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第四章均匀反应堆的临界理论,本章研究由燃料和慢化剂组成的有限均匀增殖介质内中子扩散和慢化问题。反应堆的临界理论重要研究的问题有各种形状的反应堆达到临界时的条件，临界时系统的体积大小和燃料成分及其装载量；临界状态下系统内中子通量密度（或功率）的空间分布。实际的反应堆，由于热工设计、机械设计等方面的要求，其堆芯是非均匀的，燃料、冷却剂及结构材料在堆芯内呈分离排列。在进行反应堆理论分析时为了将问题简化，一般都要对堆芯进行均匀化处理。本章临界理论就是以均匀反应堆为对象进行研究（所有的燃料、慢化剂及结构材料等均匀混合在一起）。,反应堆内中子的运动规律与中子的能量有非常复杂的依赖关系。因此，在反应堆的临界理论分析计算中除了要考虑堆芯几何与材料的复杂性，还要堆芯内各种物理过程与中子能量的依赖关系。研究反应堆最常用的方法是多群扩散模型，最简单的是单群扩散模型。在热中子堆中常用双群扩散模型。尽管单群理论给出的结果不够准确，但单群理论简单明了，在一些情况下能给出解析解，有利于初学者掌握和理解分群扩散理论概念和方法，并且其解带有普遍意义。因此，本章重点介绍均匀反应堆单群扩散理论的计算，所得到的一般原理和结果对于非均匀反应堆情况也是适用的。,4.1均匀裸堆的单群理论,对于无限介质增殖因数的定义,在单群近似下有对于燃料和慢化剂组成的均匀增殖堆芯，堆芯内单位时间、单位体积内的裂变中子源强可写为由于无限介质增殖因数的定义，裂变中子源强也可写为将裂变源代入（3-34）式并考虑存在独立的中子源得,,,,,4.1.1均匀裸堆的单群扩散方程的解,选取长宽为无穷大，厚度为a的平板裸堆0 x为例包括外推距离在内，讨论单群扩散方程所描述的核反应堆特性。无外源的情况下，描述平板核反应堆中子通量密度变化规律的单群扩散方程为初始条件为边界条件为在外推边界处,中子通量密度为零,,,,,,,,,,,,无限平板形反应堆,这里我们已假设初始中子通量密度是对称的，利用用分离变量法解以上二阶偏微分方程，让带入上式并用除方程两边得到等式两边等于一个常数或,,,,,,,上式为典型的波动方程，为方程的特征值，其解为A、C为待定常数。由于中子通量对于x0平面对称,所以C0由边界条件可得中子通量密度满足边界条件得到或对应于其中任一值，满足微分方程和边界条件的解为,,,,,,,,,对于齐次方程（4.9）只对某些特定的特征值有解。相应的解称为此问题的特征函数。由于特征函数的正交性，对于每一个n值的项都是线形独立的，因此对于每一个值和，都有一个与之对应，有或用乘上式两边得其中为无限介质的热中子寿命，是热中子的平均自由程。,,,,,,,,,方程的解为其中C为待定常数。这样，对于一维平板反应堆，其中子通量密度的完全解就是n1到n∞的所有解的求和根据问题的初始条件，可以定出系数。让t0，可得利用正交关系，可得将其带入，可得到无限平板反应堆内的中子通量密度分布为,,,,,,,4.1.2热中子反应堆的临界条件,以下分几种情况对（4-15）式进行讨论第一种情况对于一定形状和体积的堆芯,若对应的小于1，其它的都将小于1，这时都是负值，中子通量密度将随时间指数衰减，因此系统处于次临界状态。,,,,,第二种情况若则这时中子通量密度将随时间指数增长,反应堆将处于超临界状态.第三种情况若通过调整堆芯尺寸或改变堆芯材料成分,使正好等于1,则其它的的值都将小于1.这时4-15式中第一项与时间无关,其它各项将随时间衰减.因而时间足够长时n1各项将随时间衰减为零.系统达到稳定,反应堆处于临界状态.,,,,从以上讨论,我们得到两个重要结论单群裸堆近似的“临界条件”为这里是波动方程（4-9）的最小特征值，用表示并称其为几何曲率，上式便是单群理论的临界方程。便是我们以前定义的有效增殖因子。当反应堆处于临界时，中子通量密度按最小特征值所对应的基波特征函数分布，也即稳态反应堆的中子通量密度满足波动方程以上两点告诉我们反应堆临界时，材料的组成，几何形状及大小之间如何匹配，并表明临界反应堆中中子通量密度如何分布。,,,,,,,无限平板反应堆的临界条件为无限平板反应堆的中子通量密度为下面证明的物理意义就是单群近似下反应堆内中子的不泄漏率Λ。这样4-17便可以写为它与临界条件1-63式完全一样。这里的k1就是前面所定义的有效增殖因子keff。所对应的为考虑中子泄漏影响后的中子寿命。,,,,,,4.1.3几种几何形状裸堆的几何曲率和中子通量密度分布,球形反应堆与几何曲率相关的反应堆波动方程为用球坐标系统考虑一个半径为R的球形裸堆，并将原点选在球心，通量密度是对称的，所以波动方程变为其普遍解为为满足r趋于零时，通量密度为有限的条件，E0，所以,,,,,根据通量密度在边界处为零的条件，所以我们有因此对应于n1的最小特征值，几何曲率为与此对应的临界反应堆内中子通量密度分布为式中C为常数，它由中子通量密度的归一化条件或反应堆的输出功率决定。,,,有限高圆柱体反应堆在柱对称下中子通量密度只取决于r和z两个变量，波动方程可写成边界条件为采用分离变量法求解代入波动方程并用除式中各项得,,,,,,圆柱体反应堆,,可以令左边的两项均等于一个常数有现求解第一个方程，令可以得到零阶贝塞尔函数方程其通解为（其中J0，Y0分别为第一类及第二类零阶贝塞尔函数）,,,,,,,如（4-27）式中右端等于正数，零阶修正贝塞尔函数方程它的普遍解为这里I0和K0分别是第一类及第二类零阶修正贝塞尔函数。根据边界条件（1）和（2），I0和K0及Y0均应从两个解中消去，所以（4-27）式右端得常数必须为负数。故波动方程的唯一解为,,,,零阶贝塞尔函数曲线,利用中子通量密度在rR处的边界条件，即由图4-3可知，贝塞尔函数J0的第一个零点为2.405,所以所以我们得到现求解方程4-28,由前面平板反应堆的讨论可得其解为其中圆柱体裸堆的几何曲率为其中Br2径向几何曲率，Bz2轴向几何曲率。,,,,,,,有限高圆柱体反应堆中子通量密度的分布形式为常数C由中子通量密度的归一化条件和反应堆的功率确定。利用求极值的方法可得，在给定Bg2值下，当直径D1.083H时，圆柱体反应堆具有最小临界体积。类试方法可以求出长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度。,,几种几何形状的裸堆的几何曲率和热中子通量密度分布,临界时均匀裸堆内的中子通量密度分布只取决于反应堆的几何形状，而与反应堆的功率大小无关。临界反应堆内中子通量密度的基波函数特征分布可以在任意功率水平下得到稳定。若不考虑工程因素的限制，根据物理原理，反应堆的功率可以任意大小，一个临界反应堆所发出的功率并无任何限制。若已知反应堆功率，我们就可以确定反应堆内中子通量密度的确切值。反应堆功率可以表示为将中子通量密度分布表达式代入上式，可求出常数C。对于圆柱体体积为,,,,同样对于球形裸堆有其中,,,4.1.4反应堆曲率和临界计算任务,稳态反应堆内中子通量密度的空间分布满足波动方程Bg2为方程的最小特征值，为几何曲率，对于裸堆，其与反应堆的几何形状及尺寸大小有关，而与反应堆的材料成分和性质没有关系。对于处于临界状态的堆芯,它的几何曲率满足方程4-17另一方面k、L2等参数仅仅取决于反应堆芯部材料特性，对于一定材料成分的反应堆，便有一个确定的B2值能满足临界方程，我们称为材料曲率，记作Bm2。,,,对于单群扩散理论，有材料曲率等于显然材料曲率Bm2反映的增殖材料的特性,它只与反应堆的材料特性有关,与反应堆的几何形状和尺寸无关。显然，对于任意给定材料成分和几何尺寸的反应堆，几何曲率不一定等于材料曲率。反应堆的临界条件可以写为反应堆达到临界的条件是材料曲率等于几何曲率，即对于裸堆，临界条件可写成,,,,材料曲率描述堆芯内核材料的使用情况即中子在堆芯内产生率高出吸收率的程度。几何曲率描述堆芯的几何尺寸即反映中子泄漏的程度。材料曲率等于几何曲率说明当多余的中子产生率正好被泄漏率抵消时，系统正好处于临界状态。在一般情况下，对于给定尺寸和材料的反应堆，其几何曲率不一定等于它的材料曲率。若这时k1,反应堆处于超临界，若反应堆处于次临界状态。,反应堆临界计算问题可以归纳为下面两个问题第一类问题给定反应堆材料成分，确定它的临界尺寸。第二类问题给定反应堆的形状及尺寸，确定临界时反应堆的材料成分。在具体计算中，有时不仅反应堆材料成分而且几何尺寸已给定，需要确定堆芯的有效增值因子或反应性。或通常称为反应性。对于临界反应堆，0；若0，超临界；0，反应堆处于次临界。||表示反应堆偏离临界状态的程度。,,,4.1.5单群理论的修正,单群是一种非常近似的方法。对于热中子反应堆，直接应用（4-17）或（4-44）进行计算将有比较大误差。用M2L2来替换式中的L2，可以改善计算结果。这样临界条件和材料曲率可以改写为这就是热中子反应堆的修正单群理论。,修正单群理论能改善计算结果,从物理上可以做如下解释单群理论中将堆芯中的中子按热中子对待,没有考虑慢化过程中中子的泄漏。反应堆内，实际上裂变中子在慢化成热中子以前已移动了距离τ，与中子由裂变产生到被吸收所穿行距离的均方值有关，所以用徙动面积代替L2,便可以初步地考虑慢化过程对泄漏的影响，进而，改善计算的精度。以后，提到单群理论时，我们一般是指修正的单群理论公式。,,4.2有反射层反应堆的单群扩散理论,4.2.1反射层的作用实际的反应堆都有不同厚度的反射层，包围在反应堆芯部外面用以反射从芯部泄漏出来的中子材料称为反射层。反射层的作用为减少芯部中子的泄漏，从而减小芯部的临界体积和质量，节省一部分核燃料。提高反应堆的平均输出功率，这是由于反射层的存在，芯部中子通量密度分布比裸堆的中子通量密度分布更加平坦。,反射层材料的选择反射层材料散射截面要大，有利于逃出芯部的中子反射回来。反射层材料吸收截面要小，减少对中子的吸收。良好的慢化能力，以便有返回堆芯的中子具有较低能量。良好的慢化材料通常也是良好的反射层材料热中子堆常用的反射层材料有H2O,D2O,石墨等。,4.2.2一侧带有反射层的反应堆,有反射层的反应堆是多区问题，不同区材料不同，扩散方程也不同。用角标“c”及“r”表示芯部及反射层的参数。芯部稳态单群扩散方程当反应堆处于稳态（临界），由（4-2）得到芯部中子扩散方程为该方程只有对于临界系统才成立。对于任意给定材料成分及几何形状与尺寸的反应堆系统，它不一定处于稳态。引入一个特征参数k来进行调整使其达到临界。,,,方程可以改写为L2c为芯部的扩散长度。可以证明k就是系统的有效增殖因数keff。从上式中求解k并积分，注意到这就是单位时间里从堆芯表面泄漏出去的中子数。,,,,,反射层的稳态单群扩散方程反射层里没有增殖材料，由3-47反射层的扩散方程为Lr为反射层的扩散长度。边界条件为在芯部或反射层的交界面上在芯部或反射层的外推边界上中子通量密度为零,,,,,1.带反射层的球形堆考虑一个芯部半径为R，带厚度为T的反射层的球形堆。根据芯部中子通量为有限值的条件，芯部方程的解为反射层方程解根据反射层外推边界rRT处中子通量密度为零，有所以反射层方程解变为两个解中的常数A和C可以由芯部和反射层的边界条件确定。,,,,,,以上两式相除得出带反射层球形反应堆单群临界方程它给出了反应堆的几何尺寸（R,T）,与材料特性Lr,Dr,Dc等之间临界时所满足的关系。它与裸堆（4-46）意义一样。给出了临界时材料曲率与几何曲率的关系当堆芯材料、反射层材料尺寸已经确定时，用此公式计算临界尺寸。当堆芯尺寸、反射层材料尺寸已经确定时，用它来计算达到临界所需的堆芯材料成分。,,图中给出了单群扩散理论计算得到的裸堆及带反射层的反应堆中子通量密度分布,裸堆与带有反射层反应堆的中子通量密度分布1裸堆；2有反射层的反应堆,1.侧面带由反射层的圆柱形堆半径R圆柱形堆，高度H，侧面反射层厚度为T。原点取在圆柱体轴线中点。芯部和反射层的扩散方程为边界条件为,,,侧面带反射层的圆柱体反应堆,用分离变量法解方程，令代入得由边界条件（1）解（4-69）可得方程（4-70）满足原点处中子通量密度为有限值的条件,,,,,现求解反射层的扩散方程，令可得最后可以解得径向方程满足上式为修正贝塞尔方程，其解为利用rRTR1处中子通量密度为零的边界条件，可得,,,,,,,代入上式可得同样方法可以求出上、下带反射层的圆柱形反应堆和一侧带有反射层的长方体反应堆临界方程。,,,,4.2.3反射层的节省,芯部周围有反射层以后，部分泄露出芯部的中子在反射层内被散射而返回芯部，减少了中子损失，提高了中子的不泄露率。因此在芯部材料性质相同情况下，临界体积就要比裸堆的临界体积小。反射层节省芯部加上反射层所引起的临界尺寸的减少量通常可以用反射层节省表示。球形反应堆圆柱形反应堆通常用径向和轴向的反射层节省来表示,,,反射层对反应堆临界尺寸大小的影响可以用反射层节省表示.,可以把有反射层反应堆的几何曲率用芯部外形尺寸增大2或的等效裸堆的几何曲率来表示。带反射层球形堆圆柱形反应堆Reff、Heff称为圆柱形反应堆等效半径、等效高度。,,,等效裸堆示意图,,反射层节省与那些因数有关以球形堆芯为例,在DcDr情况下带反射层的球形堆临界方程为设反射层节省为,用代入上式很小时，可得,,,,,,,当反射层厚度大到一定值后,反射层节省为就达到一个常数,与反射层的厚度无关。这时再增加反射层的厚度,也不会使反射层的节省增加,因而过大增加反射层厚度是没有太大意义。,,,4.3中子通量密度分布不均匀系数和功率分布展平的概念,反应堆内的中子通量密度空间分布是不均匀的，而功率密度和中子通量密度成正比，中子通量密度空间分布的不均匀性将直接影响反应堆运行的经济性和安全性，因此在反应堆设计中需降低堆芯功率分布的不均匀性。,裸堆与带有反射层反应堆的中子通量密度分布1裸堆；2有反射层的反应堆,热中子通量密度不均匀系数热中子通量密度分布不均匀系数/功率峰因子的定义芯部内热中子通量密度的最大值与热中子通量密度的平均值之比，用KH表示将通量密度分布函数代入上式并令ϕmax1，可得堆芯KH。圆柱形裸堆式中Kr为径向通量密度不均匀系数，Kz为轴向通量密度不均匀系数。,,,,,因而，KHKrKz2.31X1.573.62。同样可以求出球形裸堆和长方形裸堆的热中子通量密度不均匀系数为裸堆的中子通量密度分布是极不均匀的，主要是由于裸堆中子的泄漏造成。实际反应堆中由于由反射层和功率展平措施，热中子通量密度不均匀系数要小于裸堆，一般在1.4左右。,,功率分布展平的概念及展平措施为了提高反应堆总的功率输出，就要采取措施使堆内的功率分布变得较为平坦，这称为功率分布展平。展平功率分布采取的措施芯部分区布置可燃毒物的合理布置采用化学补偿及部分长度控制棒控制以展平轴向功率分布反射层的使用合理的安排提棒程序控制棒的合理布置,
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