76杨大伟-预应力钢筋NURBS模型及其应用.doc

中国预应力技术五十年暨第九届后张预应力学术交流会论文 2006年 预应力钢筋NURBS模型及其应用 黄 侨 杨大伟 任远 哈尔滨工业大学交通科学与工程学院, 黑龙江 哈尔滨,150090 摘 要提出一种新的预应力钢筋数值模型非均匀有理B样条模型Non-Uni Rational Basic Spline Model, NURBS-Model。该模型可作为后张预应力混凝土结构预应力钢筋的统一描述方法，计算分布等效荷载较为方便准确。与目前普遍采用的折线逼近法相比较，NURBS模型表达参数较少，易于进行前处理。为方便NURBS模型的应用，用C语言设计实现了基于NURBS类库的预应力钢筋类Strand Class，可方便地移值到面向对象的结构分析平台之中。 关键词预应力钢筋；NURBS模型；NURBS类库；Strand Class 1 预应力钢筋模型问题的提出 荷载平衡法Load Balancing 是当前后张预应力混凝土结构分析的主要方法，最初由林同炎1963,1981[1] [2]提出，而后由B.O.Aalami1990[3]在概念和方法两方面进行了完善。等效荷载的准确计算是荷载平衡法的关键。林同炎在荷载平衡法被提出时，只在等高梁上讨论了按直线和抛物线布置的预应力钢筋引起的平衡荷载，且每一跨间的预应力钢筋布置只为一条单一线形。然而这些前提并不与实际工程情况完全吻合。在实际工程中，混凝土体中的预应力钢筋线形不可能出现折点（或尖锐的夹角），在两段抛物线之间需要一个反向曲线过渡。B.O.Aalami[4]分析了这种差别造成的影响，图1显示了一座两跨连续梁按上述两种方式计算等效荷载，b和d的差别是不可忽视的。显然，如何准确表达预应力钢筋的几何线形以及正确计算平衡荷载是荷载平衡法的关键环节。为此，B.O.Aalami2000[4]首次提出预应力钢筋模型问题Tendon Modeling，以探讨预应力几何线形的数学表达形式以及相关的预应力效应计算问题。 预应力钢筋模型问题对于预应力混凝土结构的数值分析很重要。事实上，抛物线形的预应力钢筋产生均布荷载的计算只是数值上的近似表达稍后将证明，且实际多数预应力 钢筋的线形并非按抛物线布置，而在实际应用中仍粗略地按抛物线形的近似公式计算。这 杨大伟，男，1976.7出生，工学博士，讲师 种近似给预应力混凝土结构分析带来潜在误差诱因，特别是预应力效应和混凝土徐变效应分析中，平衡荷载的计算误差很可能超过计算理论本身存在的误差。 本文首先分析了严格意义上荷载平衡法等效荷载的计算表达式，根据表达式得出预应力钢筋模型的几何计算要求。根据预应力效应的计算特点和要求，提出了一种新的预应力钢筋模型，即非均匀有理B样条模型（NURBS-Model，Non-Uni Rational B Spline Model）。该模型克服了分段线性逼近模型的缺点，可方便地给出任一点处的分布荷载值，适合数值计算并整合到结构分析程序之中。算例表明，NURBS模型可作为预应力钢筋的统一描述方法解决预应力效应分析问题。 图1荷载平衡法分析 2 预应力钢筋平衡荷载分析 图2 平衡荷载分析 在讨论预应力钢筋的数值模型之前，需要分析预应力钢筋产生的平衡荷载的表达式，以明确对预应力钢筋模型的功能要求。首先应区分预应力钢筋产生的两种等效荷载，即集中荷载Concentrated Load和分布荷载Distributed Load。集中荷载产生在预应力钢筋线形折点处，可通过力的合成方便地得到其数值，计算上不存在困难，不作为本文分析重点。分布荷载产生于预应力钢筋的曲线段内，其数值计算较前者麻烦一些。这里由图2说明曲线段平衡荷载的计算表达式。 图2 为曲线预应力钢筋中截取的一段微元，两端受拉力，相应地产生分布荷载。假定指向弧中心的分布荷载q，其圆心角为，所对应的弧长为ds，假定微元内分布荷载q竖向的合力为qds，其值应与拉力在竖向的分量相等，即 1 由，代入得 2 两边除以，并忽略小量，得曲段预应力钢筋平衡荷载与预拉力的关系 3 进一步地，可将3式表达为结构轴向坐标的函数形式 4 式中 坐标x平衡荷载； 坐标x处预应力钢筋拉力； 坐标x处c.g.s的曲率，； 4式表明，分布荷载的计算实质上就是c.g.s计算曲率。不妨先讨论c.g.s线为抛物线时的平衡荷载计算。设其水平段长度为L，中点垂度为f，相应的c.g.s表达式为以中点为原点 5 计算其曲率为 6 只有当分母中的可以小到可以忽略时，才可以近似为常量，即 7 相应地，平衡荷载表示为 8 需要注意的是，随着c.g.s上点坐标距原点越远时，其误差也越大。在现代预应力混凝土梁桥设计中c.g.s很少严格抛物线布置，特别在大跨径梁桥中，其几何表达式更为复杂。预应力钢筋的数值模型的选取要求能够适应各种曲线形式，尽量准确地计算曲线曲率，以及其它几何参量，从而达到正确应用荷载平衡法的目的。 3 预应力钢筋的NURBS模型 关于预应力钢筋的几何模型，文献[4]和[5]均提出使用若干连续的空间折线段代替原空间曲线，即采用折线逼近法将原空间曲线离散为若干折线段。理论上足够多的折线可以无限逼近原曲线，在工程精度范围内，采用折线逼近法不失为一种有效的处虽然较为直观，易于理解，但在实用中存在如下问题1 预应力束空间曲线一般具有一阶和二阶连续性，而以直线段代替曲线段的处理方法丢失了两阶连续性，其直接结果为等效荷载计算全部转变为集中力，这种替代将产生算法误差；2 为了达到足够的几何精度，需要较多的折线段，不仅增加了前处理工作量，而且折线逼近的人为误差难于控制；3 在结构设计时，预应力束的布置是在反复验算的过程中调整确定的，离散直线段的方法不便于预应力束的调整。 针对上述问题可知，上述模型的症结在于c.g.s没有合适的解析表达式，而直线逼近绕开了表达式问题，从而无法按式4计算曲率。事实上，曲线的表达方式除了抛物线、圆弧等这些基于坐标的方式之外，还有更为广泛的参数曲线，如三次Hermite曲线、Bezier曲线、B样条曲线。使用样条曲线作为预应力束几何模型的意图来源于这样一个事实实际施工中的预应力束定位实施是将波纹管或其它类型套管在若干离散点绑扎的方法实现的。无论在设计意图中预应力束为圆曲线还是抛物线，在实施过程中最终实质上都成为具有一定光滑性的多点拟合曲线。而对于多点拟合问题，使用样条函数曲线早已成为计算机图形学领域较为成熟的解决方案[4,5]。 B样条曲线较其它参数曲线具有一个突出的优点局部性。局部性是B样条曲线的重要性质之一，通过改变控制点的位置，就可以实现对曲线的局部修改，而这一修改不会扩散到整个曲线，从而可以极大地提高设计的灵活性。B样条的局部性使得预应力束在若干截面调整偏心距时，将尽量减小相邻截面预应力束偏心距的变化。B样条的其它优点见于文献[6]，此处不再累述。 为叙述的方便，此处先给出k次B样条矢函数的定义式 9 式中为权或权因子weights，为控制点，是i节点矢量的k次B样条基函数，B样条基函数由节点矢量U[u0,u1,, unk1]按德布尔考克斯递推公式[6]得到，如式2。 10-1 10-2 样条有限元中惯用的三次非有理B样条函数，实质上是式1的一个特殊形式，即k3，节点矢量为沿参数均匀或等间隔分布，且表达式中无分母项，称此种形式为均匀非有理B样条Uni Non-Rational B Spline, UNRBS。反之，若参数不等间隔分布，且基函数中有分母项，则称为非均匀有理B样条NURBS。 对于预应力束的模型问题，一方面较难保证节点矢量是均匀分布的，因为这意味着要求施工中的绑扎点在参数意义上是均匀分布的，显然在工程设计和实施过程中很难实现。另一方面，当预应力束为二次圆锥曲线如圆弧、抛物线时，无理B样条函数无法精确地表示除抛物线以外的其它二次曲线[6]。而非均匀有理B样条曲线则没有上述限制，可精确描述包括直线、二次圆锥曲线和参数三次曲线及自由曲线。 NURBS的特性使其作为预应力束模型表现出较多的优点1局部性质。如移动k次NURBS曲线的一个控制顶点di或改变所联系的权因子将仅仅影响定在节点区间[ui,uik1]上那部分曲线的形状，对NURBS曲线的其它部分不发影响。预应力束在设计调整过程中较为方便，且能保证了C2连续性。而分段折线法虽然可以调整个别线段，却丧失了整体连续性。2 计算稳定，速度快。比较于分段折线和三次参数样条曲线如Hermite曲线，NURBS曲线存贮量小，计算速度快，适合预应力混凝土梁桥的预应力束调整计算。3 NURBS有强有力的几何配套技术，如插入一个节点，阶数的提升及分裂分裂成两条或多条独立表示的曲线等，这些技术对于预应力束的单元离散特别有效。 4 NURBS的扩展 NURBS在计算机图形领域已较为成熟。Les A. Piegl, Wayne Tiller[7] [8]、施法中[9]就NURBS理论及算法给出了较为全面的论述，而在程序实现方面，多数CAD软件都具有NURBS的生成功能。为了方便地应用于图形计算，Philippe Lavoie[10]开发了NURBS类库，目前已为计算机图形和工业设计研究领域广为采用。本文提出的NURBS预应力束模型即是基于NURBS类库实现预应力钢筋类Strand Class的。 NURBS类库中已经具备了求解曲线长、k-1阶导数计算k为NURBS曲线阶数的功能，对于预应力钢筋相关计算，如预应力等效荷载需要求解曲线任一点曲率、预应力束摩阻损失需要求解转角和等，类库中尚无函数完成此类功能。因此，需要添加自定义函数利用已有函数完成预定目标。 由曲率计算式如4式可以由两阶导数求得 4 为了使预应力束分布等效荷载不产生突变，即曲线具有二阶连续性，生成NURBS曲线时阶数定义为3，因而曲线具有前两阶导数，根据3、4式即可求得预应力束的分布等效荷载。 在计算预应力摩阻损失时，需要计算锚固端至计算截面节段内预应力束水平夹角之和[10 ]，可由几何关系式5得到 5 基于上述公式，本文在原有NURBS类库的基础上中扩展了计算功能，使之适合于预应力钢筋的几何参数的确计算。 图3 NURBS模型计算的等效荷载 5 计算实例与结论 以图1所示结构为例，采用预应力束NURBS模型计算等效荷载，如图3所示。与图1b和d对比，NURBS模型得出的等效荷载有两个特征1同号分布荷载是边续变化的，而用简易近似方法不能得到这一结果；2集中力等效荷载结果接近，而分布荷载数值存在不可忽略的差别。且在曲率较大区域处相差也较大。算例表明，NURBS模型计算等效分布荷载更接近实际情况，也更适合移值于杆系有限元程序之中，进行预应力混凝土结构的数值分析。 由于NURBS可灵活准确地描述各类平面和空间曲线， NURBS预应力束模型可进一步广泛地应用于其它预应力混凝土结构中，如预应力混凝土弯梁桥、环形预应力结构等，成为预应力束的统一描述方法，为预应力混凝土结构的设计分析及相应的软件开发带来方便并提高计算精度。 参考文献 [1] T.Y.Lin. Load-Balancing for Design and Analysis of Prestressed Concrete Structures. 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