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第五章 交流电路 1 第五章第五章 交流电路交流电路 Chapter 5 Alternating Circuit AC 5.1 导言 Introduction 5.1.1 复习交流电的产生交流发电机原理 Generation of AC 当调节 f 时, 灯泡亮度亦不变. 这说明电阻是线性元件,不随 f 变化. a电路模型 b示波器显示 it和 ut波形位相一致 四四电容元件电容元件 Capacitor 我们知道电容器具有隔直流的作用因而稳恒的直流电是不能通过电容器的但是图 4 所示实验中交流电源加于电 容元件中电路中的灯泡亮了喇叭也响了在维持电压不变的条件下频率愈高喇叭音调愈高同时灯泡愈亮这说 明频率愈高的交流电愈容易通过电容双踪示波器显示 it比 ut在相位上超前2π 第五章 交流电路 9 it it ut ξ C uc q -q 图 6 交流电路中电容元件性能a电路模型bit比 ut在相位上超前π/2 下面推导电容器上电压和电容的关系 由 以及 i ,cos,cos 00i tItitQtqϕωωcos 0u tUtuϕω 代入 dt dq t q ti t ∆ ∆ →∆0 lim 和 ut q / C , 得 以及 ii 2/cossin 00 πωωωω−tQtQtiCtQCqtu/cos/ 0 ω 将ii式与i相比较得 I0 ωQ0, U0 Q0 / C CIUZCω/1/ 00 →称为称为容抗容抗captance, 与ω成反比与ω成反比. 表示电容元件上表示电容元件上 i2/πϕϕ−− iu t比比 ut在相位上落后在相位上落后π π / 2 这两点推导结论与实验结果完全一致 例一电容 C 2510-6 F在 20V50Hz 电源作用下求 I 若 f 变为 500HZ则 I 又为多少 [解]20V 是 ut的有效值以下所求得的 I 亦为有效值 10 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮 fCUCU C U Z U I C πω ω 2 1 由此可见电容对于高频是易通过的 1.57A, 当 f 500Hz 0.157A, 当 f 50Hz 5电感元件inductor, reactor 当图 4 所示的实验中交流电源加于电感元件时就会观察到与电容元件相反的现象即在维持电压不变的条件下灯 泡的亮度随频率的增大而减弱这表明电感元件的阻抗随频率的增加而增大示波器波形表示 ut超前于 it it A it ut ξ L uAB B - 图 7. 交流电路中电感元件性能a电路模型 but比 it在相位上超前π/2 下面推导电感元件中电压与电流的关系 i自感电动势自感电动势 self-inductive efm dt di L L −ξ表明电感元件是一个交流电源电感元件上的压降 dt di Ltu LAB −ξ ii由 it I0cosωTϕi , ut U0cosωTϕu 与2/cossin 00 πϕωωϕωω− iiAB tLItLI dt di Ltu 比较而得 U0 ωLI0 , ϕu ϕI π/2 因此得出结论结论 感抗感抗 ZL U0 / I0 与频率成正比与频率成正比, 其初位相其初位相ϕ ϕ ϕ ϕu -ϕ ϕI π π/2 表明电感元件上表明电感元件上 ut超前于超前于 it π π/2 相位相位 例题 2在一个 0.1H 的电感元件上加 20V50HZ 的电源求电流当频率为 500HZ 时I 又为多少 第五章 交流电路 11 [解]20V 是 ut的有效值以下所求 I 亦为有效值 fL U Z U I L π2 由此可见电感对于低频率是易通过的 0.0637A, 当 f 500 Hz 0.637A, 当 f 50 Hz 5.3.2 交流电路的复数解法 一一什么要用复数法求解交流电路什么要用复数法求解交流电路 解说求解交流电路主要是解决同频简谐量迭加的问题共有三种解法 1三角函数法运用三角函数的和差化积求解运算复杂工作量大容易出错不能解决较复杂电路的问题 2矢量图解法将各简谐量化为矢量用矢量相加法则求解此法比较直观各物理量的大小和位相关系在图 上一目了然但运算仍比较复杂一般不易解决复杂电路问题 3复数法用复数定义不同元件的阻抗以及电源电动势,电压和电流就可将交流电路问题转化为与直流电路 求解相似的方式加以解决. 简便扼要,可解决复杂电路问题 综上所述复数法的优点较大这是选择复数法的原因 二二复数法计算同频简谐量的迭加复数法计算同频简谐量的迭加 1 欧拉公式欧拉公式是复数法的基础是复数法的基础 欧拉定义 其中ϕϕ ϕ sincosje j 1−j 12 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮 由于 ϕϕϕϕsinsin,coscos−−−ϕϕ ϕ sincosje j −→ − 这样 2 1 sin, 2 1 cos ϕϕϕϕ ϕϕ jjjj ee j ee −− − 2 计算 计算同频简谐量迭加的基本步骤同频简谐量迭加的基本步骤如下如下 i 复数对应规则将简谐量按下列法则和复数量对应起来 11111 1 cos ϕω ϕω ⇔ tj eAAtAta 22222 2 cos ϕω ϕω ⇔ tj eAAtAta [注意注意]此处定义与欧拉定义有所不同此处定义与欧拉定义有所不同因为多了一个虚部因为多了一个虚部]sin[cos ϕωϕω ϕω tjtAAeA tj 但并不 影响最终结果 但并不 影响最终结果只需在最终结果中取其实部便可得到实际的模拟量只需在最终结果中取其实部便可得到实际的模拟量 ii求 和 之和 . 其中 A 为模, ϕ为辐角. 1 A 2 A 21 ϕω tj AeAAA 下面举例说明尽管对于简谐量的定义与欧拉公式不一样但在运算过程中需要用欧拉公式 例求 a1t 3cosωt 和 a2t 4cosωtπ/2 之和 [解] , tj eA ω 3 1 tjtj jtj jeeeeA ωω ππ ω 444 2 2 2 注意此处用了欧拉公式jje j 2 sin 2 cos 2 ππ π 所以. 此复数的模为 tj ejAAA ω 43 21 , 543 22 AA 第五章 交流电路 13 辐角为 1 853 3 4 arg o tgA − ϕ 取实部得at 5cosωt53o8’ 三三复电压复电压复电流和复阻抗的概念复电流和复阻抗的概念 根据复数对应规则和复数运算规则可以得到如下的复电压复电流和复阻抗的表达 电压 ut U0 cosωt ϕu ⇔ 复电压 0 u tj eUU ϕω 电流 it I0 cosωt ϕi ⇔ 复电流 0 i tj eII ϕω 阻抗 Zt U0 cosωt ϕu/ I0 cosωt ϕi ⇔ 复阻抗 0 0 / iu j e I U IUZ ϕϕ− 注意到在复阻抗表达中最终表达式是一个简谐量因为在运算中使用了复数相除的规则是辐角直接相减所以十分 便利这是三角法所没有的优点 我们已知道 对于电阻元件ϕu ϕi, 所以电阻没有位相差RZR . 对于电容元件ϕu - ϕi, -π/2, 所以容抗为 CjC j eZZ j CC ωω π 1 2 − − 对于电感元件ϕu - ϕi, π/2, 所以感抗为LjeZZ j LL ω π 2 14 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮 5.4 两种谐振电路 学习了5.3 节我们就可以利用复数法来解决 R.L.C 各种元件的串联组合与并联组合电路问题本节的标题的意义在 于电阻电感和电容元件通过一定的形式构成串联或并联电路当元件参数满足某种条件时就可以实现电路的简谐共振 即谐振当共振产生时电路的阻抗电流或电压都要取极值 例收音机或电视机的选台即为简谐共振的例子因此每个电台都要有不同的发射频率否则就会串台 5.4.1 RLC 串联电路和谐振条件resonance condition 1 RLC 串联电路的总电流串联电路的总电流. 如图所示R.L.C 串联在交流电路中设电动势 et ξm cosωt, 其复数表示为 tj me ω ξξ 我们的目的在于求电流的 大小 I I m以及电流与电源电动势的位相差 R L C 设, 又因 I I i tj me I ϕω U 等效总阻抗为 z j mCLR eZ C LjR Cj LjRZZZZ ϕ ω ω ω ω− 1 1 其中 R C L tg C LRZm ω ω ϕ ω ω 1 , 1 122 − − 故得电流为 22 1 z z tjm j m tj m e C LR eZ e Z I ϕω ϕ ω ω ω ξξξ − − 第五章 交流电路 15 取其实部得 cos 1 22 z m t LR Iϕω ω ξ − Cω , 其中 R C L tg ω ω ϕ 1 1 − . 2 串联谐振的讨论串联谐振的讨论. 在上面的表达式中如若 C L ω ω 1 即 LC 1 ω时I 可以取到极大值因而通过 R.L.C 上的电压都 取到了极大值 这种情况称为 RLC 的串联谐振. 此时也有ϕ 0下面求各个元件上的电压 电阻两端的电压为RIZIU R R , 取实部得谐振时电压 tt C LR R U m m R ωξφω ω ω ξ coscos 1 2 2 − − 电感的两端的电压为 2 π φω ξωω − tj mLL eLILjZIU 取实部得谐振时电压 2/cos /1 2/cos 2 2 πω ξ ω ωω πφωξω − − t R L CLR tL U mm L 电容两端的电压为       −− 2 11 π φω ξ ωω tj m m CC e ZC I Cj ZIU 取实部得谐振时电压 2 cos 1 /1 2/cos 2 2 π ωξ ω ωωω πφωξ − − −− t CR CLRC t U m m C 注意到 Uc 与 UL在位相上整整相差π弧度所以对于所以对于 RLC 谐振电路谐振电路在任何时刻在任何时刻 t恒有恒有 Uc 与与 UL相互抵消相互抵消电 阻两端的电压等于电源电动势 电 阻两端的电压等于电源电动势 16 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮 5.4.2 RLC 并联电路和谐振条件 一一求解求解 RL 串联再与串联再与 C 并联的电路并联的电路 一般来说RLC 三种可以构成三种不同的并联电路一是 RL 与 C 并二是 RC 与 L 并三是 CL 串与 R 并由 于实际所用的电感元件自身有电阻存在因而在实际应用中取 RL 串再与 C 并联这一种方式可以避免设计和计算上的 麻烦 设电源电动势为 tj mm et ω ξωξξcos 而 Cj ZLjZRZ CLR ω ω 1 , , 所以等效阻抗 Z 为       − − 222222 1111 LR L Cj LR R LR CjR Cj LjR Cj ZZZZ LRC ω ω ω ωω ω ω ω ω . 即 φj Ae φj e A Z − 1 . 其中 2 1 2 22 2 22       −       LR L C LR R A ω ω ω ω []{} R LLRC tg − − 22 1 ωω φ 总电流 φω ξ ξ tj mAe ZZ U I 实际电流取 I 的实部coscosφωφωξtItAI mm 第五章 交流电路 17 二二并联共振并联共振 在上面的表达式中当 22 LR L C ω ω ω 即 L CR LC 2 1 1 −ω时电路的阻抗达最大值 2 max       R L RZ ω 回路总电 流达最小值 m LR R Iξ ω 22 min 由于一般情况下频率较高而电阻较小因此有 RωL, 这时可略去 CR2/L 项则 ω ω0 1/LC f 0 2π ω0 2π / LC 称为共振频率共振频率 此时 Zmax L / RC, Imin Rξ ξm / ω ω0L2 RCξ ξm / L Zmax ξ ξm 这种情况称为 CLR 并联谐振并联谐振 并联谐振具有如下特点并联谐振具有如下特点 i 回路总阻抗达最大值, 当 R0 时时元件由电源获得能量元件由电源获得能量Pt0 时时元件的能量回入电源元件的能量回入电源 设it I0cosωt, ut U0cosωtφ, 则 Pt U0 I0cosωtcosωtφ 1/2U0I0[cosφ 1/2U0I0cos2ωtφ] 注意到 第一项是与时间无关的常数值第二项时间的 2 倍频项 二二平均功率与功率因素平均功率与功率因素 瞬 时 功 率 在 一 个 周 期 内 的 平 均 值 称 为 平 均 功 率记 为 P它 是 电 路 实 际 消 耗 的 功 率 ∫ T eeI UIUdttP T P 0 00 coscos 2 1 1 φφ 其中 00 2 1 , 2 1 IIUU ee 分别是电压和电流的有效值effective value 而 cosφ称为电路的功率因素与时间无关它反映了交流电路中不同性质元件上的变化规律 对于纯电阻φ 0,与稳恒电路的情况一致 对于纯电感和纯电容电路, φ 分别为 π/2 和 - π/2P 恒为零 第五章 交流电路 19 可见 cosφ是影响平均功率的重要因素 三三有功电流与无功电流有功电流与无功电流有功功率与视在功率有功功率与视在功率以及它们与以及它们与 cosφ的关系φ的关系 1有功电流与无功电流的矢量图示法 功率因素来源于电路It与电压Ut之间存在的位相差φ如果将It 分解为平行与 Ut的分量I和垂直于 Ut的分量I⊥ ⊥见图 8显然I⊥ ⊥对平均功率没有贡献而有贡献的仅仅是I IcosφIcosφ 所以 I⊥ ⊥是无功电流I是有功电流P I U 为有功功率 I⊥ ⊥ I I U 图 8. 有功电流 I 与无功电流 I⊥ ⊥ 2有功功率与视在功率 有功功率的物理含义是电路在一周期内实际消耗的功率与平均功率的概 念一致而 P IU 为机械设备的总功率容量称为视在功率视在功率乘以 cosφ φ等于有功功率 例 1某电站装机容量为 x 千伏安指的是视在功率而不是有功功率 例 2日光灯为何要在镇流器上并联一个电容 答镇流器为电感它的功率因数 cos0.4若并联一个电容就可以减少φ φ的值使之→0这时 cosφ φ→1从而大大 提高有功功率分量使有功功率接近于视在功率 例 3计算 RC 并联电路的电阻和电抗证明电路电抗为容抗 20 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮 解 2 1 1 1 1 CR CRjR Cj R Z ω ω ω − 其实部 2 1CRj R ZR ω 为有功电阻虚部为电抗 2 1CR CR X ω ω − 0, 即容抗 例 4把复阻抗分为实虚部有何物理意义 答实部为电阻ZR Zcosφ φ; 虚部为电抗X Zsinφ φ R ZIUIP 2 cosφ是有功功率有功功率是从实部而来 P⊥ UIsinφ I2X 是无功功率无功功率由虚部而来因此电抗是无功功率的来源 5.6 变压器原理 在长距离输送电的过程中 由于电线存在着一定的电阻 因此就有焦耳热损耗 Ohmic loss Q 0.24I2Rt 式中 I 为电流 R 为电阻t 为时间 故而在电力系统功率 PIU 一定的情况下尽量提高输送电压 U可以大大降低 I从而大大减低焦耳热损耗但用户 一般用的是低压电因此需要变压器 transer 将高压 high tension 转换为低压 low tension也有用户需要将低压电转换 为高压电英文 trans 有传递转换之意 一一变压器和理想变压器介绍变压器和理想变压器介绍 1.变压器的定义变压器是互感现象 mutual inductance 为基础的电磁装置 electromagnetic apparatus将初级线圈上的 电能通过铁芯耦合 coupling 传递至次级线圈 2.理想变压器符合以下三个条件的变压器称为理想变压器 1无漏磁即耦合过程不存在漏磁 magnetic leak 2无铜损即变压器材料不存在因电阻而产生的焦耳热损耗 3无铁损即铁芯中的涡流 voltex 与磁滞损耗 hysteresis loss 可忽略 第五章 交流电路 21 二二初级线圈初级线圈 1 和次级线圈和次级线圈 2 之间的变比公式之间的变比公式理想变压器情形下理想变压器情形下 1变压比的推导通过初级线圈 1 和次级线圈 2 的磁通量 flux 为Ψ1和Ψ2 图 9. a 一个带有初级与次级线圈的变压器b标准变压器符号 221112111111 IMILNΨΨΨφ 112221222222 IMILNΨΨΨφ 其中Ψ21是次级对初级线圈通过互感而造成的磁通影响Ψ12是初级对次级线圈通过互感而造成的磁通影响L1和 L2 是初级和次级线圈的自感 M21是次级对初级线圈的互感 M12是初级对次级线圈的互感 这样初级线圈上的电动势为 22 电磁学网上课件 本章撰稿人许小亮 cos 2 cos sin 2211111 11 1 1 1 1 IMILjjtSBjtSBN tSBN dt SBd N dt d N dt d −Ψ−−− − −− Ψ − ωωωω π ωω ωω φ ξ 其中 N1,N2分别为初次级线圈匝数同理次级线圈上电动势为 11222 2 2 IMILj dt d − Ψ −ωξ 因为是理想情形下无损耗故而φ1 φ2φ , jωN1φ , jωN 22 ξ−V 2φ 因此理想变压比为 2 1 2 1 N N V V −或 2 1 2 1 N N U U 11 ξ−V 2. 变流比 请自己推导通过初级线圈和次级线圈的理想电流之比为 1 2 2 1 N N I I −或 1 2 2 1 N N I I 3.变阻比 变阻比可通过欧姆定律加变压比和变流比而得到 2 2 1 1 2         N N Z Z 三三功率比功率比 P1 P2 不变