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第二章 流体静力学 流体静力学fluidstatics着重研究流体在外力作用下静止平衡的规律及其在工程实际中 的应用。 这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体 相对于惯性坐标系静止时，称流体处于静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时， 称流体处于相对静止状态。 从工程应用的角度来看，在大多数情况下，忽略地球自转和公转的影响，而把地球作为 惯性参照系是足够精确的。当流体相对于惯性坐标系（如地球）没有运动时，我们便说流体 处于静止状态或平衡状态。 当流体相对于非惯性坐标系没有运动时， 我们便说流体处于相对 静止状态或相对平衡状态。 无论是静止的流体还是相对静止的流体， 流体之间没有相对运动， 因而粘性作用表现不 出来，故切应力为零。 所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体realfluid还是理 想流体ideal fluid都是适用的。 l 2.1 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 一、一、 流体静压强概念流体静压强概念 1、在流体内部或流体与固体壁面所存在的单位面积上的法向作用力normal force称为流体 的压强pressure。 2、当流体处于静止状态时，流体的压强称为流体静压强static pressure，用符号 P 表示，单 位为 Pa。 二、流体静压强有两个基本特性二、流体静压强有两个基本特性 1流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。 实验证明 反证法证明 假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相 垂直，而与作用面的切线方向成α角，如图 21 所示。 那么静压强 p 可以分解成两个分力即切向压强 p他 tangential pressure和法向压强 pnnormal pressure。 由于切 向压强是一个剪切力shear force，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作 用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止 状态，不能有剪切力存在，唯一的作用便是沿作用面内法线方向的压强作用。 2静止流体中任意一点流体压强的大小与作用面的方向无关，即任一点上各方向的流体静 压强都相同。 实验证明 计算证明 为了证明这一特性，我们在静止流体中围绕任 意一点 A 取一微元四面体的流体微团 ABCD，设直 角坐标原点与 A 重合。微元四面体正交的三个边长 分别为 dx，dy 和 dz，如图 22 所示。因为微元四 面体处于静止状态， 所以作用在其上的力是平衡的。 现在来分析作用于微元四面体 ABCD 上各力的平衡关系。由于静止流体中没有切应 力，所以作用在微元四面体四个表面上的表面力只有垂直于各个表面的压强。因为所取微 元四面体的各三角形面积都是无限小的，所以可以认为在无限小表面上的压强是均匀分布 的。设作用在 ACD、ABC、ABD 和 BCD 四个面上的流体静压强分别为 px、py、pz和 pn， pn与 x、y、z 轴的夹角分别为α、β、γ，则作用在各面上流体的总压力分别为 除压强外， 还有作用在微元四面体流体微团上的质量力， 该质量力分布在流体微团全 部体积中。设流体微团的平均密度为ρ，而微元四面体的体积为 dV＝dxdydz／6，则微元四 面体流体微团的质量为 dm＝ρdxdydz／6。假定作用在流体上的单位质量力为 f，它在各坐 标轴上的分量分别为 fx、fy 、fz，则作用在微元四面体上的总质量力为 由于流体的微元四面体处于平衡状态，故作用在其上的一切力在任意轴上投影的总和等于 零。对于直角坐标系，则 在 x 轴方向上力的平衡方程为 由于等式左侧第三项为无穷小，可以略去，故得 同理可得 所以 因为 n 的方向完全可以任意选择，从而证明了在静止流体中任一点上来自各个方向的 流体静压强都相等。但是，静止流体中深度不同的点处流体的静压强是不一样的，而流体又 是连续介质，所以流体静压强仅是空间点坐标的连续函数，即 l 2.2 流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式 等压面等压面 一、一、 流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式 在 静 止 流 体 中 任 取一 边 长 为 dx 、 dy 、 dz 的微元平行六面体的 流体微团，如图 2 一 3 所示。现在 来分析作用在这流体微团上的外力的 平衡条件。 1、流体平衡微分方程式推导 由上节所述流体静压强的特性知， 作用在微元平行六面体的表面力只有静压强。 设微元 平行六面体中心点处的静压强为 p ， 则作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒 G . 1 . Taylor ）级数展开，例如在垂直于 X 轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为 略去二阶以上无穷小量后，分别等于 由于六面体是微元的，所以可以把各微元面上中心点处的压强视为平均压强。因此，垂 直于 X 轴的左，右两微元面上的总压力分别为 同理，可得到垂直于 Y 轴的下，上两微元面上的总压力分别为 垂直于 Z 轴的后、前两微元面上的总压力分别为 作用在流体微团上的外力除静压强外，还有质量力。若流体微团的平均密度为 P ，则 质量力沿三个坐标轴的分量为 处于静止状态下的微元平行六面体的流体微团的平衡条件是， 作用在其上的外力在三个 坐标轴上的分力之和都等于零。例如，对于 X 轴，则为 整理上式，并把各项都除以微元平行六面体的质量ρxdydz 则得 同理得 （23） 写成矢量形式 这就是流体平衡微分方程式，是在 1755 年由欧拉（ Euler ）首先推导出来的，所以 又称欧拉平衡微分方程式。 2、方程式的物理意义在静止流体中，某点单位质量流体的质量力与静压强平衡。 3、方程的适用范围在推导这个方程中，除了假设是静止流体以外，其他参数（质量力， 密度）未作任何假设，所以该方程的适用范围是静止或相对静止状态的可压缩和不可 压缩流体。 4、实际意义它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其他计算公式都是从此方程 组推导出来的。 5、压强差公式 把式（ 2 一 3 ）依次乘以 dx , dy , dz ，然后相加，得 因为 p p x , y , z ，所以上式右端是压强函数的全微分式，即 所以压强差公式为 （24） 二、流体平衡条件二、流体平衡条件 对于不可压缩均质流体，密度 P 常数，根据恒等式 由式（ 2 一 3 ）得 （25） 由理论力学可知，式（ 2 一 5 ）是 fx、fy 、fz， 具有力的势函数一π（ x , y , z ） 的充分必要条件。 力的势函数对各坐标的偏导数等于单位质量力在对应坐标轴上的分量， 即 写成矢量形式 由式（ 2 一 4 ）得 有势函数存在的力称为有势的力，由此得到一个重要的结论结论 只有在有势的质量力的作用下， 不可压缩均质流体才能处于平衡状态， 这就是流体处于 平衡的条件。 三、等压面三、等压面 1、定义在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面。 2、等压面方程 对不同的等压面，其常数值是不同的，而且流体中任意一点只能有一个等压面通过。 在等压面上，dp0 由式（ 2 一 6a ）可得 dπ 0 即 π常数，也就是说，在不可压缩静止流体中，等 压面也是有势的质量力的等势面。 液体与气体的分界面， 即液体的自由液面就是等压面， 其上各点的压强等于在分界面上 各点气体的压强。互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。 3、等压面重要性质就是等压面与质量力互相垂直。 因为在等压面上各处的压强都一样，即 dp 0 ，由式（ 2 一 4 ）可得等压面微分方 程 （27） 式（ 2 一 7 ）左端又表示作用在等压面上 A 点 的单位质量力 f 与通过 A 点的等压面上的微元线段 d , （其分量为 dx 、 dy 、 dz ）两个矢量的数量积， 如图 2 一 4 所示，即 两个矢量的数量积等于零，必须 f 和 d ，互相垂直，其夹角φ等于 900 。也就是说， 通过静止流体中的任一点的等压面都垂直于该点处的质量力。例如，当质量力只有重力时， 等压面处处与重力方向正交，是一个与地球同心的近似球面。但是，通常我们所研究的仅是 这个球面上非常小的一部分，所以可以看成是水平面。 4、等压面的条件 2.3 在重力作用下的流体静力学基本方程式在重力作用下的流体静力学基本方程式 引言 实验; 结论 1、流体静力学基本方程推导 在自然界和实际工程中，经常遇到并要研究的流体 是不可压缩的重力液体，也就是作用在液体上的质量力 只有重力的液体。根据这一限定条件，可在一盛有静止 液体的容器上取直角坐标系 （只画出 OYZ 平面， Z 轴 垂直向上） ，如图 2 一 5 所示。这时，作用在液体上的 质量力只有重力 G 一 mg ， 其单位质量力在各坐标轴 上的分力为 代人式（ 2 一 4 压强差公式，得 写成 对于均质不可压缩流体，密度 P 为常数。积分上式 式中 c 为积分常数，由边界条件确定。这就是重力作用下的液体平衡方程，通常称为流体 静力学基本方程。 若在静止液体中任取两点 1 和 2 ， 点 1 和点 2 压强各为 p1， 和 p2 ， 位置坐标各为 z 1， 和 Z2 , 则可把式（ 2 一 9 ）写成另一表达式，即 2、该方程的适用范围是重力作用下的平衡状态均质不可压缩流体。 3、流体静力学基本方程的物理意义和几何意义 物理意义物理意义 ○ 1 z 的物理意义表示为单位重量流体对某一基准面的位势能（ elevation energy ） 。 从物理学可知，把质量为 m 的物体从基准面提升 z 高度后，该物体就具有位能 mgz ， 则单位重量物体所具有的位能为 z mgz / mg z ） 。 ○ 2 p / Pg 表示单位重量流体的压强势能（ Pressure energy ， 说明如图 2 一 6 所示， 容器离基准面 z 处开一个小孔， 接一个顶端封闭 的玻璃管（称为测压管） ，并把其内空气抽出，形成完 全真空 （ P 0 ， 在开孔处流体静压强 p 的作用下， 流体进人测压管，上升的高度 h p / Pg 称为单位重 量流体的压强势能。位势能和压强势能之和称为单位 重量流体的总势能。所以式（ 2 一 9 ）表示在重力 作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。 这就是静止液体中的能量守恒定 律（ energy conservation law ） 。 几何意义几何意义 ○ 1 Z 的几何意义表示为单位重量流体的位置高度或位置水头（ elevation head ） 。 单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，并称为水头。式（ 2 一 9 ）中 Z 具有长度单位，如图 2 一 5 所示， Z 是流体质点离基准面的高度. ○ 2 p / Pg 也是长度单位，它的几何意义表示为单位重量流体的压强水头（ pressure head ） 。 ○ 3 位置水头和压强水头之和称为静水头。 所以式（ 2 一 9 ）也表示在重力作用下静止 流体中各点的静水头都相等。在实际工程中，常需 计算有自由液面的静止液体中任意一点的静压强。 po ∇ ∆z 2 1 为此，可以根据流体静力学基本方程（ 2 一 10 ）得到静止液体中任意一点的静压强计算 式。 4、液体中任意一点的静压强计算式 如图 2 一 7 所示，在一密闭容器中盛有密度为 ρ 的液体，若自由液面上的压强为 p0、 位置坐标为 z0， 则在液体中位置坐标为 z 的任意一点 A 的压强 p 可由式 （ 2 一 10 ） 得到，即 211 式中 h z0一 z 是静止流体中任意点在自由液面下的深度。 式（ 2 一 11 ）是重力作用下流体平衡方程的又一重要形式。 重要结论重要结论 l ）在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律变化，即随深度的增加，静压 强值成正比增大。 2 ）在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成一部分是自由液面上的压强 p 。 ； 另一部分是该点到自由液面的单位面积上的液柱重量 P 动。 3 ）在静止液体中，位于同一深度（ h 一常数）的各点的静压强相等，即任一水平面都 是等压面。 5、例题 例 已知 ρ 800kg/m3, p1 64 kpa, p279.68kpa 求 ∆z 解 z1p1/ ρg z2p2/ ρg ∆z z1 – z2 p2 – p1/ ρg 79.68 – 64.0103/9.8800 ∆z 2m l 2.4 绝对压强、计示压强和真空度绝对压强、计示压强和真空度 1、绝对压强（ absolute presse 流体压强按计量基准的不同可区分为绝对压强和相对压强。 以完全真空时的绝对零压强 （ p 0 ）为基准来计量的压强称为绝对压强。 2、相对压强（ relative pressure ） 以当地大气压强（ atmospheric pressure ）为基准来计量的压强称为相对压强.。 3、绝对压强与相对压强之间的关系 当自由液面上的压强是当地大气压强 pa时，则式（ 2 一 11 ）可写成 式中 p 流体的绝对压强， Pa ; Pe 流体的相对压强， Pa 。 因为 Pe可以由压强表直接测得，所以又称计示压强（ gauge pressure ） 。 绝对压强 p 是当地大气压强 pa与计示压强 Pe之和， 而计示压强 Pe是绝对压强 p 与 当地大气压强 pa之差。 4、真空或负压强 当流体的绝对压强低于当地大气压强时， 就说该流体处于真空状态。 例如水泵和风机的 吸人管中，凝汽器、锅炉炉膛以及烟囱的底部等处的绝对压强都低于当地大气压强，这些地 方的计示压强都是负值，称为真空或负压强，用符号 pv表示，则 如以液柱高度表示，则 式中 h ，称为真空高度。 在工程中，例如汽轮机凝汽器中的真空，常用当地大气压强的百分数来表示，即 式中 B 通常称为真空度。 5、绝对压强、计示压强和真空之间的关系 当地大气压强是某地气压表上测得的压 强值，它随着气象条件的变化而变化，所以当 地大气压强线是变动的。 由于绝大多数气体的 性质是气体绝对压强的函数， 所以气体的压强 都用绝对压强表示。 而液体的性质几乎不受压 强的影响，所以液体的压强常用计示压强表示，只有在汽化点时，才用液体的绝对压强。6、 流体静压强的计量单位 用单位面积上所承受的力表示。Pa N/㎡ 工程单位是 kgf/㎡或 用液柱高度表示 h pγ 例如标准大气压为 若用水柱高度则为 10.33mH2o 若用水银柱表示则 为 760mmHg 用大气压表示 一种是标准大气压，另一种是工程大气压。 把 定义为一个工程大气压。 l 2.5 流体静力学基本方程的应用流体静力学基本方程的应用 液柱式测压计的测量原理是以流体静力学基本方程式为依据的。 作为基本方程的应用下 面介绍几种液柱式测压计。 一、测压管一、测压管 1、结构 测压管是一种最简单的液柱式测压计。为了减少毛细 现象所造成的误差，采用一根内径为 10mm 左右的直玻 璃管。测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接， 上端开口与大气相通，如图 2 一 9 所示。 2 ．测压原理 在压强作用下，液体在玻璃管中上升 h 高度。设被测液 体的密度为 P ，大气压强为 p 。 ，由式（ 2 一 11 ）可 得 M 点的绝对压强为 M 点的计示压强为 2 cm kgf a P 4 1013.10 2 1 cm kgf 4、适用范围 测压管只适用于测量较小的压强，一般不超过 98OOPa ，相当于 lmHZO 。如果被测 压强较高，则需加长测压管的长度，使用就很不方便。此外，测压管中的工作介质就是被测 容器中的液体，所以测压管只能用于测量液体的压强。 3 ．注意的问题 在管道中流动的流体的静压强也可用测压管和其它液柱式测压计测量。 但是， 为了减小 测量误差，在测压管与管道连接处需要采取下列措施 1 ）测压管必须与管道内壁垂直； 2 ）测压管管端与管道内壁平齐，不能伸出而影响流体的流动 3 ）测压管管端的边缘一定要很光滑，不能有尖缘和毛刺等； 4 ）为了减小由于连接的不完善而导致较大的误 差， 可采用如图 2 一 10 所示的连接装置。 在连接处同 一截面管壁上开若干个等距离小孔，外面罩上一圆环形 通道，然后与测压管相接。这样，可以测得这一截面静 压强的平均值。 二、二、 u 形管测压计（形管测压计（ u 一一 tube manometer 1 ．结构 这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的 U 形玻璃管。测量时，管的一端与被测容 器相接，另一端与大气相通，如图 2 一 n 所示。 U 形管内装有密度 ρ2 大于被测流体密 度ρ1 的液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。 2、适用范围 它是根据被测流体的性质、 被测压强的大小和测量精度等来选择的。 如果被测压强较大 时，可用水银；被测压强较小时，可用水或酒精。 工作介质不能与被测流体相互掺混。 U 形管测压计的测量范围比测压管大，但一般亦不超过 5 1094 . 2 Pa 。 U 形管测压 计可以用来测量液体或气体的压强； 可以测量容器中高于大气压强的流体压强； 也可以测量 容器低于大气压强的流体压强，即可以作为真空计来测量容器中的真空。 3 ．测量原理 l ）被测容器中的流体压强高于大气压强（即 p pa） 如图 2 一 11 a ）所示。 U 形管在没有接到测点 M 以前， 左右两管内的液面高度相等。 U 形 管接到测点上后， 在测点 M 的压强 作用下，左管的液面下降，右管的 液面上升，直到平衡为止。这时， 被测流体与管内工作介质的分界面 1 一 2 是一个水平面，故为等压面。所以 U 形管左、右两管中的点 1 和点 2 的静压强 相等，即 P1P2 ，由式（ 2 一 11 ）可得 所以 M 点的绝对压强为 M 点的计示压强为 于是， 可以根据测得的 hl 和 hZ 以及已知的 P1 ， 和 P2 计算出被测点的绝对压强和 计示压强值。 2 ）被测容器中的流体压强小于大气压强（即 p ρ2 ）的流 体作为工作介质， 则在平衡的同一工作介质连续 区内，同一水平面即为等压面，如如 1 一一 1 , l’ 一一 1’ , , 2 一一 2 , 2’一一 2’ ，和，和 3 一一 3 都是不同都是不同 的等压面．的等压面．对图中各等压面依次应用式（ 2 一 11 ）得 相加得容器中 A 点的绝对压强 容器中 A 点的计示压强为 若为 n 个串联 U 形管测压计，则被测容器中 A 点的计示压强计算通式为 测量密度为ρ的气体的压强时，如果 U 形管连接管中的密度为ρ1’ 的流体也是气体， 则各气柱的重量可忽略不计，则式（ 2 一 25 ）可简化为 225 4、例题（教材 32 页） 【 例 2 一 1 】 如图 2 一 16 所示测量装置， 活塞直径武一 35mm ，油的相对密度 d 油～ 0 . 92 ， 水银的相对密度 d Hg 13 . 6 ，活塞与缸壁无泄漏和摩 擦。当活塞重为 15N 时， h 700mm ，试计算 U 形 管测压计的液面高差△h 值。 【 解 】 重物使活塞单位面积上承受的压强为 补充例题补充例题 如图所示，求凝汽器内的绝对压力和真空值 答案解根据静力学基本方程p＋hρHgg ＝P0 凝汽器的绝对压力 p＝p0－ρHggh＝ 9.807104－13.341040.706＝3890（Pa） 凝汽器的真空 pr＝p0－p＝9.807104－3890＝94180（Pa） 答凝汽器的绝对压力为 3890Pa，真空为 94180Pa。 三、三、 U 形管差压计形管差压计 1 ．结构 U 形管差压计用来测量两个容器或同一容器（如 管道）流体中不同位置两点的压强差。 测量时，把 U 形管两端分别与两个容器的测点 A 和 B 连接，如图 2 一 13 所示。 U 形管中应注 人较两个容器中的流体密度大且不相混淆的流体作为 工作介质（即 ρρA , ρρB ） 。 2 ．测量原理 若 pA pB , U 形管内液体向右管上升， 平衡后， 1 一一 2 是等压面是等压面， 即 pl p2 。 由式 （ 2 - 11 ）得 因 pl p2 ○ 1 若两个容器内是同一流体，即ρρA ρB，则上式可写成 ○ 2 若两个容器内是同一气体，由于气体的密度很小， U 形管内的气柱重量可忽略不计， 上式可简化为 3、倒置式 U 形差压计 测量较小的液体压差，可以用倒置式 U 形差压计，例如 用图 2 一 14 所示装置测量管道内节流阀前后的压差 pl 一 p2 。设 ρ ρl ，当液体处于平衡状态时，水平面水平面 0 一一 0 是是 等压面等压面，其上的压强为 p0，则有 由式（ 2 一 30 ）可知，当ρ和 ρl 很接近时，即使压差 P 1 一 p2 ）很小，仍可得到较大的 h 值，从而有利于测量。 U 形管内液体上部的工作介质可以用空气或别的气体代替，通过顶部的阀门将空气注人， 逐渐增加液面上的压强，直到两管中液面达到某个合适的位置为止，这时 ρ与 ρl 相比可 忽略不计，但在较高的 p1 和 p2 时，相应的空气压强也较高，就不能略去 ρ 。 4、例题讲解 教材 32 页例 22 四、倾斜微压计四、倾斜微压计 1 ．结构 在测量气体的微小压强和压差时，为了提高 测量精度，常采用微压计。倾斜微压计是由一个 大截面的杯子连接一个可调节倾斜角度的细玻璃 管构成，其中盛有密度为 P 的液体，如图 2 一 15 所示。 在未测压时，倾斜微压计的两端通大气，杯 中液面和倾斜管中的液面在同一平面 1 一 2 上。 当测量容器或管道中某处的压强时， 杯端 上部测压口与被测气体容器或管道的测点相连接，在被测气体压强 p 的作用下，杯中液面 下降 h ，的高度至 O 一 O 位置，而倾斜玻璃管中液面上升了 L 长度，其上升高度 h2 Lsinθ 。 2 ．测量原理 根据流体平衡方程式（ 2 一 11 ，被测气体的绝对压强为 2 一 31 其计示压强为 2 一 32 如果用倾斜微压计测量两容器或管道两点的压强差时， 将压强大的 Pl 连接杯端测压口， 压强小的 P2 连接倾斜玻璃管出口端，则测得的压强差为 由于杯内液体下降量等于倾斜管中液体的上升量，设 A 和 s，分别为杯子和玻璃管的横截 面积，则 于是式（ 2 一 32 ）可写成 （233） 式中 K 倾斜微压计常数， 当 A 、s 和 ρ一定时， K 仅是倾斜角θ的函数。改变θ的大小，可得到不同的 K 值， 即将被测压强差的 L 值放大了不同的倍数。倾斜微压计的放大倍数 由于 s/ A 很小，可以略去不计，则 Lh 2 1 30sin/130 0 2 0 时，θ， 即 把 压 强 差 的 液 柱 读 数 放 大 了 两 倍 ； 当 75 . 5 10sin/110 00 n时，θ（倍）可见，倾斜微压计可使读数更精确。但若θ过小斜 玻璃管内的液面将产生较大的波动，位置不易确定。 对于每一种倾斜微压计，其常数 K 值一般有 0 . 2 、 0 . 3 、 0 . 4 、 0 . 6 和 0 . 8 五 个数据以供选用。 五、应用静力学基本方程式步骤五、应用静力学基本方程式步骤 六、教材例题习题讲解和训练六、教材例题习题讲解和训练 l 2.6 水位计的基本原理水位计的基本原理 1、 水位计的用途 是监测容器和设备内液面高度的装置，如水箱、锅炉汽包上都装有水位计。火电厂锅炉 运行中， 监视和正确测量锅炉汽包内的水位以及保持水位在规定范围内是非常重要的。 水位 不能太高，也不能太低。太高时，易使蒸汽带水，锅炉长期处于较高水位不运行会导致蒸汽 含盐微量增加，使过热器管壁上及汽轮机动、静叶片上结盐垢；水位太低时，会使某些水冷 壁管水循环变差，致使水冷壁管烧坏。特别是现代大型锅炉，出力大，汽包的水容量小，如 果因某种原因使锅炉在满负荷下中断汽包给水，只要一二分钟甚至更短时间就可“干锅” ， 发生重大设备损伤事故。可见，对锅炉汽包水位的监视是十分重要的。为了保证对锅炉汽包 水位进行准确的监视和测量， 现代大型锅炉常装有多只、 多种类型的水位计。 如高读水位计、 低读水位计、电感应水位计、机械水位计、光学水位计等。 2、高读水位计 高读水位计是直接装置在汽包上的，用汽连 通和水连通管将汽包的汽空间和水空间连接爵起 来，如图 2 一 20 所示。在锅炉点火前的冷态情 况下，水位计和汽包中水的密度相同，因此水位 计中的水位与汽包的实际水位相等，即 h h‘。 锅炉点火运行后，处于热态，由于观测板和 汽、水连通管的散热，使水位计中的水温比汽包 内锅水的温度低，其密度就要大些，所以水位计中的水位 h 和汽包内锅水的水位 h ’就不 相等，即 h 稍低于 h’，两者有个水位差 △ h 。因此锅炉运行时，从高读水位计上所观测 到的水位并不是汽包锅水的实际水位。那么怎样从高读水位计观测到的水位 h 得知汽包内 锅水的实际水位 h ’呢取水连通管轴线为等压面，列平衡方程 汽包内锅水的实际水位为 与水位计中观测到的水位差为 式中ρ” 在汽包压强下饱和蒸汽的密度； ρ’ 在汽包压强下饱和水的密度； ρ 水位计中水的密度，即在汽包压强和水位计的平均水温下水的密度。平均水温是 相应汽包压强下饱和温度和水位计最下部一点温度的算术平均值。 3、举例 如图所示的汽包内工作压力Pg＝10.9MPa，水位计 读数h1＝300mm， 若水位计中水温为260℃， 计算汽 包实际水位h2及差值Δh。（根据已知的汽包工作压 力Pg＝10.9MPa，水位计中水的温度t＝260℃，查 出汽包中饱和水密度ρ2＝673kg/m ３３，水位计中水 的密度ρ1＝785kg/m ３３。 ） 答案解在水连通管上取点A，A点左右两侧静压 力相等，若略去高差Δh一段蒸汽的重位压头，可列出如下方程式 ρ2g（Δh＋h1）＝ρ1gh1 673（Δh＋0.3）＝7850.3 Δh＝（0.3785－6730.3）/673＝0.0499（m）≈50（mm） 汽包内的实际水位h2＝h1＋Δh＝300＋50＝350（mm） 答汽包内的实际水位h2＝350mm，汽包内的实际水位与水位计水位差值Δh为50mm。 教材例题讲解 l 2.7 静止液体作用在平面上的总压力静止液体作用在平面上的总压力 许多工程设备，在设计时常需计算静止液体作用在其表面上的总压力（ total pressure 的大小、 方向和位置。例如电厂中的闸门、插板、水箱等。由于静止液体中不存在切向应力， 所以全部力都垂直于淹没物体的表面。 静止液体作用在平面上的总压力分为静止液体作用在斜面、 水平面和垂直面上的总压力 三种，斜面是最普通的一种情况，水平面和垂直面是斜面的特殊情况。下面介绍静止液体作 用在斜面上的总压力问题。 假设有一块任意形状的平面 MN 与水平成θ角放置在静止液体中，如图 2 一 21 所 示，图中右边是平面 MN 在垂直面上的投影图。 一、一、 总压力的大小总压力的大小 1、总压力计算 假设 h 为倾斜平面上任一点到自由液面的深度， y 为相应的在 OY 轴上的距离。在 深度 h 内选取一微元面积，认为其上的压强是均匀分布的，这样，该微元面积就相当于淹 没在静止液体中的一条水平带。如果 x 表示任一深度处这条微元面积的宽度，则它的面积 dA xdy ，由静止液体产生的压强 p ρgh，而 h ysinθ，则作用在这条微元面积上静止 液体的总压力为 236 上式中没有考虑大气压强的作用，因为平面的四周都受有大气压强的作用，互相抵消， 该式为仅由液体产生的总压力。 积分上式， 即可得静止液体作用在整个淹没平面上的总压力 为 （237） 式 中是整个淹没平面面积 “对 OX 轴的面积矩， yc 为平面 A 的形心 c 到 OX 轴距离，称为形心 y 坐标。如果用 h C 表示形心的垂直深度，称为形心淹深，那 么θsinyh cc ，则 238 2、总压力大小 静止液体作用在任一淹没平面上的总压力等于液体的密度、 重力加速度、 平面面积和形 心淹深的乘积。 3、总压力特性 如果保持平面形心的淹深不变， 改变平面的倾斜角度， 则静止液体作用在该平面的总压 力值不变，即静止液体作用于淹没平面上的总压力与平面的倾斜角度无关。 作用在静止液体中任一淹没平面上液体的总压力也相当于以平面面积为底， 平面形心淹 深为高的柱体的液重。 二、总压力的作用点二、总压力的作用点 1、压力中心 淹没在静止液体的平面上总压力的作用点， 即总压力作用线与平面的交点， 称为压力中 心（ center of pressure ） 。 2、压力中心位置 由合力矩定理可知， 总压力对 OX 轴之矩等于各微元面积上的总压力对 OX 轴之矩的 代数和。在图 2 一 21 中，作用在微元面积上的总压力 dF ρgysinθd A 对 OX 轴的力 矩为 如果用 yc表示 OY 轴上 O 点到压力中心的距离，则按合力矩定理有 上式除以式（ 2 一 37 ，得 239 根据惯性矩的平行移轴公式 式中 Icx是面积对于通过它形心且平行于 OX 轴的轴线的惯性矩。 因此，式（ 2 一 39 ）可以写成 240 结论结论 从这个方程式可以看到，压力中心的位置与θ角无关，即平面面积可以绕与 O X 轴平 行且通过压力中心的轴旋转。由方程还可看到，压力中心总是在形心下方，随淹没的深度增 加，压力中心逐渐趋近于形心。 按照上述方法同理可求得压力中心的 x 坐标 （241） 式中XC- - - - - - 平面形心的 x 坐标； Ixy- - - - - - - 平面面积对 OXy 坐标的两轴的惯性矩； Icxy- - - - - - - - - -平面面积对于通过形心而平行于 OXY 坐标系两轴的惯性矩。 通常， 实际工程中遇到的平面多数是对称的， 因此压力中心的位置是在平面对称的中心 线上，此时不必求 xp的坐标值，只需求得 yp 坐标值即可。 三、几种常用截面的几何性质三、几种常用截面的几何性质（教材 38 页表 22） 四、静止液体作用在水平面上的总压力四、静止液体作用在水平面上的总压力 1、静止液体作用在水平面上的总压力大小 由于水平面是水平放置的，压强分布是均匀分布的，那么仅有液体作用在底面为 A 、液深 为 h 的水平面的总压力 （242） 总压力的作用点是水平面面积的形心。 可见， 仅由液体产生作用在水平平面上的总压力 同样只与液体的密度、平面面积和液深有关。 2、静水奇象 图 2 一 22 中四个容器有同一种液体，根据式 2 一 42 ，液体对容器底部的作用力 是相同的，而与容器的形状无关，这一现象称为静水奇象。换句话说，液体作用在容器上的 总压力不要和容器所盛液体的重量相混淆。 工程上可以利用这一现象对容器底部进行严密性 检查。 五、例题讲解（教材 39 页例 26） l 2.8 静止液体作用在曲面上的总压力静止液体作用在曲面上的总压力 电厂中有许多承受液体总压力的曲面，主要是圆柱体曲面，如锅炉汽包、除氧器水箱、 油罐和弧形阀门等。 由于静止液体作用在曲面上各点的压强方向都垂直于曲面各点的切线方 向， 各点压强大小的连线不是直线， 所以计算作用在曲面上静止液体的总压力的方法与平面 不同。 一、总压力的大小和方向一、总压力的大小和方向 图 2 一 24 所示为一圆柱形开口容器中某一部分曲面 AB 上承受液体静止压强的情况。 设曲面的宽度为 b ，在 h 处取一微小弧段 ds ，则作用在宽度为 b 、长度为 ds 的弧 面 dA 上仅由液体产生的总压力为 这一总压力在 OX 轴与 0Z 轴方向的分力为 1 ．水平分力（ horizontal force 由图 2 一 24 可知， dAcosθ dAx，代人到式（ 2 一 43 ，则 因此，静止液体作用在曲面 AB 上的总压力在 OX 轴方向的分力，即水平分力为 为曲面面积在垂直平面（ OYZ 坐标面）上的投影面积 Ax 二对 OY 轴的面 积矩， 它等于投影面积的形心到 OY 轴的距离 hc与投影面积 A x的乘积， 即 该圆柱形曲面在垂直平面上的投影面积 Ax bH ，其形心 hc H / 2 ，则 由此可知， 静止液体作用在曲面上的总压力的水平分力等于作用在这一曲面的垂直投影 面上的总压力。Fx作用线的位置位于自由液面下H 3 2 处。 2 ．垂直分力（ vertical force 由图 2 一 24 可知，dAsinθdAs，代人到式（ 2 一 44 ，则 因此静止液体作用在曲面 AB 上的总压力在 0Z 轴方向的分力，即垂直分力为 是曲面 A “与自由液面的投影“的体积， 在图 2 一 2 4 上就是面积 OAB 乘以曲面的宽度 b ，这个体积称为压 力体（ pressure