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球磨机钢球球径制度对磨碎速率的影响研究 ① 崔 瑞1，2， 刘 昕1，2， 张义闹1，2， 明廷流1，2， 张嘉雯1，2 （1.武汉科技大学 资源与环境工程学院，湖北 武汉 430081； 2.冶金矿产资源高效利用与造块湖北省重点实验室，湖北 武汉 430081） 摘 要 利用实验室 Φ24090 锥形球磨机对-1.71.18 mm 石灰石进行了批次磨矿试验，基于破碎速率函数与破碎分布函数的总 体平衡模型讨论了钢球球径制度对磨矿速率的影响。 单一球径钢球试验结果表明，大直径钢球对粗级别的磨碎速率相对较高，但 对细粒级的磨碎速率衰减很快；小直径钢球对粗级别的磨碎速率较低，但对细粒级有较高的磨碎速率。 采用两种球径配合的钢球 制度，并以破碎分布函数作为钢球球径级配方案的依据，可综合单一球径钢球制度的优点，既保证粗粒矿石有较高的磨碎速率，又 能保持对细粒级的磨碎速率衰减较慢。 关键词 球磨机； 球磨介质； 钢球球径； 破碎速率函数； 破碎分布函数 中图分类号 TD921文献标识码 Adoi10.3969/ j.issn.0253-6099.2019.01.010 文章编号 0253-6099（2019）01-0039-05 Effect of Diameter Regime of Ball Charge on Grinding Rate in Ball Mill CUI Rui1，2， LIU Xin1，2， ZHANG Yi-nao1，2， MING Ting-liu1，2， ZHANG Jia-wen1，2 （1.College of Resources and Environmental Engineering， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， Hubei， China； 2.Hubei Key Laboratory for Efficient Utilization and Agglomeration of Metallurgical Mineral Resources， Wuhan 430081， Hubei， China） Abstract Batch grinding tests were conducted for limestone with feed size of -1.71.18 mm using a laboratorial conical ball mill （Φ24090）. The effect of the ball size regime on grinding efficiency was investigated by a mass population balance model based on breakage rate function and breakage distribution function. The results of the single diameter ball charge showed that big steel balls could bring a higher breakage rate for the coarse size fraction， but a rapidly declined breakage rate for the fine size fraction. On the contrary， small balls brought a lower breakage rate for the coarse size fraction， but a comparatively high breakage rate for the fine size fraction. It is concluded that when adopting a regime of two kinds of balls with a size distribution referring to the breakage distribution function， high breakage rate for coarse size fraction and slow attenuation of breakage rate for fine size fraction can be both ensured. Key words ball mill； grinding medium for ball mill； diameter of ball； breakage rate function； breakage distribution function 滚筒磨矿机是矿业领域最常用的磨矿装备，筒体 的转动带动磨机内介质运动，介质间及介质与筒壁间 的相对运动对夹在其中的矿粒实施粉碎。 作为球磨机 最主要的磨矿介质，钢球是粉碎矿粒的最直接元素。 一定介质充填率下，钢球球径变化会对钢球数量及单 个钢球具有的能量产生影响。 球径小则钢球数量多， 矿粒被钢球碰撞到的概率越高；球径大则钢球质量大， 具有的能量高，钢球与矿粒碰撞过程中矿粒被破碎的 概率越大。 单位时间内，矿粒被具有足够能量的钢球 碰撞到的频率越高，磨矿速率就越快。 显然，钢球球径 的变化会在钢球与矿粒碰撞频率及碰撞中是否发生粉 碎两个方面对磨矿速率产生影响。 矿物加工工程中对于球磨机内钢球球径选择的若 干个共识是粗磨用大球，保证钢球有足够的能量粉碎 矿粒；细磨用小球，使钢球与矿粒间产生足够的碰撞频 率；由于磨机给矿具有一定的粒度分布，装球时应该既 装大球又装小球，形成一定的钢球尺寸级配。 当前，已 研制出多种钢球直径的计算方法，如国外常用的以邦 ①收稿日期 2018-09-05 基金项目 国家自然科学基金（51704214）；武汉科技大学大学生科技创新基金（17ZRA090） 作者简介 崔 瑞（1984-），男，湖北襄阳人，讲师，主要从事矿物加工粉体高效制备与精密分级相关研究工作。 第 39 卷第 1 期 2019 年 02 月 矿矿 冶冶 工工 程程 MINING AND METALLURGICAL ENGINEERING Vol.39 №1 February 2019 ChaoXing 德功指数为主要参数的阿里斯查尔默斯球径计算 法［1］，国内正推广的以矿石单轴矿压强度为主要参数 的段氏半理论球径计算法［2-3］等。 关于钢球的尺寸级 配，传统经验上，是以磨机的给矿粒度作为依据，并使 各种直径钢球的质量比例与各级别矿粒的质量比例相 当［1］。 然而，这种方法仅仅考虑了磨矿的最初环节即 粒度的最粗时刻，忽略了磨矿时矿粒粒度由粗变细的 过程，导致总体装球尺寸总是偏大，影响磨矿速率。 本文设计了实验室球磨机的单级别原料批次磨矿 试验，并利用基于破碎速率函数与破碎分布函数的总 体平衡模型探讨了钢球球径制度对磨矿速率的影响。 1 原料、设备及试验方法 1.1 原料及设备 试验所用原料为外购石灰石，经颚式破碎机、对辊 破碎机破碎后筛分出-1.71.18 mm 粒级备用。 批次磨矿试验所用设备为实验室 Φ24090 锥形 球磨机（武汉探矿机械厂生产），磨腔净容积6.25 L，筒 体转速 96 r/ min。 由于是对窄级别原料进行磨矿，选择 单一尺寸的钢球装填进球磨机，具体装球方案见表 1。 表 1 批次磨矿试验装球方案 装球 方案 钢球直径 / mm 钢球 个数 装入钢球总质量 / kg 装入钢球堆体积 / L 1193559.9441.98 2251569.9552.09 330909.9242.14 437489.9302.34 1.2 批次磨矿试验 分别采用表 1 中的装球方案进行批次磨矿试验。 初次磨矿加入矿石 500 g。 每次磨矿试验结束后，直接 对所有磨矿产品进行湿式筛分，各粒级脱水、烘干、称 重后再混合均匀作为下一次的试验给矿，每次磨矿试 验的矿石损失量控制在 4 g 以内，每次磨矿试验都保 持磨矿浓度为 50％，设置每次磨矿时间为 0.5 min。 为 了确保磨矿试验的准确性，向磨机内加入原料时尽量 将矿石均匀地铺在钢球床层上。 2 数据处理 2.1 平均粒度及粒度分布偏差系数计算 磨矿产品的平均粒度 D 计算公式为 D ＝ ∑γixi 100 （1） 式中 γi为各粒级产率；xi为各粒级平均粒度（取粒度 区间上下限的几何平均值）。 粒度分布偏差系数 K偏计算公式［1］为 K偏＝ σ D （2） 式中 σ 为粒度分布标准差，σ＝ ∑（xi -D） 2γ i 100 。 2.2 破碎速率及破碎分布函数计算 球磨机磨矿的动力学过程可用总体平衡模型表示 dmi dt ＝- Simi∑ i-1 j ＝ 1 bijSjmj（3） 它表示第 i 粒级在 dt 时间的含量变化 dmi由两方面引 起一是第 i 粒级矿粒被磨碎进入细粒级别（i1， i2， ，n），二是粗级别（1， 2，，i-1）矿粒被磨细进入第 i 粒级。 式中 Si表示第 i 粒级的磨碎速率；bij为一次有 效粉碎中，第 j 粒级被破碎后进入到第 i 粒级的含量。 bij也可表示为 bij ＝ B i，j - B i-1，j （4） 式中 Bij为第 j 粒级被破碎后进入到小于等于第 i 粒级 的累积含量，即 B21 ＝B 11 ＝1。 Ried［4］等给出了公式（3）的积分解形式 mi（t） ＝∑ i j ＝ 1 aije -S jt （5） 式中 aij＝ 0i ＜ j mi（0） -∑ i-1 k ＝ 1 aiki ＝ j 1 Si - S j∑ i-1 k ＝ j Skbikakji ＞ j ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Austin、Menacho 等［5-6］将破碎速率函数 Si及破碎 分布函数 Bij表示为 Bij ＝ φ xi xj1 ■ ■ ■ ■ ■ ■ α （1 - φ） xi xj1 ■ ■ ■ ■ ■ ■ β （6） Si ＝ S 1 xi x1 ■ ■ ■ ■ ■ ■ γ （7） 至此，利用公式（5） ～（7）就可以对一个磨矿过程 进行数学描述，即磨矿过程可由破碎速率函数、破碎分 布函数、磨矿时间所确定。 通过联立公式（5） ～（7），利用批次磨矿试验所得 的磨矿粒度，运用 Excel VBA 进行编程，根据最小二乘 原理，可反算出破碎速率及破碎分布函数，即对公式 （6）与（7）中的 φ、α、β、S1、γ 这 5 个参数进行计算。 3 单一球径钢球制度的磨矿结果与讨论 3.1 磨矿产品粒度 图 1 分别绘出了 4 种钢球制度下磨矿产品粒度分 布随磨矿时间的变化过程。 04矿 冶 工 程第 39 卷 ChaoXing 粒度/mm 60 50 40 30 20 10 0 -1.71.18 -1.180.85 -0.850.6 -0.60.425 -0.4250.3 -0.30.212 -0.2120.15 -0.15 含量/ 粒度/mm 50 40 30 20 10 0 -1.71.18 -1.180.85 -0.850.6 -0.60.425 -0.4250.3 -0.30.212 -0.2120.15 -0.15 含量/ 粒度/mm 50 40 30 20 10 0 -1.71.18 -1.180.85 -0.850.6 -0.60.425 -0.4250.3 -0.30.212 -0.2120.15 -0.15 含量/ 粒度/mm 50 40 30 20 10 0 -1.71.18 -1.180.85 -0.850.6 -0.60.425 -0.4250.3 -0.30.212 -0.2120.15 -0.15 含量/ （a） （c） （b） （d） 0.5 min 1.0 min 1.5 min 2.0 min ▲ ▲ ■ ● 0.5 min 1.0 min 1.5 min 2.0 min ▲ ▲ ■ ● 0.5 min 1.0 min 1.5 min 2.0 min ▲ ▲ ■ ● 0.5 min 1.0 min 1.5 min 2.0 min ▲ ▲ ■ ● 图 1 不同钢球制度下磨矿产品粒度分布随时间的变化 （a） 19 mm 钢球； （b） 25 mm 钢球； （c） 30 mm 钢球； （d） 37 mm 钢球 从图 1 可以看出，不同钢球制度下，磨矿产品的粒 度分布变化明显不同。 对于-1.71.18 mm 粒级，钢球 尺寸越大，该粒级减少得越快；而对于-0.15 mm 粒级， 钢球尺寸越小，该粒级生成得越快。 图 2 为 4 种钢球制度下磨矿产品平均粒度随磨矿 时间的变化。 可以看出，随着磨矿时间延长，磨矿产品 平均粒度由粗变细。 但相同磨矿时间、不同钢球制度 下所得磨矿产品平均粒度并不相同，平均粒度由粗至 细对应的钢球尺寸顺序分别为 19 mm、30 mm、37 mm、 25 mm。 磨矿时间/min 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.51.01.52.0 平均粒度/mm Φ19 mm钢球 Φ25 mm钢球 Φ30 mm钢球 Φ37 mm钢球 ▲ ▲ ■ ● 图 2 不同钢球制度下磨矿产品平均粒度随时间变化 图3 为4 种钢球制度下磨矿产品粒度分布偏差系数 随磨矿时间的变化。 图 3 表明，随着磨矿时间延长，磨矿 产品平均粒度偏差系数逐渐增大，粒度分布不均匀程度 增加。 可以看出，19 mm 钢球尺寸下，磨矿产品粒度不均 匀程度增加最快，结合图 1 可知，这是由于 19 mm 钢球 对粗粒极粉碎能力弱、细粒级生成能力强所致。 磨矿时间/min 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.51.01.52.0 粒度分布偏差系数 Φ19 mm钢球 Φ25 mm钢球 Φ30 mm钢球 Φ37 mm钢球 ▲ ▲ ■ ● 图 3 不同钢球制度下磨矿产品粒度分布偏差系数变化 3.2 磨矿速率 图 4 对比了 4 种钢球制度下磨矿试验产品粒度分 布与反算所得 B、S 函数计算拟合的粒度分布，可以看 14第 1 期崔 瑞等 球磨机钢球球径制度对磨碎速率的影响研究 ChaoXing 出，由 B、S 函数计算出的粒度分布与试验值有较好的 吻合度，表明了计算出的 B、S 函数的准确性。 图 5 为不同钢球制度下的破碎函数分布图。 可以 看出，试验范围内的钢球在有效破碎后形成的粒度分 布总体相似。 结合图 4 中采用不同钢球制度的相同磨 矿时间下磨矿结果存在明显不同可以推断，不同钢球 制度下各粒级的磨矿速率差异是导致磨矿结果不同的 主要原因。 粒度/mm 100 80 60 40 20 0 0.20.10.40.6 0.8 122 含量/ 0.5 min试验值 1.0 min试验值 1.5 min试验值 2.0 min试验值 拟合线 ▲▲ ■ ● （a）（b） （d）（c） 粒度/mm 100 80 60 40 20 0 0.20.10.40.6 0.8 122 含量/ 0.5 min试验值 1.0 min试验值 1.5 min试验值 2.0 min试验值 拟合线 ▲▲ ■ ● 粒度/mm 100 80 60 40 20 0 0.20.10.40.6 0.8 1 含量/ 0.5 min试验值 1.0 min试验值 1.5 min试验值 2.0 min试验值 拟合线 ▲▲ ■ ● 粒度/mm 100 80 60 40 20 0 0.20.10.40.6 0.8 1 含量/ 0.5 min试验值 1.0 min试验值 1.5 min试验值 2.0 min试验值 拟合线 ▲▲ ■ ● 图 4 不同钢球制度下 B、S 函数计算粒度分布与试验粒度分布对比 （a） 19 mm 钢球； （b） 25 mm 钢球； （c） 30 mm 钢球； （d） 37 mm 钢球 （b）（a） 粒度/mm 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.20.10.40.60.81 bij 粒度/mm 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.20.10.40.60.81 bij Φ19 mm钢球 Φ25 mm钢球 Φ30 mm钢球 Φ37 mm钢球 ▲ ▲ ■ ● 图 5 破碎分布函数 （a） 不同钢球制度下的破碎分布函数对比； （b） 不同尺寸钢球破碎分布的平均值曲线及标准偏差限 不同尺寸钢球对不同粒级的磨碎速率如图 6 所 示，可以明显看出，与其他尺寸钢球相比，19 mm 钢球 对-0.85 mm 粒级的磨碎速率最高，但对0.85 mm 粒 级的磨碎速率最小；37 mm 钢球对-0.6 mm 粒级的磨 碎速率最小，对1.18 mm 的磨碎速率相对最高。 25 mm 钢球对于较粗粒级的磨碎速率要高于 30 mm 钢球，但 随着粒度减小，两者的磨碎速率逐渐接近。 整体来看， 37 mm 钢球对各粒级的磨碎速率衰减最快，30 mm、 25 mm 钢球次之，19 mm 钢球最慢。 4 混合钢球制度磨矿试验与结果 4.1 钢球配比方案 单一球径制度下，钢球直径越大，对各粒级的磨碎 速率衰减越快。 为了使各粒级的磨矿速率保持在相对 较高水平，应该合理配置钢球的球径。 本文中 Φ19 mm 钢球对-0.85 mm 粒级的磨碎速率相对较高，Φ37 mm、 Φ30 mm、Φ25 mm 对0.85 mm 粒级都有较高的磨碎 速率，可以选择 2 种直径钢球混合的钢球制度。 但本文 24矿 冶 工 程第 39 卷 ChaoXing 粒度/mm 3 2 1 0.20.10.40.6 0.8 12 Si Φ19 mm钢球 Φ25 mm钢球 Φ30 mm钢球 Φ37 mm钢球 ▲ ▲ ■ ● 图 6 不同钢球制度的磨碎速率 中磨机给矿为-1.71.18 mm 窄级别，原料中不含有 -0.85 mm 粒级，若按传统经验将钢球级配比例与给矿 中各粒度比例相当的做法，则无法确定 2 种钢球的配 比方案。 因此考虑矿粒在磨矿过程中由粗变细的过 程，那么在一次有效粉碎中的磨矿过程可由破碎分布 函数来描述，根据图 5 可知，-1.71.18 mm 粒级在发 生粉碎行为后产生的-0.85 mm 含量为 50％左右，以此 为依据，可将 2 种直径钢球混合比例设计为 1 ∶1。 设 计混合装球制度见表 2。 表 2 球磨机混合装球方案 方案编号钢球配比方案（钢球个数之比） 5N（Φ19 mm） ∶ N（Φ25 mm）＝ 177∶78 6N（Φ19 mm） ∶ N（Φ30 mm）＝ 177∶45 7N（Φ19 mm） ∶ N（Φ37 mm）＝ 177∶24 4.2 混合装球试验的磨碎速率 对相同单级别原料进行混合钢球制度下的批次磨 矿试验，按相同数据处理方法得到不同钢球制度下的 磨矿速率函数。 图 7 对比了混合钢球制度与单一钢球 制度的磨矿速率函数。 粒度/mm 3 2 1 0.20.10.40.6 0.8 12 Si Φ19 mm钢球 Φ37 mm钢球 Φ19 mm与Φ37 mm混合钢球 ▲ ■ ● 粒度/mm 3 2 1 0.20.10.40.6 0.8 12 Si Φ19 mm钢球 Φ25 mm钢球 Φ19 mm与Φ25 mm混合钢球▲ ■ ● 粒度/mm 3 2 1 0.20.10.40.6 0.8 12 Si Φ19 mm钢球 Φ30 mm钢球 Φ19 mm与Φ30 mm混合钢球 ▲ ■ ● 图 7 混合钢球制度与单一钢球制度的磨矿速率函数对比 图 7 表明，根据单一球径钢球制度的磨碎速率及 破碎分布函数设计的混合钢球制度，可以综合单一球 径钢球制度的优势，即既保证粗粒矿石有较高的磨碎 速率，又能保持对细粒级的磨碎速率衰减较慢。 对比 图 7 中3 种混合钢球方案，可选择 Φ19 mm 与 Φ30 mm 这 2 种球径钢球进行 1∶1配合使用。 5 结 论 利用实验室锥形球磨机分别使用 Φ19 mm、Φ25 mm、 Φ30 mm、Φ37 mm 单一球径钢球制度及混合球径钢球 制度对-1.71.18 mm 窄级别石灰石原料进行了批次 磨矿试验，借助于基于破碎速率函数与破碎分布函数 的总体平衡模型讨论了钢球球径制度对磨矿速率的影 响，得到以下结论 1） 不同单一直径钢球磨矿时，磨矿产品粒度分 布、平均粒度及粒度分布偏差系数的变化过程存在明 显差异。 （下转第 48 页） 34第 1 期崔 瑞等 球磨机钢球球径制度对磨碎速率的影响研究 ChaoXing 由试验结果可知，采用此工艺可获得铅品位 27.54％、铅回收率 76.47％、银品位 5 252.5 g/ t、银回收 率 73.03％、锌品位 3.87％的铅银混合精矿和锌品位 54.96％、锌回收率 71. 00％、银品位 359. 6 g/ t 的锌 精矿。 3 结 论 山西某铅锌银多金属矿石中铅、锌和银含量分别 为 0.48％、0.75％和 90.00 g/ t，铅主要赋存在方铅矿 中，锌主要赋存在闪锌矿中，银矿物主要赋存在辉银矿 中。 针对矿石性质，结合现场工艺流程，采用铅银混 浮-锌浮选工艺，在磨矿细度-0.074 mm 粒级占 80％条 件下，以水玻璃为调整剂、硫酸锌亚硫酸钠为锌矿物 抑制剂、选用由北京矿冶科技集团有限公司研制的 BK906 和 BK903G 为组合捕收剂、BK-201 为起泡剂， 优先选铅银，选铅银尾矿以石灰为调整剂、硫酸铜为活 化剂、丁基黄药为捕收剂选锌，可获得铅品位 27.54％、 铅回收率76.47％、银品位5252.5 g/ t、银回收率73.03％、 锌品位3.87％的铅银混合精矿和锌品位54.96％、锌回收 率 71.00％、银品位 359.6 g/ t 的锌精矿。 参考文献 ［1］ 宋 强，谢 贤，童 雄，等. 滇西某含锑铅锌硫化矿石浮选试验［J］. 金属矿山， 2017（5）79-82. ［2］ 宋建文，刘全军，高 扬，等. 云南某铅锌硫化矿石浮选试验［J］. 金属矿山， 2016（6）81-85. ［3］ 赵文迪，章晓林，王其宏，等. 四川绵阳某氧化铅锌矿浮选工艺研 究［J］. 矿冶工程， 2018，38（4）45-49. ［4］ 苏建芳，孙 伟，黄红军. 云南某复杂铅锌银硫化矿综合回收试验 研究［J］. 有色金属（选矿部分）， 2011（6）8-12. ［5］ 甘 恒，陈建华，李世凯. 广西某铅锌矿酸性矿石浮选试验研究［J］. 矿冶工程， 2017，37（4）41-44. ［6］ 董金海，王忠应，谢恩龙. 云南某低品位铅锌硫化矿选矿工艺研究［J］. 有色金属（选矿部分）， 2014（4）26-31. ［7］ 罗仙平，陈晓明，钱有军，等. 江西某铅锌银多金属硫化矿石选矿 工艺研究［J］. 金属矿山， 2012（12）57-61. ［8］ 邱廷省，赵冠飞，朱冬梅，等. 四川某难选硫化铅锌银矿石浮选试 验［J］. 金属矿山， 2012（12）62-65. 引用本文 赵 杰，谭 欣，王中明，等. 山西某铅锌银多金属矿选矿试 验研究［J］. 矿冶工程， 2019，39（1）44-48. （上接第 43 页） 2） 单一球径制度下，不同直径钢球对各粒度级别 磨碎速率的差异是导致磨矿结果不同的主要原因。 主 要体现在大直径钢球对粗级别的破碎速率相对较高， 但对细粒级的破碎速率衰减很快；小直径钢球对粗级 别的破碎速率较低，但对细粒极都维持有较高的磨碎 速率。 3） 即使是对单级别原料进行磨矿，采用混合钢球 制度可综合单一球径钢球制度的优点，既保证粗粒矿 石有较高的磨碎速率，又能保持对细粒级的磨碎速率 衰减较慢。 4） 对单级别原料进行磨矿时，可利用破碎分布函 数作为钢球球径级配方案的依据。 参考文献 ［1］ 段希祥. 碎矿与磨矿［M］. 北京冶金工业出版社（第 2 版）， 2006. ［2］ 罗春梅，郭永杰，段希祥. 精确化装补球方法对选矿指标影响的研 究［J］. 矿冶， 2008，17（4）19-23. ［3］ 罗春梅，肖庆飞，段希祥. 精确化装补球方法的应用研究［J］. 矿 产综合利用， 2008，29（4）22-25. ［4］ Reid K J. 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