电力系统的基本计算.pdf

第二篇 电力系统的基本计算 本篇进入电力系统分析课程的核心部分电力系统的基本计算。内容包括第三章电 力系统的潮流计算、第四章电力系统的故障计算、第五章电力系统的稳定计算。常称电力系 统的三大常规计算潮流、短路和稳定，尽管短路只是电力系统故障的一种。电力系统的 基本计算既有自身独立的意义，又是电力系统设计、运行和研究的理论基础，其重要性自不 待言。 第三章 电力系统的潮流计算 电压（包括幅值U和相位θ）和功率（包括有功功率P和无功功率Q）是表征电力系 统稳态运行的主要物理量。 所谓电力系统的潮流计算就是采用一定的方法确定系统中各处的 电压和功率分布（实为功率流，power flow，但电力界惯称潮流） 。电力系统的潮流计算和 一般交流电路计算的根本差别在于 后者已知和待求的是电压与电流， 而前者是电压与功率。 正是这一差别决定了二者本质上的不同描述交流电路特性的方程，如节点电压方程、回路 电流方程，是线性方程，而描述电力系统稳态运行特性的潮流方程是非线性方程。以一条阻 抗为 Z 的支路为例，描述其电路特性的方程IZU 是线性方程，其中电压U 和电流I之间 的关系是线性关系；如果已知和待求的是电压与功率，因功率与电流之间的关系为 ∗ IUS ，则描述其特性的方程成为/ ** USZIZU ，从而电压U 和功率 S 之间是 非线性关系。由此使得求解方法有了根本不同线性方程可直接采用消去法求解，而非线性 方程只能采用迭代法求解。这就是电力系统潮流问题的特点已知和待求的是电压与功率， 为非线性关系，需迭代求解。 电力系统中进行电力系统潮流计算的目的在于 确定电力系统的运行方式； 检查系统中 的各元件是否过压或过载； 为电力系统继电保护的整定提供依据； 为电力系统的稳定计算提 供初值；为电力系统规划和经济运行提供分析的基础。可见，电力系统的潮流计算是电力系 统中一项最基本的计算，其既有一定的独立的实际意义，又是研究其它问题的基础。 本章介绍利用计算机进行电力系统潮流计算的原理和方法。 利用计算机解题， 一般包括 建立数学模型、确定解算方法、制订计算流程图和编程上机等步骤。本章主要介绍前两步 潮流计算的数学模型潮流方程和潮流方程的迭代求解方法， 至于编制程序上机计算可在 上机实践环节中进行。 另附带讨论潮流计算中的有关技术， 包括潮流方程迭代求解时的初值 设定、线性方程组的求解、稀疏技术简介和网络化简。应强调提出，用计算机求解潮流时， 均采用标幺值。 第一节第一节 潮流计算的数学模型潮流方程潮流计算的数学模型潮流方程 本节从电力网络的标幺值电压方程入手， 介绍节点导纳矩阵和节点阻抗矩阵的性质、 形 成和修改方法，进而引出潮流计算的数学模型潮流方程。 一、电力网络的节点电压方程一、电力网络的节点电压方程 电力网络是一种电路，因而求解电路的方法，如回路电流法、节点电压法和割集法等， 原则上均可用于电力网络。但实际中割集法几乎不用于电力系统，回路电流法用得也很少， 广泛应用的是节点电压法，所以此处仅介绍节点电压法。 节点电压方程形如 BBB UYI （31） 式中，下标B代表节点，是英文单词 bus 的第一个字母，因在电力系统中常以发电厂和变电 所的母线（bus）作为节点； IB为节点注入电流列向量，注入电流有正有负，注入网络的电流为正，流出网络的电 流为负。根据这一规定，电源节点的注入电流为正，负荷节点为负，既无电源又无负荷的联 络节点为零，带有地方负荷的电源节点为二者之代数和； UB为节点电压列向量，由于节点电压是相对于参考节点而言的，因而需先选定参考 节点。 在电力系统中一般以地为参考节点， 如整个网络无接地支路， 则需选某一节点为参考。 设网络中节点数为 n（不含参考节点） ，则 IB 、UB 均为1n 列向量； YB为 nn 阶节点导纳矩阵。 节点电压方程可写成另一形式 BBBBB IZIYU −1 （32） 式中， 1− BB YZ称为节点阻抗矩阵。注意上式与回路电流方程 LLL IZU 是本质完全 不同的两类方程，不应混淆。从而节点阻抗矩阵 YB和回路阻抗矩阵 ZL也有本质的不同。 二、节点导纳矩阵二、节点导纳矩阵 YB 节点导纳矩阵 YB是nn 方阵，其对角元 ii Y（ni,, 1L）称为自导纳，非对角元 ij Y （i1，，n ，ji≠ ）称为互导纳。下面介绍节点导纳矩阵各元素的含义、性质及其 形成和修改方法。 1. 节点导纳矩阵各元素的意义和性质 将节点电压方程 BBB UYI 展开为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nnnn n n n YYY YYY YYY I I I L MM L L M 21 22221 11211 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n U U U M 2 1 （33） 可见 0 / j U iiii UIY nji,, 1,L ；ji≠ （34） 表明，自导纳 Yii在数值上等于仅在节点i 施加单位电压而其余节点电压均为零（即其余节 点全部接地）时，经节点i注入网络的电流。其显然等于与节点i直接相连的所有支路的导 纳之和。注意不直接相连支路的导纳不应包括在内。 同时可见 0 / i U jiij UIY nji,, 1,L ；ij ≠ （35） 表明，互导纳 ij Y在数值上等于仅在节点j施加单位电压而其余节点电压均为零（即接地） 时，经节点 i 注入网络的电流。其显然等于（ ij y−） ，即 ij Y ij y−。 ij y为支路 ij的导纳， 负号表示该电流流出网络。如节点ij之间无支路直接相连，则该电流为 0，从而 ij Y 0。 注意字母 y 几种不同写法的不同意义粗体黑字 Y 代表导纳矩阵，大写字母 ij Y代表矩 阵 YB中的第i行第j列元素，即节点i和节点j之间的互导纳，小写字母 ij y代表ij支路的 导纳，等于支路阻抗的倒数， ij y ij z/1。 根据以上定义，可以容易地直接形成节点导纳矩阵，下面用一简单实例说明之。 【例例 3-1】 形成如图 31 所示系统的节点导纳矩阵。该系统是一个由三条输电线组成的环形网络，输电 线用π形等值电路表示。设三条线路参数的标幺值均相同1 . 0jzL，02. 0jyL。求系统的节点导 纳矩阵。 解解选地为参考节点。以节点 1 为例说明自导纳 ii Y 的形成。和节点 1 直接相连的支路有支路 12 的阻 抗支路 L z，支路 13 的阻抗支路 L z以及和节点 1 直 接相连的两条并联导纳支路2 L y。 将 L z表为导纳，从而 98.1901. 001. 01 . 011 . 01 11 jjjjjY− 图 31 例 31 网络图 以节点 1 与节点 2 之间的互导纳 12 Y为例说明互导纳的形成。1、2 节点间有直接支路，其导纳为 L z1， 故 101 1212 jzyY L −− 照此办理，得到此系统的节点导纳矩阵 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 98.191010 1098.1910 101098.19 jjj jjj jjj YB 节点导纳矩阵具有如下性质 ① YB为对称阵， ijji YY 。如网络中有含源元件，如移相变压器，则对称性不再成立。 ② 对无接地支路的节点，其所在行与列的元素之和均为零，即 ∑ ∑ ji jiij YY0, 0； 对有接地支路的节点，其所在行与列的元素之和等于该点接地支路的导纳。利用这一性质， 可以检验所形成节点导纳矩阵的正确性。 ③ YB具有强对角性对角元的值不小于同一行或同一列中的任一元素。 以上三点性质可在上例中得到验证。 ④ YB为稀疏阵，因节点i、j之间无支路直接相连时 ij Y0，这种情况在实际电力系统 中非常普遍。矩阵的稀疏性用稀疏度表示，其定义为矩阵中的零元素数与全部元素数之比， 即 2 nZS （36） 式中，Z为 B Y中的零元素数，S随节点数 n 的增加而增加n为 50 时，S可达 92；n为 100 时，S达 96； n为 500 时，S达 99。充分利用节点导纳矩阵的稀疏特性可节省计 算机内存，加快计算速度，这种技巧称为稀疏技术。 节点导纳矩阵 YB的形成除了上述的直接方法外，还可利用支路节点关联矩阵得到。 此处不再介绍，有兴趣者可参阅有关文献。 2、节点导纳矩阵的修改方法 电力系统的结线方式经常发生变化， 从而节点导纳矩阵也随之发生变化。 人们经过实践 发现，系统结线情况变化后，不必完全重新形成节点导纳矩阵，而只需在原节点导纳矩阵的 基础上稍作修改即可。这样可大大减少重复工作量。下面就介绍这类修改方法。 电力系统结线方式情况的变化分为两大类 一类是新增一条支路， 如新建一条输电线给 一个新负荷供电；另一类是原有网络某条支路的情况发生变化，如投入、退出一条支路或支 路的参数发生变化。对应于这两类变化，节点导纳矩阵的修改方法亦分为两大类 第一类 从原网络节点i引出一新的支路， 同时增加一个新的节点 （编为第 n1 节点） 。 此时节点导纳矩阵将增加一阶，从nn阶变为 1 1nn阶。由于节点n1 只有这条 支路和节点i相连，从而增加的对角元为 yY nn 1, 1 （y为新增支路的导纳） ，增加的非对 角元除yYY inni − , 11, 外其余元素均为 0，同时原来的对角元 ii Y变为yYii，即 i ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ M LK M ii Y i i⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − yy yyYii 00 0 01 M M LL M nn 1 1−−nn 上述修改方法由对角元和非对角元的定义直接得来。 第二类原网络i、j支路的参数发生变化。此时节点导纳矩阵 YB的阶数不变，仅需对 其中的四个元素 ii Y、 ij Y、 ji Y 和 jj Y进行修正，即 j i j i YY YY ji jjji ijii ⇒ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ MM LLL M LLL MM ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′′ ′′ MM LLL MM LLL MM jjji ijii YY YY ji 式中 ii Y′ ii Y ij yΔ， jj Y′ jj Y ij yΔ， ij Y′ ij Y ij yΔ−， ji Y′ ji Y ij yΔ−， ij yΔ为 ij支路导纳 的变化量。 当 ij yΔ 0− ij y时表示该支路投入运行； 当 ij yΔ ij y−0时表示该支路退出运行； 当 ij yΔ ijij yy−′时表示其支路参数发生变化，由原来的 ij y 变为 ij y′，如双回路输电线运行 变单回线运行或反之。 如某一变压器的变比由k改变为 k′ ， 则由标准情况下变压器π型等值电路 （见图 32， 其由图 232 得来，各支路参数表为导纳， TT ZY1，注意其不是变压器导纳支路的导纳 TT jBG −） ，得到 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −′ΔΔ −′Δ Δ Tjiij Tjj ii Ykkyy Ykky y 22 0 （37） 图中节点i对应于变压器原方，j对应于副方。 （三）节点阻抗矩阵 B Z 节点阻抗矩阵 B Z也是nn方阵，其对角元 ii Z（ni,, 1L）称为节点自阻抗，非对角元 ij Z （jinji≠,,, 1,L）称为节点i和节点j之间的互 阻抗。将 BBB IZU展开为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nnnn n n n ZZZ ZZZ ZZZ U U U L MM L L M 21 22221 11211 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ n I I I M 2 1 （38） 可见 0 j I iiii IUZ jinji≠,,, 1,L （39） 表明， 自阻抗在数值上等于仅在节点i注入单位电流而其余节点均不注入电流 （电源均开路） 时节点i的电压。 同时可见 图 32 变压器π型等值 电路的导纳形式 0 i I jiii IUZ jinji≠,,, 1,L （310） 表明，互阻抗在数值上等于仅在节点j注入单位电流而其余节点均不注入电流时节点i的电 压。 节点阻抗矩阵 B Z在网络中无含源元件时也是对称阵，但与稀疏的节点导纳矩阵 B Y 不同， B Z是满阵。其原因在于当在某节点注入电流时网络的所有节点上均会感受到电压； 或者从数学上看， 稀疏矩阵的逆阵不再是稀疏阵。 与节点导纳矩阵不同的另一点是， ii Y、 ij Y 均由具体支路的导纳组成，而 ii Z、 ij Z无具体支路阻抗相对应。 形成节点阻抗矩阵的方法也有两类一类是求逆法，即由定义 1− BB YZ，对已形成 的节点导纳矩阵求取逆阵； 另一类是根据自阻抗和互阻抗的定义直接一步步形成阻抗矩阵的 方法，称为支路追加法。利用支路追加法还可方便地对节点阻抗矩阵进行修改。关于这方面 的内容不再详叙，有兴趣者可参阅文献[1]。 四、潮流方程四、潮流方程 前已提出， 由于电力系统已知和待求的不是电流而是功率 （原因是 对庞大的交流系统， 电流相位的测定十分困难；而功率的测量十分方便，可由有功功率表和无功功率表得到） ， 故将节点电压方程中的电流代之以功率， ** /USI ，得到 YUUS ** / （311） 即 ∑ j jij iiUYUS ** （312） 或 ∑ − j jij i ii UYUjQP * ni,, 1L （313） 式中 ∑∑ n jj1 ，下同。 式（312）就是电力系统潮流计算的数学模型潮流方程。它具有如下特点 ① 它是一组代数方程，因而表征的是电力系统的稳态运行特性； ② 它是一组非线性方程，因而只能用迭代方法求其数值解； ③ 由于方程中的电压U 和导纳Y既可表为直角坐标，又可表为极坐标，因而潮流方程 有多种表达形式极坐标形式、直角坐标形式和混合坐标形式。 取 iii UUθ∠ ， ijijij yYβ∠，得到潮流方程的极坐标形式 jj j ijiiii UYUjQPθθ∠∠− ∑ （314） 取 iii jfeU ， ijijij jBGY ，得到潮流方程的直角坐标形式 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −− − ∑∑ ∑∑ j jijjiji j jijjijii jj jijjijijijjijii eBfGefBeGfQ eBfGffBeGeP （315） 取 iii UUθ∠ ， ijijij jBGY得到潮流方程的混合坐标形式 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ∑ ∑ j ijijijijjii j ijijijijjii BGUUQ BGUUP θθ θθ cossin sincos （316） 式中 jiij θθθ− 。 不同坐标形式的潮流方程适用于不同的迭代解法 例如， 利用牛顿拉夫逊迭代法求 解时，以直角坐标和混合坐标形式的潮流方程为方便；而 P-Q 解耦法是在混合坐标形式的 基础上发展而成，故当然采用混合坐标形式。实际中真正极坐标形式的潮流方程用得很少， 因而常将式（316）称为极坐标形式。 ④ 它是一组n个复数方程， 因而实数方程数为 2n， 但方程中共含 4n个变量 i P、 i Q、 i U和 i θ ， ni,, 1L ，故必须预先指定 2n个变量才能求解。为将 2n个变量定为已知量， 根据电力系统的实际情况，对每个节点指定两个变量，余下两个变量待求。通常将节点分为 三种类型PQ 节点、PV 节点和θV节点。下面分别对这三类节点加以说明。 PQ 节点 对这类节点指定P和Q ，U和θ 待求。 电力系统中绝大多数节点均属此类， 如变电所母线节点，其无电源功率，负荷功率又已知，故该节点的节点注入功率 DiDii jQPS−− 已知；又如一些按指定有功和无功功率发电的电厂，其 Gi P 、 Gi Q指定， 所带机端负荷也已知，从而节点的注入功率 DiGiDiGii QQjPPS−− 已知。 PV节点对这类节点指定P 和U，Q 和 θ待求。电力系统中此类节点属少数， 个别小系统甚至没有。 设置PV 节点是为了控制该点的电压为一定值从而保证系统的电压质 量。为了控制电压必须要有一定的无功功率可供调节（其机理将在第七章阐述） ，故这类节 点是有一定无功储备的发电厂和装有无功电源（电容器、调相机或静止无功补偿器）的变电 所。这类节点也称为电压控制节点。 θV节点 、 对这类节点指定U和θ ， 其有功功率P和无功功率Q由保证全系统功率平 衡的条件确定，因而又称平衡节点。一般取其 o 0θ。电力系统潮流计算中必须有而且只有 一个θV节点，负责系统频率调整的主调频厂基本上起着平衡节点的作用。 这三类节点各有不同的特点， 在潮流方程的求解过程中有不同的处理方法， 希引起注意。 此外，由于电力系统在运行中必须满足一定的技术经济要求，如电压必须在允许范围内 mini U≤ i U ≤ maxi U；各电源的功率必须在其所能发出的功率范围内 minGi P≤ Gi P≤ maxGi P， minGi Q≤ Gi Q ≤ maxGi Q；某些节点电压间的相位差应在一定的范围内以满足 系统运行稳定性的要求（其机理将在第五章阐述） ij θ max ij θ。这些便构成了潮流方程的 约束条件。 所以电力系统的潮流计算归结为求解一组非线性方程潮流方程， 并满足一定 的约束条件。 应指出，上述的节点分类方法并非唯一，还可有其它的分类方法。原则上讲，只要指定 的变量总数为 2n且实际中有意义的方案均属可行，如P节点（只给定P） 、U节点（均不 给定） 、PQθV节点（均给定）等。 第二节第二节 潮流方程的迭代求解 潮流方程是非线性方程，求解非线性方程的基本方法是迭代。有多种迭代算法高斯迭 代、牛顿拉夫逊迭代等。高斯（Gauss）迭代是最简单的一类迭代。在电力系统潮流计 算中，牛顿拉夫逊迭代（Newton-Raphson 迭代，简记为 N-R 迭代）是占主导地位的有 效方法， 在其基础上结合电力系统的实际特点进行简化而成的 P-Q 解耦迭代 （简记为 P-Q 迭 代）得到了广泛应用。下面分别予以介绍。 一、潮流方程的一、潮流方程的 N-R 迭代迭代 先介绍一维情况下的 N-R 迭代，进而介绍n维情况下的 N-R 迭代，然后将其用于潮流 方程的求解。 1． 一维情况下的 N-R 迭代 设非线性方程 0xf，x为满足该方程的真解，其与所设初值 0 x 的差记为xΔ， 0 xxx−Δ。如xΔ求出，则 xxxΔ 0 。 将0 0 Δxxfxf在 0 x处展为台劳级数 0000 xfxxfxfxxf′ ′Δ′Δ 2 2 xΔ （317） 如初值选择得当，xΔ很小，则上式中的二次及以上高次项可略去，得到近似式 0 00 Δ′xxfxf （318） 称为 N-R 迭代的修正方程式，由其可得到修正量 0 xΔ 00 / xfxf− （319） 注意到此时得到的 0 xΔ并不是真正需要的xΔ（因忽略了高次项） ，故 100 xxxΔ 并不是真解x，只是向真解逼近了一步的改进值。 以 1 x作为新的初值代入修正方程 0 Δ kkk xxfxf L1 , 0k （320） 得到 1 xΔ，于是 112 xxxΔ ，照此办理，当 k xΔ→0 时便有 0→ k xf，从而 k x 即为所求解。故 N-R 迭代的收敛判据为 k xΔε或 k xfε。 N-R 迭代的核心是将非线性方程式的求解转换成相应线性修正方程式的多次求解。 其迭 代过程如图 33 所示。从直观上可见，N-R 迭代的收敛速度比 Gauss 迭代快，是一种滑梯 式逼近过程。 由于推导修正方程的前提是 0 x选择得当使xΔ较小， 故 N-R 迭代对初值要求 较严，否则会不收敛。因而有时将 G-R 迭代和 N-R 迭代结合起来，利用前者得到较好的初 值，然后转用 N-R 迭代加快收敛，能取得较好的效果。 2 x 1 x 0 x x xf xf Δ −′ 0 0 图 33 NR 迭代 【例 3-2】 利用 N-R 迭代计算非线性方程078 2 − xx的解。 解 此时82 −xxf，N-R 迭代公式为 []82/78 2 1 − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −− kkkkk xxxxx L2 , 1 , 0k 仍设初值为 0 x3，得到 1 x-1， 2 x0.6， 3 x0.9765， 4 x0.9999084 。四次迭代后 5 105 . 5 − xf ，收敛 速度确实比较快。 2．n维情况下的 N-R 迭代 对n维非线性方程组 0XF，其修正方程为 XFXF 0ΔX （321） 式中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ n nnn n n x f x f x f x f x f x f x f x f x f XF 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 L MMM L L XJ 称为雅可比矩阵。迭代公式为 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ Δ Δ kkk kkk XXX XXJXF 1 0 L2 , 1 , 0k （322） 收敛判据为{ } k i xfmaxε 。 修正方程的求解常采用高斯消去法。 3．潮流方程的 N-R 迭代求解 前已提及，利用 N-R 迭代求解潮流方程时，常采用直角坐标或混合坐标形式。此处仅 介绍混合坐标形式（一般文献称其为极坐标形式） ，因下面将要介绍的另一种迭代方法 PQ 解耦迭代就是在其基础上结合电力系统的实际特点经过简化而得到。直角坐标形式潮 流方程的求解原理和步骤与混合坐标形式基本相似，读者可自行推导之。 将混合坐标形式的潮流方程（式（316） ）表为0xf的形式，得到 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ′−−−Δ ′−−Δ ∑ ∑ j iiijijijijjiii i j iijijijijjiii QQBGUUQQ PPBGUUPP 0cossin 0sincos θθ θθ （323） 上式的含义是求一组节点电压 ii Uθ∠，使得由节点电压求得的功率 i P′、 i Q′与指定的 节点注入功率 i P 、 i Q相等，或者说，使失配功率（mismatch power）PΔ、QΔ满足给定 的精度要求ε。 此时三类节点的处理方法为对θV 节点，因其电压已给定，仍不参与迭代；对PQ节 点，因其P和Q指定，U和θ待求，故既有有功失配功率，也有无功失配功率，即每一个 PQ节点有两个迭代方程，并需设定电压的初值 0 i U和 0 i θ，mi,, 1L； 对PV节点，因其 P和U指定，Q和θ待求，故仅有 i PΔ一个迭代方程，并需设定无功功率初值 0 i Q 和电压 相位初值 0 i θ，1, 1−nmiL。每次迭代后，对 PV 节点，令 k ii k i UUθ∠ ，计算无功 功 率 ijijijij j ji k i BGUUQθθcossin− ∑ ， 检 验 其 是 否 满 足 约 束 条 件 mini Q≤ i Q≤ maxi Q 如不满足， “越限代限” ，意思是“越过下限时代之以下限，越过上限 时代之以上限” ，此时PV 节点便转换成PQ 节点，转入下一次迭代。 综上可知，利用 N-R 迭代求解混合坐标形式的潮流方程时共有（1−n）个有功失配功 率方程（1,, 1−niL）和m个无功失配功率方程（mi,, 1L） ，方程总数为（1−mn） ， 未知量有（1−n）个电压相角 i θ（1,, 1−niL）和m个电压幅值 i U（mi,, 1L） ，总数 为（1− mn） ，方程数与未知量数相等，方程有定解。 此时的迭代方程为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ∂ Δ∂ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ Δ − − −− − −− − − m mm n mm mn m nn n nn mn m n U Q U QQQ U Q U QQQ U P U PPP U P U PPP Q Q P P LL MMMM LL LL MMMM LL M M KKK 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 θθ θθ θθ θθ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ Δ − m n U U M M KKK 1 1 1 θ θ 0 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ Δ Δ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − k m k k n k k m k k n k k m k k n k U U U U U U M M M M M M KKKKKKKK 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ L2 , 1 , 0k （324） 简记为 0 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ ULK NH Q Pθ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ k k k k k k UUU θθθ 1 1 L2 , 1 , 0k （325） 收敛判据为 {} ii QP ΔΔ,max ε。 式中的雅可比矩阵为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ LK NH J ，其中H为（1−n）1− n 矩阵，其各元素的表达 式为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −− ∂ Δ∂ ′− ∂ Δ∂ ∑ ≠ ijijijijji j i ij i ij iiiijijijijji i i ii BGUU P H QBUBGUU P H θθ θ θθ θ cossin cossin 2 （326） 式中 i Q′ 的定义见式（323） ，为由节点电压求得的无功，此处应用它是因在计算失配功率 i QΔ时已算出，直接引用可节省工作量；N为（1−n）m矩阵，其各元素的表达式为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − ∂ Δ∂ ′−−−− ∂ Δ∂ ∑ ≠ ijijijiji j i ij ii ij iiiijijijijjiii i i ii BGU U P N UPGUBGUGU U P N θθ θθ sincos /sincos2 （327） 式中 i P′ 的定义见式（323） ，为由节点电压求得的有功功率；K为m1− n矩阵，其各 元素为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ Δ∂ ′−− ∂ Δ∂ ∑ ≠ ijijijijji j i ij i ij iiiijijijijji i i ii BGUU Q K PGUBGUU Q K θθ θ θθ θ sincos sincos 2 （328） L为mm 阶 矩阵，各元素为 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −− ∂ Δ∂ ′−−− ∂ Δ∂ ∑ ≠ ijijijiji j i ij ii ij iiiiiiijijijijj i i ii BGU U Q L UQBUBUBGU U Q L θθ θθ cossin /2cossin （329） 观察上述各元素表达式发现H、N、L、KH、N、L、K的非对角元 ij H、 ij N、 ij K、 ij L的表达式均 只有一项，且均含 ij G、 ij B 。可以想见，如节点i和j间无支路直接连接，则 ij G、 ij B为 0，从而对应的 ij H、 ij N、 ij K和 ij L 均为 0 。所以雅可比矩阵J是稀疏阵。利用稀疏技术 可以节省计算机内存及提高计算速度。同时，J J具有强对角性，但不对称。 由于J J阵中的元素随θ 和U而改变， 因而利用 N-R 迭代求解潮流方程时每次均需形成 J J阵，每次要解修正方程，因而运算量大，但其收敛速度快，一般迭代 57 次便可得到满 意的精度。且迭代次数不随节点数n明显增加。 利用 N-R 迭代求解潮流的计算流程示于图 34。 图 34 N-R 潮流迭代框图 【例例 33】 利用 N-R 迭代求解【例 28】系统的潮流，设发电机 G1 的端电压为 1 p. u.，发出的有功、 无功可调；发电机 G2 的端电压为 1 p.u ，按指定的有功 5 . 0P p.u 发电，取 4 10−ε。 节 点 编 号 输入原始数据 形成节点导纳矩阵 YB 设定初值，k0 计算失配功率 ΔPi 、ΔQi {} ii QP ΔΔ,maxε。 第六步，形成雅可比矩阵（阶数为 77 ） ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −−− − −− −− − 3882.280000.151743. 90000. 07523. 70000. 57523. 2 0000.156418.303879.110000. 00000. 55587. 85587. 3 1743. 93879.112422.200000. 07523. 25587 . 3 3110. 6 0000. 00000. 00000. 09889. 40000. 09889. 40000. 0 7523. 70000. 57523. 20000. 01632.290000.151743. 9 0000. 55587. 35587. 39889. 40000.153768.313879.11 7523. 25587. 33110. 60000. 01743. 93879.115622.20 0 M M M LLLLLLLL M M M M J 第七步，解修正方程得到 o 484819. 7 0 1 −Δθ, o 840433. 5 0 2 −Δθ； o 575785. 5 0 3 −Δθ, o 0981331. 0 0 4 −Δθ； 003449. 0 0 1 ΔU， 028523. 0 0 2 ΔU， 033880. 0 0 3 ΔU。 从而 o 484819. 7 0 1 0 1 1 1 −Δθθθ， o 840433. 5 0 2 0 2 1 2 −Δθθθ ； o 575785. 5 0 3 0 3 1 3 −Δθθθ， o 0981331. 0 0 4 0 4 1 4 −Δθθθ； 003449. 1 0 1 0 1 1 1 ΔUUU， 028523. 1 0 2 0 2 1 2 ΔUUU， 03388. 1 0 3 0 3 1 3 ΔUUU。 然后转入下一次迭代。经三次迭代后，{} ii QP ΔΔ,maxε＝10 －4 。迭代过程中失配功率的 变化情况列于表 31，节点电压的变化情况列于表 32。 表 31 迭代过程中失配功率变化情况 k 0 1 2 3 ΔP1 ΔP2 ΔP3 ΔP4 ΔQ1 ΔQ2 ΔQ3 -0.8055 -0.18 0 0.5 -3.3720 0.2475 0.3875 1.9322╳10 -2 4.0048╳10 -3 -5.5076╳10 -3