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第七章 静电场与物质的相互作用 1 第七章 静电场与物质的相互作用第七章 静电场与物质的相互作用 物质的导电性涉及其微观结构. 粗略地说, 我们可以将物质划分为导体和绝缘体或称之为电介质. 导体的特征是具有大量自由电子, 而电介质则相反, 其中的电子作绕核运动而不易有自由运动 我们也可 以从能量的观点来说明, 构成导体的原子的能级通常有不满的壳层, 例如, . 当形成晶体 的时候, 将存在能带. 在导体中存在一个满带, 一个禁带和一个导带, 而在绝缘体中, 禁带较宽而导带是 空的 spssNa3221 622 11 至于半导体, 它也有一个空的导带, 但是它的禁带较窄, 这就带来了可变的电导, 出现热激发也是 可能的 在以前的章节中我们已经得到了很多有关真空中电磁场的一些结论. 在本章中我们着重讨论电介质 在静电场中的一些行为, 在这个意义上, 本章的标题中的物质已是一个太大的集合, 而我们在这里只关 注电介质这一子集 2 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 7-1 电介质与极化强度矢量 P 7.1.1 电介质及其极化的解释 电介质的一些实例 纸张 空气 熔石英 琥珀 云母等等. 其特性为电绝缘性, 从微观层次上说, 该 类物质中的电子绕核运动而不是自由运动.下面我们从微观角度作一些相对简单的讨论. 考虑电介质中的某个原子或分子, 一般情形下它当然是电中性的, 其正电荷来自于一个或多个原子核, 而负电荷则对 应于核外运动的电子. 我们可以设想一个正电荷中心和一个负电荷中心, 如果正负电荷中心不重合这涉及到有无外电场, 我们将在下面详细讨论, 就相当于一个电偶极子, 由此将会产生电偶极矩. 实际上, 这一微观层次上的电偶极矩将直接导 致宏观上的极化强度. 考虑单位体积的电介质, 我们有电偶极矩密度极化强度极化强度polarization的定义 p p Pn V ∑ d d . 7.1.1 其中 n 是电偶极子密度, p是每个偶极子的平均偶极矩. 电介质分为三类 极性电介质非极性电介质和铁电体. 极性电介质极性电介质polar dielectric的分子具有永久的电偶极矩, 也就是说, 即使在没有外加电场的情况下, 它们的正负电荷 中心也不重合. 例如 电介质分子 电偶极矩 mC ⋅ H2O 30 1003 . 6 − 第七章 静电场与物质的相互作用 3 CO 30 1000 . 4 − HCl 30 1043 . 3 − 在没有外加电场时, 各个电偶极子的方向是随机的, 于是整个电介质不表现出电极化现象. 在外电场中, 电偶极子的方向将尽可能地趋向与电场方向一致, 这将在整体上有所体现. 我们知道, 一个具有偶极矩的电偶极子在外电场 E 中具有的势能与两者间的夹角是密切相关的, 即 0 p CEpCU−⋅−θcos 00 Ep C 为常数 7.1.2 由于分子的热运动以及由此引起的分子间的碰撞, 每个偶极子的方向并不一定是和电场方向完全一致的, 偶极矩的方向在空间中呈现一定的分布. 根据统计物理学的基本原理, 在温度为 T 时, 电场中的偶极子具 有某个势能的几率正比于 Tk U B e − , 这里为玻耳兹曼常数. 这种几率分布就是所谓的波耳兹曼分布波耳兹曼分布. B k 4 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 选择外电场的方向为参考方向, 设. 则平均偶极矩为 kE ˆ E Ω Ω ∫ ∫ − − d d 0 TkU TkU B B e ep p 7.1.3 其中为立体角, 如上图所示,. 显然的 x 分量和 y 分量的平均值均为零, 于是7.1.3式变为 Ωd 0 p θθπ θθθπ dsin2 dcossin2 ˆ 0 ∫ ∫ − − TkU TkU B B e e pkp. 7.1.4 将 U 的表达式7.1.2代入上式, 令TkEp B0 ≡η有         − ∂ ∂ ∫ − η η η η 1 coth ˆ dln ˆ 1 10 kk p ye p y . 7.1.5 第七章 静电场与物质的相互作用 5 括号中的函数称之为朗之万函数朗之万函数Langevin function, 其函数曲线如图 7-1 所示. 在通常的温度下, 1η, 可以近似地认为曲线呈线性关系, 于是有 kp ˆ 3 1 0 Tk pE p B . 7.1.6 0.8 0.6 0.4 0.2 8642 图 7.1 朗之万函数 可以看出, 对于单个电偶极子, 其平均值的大小取决于它在外电场中的势能与热运动能量之比. 热运动 使偶极子的方向趋于混乱; 而电场则使各个偶极子的方向尽量一致. 考虑到极化强度的定义7.1.1式, 我 们通常写 EP 0 χε, 7.1.7 6 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 其中称作极化率极化率susceptibility, 具体的形式为 χ kT np 0 2 3 0 ε χ 以上是有关极性电介质的讨论, 我们得到了电场E与极化强度矢量P的线性关系, 即7.1.7式, 这里我们采用了标量的 表示, 意味着我们假定 E 与 P 的方向是一致的, 要注意的是, 对于某些各向异性的电介质, E 与 P 的关系不一定是线性的, 二者的方向也不一定一致. 下面我们讨论非极性电介质, 同样地, 我们的讨论是针对各向同性的物质而言. 非极性电介质非极性电介质non-polar dielectric分子没有永久性电偶极矩, 例如氧氮等等. 在没有外加电场的情形下该种分子的正 负电荷中心是重合的, 整体上没有电极化现象. 引入外电场后, 正负电荷中心发生分离, 产生所谓的诱导电偶极矩, 或是 感应电偶极矩, 其形式可以表示为 local Epα 其中的称为局部电场, 也被叫作有效电场, 指的是单个分子所感受到的电场, 我们将在 local E下面对此稍加 讨论, 这里只给出直观的解释, 那就是, 外电场越大, 正负电荷中心的分离就越大, 电偶极矩就越大, 所 以有 Ep∝ 7.1.8 这与7.1.6式有类似之处, 同样地我们可以用7.1.7式表示该种情形下的电极化强度矢量 P 与外电场 E 的 关系, 只不过这时极化率的具体形式有所不同而已. 以后, 在一般情形下, 我们就用该公式描述均匀的χ 第七章 静电场与物质的相互作用 7 线性极化的介质中 P 与 E 的关系, 对于不同的介质, 极化率是不同的. 显然, 对于真空, . 0χ 铁电体铁电体ferroelectric有自发的电极化强度, 就是说即使没有外场, 该种物质本身也会有电极化强度. 钛酸钡BaTiO3就 是一例. 7.1.2 P 与极化电荷的关系 我们已经知道, 电介质置于电场中, 其分子的正负电荷中心将沿电场方向有所偏离. 可以想象, 如果 电介质是均匀的, 那么物质内部不会有净的极化电荷, 但是在介质表面将会产生极化面电荷. 实际上, 法拉第发现, 如果在电容器的两极板间插入电介质如云母而同时保持电势差不变, 则极板上的电荷将变大, 由此可以推知此时电容也有所增大. 1 00 ≥≡ r dd q q C C ε 7.1.9 上式中的下标 d 表示电容器极板间有电介质存在时的情形. 另一方面, 如果保持电荷不变而插入电介质, 则会发现两极板间的电势差减小, 1 0 0 ≥ d r d V V C C ε 7.1.10 于是我们可以根据电介质的插入给电容器带来的某些变化来考察该电介质的宏观的电极化现象. 以上两 8 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 式中出现的为相对介电常数相对介电常数, 是一个无量纲量. 而对于平板电容器而言, 此时电容可以表示为 r ε d A d A CC rrd εε εε≡ 0 0 7.1.11 其中 A 为电容器的极板的面积, d 为两板的间距. 式中出现的称为绝对介电常数绝对介电常数. 虽然可以通过实 验测得某种电介质的或 , 但是我们还是希望知道其进一步的物理意义, 具体地说就是与极化强度矢量 的联系. 为此我们继续考虑电容器中的电介质这一简单模型, 并且假设电介质布满电容器极板间的整个 空间, 而且, 假设在电场中介质里的每一个偶极子的极化方向都沿着电场方向, 即. 这样的话, 极化 强度矢量可以简单地表示为, 其中 n 为单位体积内的偶极子数目, q 为偶极子中的正的或负的 电荷的电量的绝对值, l 为由负电荷指向正电荷的方向矢量. r εεε 0 r εε Ep// lpPnqn 图 7-2 第七章 静电场与物质的相互作用 9 将电介质置于电场中, 介质表面将出现正的或负的极化电荷. 在如图 7-2 所示情形下, 由于电场的作用, 与电容器的负 极板相邻的介质表面上将出现正的极化电荷. 在面积为 A 的介质表面上会有厚度为 l 的正的极化电荷. 于是我们可以得到 极化电荷的面密度 nqlAnqAl p σ 7.1.12 注意这里我们假设每个电偶极子的方向都是与电场方向一致的. 容易看出, 上式中的 ql 就是每个偶极子 的电偶极矩的大小, 而 n 不过时单位体积内偶极子的个数, 于是7.1.12式又可写作 PPnp p σ 7.1.13 这样我们看到了极化面电荷密度与极化强度矢量的关系. 这里我们计算的是正的极化电荷的面密度, 在 介质的另一面出现的极化电荷将是负的. 将关于平板电容器的讨论继续下去. 设平板电容器的带正电的极板上的自由电荷的面密度为, 若极板间没有介质, 则其间的电场强度的大小为 σ 00 εσE. 若在极板间置以电介质, 则正极板附近的介质表面上的极化电荷是负的, 于是 . 可以想象, 此时电容器极板间的场强要减小. 设此时的场强的大小为 E. 由P p −σ7.1.13和7.1.7式, 我们可以得到 0 0 00 ε χεσ ε σ ε σσ EP E p − − 从中解出 10 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 χχε σ 1 1 1 1 0 0 EE 另 一 方 面 , 当 极 板 间 不 存 在 介 质 时 , 其 间 的 电 势 差 为; 置 入 介 质 时 , 电 势 差 变 为dEV 00 χχ 11 1 0 0 V dEEdVd. 与7.1.10比较, 有 χε1 r 7.1.14 这便是极化率与相对介电常数的关系. 图 7-3 第七章 静电场与物质的相互作用 11 以上我们考虑的是平板电容器中的电介质这一简单而特殊的情形, 对于任意形状的电介质, 也有类似的结论. 考虑如图 7-3 所示的介 质表面的一个局部区域, 其表面的法向方向用表示, 电场E与极化强度矢量P的方向一致且与的夹角为θ. 于是介质表面的单位 面积上积聚了极化电荷, 其电量为 n ˆ n ˆ n P ˆ coscos⋅∆∆θθnqlSlSnq 这里我们相当于计算了一个倾斜的柱体内的极化电荷的电量, 该倾斜柱体的体积正是上式中的. 一般地, 我们有, 极化 电荷的面密度可以表示为 θcoslS∆ n P ˆ ⋅ p σ 7.1.15 这里当然是指介质表面某处的法向方向. 对于我们上面讨论过的电容器里的电介质, P和的方向是相同的, 所以7.1.15式就简化 为 n ˆ n ˆ 7.1.13式. 现在我们已经知道了介质表面极化电荷面密度的一般表达式7.1.15, 这里要注意到极化电荷的正负由 P 和的夹角来 确定. 很自然地, 我们还希望知道介质内部有无极化电荷. n ˆ 图 7-4 一个直观的想象是 如果介质是均匀极化的, 即极化强度矢量在介质内部的每一点都是大小相同且方向一致, 那么就 不会有净的极化电荷. 而在一般情形下, 可以作如下设想, 如图 7-4 所示, 在介质内部设想一个闭合曲面 S, 其内部体积 V 12 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 在没有外电场时应该时电中性的, 引入外电场 E 后, 自然会有极化强度矢量 P, 我们姑且假设不同点的 P 可能会有大小或 方向的不同. 由电荷守恒可知, 体积 V 内产生的极化电荷与穿过曲面 S 进出该体积的极化电荷的总和为零, 于是有 p Q∆ 0dˆ⋅∆ ∫∫ S p sQnP 这里我们借助了7.1.14式来计算穿过曲面的极化电荷. 如果我们把介质内部产生极化电荷的密度注意 这里的电荷密度是体密度用表示, 则上式可以改写为 p ρ 0dˆd⋅∫∫ ∫∫∫ SV p sVnPρ 应用 Gauss 定理后有 P⋅−∇ p ρ 7.1.16 上式便是介质内部极化电荷的体密度与极化强度矢量的关系. 显然, 若介质是均匀极化的, 则P的散度为 零, 介质内部不存在极化电荷, 与我们的直观想象是一致的. 例 一个半径为 a 均匀极化的介质球, 其电极化强度为P, 该介质球置于空气中, 球心处的电场强度是多少 第七章 静电场与物质的相互作用 13 图 7-5 如图 7-5 所示, 设极化强度矢量P沿 z 方向, 在介质球内部各点处P是相同的, 球表面的极化电荷面电荷密度为. 由 对称性可知球心处的电场沿-z 方向, 其大小为 θcosˆP⋅nP P Pa a E 0 2 0 2 0 2 0 3 1 coscossindd 1 4 1 ε θθθϕθ πε ππ − − ∫∫ 7.1.17 结果中的负号表明球心处的电场方向与极化强度矢量的方向相反. 这里我们计算的是球心处的场强, 实际上在整个介质球内部由极化 电荷产生的场强是均匀的, 其大小正是 0 3εP. 这一结果将在下面有所应用. 14 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 7.1.3 非极性电介质的进一步讨论 现在让我们对非极性电介质的极化现象作进一步的讨论. 图 7-6 首先我们引入退极化场退极化场的概念. 在如图 7-6 所示的情形中, 外电场为, 在介质表面将产生极化面电荷, 而这一极化 面电荷要在介质内部产生电场, 设该电场为, 显然的方向与是相反的, 那么介质内部的总的电场应该比小, 于 是我们把由极化面电荷产生的电场称为退极化场退极化场. 在这里我们不加证明地指出, 在均匀极化的介质内部, 退极化场与介 质的具体形状有关, 例如, 对于均匀的球形介质, 其内部的退极化场为 0 E 1 E 0 E 1 E 0 E 1 E PE 0 1 1 ε3 −, 这与上面的例题里的结论是一致的. 再来考虑非极性分子的极化. 我们已经知道, 该类分子之所以在外电场中表现出极化现象, 其原因在于每个分子的正 负电荷中心由于外电场的作用而发生分离, 从而形成一个个电偶极子, 然而通过对退极化场的讨论我们又知道, 介质内部 第七章 静电场与物质的相互作用 15 的电场并不等于外电场, 那么, 若要进行更为深入的讨论, 我们应当关注介质内部的每一个分子所感受到的电场, 我们姑 且称之为局部电场局部电场. 一个值得注意的事实是 局部电场介质内部的电场 ≠退极化场外电场 10 EE≡ 只是因为, 根据上面对局部电场的定义, 当讨论某个特定的分子在外电场中相当于偶极子附近的局部电 场时, 我们当然不能把该偶极子产生的电场计算在内, 换言之, 这时我们应当把这一偶极子当作一种检 验类型的东西来看待; 另一方面, 所谓介质内部的电场是外场与所有偶极子的产生的电场的矢量叠加, 而后者实际上是极化面电荷产生的电场对于均匀极化的介质, 其内部的极化电荷为零, 即7.1.16式. 图 7-7 16 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 为了考察介质内部某个偶极子所感受到的局部电场, 我们设想, 在介质中挖去一个以该偶极子为中心的小球体如图 7-7, 于是在这个特定的偶极子的附近形成一个空腔,我们有 局部电场的场强 均匀的介质小球中的偶极子在球心处产生的场强 含有空腔的介质体在空腔中心处产生的场强 有些细节需要注意 在这里我们人为地构造空腔是为了排除某个特定的偶极子, 该空腔的体积虽然很小, 但仍然具有宏观意义, 也就是说, 我们假设的那个被挖去的小介质球中确实包括很多其他的偶极子, 这 一部分偶极子在球心处产生的场强就是上述说法中的第一项; 另一方面, 当一个小介质球被挖去而就此 形成空腔时, 介质中所固有的极化强度矢量便会导致在空腔内壁上形成极化电荷, 其分布在图中已有示 意. 将各种因素统一考虑, 我们可以将上述说法写成更为明确的形式 3210 EEEEE local 7.1.18 其中 0 E外场 1 E介质的外表面上的极化电荷在介质内部形成的退极化场 2 E空腔内壁上面极化电荷在其中心处形成的电场 3 E被挖去的小介质球中的偶极子在球心处形成的电场 第七章 静电场与物质的相互作用 17 2 E又被称为 Lorentz 空腔场, 参考上面讨论过例题并注意极化电荷分布, 我们容易知道的大小为 2 E 0 3εP, 其方向与外场的方向一致, 当然也就是极化强度的方向. 至于, 由对称性可知, 球心处的电场为零, 即. 于是有 0 E 3 E 0 3 E PEEE 0 10 3 1 ε local 7.1.19 这里我们没有将退极化场的具体形式表示出来, 这是因为在前面我们说过, 退极化场与介质体的形状 有关, 对于球状介质, 有 1 E 7.1.17, 即PE 0 1 3 1 ε −, 此时, 这是最简单的情形, 而在一般情形下, 我 们宁愿将局部电场写作 0 local E PEPEEE 00 10 3 1 3 1 εε local 7.1.20 这里 E 便是介质内部的电场强度. 有了局部电场的形式, 我们就可以了解非极性电介质中的一个分子或原子在外场中的行为. 显然, 该种分子或原子将 在局部电场的作用下变成一个偶极子, 其偶极矩可以表示为 local Epα 7.1.21 这里我们采用了更为一般的表示, 即认为偶极矩正比于局部电场, 比例系数为. 当然, 较为简单的形式α 18 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 是, 只是 l 的大小不易得到. lpq 我们姑且忽略热运动的影响, 假设介质中每个偶极子的方向都一致, 可以得到单位体积内偶极矩的总和, 即极化强度 矢量 P, 即         PEEpP 0 3 1 ε ααnnn local 7.1.22 这里 n 是单位体积内的偶极子的个数由此得到 EP 0 3 1 ε α α n n − 7.1.23 注意到7.1.7式, 我们有极化率 αε α ε ε α α χ n n n n − − 00 0 3 31 3 1 7.1.24 再由极化率与相对介电常数的关系7.1.14式, 有 2 13 0 − r r n ε εε α 7.1.25 我们可以对7.1.25稍加计算. r ε实际上是介质的折射率, 对于水, 折射率为 1.33, 单位体积内的分子数 第七章 静电场与物质的相互作用 19 为, 将相应的数值代入7.1.25式, 有 316m 103 . 3 − n α 328 m1066 . 1 −− 7-2 电介质中静电场的基本定理 在上一节中我们了解了静电场中电介质的极化行为, 简单地说, 介质在整体上表现出来的极化现象来自 于微观层次上的电偶极子. 而极化电荷不论是在介质表面的还是在介质内部的与极化强度矢量 有密切的联系, 这反映在公式7.1.15和7.1.16中. 那么极化电荷对电场有怎样的影响呢 7.2.1 Gauss 定理 图 7-8 我们还是对平板电容器中的电介质这一简单的例子加以分析, 实际上在推导7.1.14的过程中已经对 20 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 此有所涉及. 平板电容器的形状是规则的, 易于应用 Gauss 定理求解其中的电场, 值得注意的是, 此时我 们不但要考虑极板上的自由电荷, 而且还要计及电介质表面的极化电荷. 取如图 7-8 所示的圆柱形的 Gauss 面, 设极板上的自由电荷密度为, 介质表面的极化电荷面密度为, 我们有σ p σAEA pf σσ ε 0 1 , 其 中 A 为圆柱的底的面积. 注意到7.1.15式和7.1.7式, 有 fr EEE EEPE σεεεεχ χεεε 00 000 1 7.2.1 这里, 就是前面说过的绝对介电常数. 上式的结果告诉我们, 当有介质存在时, 虽然要考虑极化电 荷的贡献, 但是我们可以考虑介质的绝对介电常数而使最终结果只涉及极板上的自由电荷; 再者, 我们 可以引入另一个与电场有关的矢量电位移矢量 D, 其定义如下 r εεε 0 PED 0 ε 7.2.2 于是7.2.1式就可以简单地写成. σD 这里我们考虑的是一个简单的特例, 并引入了电位移矢量的定义, 对于一般的情形, 让我们考虑 Gauss 定理的微分形 式 0 ε ρ ⋅∇ E 7.2.3 第七章 静电场与物质的相互作用 21 在有介质存在时, 上式中的应该包括自由电荷与极化电荷, 即, 注意这时我们考虑的电荷 的体密度. 由 ρ polfree ρρρ 7.1.16式, 7.2.3式可以改写为 free ρε⋅∇PE 0 结合电位移矢量的定义7.2.2式, 我们有 free ρ⋅∇ D 7.2.4 上式便是一般情形下的 Gauss 定理的微分形式. 有以下几点值得我们注意 1该公式具有一般性的意义, 即对于任意电场和任意介质均成立; 2由7.2.4式表示的 Gauss 定理只涉及 自由电荷; 3电位移矢量的定义是7.2.2式, 对于线性极化的电介质, 我们可以将P 表示为7.1.7的形式, 从而D可以写为 , 但是对于那些非线性极化的电介质, EEDεεε r0 7.1.7并不成立, 于是D不能有上述简单的表示. 有了 Gauss 定理的微分形式7.2.4式, 我们接着给出其积分形式 ∫∫∫ VQ V freefree S dd ∫∫ ≡⋅ρsD 7.2.5 其中 Qfree 表示闭合曲面 S 内的自由电荷的总量. 把该公式应用于本小节一开始所讨论的平板电容器中的 电介质, 容易得到同样的结论. 22 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 图 7-9 再让我们看看有介质存在时的 Coulomb 定律. 如果空间中充满同一种均匀的线性极化的电介质, 则只要将真空情形下 的 Coulomb 定律中的该作即可. 实际上, 在如图 7-9 所示的情形下, 我们可以由 Gauss 定理 0 εε7.2.5式得到点电荷形成 的电位移矢量 1 q RD 4 q π 3 1 R , 由 D 和 E 的关系容易得到电场强度的表示, 于是之间的 Coulomb 力的大小为EDε 21,q q 2 21 4 1 R qq F πε . 但是, 若空间中电介质的分布是不均匀的, 则结论会有所不同. 如图 7-10 所示, 在计算间的静电作用 力时需要考虑极化电荷的影响. 21,q q 第七章 静电场与物质的相互作用 23 图 7-10 7.2.2 环路定理 静电场的环路定理意在说明静电场是保守场或电场的无旋性, 我们已经知道, 在没有介质的静电场 中, 有. 引入电介质后, 当然会出现极化面电荷或极化体电荷, 这些极化电荷都处于静止状态, 由它们所产生的电场与静止的自由电荷产生的电场并无本质的不同, 它们同属于静电场, 也同样遵从库 仑定律, 绝不是那种由变化的磁场产生的涡旋电场. 所以我们可以认为, 在有介质存在的情形下, 由自由 0∇E 24 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 电荷以及极化电荷共同形成的静电场仍然是保守场, 满足下面的无旋性的要求 0∇E 7.2.6 一个自然的问题是 或者说0∇D0d ∫ C lD 0D 如果整个空间充满绝对介电常数为 的均匀的且线性 极化的电介质, 那么由可知, 即在该种情形下电位移矢量也是无旋的. 若空间中的介质分 布不是均匀的, 该结论就不一定成立, 让我们考察一个简单的例子. ε EDε∇ 设空间由两种不同的电介质所填充, 它们的介电常数分别为和, 我们选择如图 7-11 所示的环路, 作如下计算 1 ε 2 ε acca cdaabc cdaabcC UUUU−− ∫∫ ∫∫∫ 21 21 dd ddd εε εεlElE lDlDlD 第七章 静电场与物质的相互作用 25 图 7-11 一般情形下, 上式不能为零, 除非, 即两种介质的分界面正好是等势面. 这一结论也是容易理解的, 因为 D 的行为仅仅与自由电荷有关. 另外, 在上述计算中隐含了这样一个条件 在两种介质的分界面附 近电势是连续的, 这在考虑 a ca UU c 两点的电势时有所体现. 这一条件将在下节得到证明 7-3 边值关系与唯一性定理 边值关系又成为边界条件, 它描述的是在一个特定的界面上某些物理量的固有性质. 若空间中除了 26 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 点电荷外没有其它的具体的物质, 如导体或电介质之类, 那么我们遇到的与边界有关的一个设定就是, 在无穷远处电势为零, 这将作为电场的一个基本条件被我们不断使用, 除此以外再无别的边界. 在有导 体存在时, 我们要求在静电平衡时导体内部的电场为零, 在导体表面电场的方向垂直于该表面, 或者说 整个导体是一个等势体, 这就是我们遇到的第一个非平庸的边界条件. 7.3.1 边值关系 实际上我们在讨论平板电容器中的电介质时已经隐含了有关结论. 如图7-2所示, 导体内部电场为零, 而导体于介质的接触面上的电场强度为εσ f , 这说明电场在这一边界上是不连续的. 下面我们考虑另一 个稍微具有一般性的情形 电介质的周围是真空 第七章 静电场与物质的相互作用 27 图 7-12 如图 7-12 所示, 介质的绝对介电常数为, 真空中和介质内的电场强度ε电位移矢量 极化强度矢量分别为和 , 这些矢量的方向在图中没有画出. 图中的环路C的上下两边以及闭合的圆柱曲面S的上下两底是非常接近于介 质的表面的. PDE,, PDE′′′,, 首先我们考虑 E 沿环路的积分, 该环路上两条垂直于介质表面的路径很短, 它们对积分的贡献可以略去, 于是有 0ddd′ ∫∫ cdabC lElElE ∫ , 而 ab 和 cd 的方向正相反, 故电场在 ab 方向的分量应等于电场 E 在 dc 方向的分量 E′ ab E′ 28 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 dc E t E , 即. 由于这种小环路的选取是任意的, 则我们可以有结论 在介质的表面, 电场 E 的切向分量是连续的, 即 , 下标 t 表示切向方向. dcab EE′ t E′ ∫∫ [] E 其次, 对于图中的闭合圆柱曲面S运用Gauss定理7.2.5, 注意到该曲面内没有自由电荷, 且圆柱的侧面积很小,对积分 的贡献可以略去. 0ddd 21 ⋅ ′ ⋅⋅ ∫∫∫∫ SSS sDsDsD 再注意到上下底的方向相反, 其面积很小且接近于介质表面, 故有 0− ⋅ ′ ⋅AnDnD 这里 A 是圆柱的底面积. 上式说明电位移矢量的法向分量连续, 即. nn DD′ 让我们把上面的讨论应用于更一般的情形. 考虑两种不同的介质, 其介电常数分别为. 在这两种介质内部的电场 强度 21,ε ε 电位移矢量 极化强度矢量分别为和, 在界面上由介质 1 指向介质 2 的方向矢量为如图 7-12. 在这里我们考虑更一般的情形, 设想在介质的分界面上有一定的自由电荷, 其面密度为. 类似于上面的讨论, 由电场的 无源性容易得到两种介质的界面上电场的切向分量是连续的这一结论, 即 111 ,,PDE 222 ,,PDE n ˆ f σ tt E2 1 ′′, 或 7.3.1 0ˆ 12 −EEn 再考虑电位移矢量在界面上的行为. 类似于图 7-12 所示的情形, 我们在两种介质的界面上作一小圆柱, 对这一闭合曲面运用Gauss定理, 注意到该闭合曲面内有自由电荷, 并略去小圆柱的侧面面积对电位移通 第七章 静电场与物质的相互作用 29 量的贡献, 我们有 []AA f σ−⋅⋅nDnD 12 也就是 fnn DDσ− 12 , 或 7.3.2 f σ−⋅ 12 DDn 上式表明界面上的自由电荷将导致电位移矢量的法向分量的不连续, 反之, 若界面上没有自由电荷, 则 电位移矢量的法向分量当然是连续的. 7.3.1和7.3.2两式便是电场在不同介质分界面上的边值关系. 图 7-13 30 电磁学网上课件 本章撰稿人石名俊 现在我们可以看到, 电场强度或电位移矢量在穿过不同介质的界面时方向要发生改变, 这一事实对 应于光学中的折射现象. 假设两介质的界面上没有自由电荷, 则电场强度 E 的切向分量及电位移矢量 D 的法向分量都是连续的. 设在不同的介质内电场强度 E 与界面的法向方向的夹角分别为如图 7-13 所示, 我们又知道, , 21,θ θ EDε nt EEθtan, 于是容易得到 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 tan tan r r n n n t n t E E E E E E ε ε ε ε θ θ 7.3.3 7.3.2式告诉我们, 界面上的自由电荷导致的不连续, 反之我们可以考察在界面附近的变化从而得知界面上有无 自由电荷. 对自由电荷已有如是结论, 那么对于极化电荷又会怎样呢 具体地, 不同介质的界面上的极化电荷会导致怎样 的不连续性 我们已经知道, 介质内部的极化电荷密度可以表示为 n D n D 7.1.6式, 于是我们可以仿照对电位移矢量的处理方法, 在界面附近作一个如图 7-13 中的小圆柱面, 在这一闭合曲面内对作积分, 有 P⋅−∇ p ρ AvvA pp nPnPsPPˆˆddd 12 ⋅−⋅−⋅−⋅∇− ∫∫∫∫∫∫∫∫ 圆柱面圆柱体圆柱体 ρσ 其中 A 为小圆柱的底面积, 同样地, 我们忽略了圆柱侧面积对面积分的贡献, 上式即为 p σ−⋅− 12 ˆPPn 7.3.4 这意味着介质界面上的极化面电荷引起了极化强度矢量在法向方向的不连续, 同样地, 我们也可以 通过考察的改变而得知界面上的极化面电荷密度. n P 第七章 静电场与物质的相互作用 31 我们再来看看电势在两种不同介质表面的连续性如何. 如图 7-14 所示, 假设两种不同的介质的界面上没有自由电荷, 就是说电位移矢量的法向分量是连续的. 设想在界面两侧有两个非常接近的点 1 和 2, 它们与界面的垂直距离也是非常小 的, 我们可以假设这个垂直距离均为 h, 两点的电势分别为和, 我们可以沿着 1 1 U 2 U2 两点的连线计算其电势差, 即 01d 0 2 1 121 2 1