一阶电路.ppt

本章主要内容动态电路的方程及其初始条件一阶电路的零输入响应一阶电路的零状态响应一阶电路的全响应一阶电路的阶跃响应一阶电路的冲击响应,第六章一阶电路,,基本概念动态元件电容元件和电感元件的约束关系是通过导数或积分表达的，所以称为动态元件，又称为储能元件。动态电路含有动态元件的电路。一阶动态电路含有一个储能元件的电路。,61动态电路的方程及其初始条件,,,KCL,KVL,支路的VCR,,电路的方程,以时间为自变量的线性常微分方程,求解常微分方程,,得到电路的所求变量,,电路的初始条件,电感电流的初始值,电容电压的初始值,其余的初始值,非独立的初始条件,独立的初始条件,,,,经典法解题,不能跃变.,,可以跃变,其跃变量由换路后的电路决定,,,,,,电路结构或元件参数变化引起的电路变化,换路,在时刻进行的,换路前的最终时刻,换路后的开始时刻,,,换路定则1对于线性电容，在任意时刻t时，它的电荷、电压与电流的关系为,结论1在电路换路瞬间,若电容电流为有限值,则电容电压和电荷不能跃变.,式中q,uc和ic分别为电容的电荷、电压和电流。,令t00-,t0则得,若ict为有限值，则,,,换路定则2对于线性电感，在任意时刻t时，它的磁通链与电流的关系为,结论2在电路换路瞬间,若电感电压为有限值,则电感电流和磁链不能跃变,令t00-,t0则得,若uLt为有限值，则,,,在电路换路瞬间,若电容电流为有限值,则电容电压和电荷不能跃变.,结论1,结论2,结论3,换路定则,初始条件的确定,在电路换路瞬间,若电感电压为有限值,则电感电流和磁链不能跃变.,在电路换路瞬间,除电容电压和电感电流外的其他元件的电压,电流和电容电流,电感电压可以跃变,其跃变量由换路后的电路决定..,,,,零输入响应动态电路在没有外施激励时,由电路的动态元件的初始储能引起的响应.,62一阶电路的零输入响应,RC电路的零输入响应,RL电路的零输入响应,,,开关闭合前uCU0，t0时刻开关动作,开关闭合后,即t≥0时,根据KVL可得,而,，将,代入上述方程,有,此为一阶齐次微分方程，初始条件,令通解为,，代入上式有,相应的特征方程为,特征根为,根据初始值,以此代入,，得,RC电路的零输入响应,,,从而求解得放电过程中的表达式,电路中的电流为,电阻上的电压为,,,从以上表达式中可以看出，电压及电流都是按照同样的指数规律衰减的，快慢取决于的大小，用来表示，其单位为秒，称为电路的时间常数。则,的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度，它是反映过渡过程特性的一个重要的量。,电路的时间常数,,,计算可得时，,时,,零输入响应在任一时刻t0的值，经过一个时间常数,可以表示为,即经过一个时间常数后，衰减了63.2，成为原来的36.8。,,时刻的电容电压值列于下表中。,理论上要经过无限长的时间才能衰减为零值，但是工程上一般认为换路后，经过时间过渡过程即告结束。,,,取电容电压曲线上任意一点A，通过A点作切线AC，则图中的次切距,即在时间坐标上次切距的长度等于时间常数。,这说明曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，经过时间为零。,时间常数的图形解释,,,开关动作之前，,t0开关动作，,在t0时，根据KVL有，，,而,电路的微分方程为,这也是一阶齐次微分方程。令,得特征方程,其特征根为,故电流为,RL电路的零输入响应,,,根据,代入上式可求得,有,电阻和电感上的电压分别为,,,与RC电路相似，令,，称为RL电路的时间常数。,则上式表示为,时间常数,,,,零状态响应就是电路在零初始状态下（动态元件初始储能为零）由外施激励引起的响应。,,RC电路的零状态响应,RL电路的零状态响应,63一阶电路的零状态响应,,,开关闭合前，,在t0时刻，开关闭合，,根据KVL,有,把,代入，,得电路的微分方程,此方程为一阶线性非齐次方程，方程的解设为,特解为,而齐次方程,的通解为,RC电路的零状态响应,,,其中,，因此,代入初始值，可求得,而,能量,充电率只有50。,消耗的能量与R无关。,,,,强制分量稳态分量,自由分量瞬态分量,波形,,,直流电流源的电流为IS，在开关打开前电感中的电流为零。打开后，,电路的微分方程为,初始条件为,电流的通解为,式中,特解,积分常数,所以,为时间常数，,,RL电路的零状态响应,,,全响应就是当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应。设电容原有电压为U0，开关闭合后，根据KVL,有,64一阶电路的全响应,初始条件,方程通解,特解,则对应齐次方程通解为,其中,为电路的时间常数，所以有,得积分常数为,所以电容电压为,这就是电容电压在t≥0时的全响应。,根据初始条件,,,电容电压的全响应可以表示为,,稳态分量,,瞬态分量,全响应稳态分量瞬态分量,,零输入响应,,零状态响应,全响应零输入响应零状态响应,,,全响应是由初始值、特解和时间常数这三个要素决定的。初始值特解取稳态解时间常数则全响应可表示为,,,三要素法解题,,,单位阶跃响应电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应。,,,65一阶电路的阶跃响应,单位阶跃函数,又称为开关函数。,任一时刻t0起始的阶跃函数为,,,单位阶跃函数还可以用来起始任意一个函数。设ft是对所有t都有定义的任意函数，则,,同理图（b）、（c）可看成由a组合而成,,,电路对于单位冲激函数输入下的零状态响应称为单位冲激响应。,66一阶电路的冲激响应,可定义为,,单位冲激函数又称为函数。,,,,与的关系,筛分性质,在t0时连续的函数,在tt0时连续的函数,单位冲激函数的性质,,,把一个单位冲激电流加到初始电压为零且C1F的电容上，则使电容电压跃变为1V,把一个单位冲激电压加到初始电流为零且L1H的电感上，则使电感电流跃变为1A,当冲激函数作用于零状态的一阶RC或RL电路，在0时刻使电感电流或电容电流发生跃变。电路中产生相当于初始状态引起的零输入响应。,,,图为一个在单位冲激电流激励下的RC电路。根据KCL有,而,将积分得,于是,所以得,,,用相同的方法可求得RL电路的单位冲激电压激励下的响应为,电感电流发生了跃变，而电感电压uL为,波形为,,,电路的冲激响应,电路的阶跃响应,,电路的冲激响应和电路的阶跃响应的关系,,,,二阶电路的零输入响应二阶电路的零状态响应和阶跃响应二阶电路的冲激响应,第七章二阶电路,,,二阶电路微分方程描述的动态电路称为二阶电路。,71二阶电路的零输入响应,,在二阶电路中有两个给定的初始条件，它们由储能元件的初始值决定。,最简单的二阶电路是RLC串联电路和RGC并联电路。,,,如图，电容初始电压为U0，电感初始电流为IS，时刻开关闭合，此电路的放电过程即是二阶电路的零输入响应。,根据KVL可得,又有,把它们代入上式，得,此以为未知量的RLC串联电路放电过程的微分方程。首先设,将代入式（7-1），得特征方程,解出特征根为,将电压表示为,其中,从式中可以看出，只与电路参数和结构有关，而与激励和初始值无关。,RLC串联电路,,,,则电压可以表示为,从式中可以看出，只与电路参数和结构有关，而与激励和初始值无关。,初始条件为,由于,因此有,根据这两个初始条件得,,此时可求得,,,,下面讨论的情况，即已充电的电容通过放电的情况。此时可得,由于电路中的参数不同，特征根可能是两个不等的负实根一对实部为负的共轭复根一对相等的负实根。,将此式代入,可以的RLC串联电路零输入响应的表达式。,,,非振荡放电过程,特征根和是两个不等的负实数，电容上的电压为,电流,电感电压,其中,,,,,,,非振荡放电过程中的变化曲线,由,得,当时吸收能量，时释放能量。,,,振荡放电过程,特征根和是一对共轭复数。令,则,于是有,令,则有,根据,可求得,,,这样,根据,可求得,而电感电压,,,从上述的表达式可以看出，它们的波形呈现衰减振荡的状态，在整个过程中，它们将周期性的改变方向，储能元件也将周期性的交换能量。波形见图。根据上述各式，还可以得,为电流的过零点，即的极值点。,为电感电压的过零点，也即是电流的极值点。,为电容电压的过零点。,根据上述零点划分的时域可以看出元件之间能量的转化和吸收概况，见表,,,,,,临界情况,在的条件下，这时特征方程具有重根,微分方程式的通解,根据初始条件可得,所以,,,此种情况是振荡与非振荡过程的分界线，所以称为临界非振荡过程，这时的电阻称为临界电阻。并称电阻大于临界电阻的电路为过阻尼电路，小于临界电阻的电路为欠阻尼电从以上各式可以看出,从以上各式可以看出不作振荡变化，即具有非振荡的性质，其波形与图7-2所示相似，,,,,,,,,二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。,72二阶电路的零状态响应和阶跃响应,如图所示为GCL并联电路，时开关打开。根据KCL有,这是二阶线性非齐次方程，设它的解为,以为待求变量，可得,取稳态解为特解，而通解与零输入响应形式相同，再根据初始条件确定积分常数，从而得到全解。,,,二阶电路在阶跃激励下的零状态响应称为二阶电路的阶跃响应，其求解方法与零状态响应的求解方法相同。如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励。则电路的响应为全响应。全响应是零状态响应和零输入响应的叠加，可以通过求解二阶非齐次方程方法求得全响应。,,,,零状态的二阶电路在冲激函数激励下的响应为二阶电路的冲激响应。,图为一个零状态的RLC串联电路，在时与冲激电压接通。,,若以为变量，根据KVL可得电路方程,而在时电路受冲激电压激励而获得了一定能量，在时放电，即在时有,由于在时为零，,73二阶电路的冲激响应,,,把上式在到区间积分，,根据零状态条件,故,由于不可能是阶跃函数或冲激函数，否则式,即得,不成立，就是说不可能跃变；,仅才可能发生跃变。这样就有,,,该式的意义是冲激电压源在到间隔内使电感电流发生有跃变，跃变后，,时为零输入解，起过度过程的分析和解答与7-1节相同，即,有,电感中储存一定的磁场能量，而冲激响应就是由此磁场能量引起的变化过程。,初始条件为,,,如果即振荡放电情况，冲激响应为,以上都是从冲激函数的定义出发，直接求出冲击响应。还可以先求单位阶跃响应，再对其求导数就得到单位冲激响应，再乘以冲激强度就可以的冲激强度为A的冲激响应。,,,,祝同学们学习愉快,,,