寸及分布形式 Fig． 10 Triangular cavity size and distribution 图 11矩形空洞尺寸及分布形式 Fig． 11 Rectangular cavity size and distribution 其次， 观测点和空洞形状等因素对位移幅值大小 有一定的影响 见图 12 。整体上， 空洞间位移观测点 处垂直向位移幅值的最值大于空洞后位移观测点处垂 直向位移幅值的最值。除此之外， 三种形状空洞垂直 向位移幅值大小关系总体为 三角形 ＞ 矩形 ＞ 圆形。 另外， 三种形状空洞位移幅值最大值所对应的频率范 围也是不相同的。对于圆形空洞， 其最值多分布于 η 0． 5 ～1． 0内; 三角形空洞的最值多分布于 η 1． 0 ～2． 0 内;而 矩 形 空 洞 的 最 值 多 分 布 于 η 0． 5 ～1． 5 内。 SV 波入射时， 减振频率范围与 P 波入射时并不相 同。对于空洞间的位移观测点， 减振频率多集中于 η 0． 0 ～1． 5 内 见图 13 。然而对于空洞后的位移观测 点，