混凝土结构重力二阶效应分析.pdf

第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 混凝土结构重力二阶效应分析 李云贵黄吉锋 中国建筑科学研究院，北京，1 0 0 0 1 3 提要本文总结介绍了尸一△效应分析中常见的四种基本方法基于几何刚度的有限元方法、基于等效水平力的有限元迭 代方法、折减弹性抗弯刚度的有限元法以及结构位移和构件内力增大系数法，并对各种方法的特点作了简析。对“结构 在考虑P 一△效应后其自振周期发生变化”的情况进行了讨论，并指出其合理性。最后通过算例，显示了P 一△效应在 不同高度的混凝土高层建筑中、在总的结构反应中所占的可能的比例，以及考虑P 一△效应时地震作用和风荷载引起的 层间位移的变化规律。 关键词尸一△效应，几何刚度，周期 1 引言 建筑结构的几何非线性二阶效应一般认为由两部分组成P 一6 效应和尸一△效应。P 一6 效应 是指由于构件在轴向压力作用下，自身发生挠曲引起的附加效应，可称之为“构件挠曲二阶效应”，它 通常指轴向压力在产生了挠曲变形的构件中引起的附加弯矩。附加弯矩与构件的挠曲形态有关，一般中 间大，两端小。尸一△效应是指由于结构的水平变形而引起的重力附加效应，可称之为“重力二阶效应”。 结构在水平力 风荷载或水平地震力 作用下发生水平变形后，重力荷载因该水平变形而引起附加效应。 结构发生的水平侧移绝对值越大，尸一△效应越显著，若结构的水平变形过大，可能因重力二阶效应而 导致结构失稳。 结构总的二阶效应是P 一6 效应与P 一△效应之和。在不同的结构中，P 一6 效应与P 一△效应所 占的比例不同。P 一6 效应与结构构件的长细比和轴向压力有关，在任何结构中，只要构件中存在轴向 压力，P 一6 效应就存在，构件的长细比越大、轴向压力越大，相应的P 一6 效应就越显著。P 一△效 应与结构在水平力作用下产生的侧移和重力荷载的大小有关。在无侧移结构中，因结构的侧移绝对值很 小，由尸一△效应引起的附加内力或附加变形很小，几乎可以忽略不计，这类结构的二阶效应以P 一6 效应为主；而在有侧移结构中，在水平力作用下结构的侧移变形较大，尸一△效应可使结构的位移和内 力增大较多，其二阶效应多以尸一△效应为主。 在极限状态下的钢筋混凝土结构分析中，尸一△效应和尸一6 效应具有很强的几何非线性特征，考 虑P 一△效应和P 一6 效应的结构分析，严格地讲，应同时考虑材料的非线性和裂缝、构件的曲率和层 间侧移、荷载的持续作用、混凝土的收缩和徐变，以及上部结构与地基基础的相互作用等因素。但要实 现这样的比较全面的分析，在目前条件下还存在困难，故在工程应用中，一般都采用近似的简化分析方 法，因此，如何合理地采用近似的简化分析来考虑尸一△效应和尸一6 效应的影响，就成为工程、设计 人员关心的一个重要问题。尤其在普遍采用C A D 软件进行设计、计算的今天，深入了解P 一△效应和 P 一6 效应的计算方法、有关软件的实现机理，就显得更为重要。 如上所述，建筑结构的几何非线性二阶效应包括P 一△效应和P 一6 效应两个方面，但限于篇幅， 本文将着重总结和介绍P 一△效应的计算原理和方法。下文我们将首先介绍P 一△效应分析中常见的四 种基本方法基于几何刚度的有限元方法、基于等效水平力的有限元迭代方法、折减弹性抗弯刚度的有 限元法以及结构位移和构件内力增大系数法；对“结构在考虑尸一△效应后其自振周期发生变化”的情 李云贵，男，1 9 6 2 年出生，工学博上，研究员 ．7 8 5 ． 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 况进行讨论，并指出其合理性；最后通过算例，显示了尸一△效应在不同高度的高层建筑中、在总的结 构反应中所占的可能的比例。 2 基于几何刚度的有限元法 在采用有限元位移法进行结构的线弹性分析时，若不考虑二阶效应的影响，则结构的平衡方程 将在结构的初始构型上建立，一般可记为 [ K 】伽 扩 式中 【K 卜一为结构的初始线弹性刚度矩阵， { F } _ 一为水平荷载向量， 伽卜为在{ F 作用下的结构位移向量。 结构的二阶效应实际上是一种几何非线性效应。当考虑二阶效应影响时，结构的平衡方程可记为 [ 岛] { 历 { 毋 2 式中 [ 如卜一为考虑二阶效应影响的结构刚度矩阵； { 田为考虑二阶效应影响的结构位移向量。 从构成机理上讲，【K 莳】由三部分组成，一是结构的初始线弹性刚度[ K 】，二是结构构件在轴向力 作用下因长细效应而引起的刚度矩阵变化量[ K Ⅳ】，三是结构侧移变形导致构件几何参数变化引起的刚 度矩阵变化量[ 岛】，则 2 式可以改写为 Ⅸ卜[ K 卜[ 如】 何} 扩 3 结构的尸一6 效应主要是由于[ K Ⅳ】的存在而引起的，其效应大小与结构构件的长细比和轴向力有 关。在任何结构中，只要构件中存在轴向力，P 一6 效应就存在，构件的长细比越大、轴向压力越大， 相应的尸～6 效应就越显著。 结构的P 一△效应主要是由于[ 如】的存在而引起的，其效应大小取决于结构在水平力作用下产生 的侧移和重力荷载的大小。在无侧移结构中，因结构的侧移绝对值很小，由尸一△效应引起的刚度矩阵 变化量[ 如】很小，几乎可以忽略不计户一△效应，这类结构的二阶效应以尸一6 效应为主。 在仅考虑P 一△效应的结构分析中，可取[ K 】 0 ，则结构的平衡方程可改写为 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 【K 卜【岛】 何} { F } 4 从方程 4 可以看出，考虑尸一△效应的近似分析相当于将结构的初始刚度矩阵[ K 】修改为等效 刚度矩阵[ K 卜【岛】，经上述简化处理，使考虑尸一△效应的结构弹性分析变得简单易行。采用这种方 法考虑P 一△效应的影响，与不考虑P 一△效应的分析结果相比，结构的周期、位移和构件的内力都有 所不同。P K P M 新规范版的S A n ⅣE 、，I A T 和P M S A P 软件都采用了这种基于几何刚度的有限元方法， 目前的E 1 如S 软件也提供这种方法。 3 基于等效水平力的有限元迭代法 这种方法的基本思路是根据楼层重力荷载，以及楼层在水平荷载作用下产生的层问位移，计算出 考虑P 一△效应的近似等效水平荷载向量，然后，对结构的有限元方程进行迭代求解，直到迭代结果收 敛，得到最终的位移和相应的构件内力。从原理上讲，这种方法是基于 4 式的一种等价变形 Ⅸ] { 刃 扩 { 岷 5 式中{ 峨 [ 妫] { 历} 为结构变形后因重力荷载作用点变化而产生的附加水平荷载向量。 将 4 式改写为迭代格式有 Ⅸ】何广 扩 { 峨 ‘ 扛O ，l ，2 ，．．． 6 这就是基于等效水平力的有限元迭代方法的基本计算公式。这种计算方法计算效率不如等效几何刚 度的有限元法，因为要对每一个水平荷载作用工况 或组合 进行迭代求解。8 9 规范版的S 黼、1 A T 软件是采用这种方法考虑P 一△效应影响的，新规范版软件已经改用基于几何刚度的有限元法；目前的 E T A J 3 s 软件中还提供这种方法。采用这种方法考虑尸一△效应影响，与不考虑户一△效应的分析结果 相比，结构的周期不变，变化的仅仅是结构的位移和构件的内力。 4 折减弹性抗弯刚度的有限元法 折减弹性抗弯刚度的有限元法是近年来美国、加拿大等国家的设计规范推荐的一种考虑尸一△效应 方法。这种分析方法的基本思想是采用折减等效刚度，近似地考虑钢筋混凝土结构中各类构件在极限状 态时因开裂而导致刚度减小现象，使分析结果与设计状态尽可能一致。如何合理地确定钢筋混凝土构件 的弹性抗弯刚度折减系数，成了决定这种方法精度、效率和实用性的关键。 从理论上讲，弹性抗弯刚度折减系数的确定原则应该使结构在不同的荷载组合方式下，采用折减弹 性抗弯刚度的弹性分析结果与按非线性有限元法所得结果相当。但由于钢筋混凝土结构中各构件承受荷 载的差异，以及构件各截面开裂不同而导致刚度变化的复杂性，实际上很难实现上述原则的要求。 为了使用上的方便，不得不对所有的框架梁 包括剪力墙洞口连梁 、所有的柱、所有的剪力墙均 分别取用统一的弹性抗弯刚度折减系数，对其初始弹性抗弯刚度进行折减。美国A C I3 1 8 ．9 9 明确要求 在结构一阶弹性分析时考虑弹性抗弯刚度折减，并且给出了钢筋混凝土构件弹性抗弯刚度折减系数的 取值建议梁取0 ．3 5 ；柱取0 ．7 ；未开裂剪力墙取0 ．7 ，已开裂剪力墙取0 ．3 5 。 我国混凝土结构设计规范 G B 5 0 0 1 0 2 0 0 2 引进了该方法，第7 ．3 ．1 2 条规定，当采用考虑二 ．7 8 7 ． 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 阶效应的弹性分析方法时，宜在结构分析中对钢筋混凝土构件的弹性抗弯刚度E c I 乘以下列折减系数 梁取O ．4 ，柱取O ．6 ，对未开裂的剪力墙和核心筒壁取0 ．7 ，对已开裂的剪力墙和核心筒壁取0 ．4 5 。这些 折减系数是参考美国规范给出的，但与美国规范建议的取值略有不同。 钢筋混凝土结构在弹塑性阶段的刚度变化十分复杂。在极限状态下，未必所有构件都同时开裂，针 对某一构件而言，在某一作用组合下可能开裂，而在另一些作用组合下未必一定开裂。采用统一的刚度 折减系数，仅仅可能近似地反映在极限状态下结构整体的、宏观的性能，但很难真实地反应结构在极限 状态下的刚度变化规律，特别是内力变化规律。有些文献中把这种方法称为“是一种精度和效率较高的 考虑二阶效应的方法”，这种提法不一定恰当。而且，采用折减弹性抗弯刚度的有限元法进行结构分析， 会产生一系列新的问题，如构件弹性抗弯刚度折减后，按照目前的建筑抗震设计规范规定的反应谱 方法计算的地震力随之减小，构件的内力分布规律和位移沿高度的分布规律也会发生变化，该如何考 虑 建筑抗震设计规范 5 ．2 ．5 条 规定的最小剪力系数是针对这样分析的地震力吗 这样分析的位 移是属于弹性位移还是弹塑性位移，结构的位移该如何控制 因为弹性位移和弹塑性位移控制条件相差 很大。鉴于上述原因，在目前的S 御隔忸、T A T 、P M S A P 等软件中，都未提供折减弹性抗弯刚度的有限 元法。上述问题还有待进一步研究。 5 结构位移和构件内力增大系数法 增大系数法是一种简单可行的考虑重力二阶效应的方法。这类方法是对不考虑重力二阶效应的分析 结果 结构位移、构件弯矩和剪力 ，直接乘以增大系数，以近似考虑重力二阶效应的影响。 高规第 5 ．4 ．2 条规定，高层建筑结构的重力二阶效应，可采用弹性方法进行计算，也可采用 对未考虑重力二阶效应的计算结果乘以增大系数的方法近似考虑。结构位移增大系数6 l 、6 1 f ，以及结 构构件弯矩和剪力增大系数6 2 、6 2 ，，可分别按下列规定近似计算 对于剪切型结构，如框架结构 6 t ，2 南氏 南 ㈩ 式中， 卢， ∑q ／ 4 噍 f l ，2 ，．．．，刀 对于剪弯型和弯曲型结构，如剪力墙结构、框架一剪力墙结构、筒体结构等 耻南驴南 ㈤ 式中，几 o ．1 4 日2 ∑G j ／ 彤d ，具体符号含义见高规第5 ．4 节。 建筑抗震设计规范第 3 ．6 ．3 条的条文说明中给出了以楼层稳定系数q 表达的内力增大系数 计算公式。在弹性分析时，作为简化方法，重力二阶效应的内力增大系数6 2 ；可近似取为 6 2 f 1 ／ 1 一q 江1 ，2 ，．．．，甩 9 ．7 8 8 ． 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 同时，建筑抗震设计规范在第 3 ．6 ．3 条的条文说明中还特别强调，混凝土柱考虑多遇地震作 用产生的重力二阶效应的内力时，不应与混凝土规范承载力计算时考虑的重力二阶效应重复。 P 一△效应不仅仅使柱的弯矩、剪力增大，也会使与之相连的框架梁的梁端弯矩、剪力相应增大， 在梁端正截面、斜截面承载力设计中，也应考虑由尸一△效应导致的梁端弯矩、剪力增大的影响，而在 我国上述规范中并没有提出要求。目前的S 朋M E 、7 瑚、P M S A P 等软件中，都未提供上述的“结构位 移和构件内力增大系数法”。 6 “基于几何刚度的有限元法“ 引起的结构基本周期改变 在采用本文第2 节的“基于几何刚度的有限元法”计算尸一△效应时，将在结构的总体刚度矩阵当中 直接叠加几何刚度[ 如】，这通常会导致最终计算采用的结构刚度旺K 卜[ 蜂】 弱于结构的线弹性初始 刚度I K l ，因为在重力荷载作用下，结构中的大部分构件 柱、斜撑、剪力墙等 都处于受压状态，而 受压构件的几何刚度阵一般都是负定或者负半定的。这样一来，在考虑尸一△效应前后，由于结构总刚 的改变，就会导致结构自振特性的改变。在不考虑几何刚度时，结构的固有振动问题可表为 [ K ] 移 九[ M 】移 1 0 在考虑几何刚度以后，结构的固有振动问题则可表为 旺K 卜[ 如] № “M № 1 1 这里，阻】是结构的质量矩阵，九，移 和J L l ，舻 分别是考虑尸一△效应前后的结构特征对，其余符 号同前。 当采用削弱了的总刚 【K 卜[ 蟛] 按照 1 1 式计算结构的自振特性时，通常结构的一阶侧振周期 都会略有延长 相对于 1 0 式初始刚度I KI 对应的周期而言 ，延长的程度与结构的抗侧力刚度及所 受竖向荷载有关。结构的竖向荷载越大、抗侧力刚度越小，尸一△效应就越显著，同时结构的一阶侧振 周期的延长程度也越显著。实际上从 1 0 、 1 1 两式的对比不难发现，不仅周期会变化，考虑尸一△效 应后的结构振型也会有变化，当然，这种变化一般而言都是较小的。 考虑P 一△效应会使结构的周期发生变化，可以直观地理解为当高层建筑结构按照一阶侧向振动 振型做往复运动时，竖向力就会在垂直于结构侧壁的方向产生二阶分量峨，，这个垂直于结构侧壁的 二阶分量峨，也就是造成尸一△效应的直接原因，而峨，的作用方向在一阶侧向振动振型下一般总是 一，一J 与高层结构弹性恢复力的方向相反，换言之，它会部分地抵消恢复力。恢复力减小了，运动的加速度进 而速度都会随之减小 相对于恢复力未减小时 ，从而最终造成振动周期的延长。值得指出的是，对于 高阶振型而言，由于振型形态的复杂性，竖向力的二阶分量的方向，在结构的一部分位置上与恢复力相 反，在另一些位置上则可能与恢复力相同，导致总的作应效果难以确定，故对于高阶振型对应的周期， 考虑P 一△效应后，也有可能略有缩短。总而言之，在理论上 1 1 式的解总是比 1 0 式的解要更为精 确。基于此，在S 加w E ，w 皿P M s A P 软件中，当考虑尸一△效应时，结构自振特性的计算，都采用了 更为合理的 1 1 式。 ．7 8 9 ． 挪f Ⅶ十Ⅲ离H 建筑 构学术0 * 论女2 0 0 8 年 7 混凝土结构P △效应算例 采川“肚于儿何刚度的仃限儿法”，木节我们给⋯个魁凝L 结构P △做麻算例，以他从数值上 甜十尸一△效应的行个山血订个定毋认识。 【倒1 】艇1 0 层榧架结构，总目度3 84 m ，担型平面如图】所示，平血外周最大尺、J 约为7 5 m } 1 8 m ，典犁 壮尺寸为6 0 0 唧} 6 0 0 唧，腆埠_ 粱H 寸3 0 0 舢} 6 。0 珊。地震删度为7 度，1 I I 类场地，地震分组为第组。 辈本风挑0j 5 k n ／m i 体形系数l3 ，地面* l 糙度娄刚为IT 。考虑P △敞麻前后的站构周期、地震和风作 用下的层问位移结果见嵌1 和表2 。 * _ 周期、s 自PA目} * E 】8 ％ld ％ 7 7 。13 ％ 7 3 82 ％ o3 ％ 。2 ％ o2 ≮ 例2 某3 】层艇剪结构，吐≯F 度] 0 2 Ⅲ．典犁、r 而如蚓2 所小，其外J 目培尢月寸约为3 】m 蛆执底层典刑拄 截面1 0 0 0 肿} 1 0 0 0 册，粱截面4 0 0 册{ 8 0 0 m 巾，瑞厚3 5 0 叫。地震烈度为7 度，“娄场地．地震分组为第 组。基木风H { 05 5 k n ／m j 体形系数l4 ，地面粗糙度类别为I I I 。考虑尸△强戍前后的结构周期、地震和 风作用下的层问位移结果见表3 和表4 。 崩2 某3 lJ 0 框蚰结构透视目＆典型平面 第 1 “今目自目缱* 目} 2 “镕立2 呻8 年 ⋯ m ～ 。 7 3 2 】。l 2 9 z 】7 l 【2 6 6 2 4 】 【 J 6 ㈧ 】，【8 9 。 例3 粜5 3 层框筒结构，总苛度2 2 0 m ，典埠_ ’r 面如图3 所示，、F 面外刷最丈尺寸约为7 0 m } 3 7 m ，- l t 间为菱形砼 梭占筒，外崩为钢管静榧架{ _ l ，外川制铛砼托与悴核芯简之问用制粱连接。地震烈度为7 度，IJ 娄场地， 地震分组为第组。摹本“ l 压06 k n ／m 2 ．体形景数13 ，地面粗糙鹰_ 蹩∞Ⅱ为『『I 。考虑尸一△效麻前后的结杜J 周期、地震和风作用r 的层问位移结果见表5 和袅6 。 I 癣 日3 菜∞■框筒结构t 观月＆ ’P Ⅲ 女6 d 15 3 目镕 目目t 8 结束语 本文总结了，△效应j } 析巾常见的四种蛙牟A 法蕈丁几何刚度的有限元打法、娘十等效水平力 的有限元选代方法、折减弹性抗弯H 1 度的有限儿法以及纠r 构位移和掏件内力增大系数法；计对各种方法 的特点作，简析。对“结构在考虑P △就麻后其『| 振周期发牛变化”的情况进行r 讨论．并指出其台 理性。最后通过算例，牡示了P A 效应在不同高度的混凝土高层建筑中、在总的结构反应中所占的可 能的比例，以及考虑，△效应时地震作用和风荷载引起的层间位移变化规律。 采用基于几何} j 0 度的有限元方法可以简洁地计算混凝上多、高层建筑的P △效应，井日能够真宴 第二十届全国高层建筑结构学术会议论文2 0 0 8 年 反映结构在考虑尸一△效应时出现的周期变化以及地震作用和风荷载引起的结构层间位移和构件内力的 变化规律，是一种值得推荐的尸一△效应算法。 从以上算例可以得到对“采用基于几何刚度的有限元法计算尸一△效应”的一些结论 1 结构的一阶振型对应的周期通常有所延长，对于上述1 0 层框架、3 l 层框剪和5 3 层框筒3 个实 际工程例，延长的百分比分别为1 ．4 ％，2 ．5 ％和3 ．2 ％。一般而言，结构越是高柔，延长的越明显，但一般 不超过5 ％。另一方面，从第2 个算例3 l 层框剪结构可以看出，结构的扭转周期和高阶周期还可能略 有缩短 ．0 ．3 ％，．0 ．1 ％ ，但缩短的幅度非常小。 2 地震层间位移和风荷载层间位移一般都会增加，但风荷载层间位移增加的百分比要超过地震层 间位移增加的百分比。这主要是因为风荷载是拟静力计算，起作用的是单纯的P ～△效应因素，而地震 反应谱分析中，除了尸一△效应因素，还掺杂了基本周期延长的影响。 参考文献 [ 1 ] 中华人民共和国国家标准混凝土结构设计规范G B 5 0 0 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