高层建筑结构扭转耦联振动自振特性的超元法.pdf

第 3 6卷第 4期 2 0 1 0年 8月 四川建 筑科 学研 究 Si c h ua n Bu i l d i ng S c i e n c e 高层建筑结构扭转耦联振动 自振特性的超元法 孙建琴 ， 王忠礼 ， 李从林 1 ． 兰州交通大学， 甘肃 兰州7 3 0 0 7 0 ； 2 ． 深圳机械工业部设计院， 广东 深圳5 1 8 0 2 7； 3 ． 酒泉格瑞设计公司， 甘肃 酒泉7 3 5 0 0 0 摘要 提出了高层建筑结构扭转耦联振动 自振特性简化计算的超元法 ， 将纵横向各片抗侧力结构简化处理成一根等效柱 ， 空间协同分析时， 采用超元法 每个单元由多根杆组成 计算等效柱的侧移刚度矩阵 ， 即得各片抗侧力结构的侧移刚度矩阵， 从而组集整个结构的侧移刚度矩阵和扭转刚度矩阵， 然后， 代人扭转耦联无阻尼 自由振动方程， 用现有数值分析方法可方便 求出结构的自振特性。该法 自由度成数倍减少， 不论是框架、 框一剪结构， 还是剪力墙结构 ， 计算侧移刚度矩阵具有统一算 式， 计算简便。 关键词 高层建筑结构； 扭转耦联振动 ； 自振特性； 超元法 中图分类号 T U 3 1 1 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8 1 9 3 3 2 0 1 0 0 4 0 2 5 0 3 S u p e r e l e me n t me t h o d f o r c h a r a c t e r i s t i c o f m o d a l f r e q u e n c y b e h a v i o r a n a l y s i s o f t a l l bu i l d i n g c o n s i d e r i n g t o r s i o n a l c o u p l i ng v i b r a t i o n S UN J i a n q i n ， WANG Z h o n g l i ， L I C o n g l i n 1 ． L a n z h o u J i a o t o n g U n i v e r s i t y ， L a n z h o u 7 3 0 0 7 0 ，C h i n a ； 2 ． S h e n z h e n De s i g n I n s t i t u t e o f Me c h a n i c a l I n d u s t r y D e p a r t me n t ， S h e n z h e n 5 1 8 0 2 7， C h i n a ； 3 ． G e 兀 l i D e s i g n C o mp a n y o f J i u q u a n ， J i u q u an 7 3 5 0 0 0 ， C h i n a Ab s t r a c t T h i s p a p e r p r e s e n t s t h e s u p e r e l e me n t me t h o d f o r c alc u l a t i n g n a t u r a l c h a r a c t e ri s t i c o f t a l l b u i l d i n g c o n s i d e ri n g t o r s i o n al c o u p h n g v i b r a t i o n ． T h e l a t e r a l l y l o a d e d s t r u c t u r e s are t h o u g h t o f a s e q u i v a l e n t c o l u mn s ． W h e n p e r f o r me d s p a c e c o o p e r a t i n g a n a l y s i s ， t h i s me t h o d i s a p p h e d t o c alc ula t e l a t e r a l s t i ff n e s s ma t ri x ． Aft e r e v e r y l a t e r a l s t i f f n e s s ma t ri x i s o b t mn e d， t h e l a t e r a l an d t o rsi o n al s t i ff n e s s ma t ri x o f t h e w h o l e s y s t e m i s a s s e mb l e d ． S u b s t i t u t e d i n t o t h e f r e e v i b r a t i o n e q u a t i o n o f u n d a mpe d s y s t e m ， t h e n a t u r a l c h ara c t e ri s t i c C an b e s o l v e d b y t h e p r e s e n t n u me ri c al me t h o d ． Th e d e g r e e o f f r e e d o m C an b e g r e a t l y d e c r e a s e d ． I n a d d i t i o n， t h e l a t e r al s t i ff n e s s ma t ri x h as t h e u n i fi e d f o r mu l a for t h e f r a me ， f r a me s h e a r w a ll s t r u c t u r e a s w e ll as s h e a r wa l l s t ru c t u r e ． T h e me t h o d i s s i mp e r i n c alc ula t i o n a n d p r o gra mmi ng ． Ke y wo r d s t a l l b uil d i n g； t o rsi o n al c o u p l i n g vib r a t i o n； mo d al fre q u e n c y b e h a v i o r ； s u p e r e l e me n t me t h o d 0 引 言 J G J 32 0 0 2 高 层 建 筑 混 凝 土 结 构 技 术 规 程 n 十分重视结构的扭转效应， 主要是限制结构 平面布置的不规则性和限制结构 的抗扭刚度不能太 弱 ， 最关键是限制结构扭转 为主 的第一 自振周期 与平动为主的第一自振周期 之比， A级高度高层 建筑不应大于0 ． 9 ， B级高度高层建筑、 混合结构高 层建筑及本规范所指的复杂高层建筑不应大于 0 ． 8 5 。当此规定不能满足时 ， 应调整抗侧力结构 的 收稿 日期 2 0 0 8 1 0 1 4 作者简 介 孙建琴 1 9 7 1一 ， 女 ， 山西河 曲人 ， 博 士， 副教 授 ， 主要从 事建筑结构方 面的教学和研究工作。 基金项目 兰州交通大学“ 青兰” 人才工程基金资助计划 Q L - 0 8 - 0 5 A E ma i l l ， T 1 1 6 0 1 1 1 布置 ， 增大结构的抗扭刚度。因此 ， 在结构初步设计 时， 如何估算结构的自振周期， 是设计中十分重要的 环节 。 计算高层建筑结构的 自振周期最关键 的问题是 如何计算结构的侧移 刚度矩阵。 目前 ， 高层建筑结 构常采用的分析模型如 平面结构空间协同、 空间杆 系、 空间杆一薄壁杆系、 空间杆一墙板元 等， 这些模 型均基于有限元分析方法。采用有限元分析高层建 筑结构时， 计算结构的侧移刚度矩阵， 不论用单位荷 载法还是静力凝聚法 ， 都是十分麻烦的。 本文在通常连续化假定 的基础上 ， 又进一步假 定每片抗侧力结构在 同一高度处 ， 各墙肢 、 柱的水平 位移、 转角和曲率相等， 由文献[ 2 ] 可知， 每片抗侧 力结构可简化处理成一根等效柱 ， 如图 1 所示 。用 超元法计算每片抗侧力结构的侧移刚度矩阵时， 每 片抗侧力结构在各楼层处仅有两个 自由度， 较一般 2 6 四川建筑科学研究 第 3 6卷 有限元计算， 自由度成数倍减少。而且， 每片抗侧力 结构不论是框架 、 框一剪 ， 还是剪力墙， 计算侧移刚 度矩阵具有统一算式 ， 计算十分简便。然后 ， 将所求 得的结构侧移刚度矩阵和扭转刚度矩阵代人无阻尼 扭转耦联 自由振动方程 ， 可 以归结为广义特征值的 求解问题 ， 用现有 的数值分析方法 ， 可方便求得扭转 耦联振动的 自振周期和振型。 图 1结 构 不 惹 F i g ． 1 S t u c t u r e d i a g r a m 1 空间协 同分析无 阻尼扭转耦联 自 由振动方程及 自振特性计算 高层建筑结构空间协同分析方程， 由于采用了 楼板刚性和每片抗侧力结构在平面外刚度为零的假 定 ， 整个结构可以分解为不 同方向上 的平面结构进 行计算 ， 结构整体分析的 自由度显著减少 ， 每一楼层 处仅有 3个 自由度 ， ， 0 ， 因此 ， 该法在工程中被 广泛采用。动力分析时 ， 采用串联刚片模型 ， 设坐标 原点在质心处， 其无阻尼扭转耦联 自由振动方程 为 [ ] { } [ K ] { Y }{ 0 } 1 式中 { Y }{ { M } { } { 0 } { } { 1 2 ⋯ U i ⋯ } T { } { 1 口 2 ⋯ ⋯ } { 0 } { 0 0 ⋯0 j ⋯ } 式中 ， V j 和 为第 层楼面的刚体位移分量； n 为楼层总数。 r [ m]0 ] [ ] l [ ／T t ] l 0 [ 力 J 其中 [ m ]d i a g [ m 1 m 2 ⋯m j ⋯m ] [ J ]d i a g [ J J 2 ⋯J j ⋯J ] 式中m 为集中于第J ． 层楼面的质量 ； 为第 层质 量绕质心的转动惯量 。 r [ ] [ 0 ] [ ] ] [ ] l [ 0 ] [ ][ ] l 2 L [ ] [ ] [ 。 ] J rI 其中 [ ]∑[ ] 式中r 为 方向抗侧力结构总片数； [ ] 为 方 向第 s 片抗侧力结构的侧移刚度矩阵。 r V [ ]∑[ 鼠 ] 式中r 为 Y 方向抗侧力结构总片数 ； [ ] ； 为Y方 向第 s 片抗侧力结构的侧移刚度矩阵。 rI r v [ 。 ]∑y [ K b ] ∑ [ ] ； ∑[ K] 式中Y ， 。 分别为 方向和Y 方向第 s 片抗侧力结 构的坐标值； [ K] 为结构的纯扭转刚度矩阵， 其值 相对较小 ， 通常略去不计 。 r， [ K 。 ][ K 。 ] [ 。 ][ K 。 ] 一 ∑[ K b ] Y r v 一 ∑[ ] s 1 方程 1 可以归结为广义特征值的求解问题， 用现有的数值方法可方便求得各阶振型和相应的周 期。由方程 1 可以看出， 计算广义刚度矩阵 [ K ] 是十分麻烦的， 其计算方法的繁与简， 将大大地影响 求解高层建筑结构动力特性的速度。其中， 计算广 义刚度矩阵的元素 [ ] ， [ K ] ， [ 。 ] ， [ 。 ] 和 [ K。 ] 时， 必须计算[ ] 和[ ] ， 也就是说， 如何 计算 和 Y方向上各片抗侧力结构侧移 刚度矩阵 ， 是计算广义刚度矩 阵的关键。本文为了简化计算 ， 采用超元法计算每片抗侧力结构 的侧移刚度矩阵 ， 较一般有限元方法， 计算 自由度成数倍减少， 而且每 片抗侧力结构不论是框架、 框一剪 ， 还是剪力墙 ， 计 算侧移刚度矩阵具有统一算式。于是， 平面空间协 同分析在求得结构 的动力特性方面， 得到 了进一步 简化 ， 对高层建筑结构初步设计有重要的意义。 2 平 面抗 侧 力 结构侧 移 刚度矩 阵计 算的超元法 设第 S片抗侧力结构简化处理成等效柱 s， 等 效柱的高度为抗侧力结构的高度 日， 等效柱 的惯性 矩 为抗侧力结构各墙肢 、 柱截面惯性矩之和。设 等效柱超级单元的长度为 f ， 单元端部力和端部位 移的方向， 如图 2所示。 其超级单元刚度矩阵由文献[ 2 ] 可知为 I 8 s 3 ／ 3 s 2 l 一8 s 3 ／ 3 s 2 l f 对 y 1 L 称 y 1 l 式 中s s 一 I8 S 2 c h ／ 31 3 s h 3 孙建琴 ， 等 高层建筑结构扭转耦联振动 自振特性的超元法 2 7 图 2 单元端部力和单元端部位移方 向 Fi g ． 2 Co mp o n e n t s o f n o d a l f o r c e s a n d n o d a l d i s p l a c e me n ts a t t h e l o c a l c o o r d i n a t e y 1 ／ 3 s 25 1 s 一81 s3 8 H 0 K K】 ⋯K 式中K为第 i 根墙肢或柱左右两边横梁抵抗转动 刚度 与 之和 ， 具体计算见文献 [ 4 ] 。 在等效柱 s 的每一层分别施加单位水平力 ， 按 楼层划分单元 ， 用超元法求出各楼层的水平位移 6， 由此 ， 求出等效柱的侧向柔度矩阵为 [ 厂 h ] 1 1 1 2 6 2 1 2 2 1 I l 2 ⋯ 1 ⋯ 2 ● ● ● ●● ● ⋯ 6n n 4 对式 4 求逆 ， 可得侧移刚度矩阵[ K ] ， 即 [ ] ] 5 把每片抗侧移刚度矩阵代人式 2 中， 得到总 刚度矩阵， 由式 1 即可求得结构的 自振周期 和振 型 。 由上面侧移刚度矩阵的计算可知， 每片抗侧力 结构简化处理成一根等效柱 ， 每楼层仅有 2个 自由 度 一个侧移， 一个转角 ， 较用一 般矩阵位移法相 比， 自由度成倍 减少。如对 层 m跨 的抗侧 力结 构， 用一般矩阵位移法计算 时， 不 考虑轴 向变形 ， 自 由度为 2 m1 几个 ， 而用超元法计算时 ， 自由度仅 为 2 个 。 3 算 例 某 1 2层框一剪结构 ， 平面布置如图 3所示 ， 框 架柱尺寸为0 ． 5 m 0 ． 5 m， 墙 厚 0 ． 1 g m， 梁 1尺寸 为0 ． 3 m0 ． 5 m， 梁2 尺 寸为0 ． 2 5 m 0 ． 4 ] 1 1 ， 层高 为 3 m， 楼板厚 0 ． 1 2 m， 采用 C 3 0 混凝土。 I ● 一 _ _ _ I 一 - 、 吕 0 。 ● - _ 吕 1 ． 0 。毒 I 一 『 L 1 目 0 ． _ - _ - 7 6m 4 2m 图 3 平面布 置 F i g ． 3 La y o u t o f f r a m e - s h e a r wa l l s t r u c t u r e 以楼层划分单元， 计算结果见表 1 和如图4所 不 。 表 1 框一 剪结构 前 9个周 期 Ta bl e 1 9 pe r i o ds o f f r a m e ． s he a r wa l l s t ru c t ur e 周期 超元法 0 ． 6 9 6 0 ． 3 8 6 0 ． 1 5 7 0 ． 0 8 1 0 ． 0 6 2 0 ． 0 5 6 0 ． 0 3 3 0 ． 0 3 1 0 ． 0 2 0 协同法 0 ． 7 2 8 0 ． 4 1 4 0 ． 1 8 1 0 ． 0 9 8 0 ． 0 7 7 0 ． 0 6 9 0 ． 0 4 4 0 ． 0 3 9 0 ． 0 2 7 】 6 ， B X， w 9 ■ 图 4 框一 剪结构前 9阶振型 F i g ． 4 9 m od e s o f f r a m e - s h e a r wa l l s t ru c t ur e 从以上算例可以看出， 超元法的计算结果和空 间协同法的计算结果基本接近 ， 超元法计算简单 ， 但 未考虑轴向变形 ， 有一定的误差 ， 可用于结构的初步 设计中。 参 考 文 献 [ 1 ] J G j 3 2 0 0 2高层建筑混凝土结构技术规程[ s ] ． [ 2 ] 李从林 ， 程耀芳． 几种 高层建筑 结构简化分析 统一 的连续一离 散化方法[ J ] ． 建筑结构 ， 1 9 9 7 6 4 5 -4 7 ． [ 3 ] 包世华． 高层建筑结构计算[ M] ． 北京 高等教育出版社， 1 9 91 ． 4 王寿康， 畅立． 几种高层建筑的统一计算法【 J ] ． 建筑结构 学报 ， 1 9 9 2 1 6 0 - 7 0 ．