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石油储备策略问题 ∗ 周铁军Zhou Tiejun† 湖南农业大学理学院信息与计算科学系湖南长沙410128 1问问问题题题重重重述述述 石油是国民经济建设中一种非常重要的能源。每年国家都要从国外进口大批量的石油，以满足国内 市场的需要。但是在定货点发出订单后，由于国内需求增大或者恐怖事件等多种因素，就会导致石油缺 货或供货中断。为防止由此造成的损失，需要多储备一些存货以备应急之需，称为石油保险储备（安全 存量）。这些存货在正常情况下不动用，只有当存货过量或送货延迟时才动用。 1）试建立数学模型求最小订货量、定购次数及考虑石油保险储量的最佳订货点。 2）试用你建立的数学模型，就下面一组假想数据，计算上述各指标。每年耗用石油3650桶，每天 平均耗用10桶，每桶石油10元，一次订购费25元，每桶年储存费2元，每桶缺货一次费用4元，平均交货 期10天，交货期内耗用量X的概率分布如下 X80859095100105110115120125130 p0.010.020.050.150.250.200.150.100.040.020.01 2符符符号号号说说说明明明 变量名定义变量名定义 C1订购费元/次C2储存费元/桶.天 C3缺货费元/桶.次U单价元/桶 D年需求量T订货周期 R日平均需求量Q订购量 N订货次数S订货点 L平均送货周期B保险储备量 qt时刻t的库存量X供货期石油耗用量 ∗湖南农业大学数学建模培训 †周铁军1965-,湖南农业大学理学院信息与计算科学系, 副教授. 主要研究方向常微分方程，神经网络动力系统. 1 pi供货期石油耗用量X的分布列 3模模模型型型假假假设设设 1.假设在一个定货周期T内, 每天的石油耗用量服从相同的分布. 2.假设订货期前不会发生缺货. 4问问问题题题分分分析析析 石油储备包括以下几个方面的费用 1石油储存费; 2石油缺货费; 3石油订货费. 我们考虑日平均 总费用. 4.1日日日平平平均均均储储储存存存费费费的的的计计计算算算 由于日需求量R为已知常数, 订货周期为T, 则货物订货量为 Q RT 根据假设1, 我们可以利用供货期内石油耗用量X去计算每天石油耗用量OPD. OPD X L 考虑到维持保险储备量B, 从而第t天的库存量 qt RT − X L t B 得第t天的储存费 C2qt C2 RT − X L t B 从而在订货周期内, 日平均储存费为 1 T PT t1C2qt 1 T PT t1C2 RT − X Lt B C2RT B − C21 T X 2L, 所以期望日平均储存费为 ESPD C2RT B − C21 TEX 2L ,1 其中EX为供货期石油耗用量的期望值, EX L X i1 piXi.2 2 4.2日日日平平平均均均缺缺缺货货货费费费的的的计计计算算算 先考虑订货点S. 显然订货点S除满足送货期L的平均需求外, 还要维持保险储备量B, 因此 S EX B 当库存量降到订货点S时开始订货. 根据假设2, 缺货只会发生在订货期内. 当订货期内石油耗用量X S时发生缺货, 所以订货期的缺货 量Y Y        X − S, X S 0,X ≤ S , 于是平均缺货量为 EY L X i1 piYi,3 因此得日平均缺货费为 CQPD C3 EY T C3 T L X i1 piYi.4 4.3日日日平平平均均均订订订货货货费费费的的的计计计算算算 订货周期内的订货费CO包括一次订购费和订购石油Q RT EY 桶的总价格, 即 CO C1 URT EY 从而日平均订货费COPD COPD CO T UR UEY T C1 T 5 5模模模型型型的的的建建建立立立 根据上面的分析，可得日平均费用CT,S ESPD CQPD COPD. 本问题就是要确定T,S, 使CT,S达到最小. 因此我们可以建立如下数学模型 minCT,S C2RT B − C21 TEX 2L C3 EY T UR UEY T C1 T 6 其中C1,C2,C3,U,R,L都是已知常数, 而 EX L X i1 piXi,7 B S − EX,8 EY L X i1 piYi.9 Yi        Xi− S, Xi S 0,Xi≤ S ,10 3 6模模模型型型求求求解解解 对CT,S关于取T求偏导数,得 ∂CT,S ∂T C2 R − EX 2L − 1 T2 C1 UEY C3EY , 令∂CT,S ∂T 0得 T s C1 UEY C3EY C2 R − EX 2L .11 把式8和11代入CT,S得 CTS CT,S 2 s C1 UEY C3EY C2 R − EX 2L C2S − EX − C2 EX 2L UR.12 分别对S从LR到LR 50步长为5进行计算CTS, 搜索CTS的最小值. Mathematica程序如下 ClearAll [ ] ;lp 10; c1 25; c2 2/365; c3 4; u 10; d 3650; r 10; l 10; minC Infinity ; minI 0; p {0.01 , 0.02 , 0.05 , 0.15 , 0.25 , 0.2 , 0.15 , 0.1 , 0.04 , 0.02 , 0.01}; X Table [75 5∗ i , { i , 1 , 11}]; EX p .X; EY Table [0 , { i , 1 ,lp } ] ; CT Table [0 , { i , 1 ,lp }]; T Table [0 , { i , 1 ,lp } ] ;s Table [95 5 i , { i , 1 ,lp } ] ; Y Table [0 , { i , 1 , 11}]; For [ i 1 , i lp ,i, For [ j 1 , j s [ [ i ]] , Y[ [ j ]] X[ [ j ]] − s [ [ i ]] , Y[ [ j ]] 0]; ] ; EY[ [ i ]] p.Y; K c1 u EY[ [ i ]] c3 EY[ [ i ] ] ; CT[ [ i ]] c2s [ [ i ]] − c2 EX − c2 EX/2 l u r 2Sqrt [K c2 r − EX/2 l ] ; T[ [ i ]] Sqrt [K/c2 r − EX/2 l ] ; If [CT[ [ i ]] minC, minC CT[ [ i ] ] ;minI i ] ; ] ;Print订货点[” s”, s [ [ minI ] ] ] ; Print最小日平均费用[”” , minC ] ; 4 Print订货周期[”T”, T[ [ minI ] ] ] ; Print石油保险储量[”B”,s [ [ minI]]−EX] ; Print石油一次订货量[”Q”, rT [ [ minI ] ] ] ; Print年订货次数[”N”, d/ r T[ [ minI ] ] ] 程序运行结果如下 订货点s125 最小日平均费用101.733 订货周期T150.161 石油保险储量B21.15 石油一次订货量Q1501.61 年订货次数N2.43072 5