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文章编号 10045589 2007 03029806 变异函数在异常空间插值中的应用 程勖1,杨毅恒2,丁建华3,李楠4 11 吉林大学 综合信息矿产预测研究所,长春130026 ; 21 北京信息科技大学,北京100085 ; 31 中国地质科学院矿产资源研究所,北京100037 ; 41 中国地质大学信息工程学院,北京100083 摘要针对数据空间架构中异常点对地质数据解译过程的干扰,以协方差数学理论为基础,提出界定 空间数据分布方法 变异函数。着重阐述变异函数的求取过程,对新疆贝克滩水系沉积物化探数据处 理,预测误差均值为01103 2、平均预测标准差为21112、标准均方根预测误差为01984 1。预测值与 样品实测值误差较小,界定的空间数据分布与实际矿床点分布吻合较好。 关键词变异函数;异常空间;异常点 中图分类号 P62217 文献标识码 A 收稿日期 2006211206 ;改回日期 2007205229 Application of variogram in interplation of abnormal space CHENG Xu1, YANG Yi2heng2, DINGJian2hua3, LI Nan4 1.Institute of Mineral Resources A ppraisal of Synthetic Ination , Jilin University , Changchun 130026 , China; 2. Beijing Ination Science 3.Institute of Mineral Resources , CA GS , Beijing 100037 , China; 4.School of Ination Engineering , China University of Geosciences , Beijing 100083 , China Abstract Aiming at solving the interfere of abnormal data during geologic data interpretation in data space construction based on covariance mathematic theory , the authors put forward a to define space data dis2 tributionvariogram , and discussed its seeking procedure. By disposing geochemical data of stream sediment in Beike beach of Xinjiang , the mean value of prediction error is 01103 2 ; average standard deviation is 21112 ; standard mean2square deviation is 01984 1. It is little in error between the predicted value and measured values of the samples. The defined spatial data and the existing deposit ore spot are matched well in distributions. Key words variogram; aingularity space ; abnormal point 0 引言 在地质学中,常用点源数据形成连续变化的曲 面来表达某种场的变化,从而达到识别矿床的异常 并进行矿产预测的目的。经典统计方法技术在矿产 资源评价中迅速发展。在统计样品值的频率和做频 率直方图时均不考虑各样品的空间分布。在地质勘 查工作中,明确数据空间分布非常重要。经典概率 统计学的研究对象必须是纯随机变量,每次抽取样 品必须是独立进行的,而地质勘查中所遇到的许多 地质变量并不是纯随机变量,是即有随机性又有结 构性,且地质变量在两个邻样品中的值往往有某种 程度的空间相关性。在数据预处理过程中,需要有 效地显示异常点分布特征。变异函数计算出相关的 数据需求参数,展现了空间变量的异常特征,突出 异常的局部变化性和空间结构信息。 变异函数求取受很多因素的影响,如数据的采 样方式、均值变化、井的分层、坐标、模型的方法 第26卷 第3期 2007年9月 世 界 地 质 GLOBAL GEOLOGY Vol126 No13 Sep12007 和参与计算井的数量等。如何准确求取研究区的变 异函数是随机模拟过程中面临的难题。具有非列线 不等间距特性的数据架构,利用几何各向异性的异 向比,构造球状模型套合实验变异函数,能较好地 解决求取变异函数的问题。 1 变异函数的分析 变异函数反映数据总体的空间变化特征。它既 能描述区域化变量的结构特征,又能描述其随机性 变化特征。变异函数是计算区域化变量的核心。 111 变异函数的性质 为了反映Z x与Z x h之间的差异性,采 用变异函数 1/2Var[ Z x h - Z x ] 1/2E[ Z x h -Z x ]2-1/2{ E[ Z x h -Z x ]} 2 1 本文引进二阶平稳假设[1]。 1在研究区域内, RFZ x增量的数学期望 为0,即有 E[ Z x h -Z x ] 0; Πx , x h∈ G 2在研究区域内,前边定义的变异函数存在 且平稳,既与x无关,仅为h的函数 R h 1/2Var[ Z x h -Z x ] 1/2E[ Z x h -Z x ]2; 在二阶平稳的条件下,变异函数可视为区域化 变量增量的方差,因此,它具有性质 1 R h 0 h 0 ; 2 R h R -h ; 3 R h 0 因为方差永远大于或等于0 [2]; 4当h增大时, E{ [ Z x -Z x h ]2}通 常也增大,因此, R h是一个增函数[3]; 5 [- R h ]必须是条件负定函数,即由- R h构成的矩阵必须是条件非负定矩阵 ,或者说, 若条件∑λi0成立,则矩阵[ -R h ]为非负定 矩阵[4]。 112 变异函数的参数设定 变异函数有4个非常重要的参数,即基台值 sill、变程range、块金值nugget和分维数 Fractal Dimension。变异函数的形状反映了自然 现象的空间分布结构或空间相关类型,同时还能给 出这种空间相关的范围。前三个参数可以通过图1 得到。滞后距h 0时,变异函数R h C0,该值 称为块金值或块金方差,表示区域化变量在小于抽 样尺度时的非连续变异,由区域化变量的属性或测 量误差决定;变异函数R h随着滞后距h的增大, 从非零值趋向于一个相对稳定的常数,该常数称为 基台值 C 0 C ,表示系统或系统属性中的最大变 异;变异函数R h达到基台值时的间距a称为变 程,表示滞后距超过变程时,区域化变量 Z x 的空 间相关性消失;分维数d由变异函数R h和间距h 之间的关系确定2R h h 4-2 d ,它是一个无量 纲数[5],分维数d的大小,表示变异函数曲线的曲 率,可以作为随机变异的量度。 113 实验变异函数的计算 在实际工作中,采样数据点的分布多数是不规 则的。 对于分布不规则的观测点即非线性又不等 间距的数据构型 , 计算实验变异函数可以分两步进 行 1先将数据组合成角度组,设a方向的角度 容许误差是da。 也就是说在[ ada]内的数据都可 以看成沿a方向分布的数据。 一般取da为两相邻方 向夹角的1/4。 最大不能超过两相邻方向夹角的一 半。 2将数据点按距离[ kh ε h ] k为常数, ε h为容许误差组合成距离组。 这样,凡是落在角 度范围[ ada]及距离范围[ kh ε h ] 内的数据 点都可以认为是X0点在a方向上的相距为kh的数 据点。 在二维或三维空间中运用变异函数来分析 空间采样点对的构型,是以一维变异函数为基础的, 其不同之处在于,二维或三维空间中要考虑各向 同性或各向异性和结构的套合。 在二维空间的研 究区作各方向的变异函数图,如果这些变异函数图 差异很大,则认为该研究区内区域化变量Z X在 平面上的分布是各向异性的,需要对其进行适当套 合,转变成各向同性结构。 如果区域化变量是各向同 性的,则可以不考虑方向,只考虑间距h来计算 R 3 h。 式2可用来表示各个不同方向上的各向 同性的变差函数 R 3 h R 3 | h | R 3 sqrt h 2 x h2y 2 992第3期 程勖 杨毅恒等变异函数在异常空间插值中的应用 根据观测点u1,⋯, un的分布情况,分别使用规 则网数据计算变异函数和不规则网数据计算变异函 数,变异函数的简要计算过程如下 计算规则网数据实验变异函数的简要过程 1计算变异函数的方向,假设为m个; 2给定计算步数,假设为n ,给定容许误差; 3计算变化性测度值数,假设为k个; 4定义数组varg[ m ][ k ][ n ]存放测度值 , number[ m ][ n ]存放点对数 , 并将varg和number 中的元素初始化为0; 5随机选定一个数据点,沿每个方向找出 n -1倍滞后距的点,与选定点组成不同方向的点 对,按要求计算每个点对的k个测度值公式1 , 累 加计入varg数组中,在number数组对应的元素加1; 6对每一数据点重复步骤5的计算; 7varg数组每个元素值除以number数组中对 应元素值,即得到了所要计算的实验变异函数值。 计算不规则网数据实验变异函数简要过程 1设定基准方向; 2计算变异函数的方向,假设为m个; 3假定滞后距离为L ,给定计算步数n和距 离容许误差; 4计算变化性测度值,假设为k个; 5定义数组varg[ m ][ k ][ n ]存放测度值 , number[ m ][ n ]存放点对数 , 并将varg和number 中的元素初始化为0; 6随机选定一个数据点; 7与其他任意一个点组成数据点对; 8判断点对方向是否在容许角度范围内,如 是,进行步骤9;否,回到步骤7; 9判断点对间距是否在n倍滞后距范围内, 如是,进行步骤10;否,回到步骤7; 10根据式1计算每个点对的k个测度值, 累加计入varg数组中,在number数组对应的元素加 1; 11对每一数据点重复步骤6到10的计算; 12Varg数组元素中的值除以number数组中 对应元素的值,varg数组中的值就是所要求计算的 实验变异函数值。 114 变异函数的拟合 计算出实验变异函数后,需进行理论变异函数 拟合,得到结构参数应用于克立格估值。 实验变异函 数拟合采用自动拟合的方法,对每个方向的实验变 异函数进行自动拟合。 多数情况下,由于原始数据分 布的不规则性使自动拟合非常困难,因此需要人机 交互的方式,分别对每个方向的实验变异函数进行 拟合。 通常情况,实验变异函数可以用球状模型来拟 合,即可用球套合结构来表达。 使用最小二乘法来拟合理论变异函数,结果表 明在自动拟合理论变异函数时,实验变异函数曲线 上所有的点对于理论变异函数曲线的计算贡献是相 等的。 如果数据点的数目不充分,且空间分布不均 匀,实验变异函数曲线在原点附近的可靠性可能会 降低,对滞后距较大的实验变异函数曲线的最小二 乘法拟合的效果是失真的。 2 实例分析 以新疆贝克滩水系沉积物化探数据为例,通过 实验变异函数,分析数据点的空间架构。 实验变异函 数图是针对具有相同滞后距样品对,将变异函数值 求和,绘出曲线图图1 , 横坐标为样品对的间距 H ,纵坐标为实验变异函数值Y。 图形规范化,在原 点处容易观察并更好的选择数据模型进行拟合。 其 中C表示块金值, C C′ 表示基台值。 变异函数云图是针对样品对的变异函数值的分 布图2 , 横坐标为样品对的间距H ,纵坐标为实验 变异函数值Y。 直观的观测样品对分布,找出异常 数据的位置,对趋势分析起一定的判断作用,并且在 进行克立格插值时,要剔除趋势,可以提高预测的准 确性。 211 计算实验变异函数值并绘图 由于观测数据分布不规则,根据非线性又不等 间隔的数据结构,沿研究区45 方向和135 方向,取 角 度 容 许 误 差 限 为45,取 基 本 滞 后 距 为 3031333 m,距离范围为250～4 550 m,用新疆贝克 滩水系沉积物化探数据实际测量1 250个底板标高 值,计算实验变差函数值,列于表1中这里只列出 一部分数据。 根据计算结果,以距离H为横坐标, 以实验变异函数值Y为纵坐标,可画出两个方向的 实验变异函数图图3。 从两个方向的实验变异函 数图可以判断具有各向异性,需要进行结构套合。 212 对实验变异函数图的拟合 图3横坐标为样品对的间距H ,纵坐标为变异 003 世 界 地 质 第26卷 图1 变异函数图 Fig11 Chart of variogram 图2 变异函数云图 Fig12 Disperse point chart of variogram 图3 45, 135 实验变异函数图 Fig13 Chart of experimental variogram for 45 and 135 degrees 函数值 Y 可以看出两个方向上的基台值基本相 同,而变程值不同,从而进一步得出在两个方向上具 有各向异性的结论。 在变异函数图图1初始点做 切线与X轴交点的横坐标的值约为变程的2/3,选 用球状模型进行拟合。 选取45 方向,块金值380,一 级变程值1 160,一级基台值480。 确定参数时,要考 虑实验变异函数曲线的涨落变化,还要考虑到曲线 上每一个点的可靠程度,特别是自变量靠近原点的 数据与自变量较大数据的可靠程度。 213 结构分析 图3分别对应45 方向和135 方向的实验变异 曲线图。135 方向上的变程值a2大于45 方向上的 变程值a1,其异向比值K a2/ a13 460/1 160 21982。 选择变换矩阵为 A 10 021982 103第3期 程勖 杨毅恒等变异函数在异常空间插值中的应用 表1 实验变异函数值 Table 1 Value of experimental variogram 距离 H/ m 实测值 实验变差函数值误差 45 实验变差函数值误差 135 50081 16132 20152 1 000193- 92107- 108123 1 5009511210165 2 000672015629185 2 500155- 82185- 88109 3 00092- 26136- 25149 3 50079- 15168- 13156 ⋯⋯⋯⋯ 得到一个统一的球状模型来拟合各向异性的模 型图4。 确定出理论变异函数模型之后,通过交叉 检验 方 法 进 行 检 验表2。交 叉 检 验 值 为 Z 3 - Z 2 16135,估计方差为 Z 3 - Z 2/ S3 4153,预测误差均值Mean 01103 2 ,预测误差 均方根Root - Mean - Square 2018 ,平均预测标 准差Average Standard Error 21112 ,平均标准差 Mean Standard 01004 729 ,标准均方根预测误差 Root - Mean - Square Standardied 01984 1 ,证明 变异函数求取预测值与实测值的误差较小,解译空 间数据分布是有效的。 表2 交叉验证面板表 Table 2 Cross validate panel 测量值预测值预测误差标准值误差 标准值均 方根误差 811099117 18117 0185 1101 1931085111- 107189- 51172191 95109514901490102- 0130 6710951282812811371199 1551068191- 86109- 4117- 2155 921067168- 24132- 1117- 1123 791066148- 12152- 0161- 0185 4210621842018411011136 54105612821280111- 0116 ⋯⋯⋯⋯⋯ 图4 变异函数45 方向拟合图 Fig14 Chart of variogram combination 45 degree in direction 3 结论 实验表明 1变异函数通过其本身的结构及其各项参数 从不同的角度反映空间变异性。利用变异函数定量 地描述空间变异性,实际上就是利用变异函数的各 项参数和性质,来定量反映空间变异性的结构的各 个基本要素; 2变异函数图图 1 初始点做切线与X轴 交点的横坐标的值约为变程的2/ 3 ,选用球状模型 进行拟合,效果最佳。 3预测误差均值Mean 01103 2 ,预测误差 均方根Root - Mean - Square 2018 ,平均预测标 准差Average Standard Error 21112 ,平均标准差 203 世 界 地 质 第26卷 Mean Standard 01004 729 ,标准均方根预测误差 Root - Mean - Square Standardied 01984 1 ,表明 变异函数解析式适用于具有非列线不等间距的空间 架构模型数据。 变异函数解析式具有严格的数学基础,对选择 空间数据架构提供了更大的自由度。此种方法对寻 找空间异常点用于地震资料的反演,化探数据的解 译,矿床分布特征等领域研究有重要的推动作用。 参考文献 [1]阎辉,张学工.基于变异函数的径向基核函数参数估 计[J ].自动化学报, 2002 3 1202126. 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