自由空间中场的基本方程和特性.ppt

第2章静电场,,2.1自由空间中场的基本方程和特性,1.静电场的基本方程,由，电场可以用一个标量场的梯度表示,,可见，静电场是有散场、无旋场。,2.电场强度与电位,电场力将点电荷q沿任意路径从P点移动到Q点所作的功为,由此定义PQ两点间的电位差（电压）为,3.电场的分布,点电荷的电场为,多个点电荷的电场为,线电荷的电场为,面电荷的电场为,体电荷的电场为,如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为,如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为,,点电荷的电位为,多个点电荷的电位为,线电荷的电位,面电荷的电位,体电荷的电位,4.电场线和等位面,E线的定义线上任一点的切线方向与该点的电场强度方向一致。,,,等位面,5.电偶极子,相距很小距离l的一对等值异号的电荷，称为电偶极子.,偶极子的电矩，简称电偶极矩,远离电偶极子的一点Pr,,的电位,其中,故得,偶极子的电场,因为rl，将r1、r2用二项式定理展开，略去高阶项，得,2.2导体和电介质,静电场中的导体处于静电平衡状态；导体内部电场处处为零；所有电荷分布在导体表面上；,1.静电场中的导体,2.静电场中的介质,介质极化现象演示）,极化强度介质极化后每单位体积内电偶极矩的矢量和，即,,导体内部是等位体，导体表面是等位面；导体表面的电场垂直于导体表面。,大多数介质在电场作用下产生极化时，其电极化强度P与介质中的合成电场强度E成正比，即,Pe0E,体积元dV内的等效电偶极子的电偶极矩∑pPrdV，它在远区P点处产生的电位应为,,体积V内所有电偶极矩在P点产生的合成电位为,,根据矢量恒等式,,上式可表示为,,由此定义极化电荷的面密度与体密度分别为,在引入极化电荷密度描述的基础上，类比于自由电荷产生的电场，极化电荷在真空中所产生的电场，可分别通过电位和场强E表示为,,,2.3电介质中的电场,1.电介质中的高斯定律,电介质中高斯定理的微分形式为,,上式可以转化为,由此定义电位移矢量,电介质中高斯定理的积分形式为,,2.介电常数击穿场强,对于均匀且各向同性的线性电介质,令,则有，,其中，为相对介电常数，为介电常数。,某种介质材料所能承受的最大场强就称为该电介质的击穿场强，或称为该材料的电介质强度。,,,,3.不同媒质分界面上的边界条件,1两种不同介质分界面上的边界条件,E的切向分量满足的边界条件,,,或,D的法向分量满足的边界条件,,或,若两种介质均为线性且各向同性，即D11E1，D22E2，应有11，22。两种介质分界面上通常不可能存在面分布形式的自由电荷0,,两式相除，即得,介质分界面上的极化电荷,结合,,折射率,2导体和介质分界面上的边界条件,,,E2,,设导体为媒质1，介质为媒质2。在导体中，E1D10；分界面上的边界条件,3由电位表示的边界条件,,对应,有,；,对应,有,对应导体和介质分界面上的边界条件,,,2.4边值问题,1.边值问题的分类,泊松方程和拉普拉斯方程,把,代入,得,对于均匀介质，为常数。再代入,得,对于场中无自由电荷分布0的区域，,在直角坐标系中,定解条件,1给定的是场域边界S上的电位值，边界条件称为第一类边界条件，它与泛定方程组合成第一类边值问题。,,2给定的是场域边界S上电位的法向导数值，边界条件称为第二类边界条件，它与泛定方程组合成第二类边值问题。,,3给定的是场域边界S上电位及其法向导数的线性组合，边界条件称为第三类边界条件，它与泛定方程组合成第三类边值问题。,,如果场域扩展至无界空间，则还必须给出无限远处的边界条件。对于电荷分布在有限区域的无界电场问题，根据物理问题的本质，在无限远处r→应有,,这表明r在无限远处是有界的，即电位在无限远处为零r|r→0。,2.静电场解的唯一性,设V中存在两个电位函数1和2，在给定第一类或第二类边值时，均满足泊松方程，即,,,令1-2d，显然,对已知的任意两个连续可导的标量函数和，应有,,令d，代入上式得,无论对于第一类边界还是第二类边界，均有,在整个场域内必有d0。由此得证12，即只有唯一可能的解答。,3.直接积分法,例二块半无限大的导电平板构成夹角为的电极系统，设板间电压为U0，如图所示。试求导板间电场，并绘出场图。,[解]可以判定，r仅为一个坐标变量的函数，因而可以写出如下的第一类边值问题,将泛定方程直接积分二次，即得通解为,由给定的二个边界条件，可以确定式中待定的积分常数C1和C2为，,,,因此，电位的解为,,电场强度的解为,,4.分离变量法,1直角坐标系中的平行平面场问题,平行平面场中位函数Ux，y在场域内满足拉普拉斯方程,设定分离变量形式的试探解，即令Ux，yXxYy，代入方程得,,,在x和y取任意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为称为分离常数,,,取不同值时，两个常微分方程得到不同形式的解,0时，,时，,时，,位函数U的一般解可记作,例一长直接地金属槽的横截面如图所示，其侧壁与底面电位均为零，而顶盖电位0，求槽内电位分布。,解槽内电位满足的基本方程和边界条件为,在x方向只能选择正弦函数，在y方向只能选择双曲正弦函数,,且,,因此,,带入最后一个边界条件，得,,为确定En的值，可对上式两边同乘以，其中K为整数，然后从x0到xa进行积分，得,上式左边结果为,K为奇数K为偶数,上式右边结果为,n≠KnK,因此,n为奇数n为偶数,最终得待求电位x，y的解答是,,,,,2圆柱坐标系中的平行平面场问题,设位函数与z坐标无关，UrU，，满足拉普拉斯方程,,令试探解U，RQ，代入方程，经整理得,,其中，n2为分离常数，偏微分方程转化为下列两个常微分方程,和,当n＝0时,RA10A20ln；QB10B20,当n0时,RA1nnA2n-n；QB1ncosnB2nsinn,,,,例一横截面半径为a，介电常数为1的长直介质圆柱体放置在均匀的外电场E0中场强值为E0，方向与介质圆柱的轴线相垂直，均匀场中介质的介电常数为2，如图所示。求圆柱体放入后，场中的电位和电场强度。,均匀外电场中的介质圆柱体,[解]圆柱体内外的介质不同，故应分别以1和2表示圆柱体内外的电位函数，它们都满足拉普拉斯方程，即,,,位函数U的一般解可记作,0a,在圆柱坐标系中xcos，取坐标原点为电位参考点，则与均匀外电场E0E0i相应的电位函数可表示为0-E0 x-E0cos。由于时介质圆柱体产生的极化电场影响应当消失，故该处给定的电位值应与由均匀外电场引起的电位0相一致，即有,对于圆柱表面a处，不同介质分界面上的边界条件应为,本例中应取A10A20B10B20B2n0，即,由条件（1），时,用cosm乘上式两边，对从02积分，待定系数法，得,由条件（1），A1-E0。在圆柱内，因为0处电位为有限值，所以A2n0，且只有A10。由条件（2），可得,再由条件（3），可得,联立求解可得,,最后，待求位函数的解答为,