岩质边坡稳定塑性极限分析方法_斜分条法.pdf

第 29 卷 第 12 期 岩 土 工 程 学 报 Vol.29 No.12 2007 年 12 月 Chinese Journal of Geotechnical Engineering Dec., 2007 岩质边坡稳定塑性极限分析方法斜分条法 王根龙 1,2，伍法权1，李巨文2 1. 中国科学院地质与地球物理研究所工程地质力学重点实验室，北京 100029；2. 中国地震局防灾科技学院，北京 101601 摘 要基于塑性极限分析上限定理，依据岩质边坡沿某一滑裂面滑动破坏时，在其内部产生沿陡倾角结构面（断层、 节理和层面）的剪切破坏现象，建立了岩质边坡极限分析斜分条法破坏模式。进一步根据滑体处于极限状态时的虚功 率方程，推导得出了斜分条后岩质边坡的塑性极限分析稳定系数计算公式。采用超载系数的方法，将稳定系数表示在 块体所受的极限荷载，避免了隐式出现，有效地简化了公式推导。以锦屏一级水电站右岸边坡为例进行了稳定性分析。 计算表明，结论较为合理，对于具有倾斜界面的岩质边坡稳定性评价具有重要意义。 关键词上限定理；虚功原理；结构面；稳定系数；斜分条法 中图分类号TU457 文献标识码A 文章编号1000–4548200712–1767–05 作者简介王根龙1974– ，男，陕西华阴人，博士研究生，主要从事工程地质与岩石力学研究。E-mail wang2006。 Rock slope stability analysis based on plasticity limit theory of slices with inclined interfaces WANG Gen-long1,2，WU Fa-quan1，LI Ju-wen2 1. Key Laboratory of Engineering Geomechanics, Institute of Geology and Geophysics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China; 2. Institute of Disaster Prevention Science and Technology, Chinese Earthquake Administration, Beijing 101601, China Abstract Based on plasticity limit analysis by upper bound theorem, a new to analyze rock slope stability was put forward. It was known that the inside of rock mass would generate shear failure along some old steep discontinuities faults, joints and bedding planes when sliding damage took place. According to the phenomena and virtual work rate equation in limit state, a different failure mode of inclined slices technique was established, and the computing ula of safety factor was also derived using the theory of plasticity limit analysis. By means of overload factor, the safety factor of slope stability could be easily expressed by the critical loads. As a result, not only the implicit expression could be avoided, but also the safety factor could be calculated simply and effectively. As a practical engineering example, the right bank slope of Jinping First Stage Hydro power station was analyzed. It was shown that the new was accurate and significant for rock slope with inclined interfaces. Key words upper bound theorem; virtual work theory; structural plane; safety factor; inclined slices technique 0 引 言 1975 年，Chen W F 首次在土力学的边坡稳定性 评价领域引入了极限分析方法，为土质边坡稳定性分 析方法做出了开创性的工作[1]。1997 年，Donald Chen 又提出了通过变形协调和塑性力学上限定理求 解土质边坡稳定性的计算方法，进一步推动了土质边 坡稳定性极限分析方法的发展[2]。2002 年，陈祖煜教 授作为黄文熙讲座的撰稿人，发表了论文“土力学经 典问题的极限分析上、 下限解” ， 在极限分析理论框架 下，就土质边坡的垂直条分法和斜条分法做了深入的 研究[3]。 将塑性力学的极限分析方法引入到土质边坡稳定 性分析中，在学术界没有争议。但是，在岩质边坡中 极限分析方法是否适用，可能还会有不同看法[4]。当 岩质边坡发生破坏时， 滑体沿某一滑裂面滑动的同时， 在其内部也会产生沿陡倾角结构面的剪切破坏。实际 上，在自然界中，绝大部分岩体至少存在一组或几组 陡倾角的结构面（断层、节理和层面） 。特别是 III、 IV 级结构面应引起足够的重视， 因为岩质边坡剪切破 坏基本沿这两级结构面发生。极限分析方法就是将材 ─────── 基金项目国家自然科学基金资助项目（90302011） ；广东省地质科学 研究基金资助项目（2006211） 收稿日期2006–11–19 1768 岩 土 工 程 学 报 2007 年 料的本构关系简化为理想的刚塑性应力–应变关系， 将其应用于岩质边坡，则可以近似地认为滑裂面和陡 倾结构面是塑性区，而被滑裂面和陡倾结构面分割的 块体为理想刚性体。本文以岩质边坡为研究对象，从 塑性极限分析上限定理出发，阐述了将极限分析方法 引入到岩质边坡稳定性评价是合理的，其理论基础是 坚实可靠的，并采用斜分条破坏模式，推导了岩质边 坡极限分析稳定系数计算公式。 1 分析方法 1.1 上限定理 塑性极限分析方法是同刚体极限平衡法根本不同 的新方法。这种分析方法最早由Drucker和Prager （1952）提出，是将物体的本构关系简化为理想刚塑 性应力–应变关系，利用刚塑性体处于极限状态的普 遍原理上下限定理求解极限荷载的一种分析方 法。极限分析中的上限定理和下限定理得到的是精确 解答的上限和下限。它的理论基础是塑性力学的塑性 位势理论，最大优点在于计算中考虑了岩土材料的应 力–应变关系，且物理概念清楚，计算较简单。 上限定理如有一种机动许可的速度场存在，则 与其对应的外荷载T的最小值就是极限荷载 ∗ T的上 限，此时该外荷载所做的功等于屈服机构（塑性变形 机构）中内能的耗散。换言之，塑性力学上限定理是 从构筑一个处于塑性区Ω ∗内的机动许可应变场∗ ij ε和 滑裂面Γ ∗上的协调速度场∗ V出发，找到满足力的平 衡、变形协调与本构关系的外荷载 ∗ T，且 ∗ T一定比 相应真实的塑性区Ω的真实的荷载T大， ∗ T可通过 虚功率原理求得，即 s dd ijij VDFVT V ΩΓ σε ∗∗ ∗∗∗∗∗∗ ⋅ ∫∫ 。 1 有关塑性极限分析上限定理的详细证明可以参考 文献[7]，这里不再赘述。上限定理指出，相应真实塑 性区Ω的外荷载T比极限荷载 ∗ T小或相等。因此， 极限分析上限解就是在许多可能的滑动机构Ω中寻 求一个使 ∗ T最小的临界滑动机构。式中 ∗ V是外荷载 增量引起的塑性位移增量，通常称为塑性应变速度。 F是塑性区的体积力。式（1）中左侧两项分别是产 生于破坏体Ω ∗内和沿滑裂面Γ∗上的内部耗散能。 1.2 斜分条法破坏模式 传统的边坡稳定极限分析法采用垂直条分法，这 个方法没有考虑岩质边坡中存在的断层、节理和层面 等不连续结构面的工程地质特征。Sarma博士（1979） 首次提出对滑体进行斜分条的极限平衡分析方法[5]， 该法假定沿条块侧面也达到了极限平衡，这样，通过 静力平衡条件即可唯一确定边坡的稳定系数或加载系 数。当岩质边坡处于极限破坏状态时，滑裂面和岩体 内存在的陡倾结构面（断层、节理和层面）将滑坡体 分割为具有倾斜界面的多块体斜分条法破坏模 式。因此采用斜分条法破坏模式来分析岩质边坡的稳 定性，有一定的合理性。 斜分条法求解岩质边坡稳定系数可以通过静力 平衡条件实现（Sarma，1979） ，也可以通过功能平衡 的虚功原理表达式获得（Donald Chen，1997） ，两 者均对滑坡体进行斜分条，均假定沿界面达到了极限 平衡，但两者的理论框架不同，前者是从静力平衡条 件出发的，而后者是从变形协调出发的。文献[3]就土 质边坡斜分条极限分析方法进行了研究，但并未推广 到岩质边坡。本文将斜分条法破坏模式看成是上限定 理引入岩质边坡破坏模式的一种近似模式，引入的虚 功原理使这一求解过程和塑性力学上限定理可以很好 地接轨。 岩质边坡斜分条法（图1）将一个滑体离散为具 有倾斜界面的多块体破坏模式。这一模式假定边坡在 发生破坏时，被底滑裂面和倾斜分界面分割的各块体 为刚体，而底滑裂面和倾斜分界面为塑性区。以相邻 条块为例，应用上限定理时，首先要建立一个协调的 速度场 1,1 ,, iii i V VV −− ，位移协调条件要求相邻条块移动 不至于导致它们的重叠或分离。也就是说，相邻条块 速度多边形要矢量闭合，表示为 ,11i iiiVVV−−− u ru ru r 。 2 图 1 斜分条法破坏模式 Fig. 1 Failure mode of inclined slices technique 相关联流动法则[6]，要求每个 i V均与底滑面夹角 为 i ϕ，要求相邻条块倾斜界面的相对速度 ,1i i V − 与倾斜 界面夹角为 ,1i i ϕ − 。根据相邻条块速度矢量闭合三角形 的几何关系，可以将式（2）标量化后表示为[7] 1,1 1 ,1 sin sin ii i ii ii i VV θθ θθ −− − − − − ， 3 1 ,11 ,1 sin sin ii i ii ii i VV θθ θθ − −− − − − 。 4 式中 i θ和 ,1i i θ − 为应变速度 i V和 ,1i i V − 与x轴的夹角， 定义为从x正方向开始， 以反时针旋转为正， 同时0≤ θ≤2π。 i θ和 1i θ − 的计算公式为 第 12 期 王根龙，等. 岩质边坡稳定塑性极限分析方法斜分条法 1769 π iii θαϕ− ， 5 111 π iii θαϕ −−− − 。 6 式中 i α， 1i α − 为底滑面与水平方向的夹角，如果底 滑面倾向与坡向一致，则α取正值，反之则取负值。 根据图1的斜分条法破坏模式，第 i 个块体为上 侧块体，第 i-1个块体为下侧块体。对于第 i 个块体 和第 i-1个块体间的倾斜条块界面，计算 ,1i i θ − 的公式 可以分为以下两种情况。 （1）当 i θ＞ 1i θ − 时，说明下侧块体相对于上侧块 体向上移动，此时下侧块体对上侧块体起到了阻滑的 作用，这种情况在滑坡分析中占多数。此时 ,1i i θ − 的计 算公式为 ,1,1,1 π 2 i ii ii i θδϕ −−− − 。 7 （2）当 i θ＜ 1i θ − 时，说明下侧块体相对于上侧块 体向下移动，此时下侧块体对上侧块体不但起不到阻 滑的作用，反而有了下滑的危险，这种情况在滑坡分 析中占少数。此时 ,1i i θ − 的计算公式为 ,1,1,1 3π 2 i ii ii i θδϕ −−− −− 。 8 式中 ,1i i δ − 为第 i 个块体和第 i-1个块体间倾斜界面 的倾角，定义为从y轴正方向开始，以顺时针旋转为 正，同时0≤||δ≤ π 2 。 1.3 上限法的求解公式 对于岩质边坡，使用斜条分极限分析方法，应在 查明岩体的工程地质条件基础上，确定某几组陡倾角 结构面的产状和物理力学性质，目的是沿着这几组陡 倾角结构面（断层、节理和层面）进行斜分条和分析 计算。 根据塑性极限分析关于材料刚塑性的简化条件， 被底部滑裂面和陡倾角结构面分割的条块被定义为刚 体，因此在块体内部将不存在应力、应变，所以块体 内部就没有内能的耗散。反映在虚功率方程（1）中， 就说明了左边第一项值为零。由于底滑裂面和滑体内 部存在的倾斜分界面是塑性区，所以内能的耗散只发 生于条块的底面和条块间的倾斜界面。按照斜分条的 方法，岩质边坡被分为n个条块，因而有1−n个倾斜 界面。依据斜分条法破坏模式，虚功率方程式（1）可 以近似的表示为 12 12 nn ii DDFV ∑∑ 。 9 式中 左边第一项为滑体底滑裂面上的阻力在应变速 度场V所产生的内能耗散；左边第二项为滑体内倾斜 界面的阻力在应变速度场V所产生的内能耗散。这两 部分内能耗散（简写为D内）的计算表达式为 ,1,1,1,1 12 coscos nn i iiii ii ii ii i ii DclVchVϕϕ −−−− ∑∑内 。 10 式中 i c， i l为第i个岩质块体底滑面的黏聚力和长 度； ,1i i c − ， ,1i i h − 为第i个与第i-1个岩质块体倾斜界面 的黏聚力和长度，其他符号同上。 公式 （9） 表示的是岩质边坡处于极限状态的虚功 率方程，实际工程中，岩质边坡是具有一定安全储备 的结构，需要对斜分条块体施加一定的外部干扰，促 其达到极限平衡状态。文献[3]采用了抗剪强度指标 c，ϕ隐含稳定系数的方法（强度折减法） ，但造成了 上限法求解公式繁琐的积分表达式，使应用受到了限 制。本文采用超载系数的方法，将稳定系数K隐含于 块体所受的荷载F，使其达到极限荷载F∗，从而使 岩质边坡处于极限平衡状态。 为了便于公式推导，这里将岩质边坡斜分条后的 各块体所受到的实际荷载分为两部分 水平荷载 xi F和 铅直荷载 yi F,相应的极限荷载分别为 xi F∗和 yi F∗。当岩 质边坡处于极限状态时，各块体受到的极限荷载为[8] xixi yiyi FK F FK F ∗ ∗ ⎫⋅ ⎪ ⎬ ⋅ ⎪⎭ ， 。 。 11 由于各块体的底滑裂面和倾斜界面所受到的“组 合摩擦力”与滑裂面和倾斜界面的应变速度V 正交， 也就是说，组合摩擦力沿应变速度V 所做的外功率为 零。至此，作用于滑体的外力仅有岩体自重、边坡上 建筑物荷载、地震惯性力、孔隙水压力等，这些外力 在应变速度场V所做的外功率计算公式为 11 cossin nn xiiiiyiiii ii WF VF Vαϕαϕ ∗∗ −− ∑∑外 。12 将式（11）代入式（12）中得 1 cos n xiiii i WKF Vαϕ ⎡ ⋅− ⎢ ⎣∑ 外 1 sin n yiiii i F Vαϕ ⎤ − ⎥ ⎦ ∑ 。 13 将式（10）和式（13）代入虚功率方程式（9）中， 整理后得 ,1 i,1,1,1 12 i 11 coscos cossin nn i iiii iii ii i ii nn xiiiiyiii ii clVchV K F VF V ϕϕ αϕαϕ −−−− −− ∑∑ ∑∑ 。14 计算从第一个块体开始，将第i个块体的应变速 度 i V以及第i与第i-1个块体倾斜界面的应变速度 ,1i i V − ，按照式（3）和式（4）的递推关系表示为第一 个块体应变速度 1 V的函数，其表达式为 1 ,11,1 ii i ii i VVA VVB −− ⋅⎫ ⎬ ⋅ ⎭ ， ， 15 1770 岩 土 工 程 学 报 2007 年 其中 1,1 ,1 sin sin ii i i ii i A θθ θθ −− − − − ∏ ， 16 1 ,1 1,1 sin sin ii i ii ii i BA θθ θθ − − −− − ⋅ − 。 17 式中，应该注意到，i 的取值范围为[2，n]。当 i1 时， 令 1 1A 。联立式（14）和式（15） ，可以消除掉所有 的应变速度项，最终得到斜分条法的岩质边坡极限分 析稳定系数公式为 ,1,1,1,1 12 i 11 coscos cossin nn i iiii ii ii ii i ii nn xiiiiyiii ii cl AchB K F AF A ϕϕ αϕαϕ −−−− −− ∑∑ ∑∑ 。18 式中的参数有①几何参数，包括边坡底滑裂面参数 i l ， i α和块体倾斜界面参数 ,1i i h − ， ,1i i δ − ；②力学参数， 包括边坡底滑裂面参数 i c ， i ϕ和块体倾斜界面参数 ,1i i c − ， ,1i i ϕ − ；③荷载，包括岩体自重、边坡上建筑物 荷载、地震惯性力、孔隙水压力等作用于各块体上的 水平分量 xi F和铅直分量 yi F。如果仅考虑自重荷载条 件下的边坡稳定性问题，则上式可以进一步简化为 ,1,1,1,1 12 1 coscos in nn i iiii ii ii ii i ii n iiii i cl AchB K w As ϕϕ αϕ −−−− − ∑∑ ∑ 。19 式中， i w 表示第 i 个块体的自重荷载， 其他符号同上。 2 工程应用 雅砻江锦屏一级水电站位于四川省盐源县与木里 藏族自治县交界处，雅砻江中游锦屏大河湾西侧峡谷 河段上，地处青藏高原向四川盆地过渡的斜坡地带。 这里对枢纽区右岸拱肩槽边坡 II1II1勘探线剖面， 采 用文中的方法进行了计算分析。 右岸拱肩槽边坡所在位置从河谷底部至 1810 m 左右高程为直立陡壁，其上部则为一巨大缓坡。根据 平硐 PD17，PD19，PD23 和 PD25 揭露显示，地层岩 性主要为中上三叠统杂谷脑组第二段（z 2 3-2 T） ，从 河床至边坡顶部依次为第三层钙质绿片岩及绿片岩 （z 23 3-2 T） ，第四层细晶粗晶大理岩（z 24 3-2 T） ，第 五层细晶粗晶大理岩夹绿片岩 （z 25 3-2 T） ， 第六层细 晶粗晶大理岩 （z 26 3-2 T） ， 表层少量第四系残坡积物 （Qeldl） 。 边坡发育的结构面主要有四组 ①断层 f13， f14， 属于 III 级结构面；②层间挤压带 g，属于 IV 级结构 面；③发育较好的节理 k，属于 IV 级结构面；④延伸 较短小的节理、裂隙，属于 V 级结构面。对边坡稳定 影响最大的是断层 f13 及层间挤压带 g，二者构成了 不利组合滑动面。断层 f14 和发育较好的节理 k 则主 要作为斜分条的结构面。根据断层 f13，f14，层间挤 压带 g 及节理 k， 将不利滑面组合分割的岩体划分为 3 个块体（图 2） 。 图 2 锦屏一级水电站右岸边坡地质剖面图 Fig. 2 Geological section of right bank slope at Jinping First Stage Hydropower Station 倾斜分块后，各块体的几何参数可以通过 AutoCAD 绘图软件的测量长度、 角度及面积功能直接 获得，物理力学参数根据试验取值。计算用到的参数 见表 1，参数根据性质不同可以分为几何参数和力学 参数两类；根据位置不同可以分为底滑裂面参数和倾 斜界面参数两类。算例中滑体（潜在）被结构面分为 三个块体，因此 i 的取值为 i1，2，3。以下按照第二 种分类对计算用到的参数进行说明。①li为层间挤压 带 g（底滑裂面）的分段长度；αi为层间挤压带 g 的 倾角； ci为层间挤压带 g 的黏聚力； φi为层间挤压带 g 的内摩擦角。②hi,i-1为滑体中倾斜界面的长度，其中， h1,2为节理 k 在滑体中的长度，h2,3为断层 f14 在滑体 表 1 边坡稳定分析计算参数 Table 1 Parameters for slope stability analysis 底滑裂面 倾斜界面 分类 参数 1 2 3 参数 1,2 2,3 li/m 38.5 28.4 72.5 hi,i-1/m 31.1 28.8 几何参数 αi/ 32.0 32.0 32.0 δi,i-1/ -1.0 12.0 ci/MPa 0.2 0.2 0.2 ci,i-1/MPa 0.76 0.02 力学参数 φi/ 35.0 35.0 35.0 φi,i-1/ 40.9 16.7 第 12 期 王根龙，等. 岩质边坡稳定塑性极限分析方法斜分条法 1771 中的长度；δi,i-1为滑体中倾斜界面与 y 轴正方向的夹 角，其中，δ1,2为节理 k 与 y 轴正方向的夹角，δ2,3为 断层 f14 与 y 轴正方向的夹角；ci,i-1为滑体中倾斜界 面的黏聚力，其中，c1,2为节理 k 的黏聚力，c2,3为断 层 f14 的黏聚力；φi,i-1为滑体中倾斜界面的内摩擦角， 其中，φ1,2为节理 k 的内摩擦角，φ2,3为断层 f14 的内 摩擦角。 采用公式（19） ，通过 Visual Basic 6.0 程序语言 编程，计算了该岩质高边坡在自然状态条件下的稳定 系数，其结果为 1.76。在相同的情况下，如果采用强 度折减法， 那么稳定系数会隐式出现在虚功率方程中， 通过迭代的算法求得稳定系数为 1.80。计算显示，在 塑性极限分析理论框架下，稳定系数采用超载法和强 度折减法的计算结果比较接近，前者比后者小 2.2； 然而超载法得到的稳定系数是显式的，而强度折减法 得到的稳定系数是隐式的，所以前者的计算工作量要 比后者小很多。当采用刚体极限平衡理论时，最适宜 的方法是 Sarma 法，这里用该方法进行了复核验算， 得到的稳定系数计算结果为 1.70。 由于文中方法计算结果比通用的Sarma法要略大 3.5，所以有必要分析其产生的原因。笔者认为，塑 性极限分析斜分条法的主要局限性在于它是从上限逼 近真实解，因此，总是过高地估计了安全系数。但从 研究的角度出发，因为这种方法的原理不同于传统的 刚体极限平衡理论，所以可以作为 Sarma 法的有益补 充。况且目前有关规范推荐的边坡稳定性评价方法， 无一例外都是基于刚体极限平衡理论，因此本文的研 究对于岩质边坡稳定性分析评价，是从塑性极限分析 理论框架的一次探索，具有一定的研究意义。 3 结 语 本文从塑性极限分析理论框架出发，在考虑控制 岩质边坡稳定的 III，IV 级结构面条件下，提出了极 限分析斜分条法破坏模式，并根据虚功原理推导了计 算岩质边坡稳定系数的计算公式。由于采用了超载系 数的定义方法，使得公式的推导变得比较简单，避免 了稳定系数复杂积分形式的出现， 简少了计算工作量。 通过对雅砻江锦屏一级水电站右岸拱肩槽边坡的稳定 性分析评价，分析了控制该边坡斜分条的断层、节理 及层间挤压带等结构面对边坡的影响。分析计算结果 表明，塑性极限分析斜分条法和 Sarma 法计算精度相 差不大；但文中的方法不需要进行条块间的复杂受力 分析，并且为边坡稳定分析提供了一个理论基础更为 严密的途径，因此具有一定的研究价值。 参考文献 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