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第三章第三章 流体流动的基本概念和方程流体流动的基本概念和方程 引言引言 流体流动的特点流体流动的特点 1、 流体的变形运动 2、 描述流体运动的主要物理量 流体运动学研究流体的运动规律，如速度、加速度等运动参数的变化规律，而流体动力 学则研究流体在外力作用下的运动规律，即流体的运动参数与所受力之间的关系 l 3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法 连续介质模型 我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质， 并且无间 隙地充满它所占据的空间。描述流体运动的各物理量（如速度、加速度等）均应是空间点的 坐标和时间的连续函数 流场（ flow field ） 流体质点运动的全部空间。 流体力学中研究流体的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日（ Lagrange ）方法， 另一种是欧拉（ Euler ）方法。 一、拉格朗日方法 1、 分析方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点着手来研究整个流体运动的。 2、 位置表示 这种研究方法，最基本的参数是流体质点的位移，在某一时刻 t ，任一流体质点的位 置可表为 （31） 式中 a 、 b 、 c 为初始时刻 t0任意流体质点的坐标，不同的 a 、 b 、c 代表不同的 流体质点。 ○ 1 对于某个确定的流体质点， a 、 b 、c 为常数，而 t 为变量，则得到流体质点的运动 规律。 ○ 2 对于某个确定的时刻， t 为常数，而 a 、 b 、c 为变量，得到某一时刻不同流体质点 的位置分布。 通常称 a 、、 b 、、 c 为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。 3、速度表示将式（ 3 一 1 ）对时间 t 求一阶和二阶导数，可得任意流体质点的速度 （ velocity ）和加速度（ acceleration ）为 4、密度表示 流体的密度（ density ） 、压强（ pressure ）和温度（ temperature 写成 a 、 b 、 t 的函数，即 ρ ρ a , b , c , t , p p a , b , c , t , t t a , b , c , t 二、欧拉法 1、 分析方法又称局部法，是从分析流场中每一个空间点上的流体质点的运动着手，来研 究整个流体的运动的，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随时间的变化 规律。 2、 表示流体质点的流动是空间点坐标（ x , y , z ）和时间 t 的函数， 流体质点的三个速度分量表示为 （34） 式中，u、v、w 分别表示速度矢量在三个坐标轴上的分量 wkvjui V → → → ρ 式（ 3 一 4 ）中，当参数 x 、 y 、 z 不变而改变时间 t ，则表示空间某固定点的 速度随时间的变化规律。当参数 t 不变，而改变 x 、 y 、 z ，则代表某一时刻，空间各 点的速度分布。 流体质点压力表示 流体质点密度表示 3、流体质点的运动轨迹方程 x 、 y 、 z 有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在 空间的位移。根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个 空间点上的流体质点都有自己的速度， 有速度必然产生位移。 也就是说， 空间坐标 x 、 y 、 z 也是流体质点位移的变量，它也是时间 t 的函数 （36） 式（ 3 一 6 ）是流体质点的运动轨迹方程，将上式对时间 t 求导就可得流体质点沿 运动轨的三个速度分量 （37） 4、流体质点的加速度 现在用欧拉法求流体质点的加速度。由于加速度定义为在 dt 时刻内，流体质点流经某 空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率， 于是可按复合函数的求导法则， 分别 将式（ 3 一 4 ）中三个速度分量对时间 t 取全导数，并将式（ 3 一 7 ）代人，即可得 流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量 （38） 根据矢量分析的点积公式 是矢性微分算子 分析分析式（ 3 一 8 ） ，流体质点的加速度由两部分组成 ○ 1 第一部分，当地加速度 local acceleration 是由于某一空间点上的流体质点的速度随时 间的变化而产生的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的第一项 t w t v t u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 、、 ○ 2 第二部分，迁移加速度（ acceleration of transport 是某一瞬时由于流体质点速度随空 间点的变化而引起的，即式（ 3 一 8 ）中等式右端的后三项 z u w y u v x u u ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 、、等 当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度（ total acceleration ） 5、流体质点的加速度的物理意义 如图 3 一 1 所示，不可压缩流体流过一个中间有收缩形的变截面管道，截面 2 比截 面 1 小，则截面 2 的速度就要比截面 1 的速度大。所以当流体质点从 1 点流 2 点时， 由于截面的收缩引起速度的增加，从而 产生了迁移加速度；如果在某一段时间 内进管道的流体输人量有变化（增加或 减少） ， 则管道中每一点上流体质点的速 度将相应发变化（增大或减少） ， 从而产 生了当地加速度。 6、空间点 流体质点和空间点是两个截然不同的概念， 空间点指固定在流场中的一点， 流体质点不断流过空间点， 空间点上的速度指流体质点 正好流过此空间点时的速度。 欧拉法求流体质点其他物理量的时间变化率也可以采用式 （ 3 一 9 ）的形式，即 （310） 式中，括弧内可以代表描述流体运动的任一物理量，如密度、温度、压强等，可以是标 量（scalar）,也可以是矢量（vector） 。 Dt D 称为全导数， t ∂ ∂ 称为当地导数，V∇称 为迁移导数。 三、欧拉法比拉格朗日法优越的原因三、欧拉法比拉格朗日法优越的原因 采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格朗日法优越，其原因有三 ○ 1 是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。 ○ 2 是采用欧拉法，加速是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分 方程分别是一阶偏微方程和二阶偏微分方程， 在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求 解容易。 ○ 3 是工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因， 欧拉法在流体力学研究广泛被采用。 当然拉格朗日法在研究爆炸现 象以及计算流体力学（ numerical ntrid me - anics ）的某些问题中还是方便的。 四、例题讲解四、例题讲解 l 3.2 流动的分类流动的分类 在流体力学中， 为掌握流体流动的基本规 律，对不同类型的流动从简到繁，由浅人地进 行研究，也要对流体的流动进行分类。通常， 流体的运动可以从流体的性质， 运动特征分成 如图 3 一 2 所示的几类。 一、一、 定常流动和非定常流动（定常流动和非定常流动（ s teady flow and non 一一 steady flow 或稳定流或稳定流 动和非稳定流动动和非稳定流动 1、 分类依据 根据流体的流动参数是否随时间而变 2、定义 定常流动运动流体中任一点的流体质点的流动参数（压强和速度等）均不随时间变化，而 只随空间点位置不同而变化的流动。 非定常流动 运动流体中任一点流体质点的流动参数 （压强和速度等） 随时间而变化的流动。 3、举例说明 如图 3 一 3 所示装置，将阀门 A 和 B 的开度调节到使水箱的水位保持不变，则水箱和 管道中任一点（如 1 点、 2 点和 3 点等）的流体质点的强和速度都不随 时间而变化，但由于 1 、 3 各点所 处的空间位置不同，故其压强速度值 也就各不相同。这时从管道中流出的 射流形状也不随时间而变。这种运动 流体中任一点的流体质点的流动参数（压强和速度等）均不随时间变化，而只随空间点位置 不同而变化的流动， 称为定常流动。 现将阀门 A 关小， 则流人水箱的水量小于从阀门 B 流 出的水量， 水箱中的水位就逐渐下降， 于是水箱和管道任一点流体质点的压强和速度都逐渐 减小，射流的形状也逐渐向下弯曲。这种运动流体中任一点流体质点的流动参数（压强和速 度等）随时间而变化的流动，称为非定常流动。 4、定常流动参数表示 定常流动的流场中， 流体质点的速度、 压强和密度等流动参数仅是空间点坐标 x 、 y 、 z 的函数，而与时间 t 无关。 （311） 由于是定常流动，故其速度、压力和密度等流动参数对时间的偏导数等于零，即 （312） 因此，定常流动时流体加速度在各坐标轴方向的分量可简化成 （313） 结论由式（ 3 一 13 ）可知，在定常流动中只有迁移加速度。 例如图 3 一 3 中，当水箱的水位保持不变时， 2 点到 3 点流体质点的速度减小，而 4 点到 5 点速度增加，都是由于截面变化而引起的迁移加速度。若迁移加速度为零，则为 均匀流动，例如流体质点在等截面管道中的流动（ 3 点到 4 点） 。 5、定常流动研究意义 在供水和通风系统中，只要泵和风机的转速不变，运转稳定，则水管和风道中的流体流 动都是定常流动。又如火电厂中，当锅炉和汽轮机都稳定在某一工况下运行时，主蒸汽管道 和给水管道中的流体流动也都是定常流动。可见研究流体的定常流动有很大的实际意义。 二、二、 一维流动、二维流动和三维流动（一维流动、二维流动和三维流动（ one dimensional flow 、、 two dimensional flow and three dimensinal flow 1、定义一般的流动都是在三维空间的流动，流动参数是 x 、 y 、 z 三个坐标的函数， 在流体力学中又称这种流动为三维流动。 当我们适当地选择坐标或将流动作某些简化， 使其 流动参数在某些情况下，仅是 x , y 两个坐标的函数，称这种流动为二维流动。是一个坐标 的函数的流动，称为一维流动。 2、说明 如图 3 一 4 所示的带锥度的圆管内粘性流体的 流动， 流体质点运动参数， 如速度， 即是半径 r 的 函数，又是沿轴线距离 x 的函数，即 u u r , x ） 。显然这是二元流动问题。工程上在讨论其速 度分布时，常采用其每个截面的平均值 u 。就将 流动参数如速度，简化为仅与一个坐标 x 有关的 流动问题，这种流动就叫一维流动，即 u u x ） 。 如图 3 一 5 所示的绕无限翼展的流动就是二维流动， 二维流动的参数以速度为例， 可 写成 如图 3 一 6 所示的绕有限宽翼展的流动就是三维流动，三维流动的参数以速度为例， 可写成 l 3.3 流体动力学的几个基本概念流体动力学的几个基本概念 一、一、 迹线（迹线（ path line 1、、 定义流场中某一质点运动的轨迹称为迹线。 例如在流动的水面上撒一片木屑， 木屑随水流漂流的途径就是某一水点的运动轨迹， 也 就是迹线。流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的一种几何表示，可以 用它来直观形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运动情况。 2、数学表达式 迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质点在不同时刻所形成的曲 线，其数学表达式为 （314） 式中（ 3 一 14 ）就是迹线微分方程， t 是自变量。 二、流线（二、流线（ stream line 1、定义所谓流线是某一瞬时在流场中所作 的一条曲线， 在这条曲线上的各流体质点的速 度方向都与该曲线相切， 因此流线则是同一时 刻， 不同流体质点所组成的曲线， 如图 3 一 7 所示。 2、研究意义 流线可以形象地给出流场的流动状态。 通过流线， 可以清楚地看出某时刻流场中各点的 速度方向， 由流线的密集程度， 也可以判定出速度的大小。 流线的引人是欧拉法的研究特点。 例如在流动水面上同时撒一大片木屑， 这时可看到这些木屑将连成若干条曲线， 每一条曲线 表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线。 3、流线具有四个特性 1 ）在定常流动时，流线和迹线相重合；非定常流动时，流线和迹线不相重合。 因为在定常流动时， 流场中各流体质点的速度不随时间变化， 所以通过同一点的流线 形状始终保持不变，因此流线和迹线相重合。而在非定常流动时，一般说来流线要随时间变 化，故流线和迹线不相重合。 2 ）通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流线不能相交和分支。 否则在同一空间点上流体质点将同时有几个不同的流动方向。 只有在流场中速度为零 或无穷大的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出现在同一点上存在不同流 动方向的问题。速度为零的点称驻点，速度为无穷大的点称为奇点。 3 ）流线不能突然折转，只能平缓过渡。 4 ）流线密集的地方，表示流场中该处的流速较大，稀疏的地方，表示该处的流速较小。 4、流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体质点的速度矢量 wkvjuiV，通过该点流线上的微元线段zkdyjdxiddL。由流线的定义知， 空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析，这两个矢量的矢量积应等于零，即 上式又可写成 （315） 式（ 3 一 15 ）就是流线的微分方程，式中时间 t 是个参变量。 三、流管和流束（三、流管和流束（ stream tube and stream bundle 1、流管定义在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过曲线上各点作流线，这些流线 组成一个管状表面，称之为流管。 2、流管特性 因为流管是由流线构成的， 所以它具有流线的一切特性， 流体质点不能穿过流管流人或 流出（由于流线不能相交） 。流管就像固体管子一样，将流体限 制在管内流动。 3、流束定义过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的 一束流线簇，称为流束。 4、流束特性如图 3 一 8 所示。在定常流动中，流束的形状 不随时间而改变；在非定常流动中，流束将随时间而改变它的形状和位置。 四、有效截面四、有效截面 1、定义在流束中与各流线相垂直的横截面称为有效截面。 流线互相平行时，有效截面是平面。流线不平行时，有效截面是曲面，如图 3 一 9 所 示。有效截面面积为无限小的流束和流管，称为微元流束和微元流管。在每一个微元流束的 有效截面上，各点的速度可认为是相同的 五、流量和平均流速五、流量和平均流速 1、流量 单位时间内通过有效截面的流体体积称为体积流量体积流量（ vohimetric ffowrate ，以 qV表 示。其单位为 m / S 、 m / h 等。 单位时间内通过有效截面的流体质量称为质量流量质量流量（ mass ffow rate ）以 qm表示，其 单位为 kg / s 、 t / h 等。 由于微元流束有效截面上各点的流速 v 是相等的，所以通过微元流束有效截面积为 dA 的体积流量 dqv 和质量流量 dqm 分别为 316 （317） 由于流束是由无限多的微元流束组成的，所以通过流束有效截面面积为 A 的流体体积 流量 qV和质量流量 qm分别由式（ 3 一 16 ）和式（ 3 一 17 ）积分求得，即 （318） （319） 2、平均流速 以上计算必须先找出微元流束的速度 V 在整个流束有效截面上的分布规律，这在大部 分工程问题中是不能用解析法来确定的。 在工程计算中为了方便起见， 引人平均流速 （ mean velocity ）的概念。 定义定义平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以相同的平均流速流过，这 时通过该有效截面上的体积流量仍与各点以真实流速 V 流动时所得到的体积流量相同。 若以V表示平均流速，按其定义可得 （320） （321） l 3.4 流体流动的连续性方程流体流动的连续性方程 连续性方程（ equation of continuity ）是质量守恒定律（ law of mass conservation ）在 流体力学中的应用。我们认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前 提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定若在某一定时间 内， 流出的流体质量和流人的流体质量不相等时， 则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化， 以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间； 如果流体是不可压缩的， 则流出的流体质量必 然等于流人的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。 一、直角坐标系下连续性微分方程式一、直角坐标系下连续性微分方程式 设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为 dx 、 dy 和 dz ，如图 3 一 10 所 示。 假设微元平行六面体形心的坐标为 x 、 y 、z；在某一瞬时 t 经过形心的流体质点沿 各坐标轴的速度分量为 u 、 v 、 w ；流体的密度为 ρ。现讨论流体经六面体各面的流 动情况。 1、 分析 X 轴方向 由式（ 3 一 4 ）和式（ 3 一 5 ）可知， u 和ρ都是坐标和时间的连续函数，即“u u x , y , z , t ）和 ρρ x , y , z , t ） 。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量， 得在 dt 时间内，沿 X 轴方向从左边微元面积 dydz 流人的流体质量为 同理可得在 dt 时间内从右边微元面积 dydz 流出的流体质量为 322 上述两者之差为在 dt 时间内沿 X 轴方向流体质量的变化，即 323 2、 分析 Y 轴和 Z 轴方向 同理可得，在 dt 时间内沿 Y 轴和 Z 轴方向流体质量的变化分别为 3、经过微元六面体的流体质量总变化 因此，在 dt 时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 （324） 4、因密度的变化而引起的质量变化 由于流体是作为连续介质来研究的，所以式（ 3 一 24 ）所表示的六面体内流体质量 的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此式（ 3 一 24 ）应 和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。设开始瞬时流体的密度为 ρ ，经过 dt 时间后的密度为 则可求出在 dt 时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为 （325） 5、可压缩流体非定常流动的连续性方程 根据连续性条件，式（ 3 一 24 ）和式（ 3 一 25 ）应相等，经简化得到 （326） 式（ 3 一 26 ）为可压缩流体非定常流动的连续性方程。 6、可压缩流体定常流动的连续性方程 若流体是定常流动，则0 t ∂ ∂ρ ，上式成为 （327） 7、不可压缩流体的连续性方程 若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动 p 均为常数，故式（ 3 一 27 ）成为 （328） 物理意物理意义义在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同 一时间内流人的体积流量与流出的体积流量相等。 在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这 种流动的流动参数（如速度、压强）只沿 X 、 Y 两个坐标轴方向发生变化，则式（ 3 一 28 可以写成 （329） 由于在推导上述连续性方程时， 没有涉及作用力的问题， 所以不论是对理想流体还是实 际流体都是适用的。 二、二、 微微元元流束的连续性方程流束的连续性方程 在工程上常遇到一维流动的问题， 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的 变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合 这个条件。在流场中取一微元流束（图 3 一 11 ） 。微元流管的形状不随时间而改变。又根 假定流体的运动是连续的、定常的，则据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因 此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相等，即 （330） 式中 dA1 、 dA2 分别为 1 、 2 两个有效截面的面积； V1 、 V2 分别为 dA1和 dA2上的流速，也称为真实流速； ρ1 、ρ2 分别为 dA1和 dA2处的流体密度。 对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动） ，可对式（ 3 一 30 ）进行积分得 （331） 式中 A 1 和 A2 分别为总流 1 和 2 两个有效截面的面积。 式（ 3 一 31 ）为一维流动积分形式总流的连续性方程。 设 1 V和 2 V 是总流两个有效截面 1 和 2 上的平均流速，则式（ 3 一 31 ）可写 成 （332） 式中ρ1和ρ2 分别代表截面 Al 和 A2 上的平均密度。式（ 3 一 32 ）表示当流动为 可压缩流体定常流体动时，沿流动方向的质量流量为一个常数。 对不可压缩流体ρ常数，则式（ 3 一 32 ）成为 （333） 式（ 3 一 33 ）为 。该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量 为一个常数；平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效 截面面积小的地方平均流速就大。 三、例题讲解三、例题讲解 l 3.5 理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程 在流动的理想流体中， 取出一个微元平行六面体的微团， 它的各边长度分别为 dx 、 dy 和 dz ，如图 3 一 13 所示。由于是理想流体，没有粘性，运动时不产生内摩擦力，所以 作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体 微团的表面上。 假设六面体形心的坐标为 x 、 y 、 z ，压强为 p 。先分析 X 方向的运动，在垂直 于 X 轴的左右两个平面中心点上的压强各等于 由于是微元面积， 所以这些压强可以作为各表面上的平均压强。 设在六面体形心上的单 位质量的质量力分量为 fz 、 fy 和大，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在 X 轴方向的分量为 又流体微团的加速度在 X 轴上的投影为 Dt Du ，则根据牛顿第二定律得 X 轴方向的运 动微分方程 将上式各项除以流体微团的流体质量冈 xdydz ，化简后得 同理 这就是理想流体的运动微分方程， 早在 1755 年就为欧拉所提出， 所以又称欧拉运动方 程。对于静止的流体， u v w O ，则由式（ 3 一 34 ）可以直接得出流体平衡微分方 程，即欧拉平衡方程式（ 2 一 3 ） 。因此欧拉平衡方程只是欧拉运动方程的一个特例。如 果把加速度写成展开式，可将欧拉运动方程写成如下形式 在一般情况下，作用在流体上的质量力 fx、fy、fz是已知的，对理想不可压缩流体其密 度 P 为一常数。在这种情况下，式（ 3 一 35 ）中有四个未知数 u 、 v 、 w 和 p ， 而式（ 3 - 35 ）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程（ 3 一 28 ，就从理 论上提供了求解这四个未知数的可能性。 l 3.6 理想流体微元流束的伯努里方程理想流体微元流束的伯努里方程 一、一、 理想流体微元流束的伯努里方程理想流体微元流束的伯努里方程 1、假定条件 理想流体的运动微分方程（ 3 一 35 ）只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定 条件下 1 ）不可压缩理想流体的定常流动； 2 ）沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； 3 ）质量力只有重力。 2 理想流体微元流束的伯努力方程（ Bernoulli’s equation ） 假定流体是定常流动，则有 因此式（ 3 一 35 ）可写成 （336） 假如流体微团沿流线的微小位移 d ，在三个坐标轴上的投影为 dx 、 dy 和 dz 。现 用 dx 、 dy 和 d z 分别乘以式（ 3 一 36 ）的第一式、第二式和第三式，则可得到 （337） 由流线微分方程（ 3 一 15 ）有 （338） 将式（ 3 一 38 ）代人式（ 3 一 37 ）中的对应项；则得 （339） 将式（ 3 一 39 ）的三个方程相加，得到 （340） 由于式（ 3 一 40 ）中的 dx 、 dy 和 dz 是流体微团沿流线微小位移 ds 的三个分 量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。式（ 3 一 40 ）中的 假设质量力只有重力， fx 0 ，fy 0, fz 一 g ，即 Z 轴垂直向上， OXY 为水平面。 则式 3 一 40 ）可写成 又假设为不可压缩均质流体，即 ρ常数，积分后得 （341） 式（ 3 一 41 ）称为理想流体微元流束的伯努里方程。方程右边的常数对不同的流线 有不同的值。 若 1 、 2 为同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（ 3 一 41 ）也可写成 （342） 在特殊情况下，绝对静止流体 V 0 ，由式（ 3 一 41 ）可以得到静力学基本方程 3、 方程的适用范围 理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束） 。 二、二、 方程的物理意义和几何意义方程的物理意义和几何意义 1 ．物理意义 理想流体微元流束的伯努里方程式（ 3 一 41 ）中， 第一项 z 表示单位重量流体所具有的位势能（ elevation energy ； 第二项 p / ρg ）表示单位重量流体的压强势能（ pressure energy ； 第三项 V / 2g） ；单位重量流体具有的动能（ kinetic energy ） 质量为 m 的物体以速度 V 运动时，所具有的动能为 mV/ 2 ，则单位重量流体所具 有的动能为 V / 2g ）即（ m V / 2 / mg ） V / 2g ） 。 位势能、压强势能和动能之和称为机械能（ mechanical energy ） 。 因此，伯努里方程可叙述为理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流 线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变， 即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努里方 程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。 2、 几何意义 理想流体微元流束的伯努里方程式（ 3 一 41 ）中，左端前两项的几何意义， 第一项 z 表示单位重量流体的位置水头（ elevation head ， 第二项 p / Pg ）表示单位重量流体的压强水头 pressure head ， 第三项 V / 2g）与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于速度 v ，在 无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头（ velocity head ） 。 位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用 几何图形表示它们之间的关系，如图 3 一 14 所示。 因此伯努里方程也可叙述为 理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时， 沿同一流线 （或 微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变， 即总水头是一常数。 l 3.7 伯努里方程的应用伯努里方程的应用 理想流体微元流束的伯努里方程， 在工程中广泛应用于管道中流体的流速、 流量的测量 和计算，下面以应用最广泛的皮托管（ Pitot tube ）和文特里（ Venturi ）流量计为例，介 绍它们的测量原理和伯努里方程的应用。 一、一、 皮托管皮托管 1、液体流速测量 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速， 从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图 3 一 15 所示。 在液体管道的某一截面处装有一个测 压管和一根两端开口弯成直角的玻斑管（称 为测速管） 。将测速管（又称皮托管）的一 端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时 测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高 h 。 这是由于当液流流到测速管人口前的 A 点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测 速管人口形成一个驻点 A 。 驻点 A 的压强 PA称为全压， 在人口前同一水平流线未受扰 动处（例如 B 点）的液体压强为 pB ，速度为 V 。应用伯努里方程于同一流线上的 B 、 A 两点，则有 （343） 式（ 3 一 43 ）表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值 h ，就可以确定流体 的流动速度。 由于流体的特性， 以及皮托管本身对流动的干扰， 实际流速比用式 （ 3 一 43 ） 计算出的要小，因此，实际流速为 （344） 式中φ 流速修正系数，一般由实验确定，φ 0 . 97 。 2、气体流速测量 如果测定气体的流速， 则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来， 必须把两根管子 连接到一个 u 形差压计上，从差压计上的液面差 来求得流速，如图 3 一 16 所示，则 用式（ 3 一 43 ，则得 考虑到实际情况， （345） 3、皮托一静压管（动压管） 在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托一静压管，又称动压管，习惯 上常简称它为皮托管，其示意图如图 3 一 17 所示。图中 1 点为总压测点， 2 点为静压 测点，将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总压和静压的差值， 从而可由式（ 3 一 43 ）求得测点的流速。皮托一静压管的构造尺寸及使用时的连接方式 如图 3 一 18 所示。 二、二、 文特里（文特里（ Venturi ）流量计）流量计 主要用于管道中流体的流量测量， 主要是由收缩段、 喉部和扩散段三部分组成， 如图 3 一 19 所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用 U 形管差压计测量出压 强差，从而求出管道中流体的体积流量。 以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面 1 一 1 , 2 一 2 的伯努里方程 346 由一维流动连续性方程 347 将式（ 3 一 47 ）代人到式（ 3 一 46 ，整理得 （348） 由流体静力学 （349） 将式（ 3 一 49 ）代人到式（ 3 一 48 （350） 式（ 3 一 50 ）表明，若 ρ 液，ρ、 A2 、 Al 已知，只要测量出 h 液，就可以 确定流体的速度。 流量为 考虑到实际情况 （352） 式中 Cd为流量系数，通过实验测定。 文特里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理与文 特里流量计基本相同，不再多叙述。 三、三、 伯努里方程应用时特别注意的几个问题伯努里方程应用时特别注意的几个问题 伯努里方程是流体力学的基本方程之一， 与连续性方程和流体静力学方程联立， 可以 全面地解决一维流动的流速 （或流量） 和压强的计算问题， 用这些方程求解一维流动问题时， 应注意下面几点 1 ）弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流动问题，还是既有流动问题又有流 体静力学问题。 2 ）选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽 可能多。通常对于从大容器流出，流人大气或者从一个大容器流人另一个大容器，有效截面 通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面， 因为该有效截面的压强为大气压强， 对于大 容器自由液面，速度可以视为零来处理。 3 ）选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通 常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平。 4 ）求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努里方程的 pl 、 pZ ，应 为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强， p ，和 p 的问题与静力学中的处理 完全相同。 5 ）有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效 截面上 A 点的压强，又取同一有效截面上另一点 B 的速度。 四、例题讲解四、例题讲解 l 3.8 定常流动的动量方程定常流动的动量方程 一、动量定理作用一、动量定理作用 在许多工程实际问题中， 可以不必考虑流体内部的详细流动过程， 而只需求解流体边界 上流体与固体的相互作用， 例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力， 这时常常应用动量定 理直接求解显得十分方便。 由于不需要了解流体内部的流动型式， 所以不论对理想流体还是 实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。 二、动量方程推导二、动量方程推导 将质点系动量定理应用于流体系统的运动， 可以导出流体运动的动量方程。 根据动量定理， 流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和。 设不可压缩流体在管中作定常流动， 如图 3 一 21 所示。 取有效截面 1 一 1 和 2 一 2 之间的流段作为研究对象，两截面上的平均流速分别 Vl 和 V2 ，流段在质量力、两截面 上的压强和管壁的作用力的外力作用 下，经过 dt 时间后从位置 1 一 2 流 到 l ′一 2 ′。与此同时，流段的动 量发生了变化，其变化等于流段在 1 ′一 2 ′和 1 一 2 位置时的动量之 差。由于定常流动中流管内各空间点的 流速不随时间变化， 因此 1 ′一 2 这部 分流体（图中阴影部分）的动量没有改 变。于是在 dt 时间内流段的动量变化 就等于 2 一 2 ′段的动量和 1 一 1 ′段的动量之差。 （2- - - 53） 由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的， 故引 人一个动量修正系数β加以修正。根据实验测定β值约为 1 . 02 1 . 05 ，近似于 1 ， 所以为计算方便，在工程计算中通常取β 1 。于是上式可改写成 354 根据不可压流体一维流动总流的连续性方程，流过截面 1 一 1 的流量和流过截面 2 一 2 的流量相等，即 （355） 方程（ 3 一 55 ）就是不可压缩流体定常流动的动量方程。把上式写成分量形式为 （356） 管流的定常动量方程常用于求解作用在管道上的动水反力等问题。由式（ 3 一 56 ） 可