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第1 章 常用资料、数据和一般标准 G1 常用几何体的体积、面积及重心位置（表G1- 1） 表G1- 1 常用几何体的体积、面积及重心位置 图 形 体积V、底面积A、侧面积A0、全 面积An、重心位置G的计算公式 图 形 体积V、底面积A、侧面积A0、全 面积An、重心位置G的计算公式 2 3 6 4 G 2 n 2 0 2 3 a Z d ad aA aA aA aV 为对角线 34 4 2p2p pp2 p 3 3 p 3 6 p G 222 n 22 0 2 2 22 hr hrh Z aharhA harhA aA hrh hahV − − − 2 2 2 G 222 n 0 h Z d hbad bhahabA bahA abA abhV 为对角线 在椭球中心重心G abcVp 3 4 与球心重合重心G rA rV 2 n 3 p4 p 3 4 在圆环中心重心 G DdRrA DdRrV 22 n 2 2 22 pp4 4 p p2 rZ rA rA rA rV 8 3 p3 p2 p p 3 2 G 2 n 2 0 2 3 Vπr2h A02πrh An2πrrh ZG 2 h 2 续 图 形 体积V、底面积A、侧面积A0、全面积 An、重心位置G的计算公式 图 形 体积V、 底面积A、 侧面积A0、 全面积 An、重心位置G的计算公式 2 p2 p2 p p G n 0 22 22 h Z hrRrRA rRhA rRA rRhV − − − 222 3 ]4 4[ 2 1 22 6 1111 1111 G 01n 2 1 2 1 2 1 2 10 111 1111 babaabab babaababh Z AAAA bbhaa aahbbA abA baA babaabab h V − − 4 32 p p 3 p 22 22 G 22 0 22 n 0 22 rRrR rRrRh Z hrRl ArRA rRlA RrrRhV − 4 4 2 3 2 33 2 3 3 1 G 0n 22 0 2 2 h Z AAA alaA aA haAhV − 4 p p p p 3 1 G 22 n 0 2 2 h Z hrl lrrA rlA rA hrV 4 32 3 2 33 2 33 1 3 1 2 1 2 2 1 2 G 01n 10 2 2 1 2 11 1 1 1 为斜高为顶面积, gA aaaa aaaah Z AAAA aagA aA aA a a a ahA V                 4 4 4 2 1 4 4 2 1 3 1 G 22 22 n 22 22 0 h Z bha ahbabA bha ahbA abA abhV 2 4 633 6 2 33 2 33 G 22 2 n 0 2 2 h Z d ahd ahaA ahA aA haV 为对角线 3 G2 常用力学公式 G2.1 常用截面的力学特性表G1- 2、表G1- 3 表G1- 2 常用截面的几何及力学特性 截面形状 面积A 惯性矩I 截面系数 e I W 回转半径 A I i 形心距离e 2 a 12 4 a 3 x1 2 x 1179. 0 6 aW a W a a 289. 0 12 ae a e 7071. 0 2 x1 x 22 ba − 12 44 ba − a ba W a ba W 44 x1 44 x 1179. 0 6 − − 22 289. 0ba ae a e 7071. 0 2 x1 x ab 12 3 ab 6 2 ab b b 289. 0 12 2 b hHb− 12 12 3 y 33 x hHb I hHb I − − 6 6 2 y 33 x hHb W H hHb W − − bi hHhH i 289. 0 12 y 22 x 2 2 y x b e H e 2 ba H 3 2 36 4 2 H ba abba 212 4 212 4 222 xb 222 xa ba babaH W ba babaH W 2 4 3 22 baba ba H 3 2 ba baH 2 bH 36 3 bH 12 24 2 xb 2 xa bH W bH W H H 236. 0 23 3 H 4 续 截面形状 面积A 惯性矩I 截面系数 e I W 回转半径 A I i 形心距离e RC CA 2 598. 2 xy x II RI 4 5413. 0 3 y 3 x 5413. 0 625. 0 RW RW Ri4566. 0 x Re Re y x 866. 0 4 p 2 d 64 p 4 d 32 p 3 d 4 d 2 d 4 p 22 dD − 64 p 44 dD −         − D dD 44 32 p 4 44 dD 2 D 4 p 2 2 d a −         − 16 p3 12 1 4 4 d a         − 16 p3 6 1 4 4 d a a p448 p316 22 44 da da − − 2 a 8 p 2 d 128 p 00686. 0 4 y 4 x d I dI 64 p 0239. 0 3 y 4 x d W dW 4 1319. 0 y x d i di dy de 2122. 0 2878. 0 s x 8 p 22 dD − 128 p 00686. 0 44 y 4 4 x dD I d DI − −         − 4 43 y 1 64 p D dd W 22 y x 4 1 dD F I i A I i y x p3 2 22 s dD dDdD y s x x 2 4 y 2 s1xx 43 1x 22 22 2 sinsin 3 2 sin 1808 cossin 88 4 2 1 8 4 296.57 22 01745. 0][ 2 1 yr J W r I AyJJ rlr I crrh h hc r r l hrhc lhrcrlA −       −− −− −− − −− ； ； ； ； ； α αα απ αα α α A I i x x A c y 12 3 s 5 续 截面形状 面积A 惯性矩I 截面系数 e I W 回转半径 A I i 形心距离e abp 4 p 4 p 3 y 3 x ba I ab I 4 p 4 p 2 y 2 x ba W ab W 2 2 y x a i b i ae be y x p 11b aab − 4 p 4 p 1 3 1 3 y 3 11 3 x babaI baabI − − a baba W b baab W 4 p 4 p 1 3 1 3 y 3 11 3 x − − A I i A I i y y x x ae be y x 2 heb BH − 3 33 2 3 1 x bhaeBe I − 2 x 2x 1 x 1x e I W e I W ][ 3 2 33 2 3 1 hebHB bhaeBe − − 12 22 1 2 eHe btaH btaH e − 6 续 截面形状 面积A 惯性矩I 截面系数 e I W 回转半径 A I i 形心距离e bhBH 12 33 x bhBH I H bhBH W 6 33 x 12 33 bhBH bhBH 2 H bhBH − 12 33 x bhBH I − H bhBH W 6 33 x − 12 33 x bhBH bhBH i − − 2 H 7 表G1- 3 主要组合截面的回转半径 截面形状 回转半径 截面形状 回转半径 hi hi Y X 215. 0 30. 0 bi hi Y X 21. 0 21. 0 bi hi Y X 20. 0 32. 0 bi hi Y X 43. 0 43. 0 bi hi Y X 24. 0 28. 0 bi hi Y X 22. 0 42. 0 bi hi Y X 17. 0 30. 0 bi hi Y X 20. 0 39. 0 bi hi Y X 21. 0 26. 0 bi hi Y X 56. 0 35. 0 hi bi hi Z Y X 185. 0 21. 0 21. 0 bi hi Y X 60. 0 38. 0 8 续 截面形状 回转半径 截面形状 回转半径 bi hi Y X 44. 0 38. 0 bi hi Y X 24. 0 45. 0 2 35. 0 dD d di cp cpX bi hi Y X 21. 0 40. 0 bi hi Y X 38. 0 44. 0 bi hi Y X 235. 0 45. 0 bi hi Y X 54. 0 37. 0 bi hi Y X 32. 0 44. 0 bi hi Y X 45. 0 37. 0 9 G2.2 受静载荷梁的支点反力、弯矩和变形计算公式（表 G1- 4、表 G1- 5） 表 G1- 4 常用静定梁的支点反力、弯矩和变形计算公式 序 号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 1 2 F FF BA 2 2/ ≤≤0 Fx xM lx         − − 3 33 43 48 2/ ≤≤0 l x l x EI Fl y lx EI Fl y lx 48 2/ 3 max − 处在 EI Fl 16 2 BA − − θθ 2 l Fa F l Fb F B A 1 1≤≤ 1 ≤≤0 axF Fbx xM xa Fbx xM ax −−         − −− − −− − b ax xxbl EIl Fb y lx bxl EIl Fbx y ax 3 322 22 6 ≤≤0 6 ≤≤0 2 EI blFb y lx EIl blFb y bl xba 48 43 2/ 39 3 , 22 2/322 max 22 −− −− − 处在 处在若 EIl alFab EIl blFab 6 6 B A − θ θ 3 FFF BA FaM alxa FxxM ax − ≤≤ ≤≤0 ]3[ 6 ≤≤0 ]3[ 6 ≤≤0 2 2 axlx EI Fa y alx xala EI Fx y lx −− − − −− − 43 24 2/ 22 max al EI Fa y lx − − 处在 2 2 BA al EI Fa − − − θθ 9 10 续 序 号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 4 l M FF BA       − l x MxM1         − − 3 3 2 22 32 6 l x l x l x EI Ml y EI Ml y lx EI Ml y lx 16 2/ 39 3 1 1 2 2 max − −         − 处在 处在 EI Ml EI Ml 6 3 B A − θ θ 5 l M FF BA l Mx xM         − − 3 32 6 l x l x EI Ml y EI Ml y lx EI Ml y x 16 2/ 39 3 1 2 2 max − − 处在 处在 EI Ml EI Ml 3 6 B A − θ θ 6 l M FF BA       − − l x MxM lxa l Mx xM ax 1 ≤≤ ≤≤0 ] 3[ 6 ≤≤ 3 6 ≤≤0 2 22 222 xl al EIl xlM y lxa xbl EIl Mx y ax −− − −− −− EIl alM y alx EIl blM y blx 39 3 3/ 3 39 3 3/ 3 2/322 max2 22 2/322 max1 22 −− − − − 处在 处在 33 6 6 3 6 3 222 C 22 B 22 A lba EIl M EIl alM EIl blM − − − − θ θ θ 10 11 续 序 号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 7 2 ql FF BA 2 xl qx xM− 2 24 323 xlxl EI qx y− − EI ql y lx 384 5 2/ 4 max − 处在 EI ql 24 3 BA − − θθ 8 3 6 0 0 lq F lq F B A         − 2 2 0 1 6 l xlxq xM         − − 5 5 3 3 4 0 3107 360 l x l x l x EI lq y EI lq y lx 3 0 max 00652. 0 519. 0 − 处在 EI lq EI lq 45 360 7 3 0 B 3 0 A − θ θ 11 12 续 序 号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 9             c b l qb F c b l qb F B A 2 2                         − −            c b l b a c b l qb M c b l b ax ax q xc b l qb xM baxa xc b l qb xM ax 22 2 2 2 2 ≤≤ 2 ≤≤0 max 2 处在         −−−       − − −    −     −−                  −         −         −−       −       − 2 2 2 2 42 2 2 2 2 2 2 2 42 6 ≤≤ 44 226 ≤≤ 42 26 ≤≤0 xl bb al xlba EIl qb y lxba ax b l x b c b lxc b EIl qb y baxa x b c b l c b EIl qbx y ax max ,, 0 ≤≤ yy xy baxa 方程即得代入 的数值解求出令 处在         −      −         −      −       − 42 6 42 26 2 2 2 B 2 2 2 A bb al ba EIl qb b c b l c b EIl qb θ θ 10 4 0l q FF BA         − 2 2 0 4 3 12 2/≤≤0 l xlxq xM lx         − − 5 5 3 34 0 164025 960 2/≤≤0 l x l x l x EI lq y lx EI lq y lx 120 2/ 4 0 max − 处在 EI lq 192 5 0 BA − − θθ 12 13 续 序 号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 11 l laF F l Fa F B A ≤≤ ≤≤0 xalFxM alxl l Fax xM lx −− − ] [ 6 ≤≤ 6 ≤≤0 3 32 3 32 lx laaxxal EIl F y alxl l x l x EI Fal y lx − −         − EI Fal y lx al EI Fa y alx 16 2/ 3 2 2 max − 处在 处在 32 6 3 6 D B A al EI Fa EI Fal EI Fal − − θ θ θ 12       l a qaF l qa F B A 2 1 2 2 2 2 2 ≤≤ 2 ≤≤0 xal q xM alxl x l qa xM lx − − − [     −− − −− −         − 4 2 3 32 2 3 322 2 2 12 ≤≤ 12 ≤≤0 lx a l a lxla xxl EIl qa y alxl l x l x EI lqa y lx 43 24 32 2/ 3 max 22 la EI qa y alx EI lqa y lx − 处在 处在 6 6 12 2 D 2 B 2 A al EI qa EI lqa EI lqa − − θ θ θ 13 FFF BA FaM alxa FxxM ax − − ≤≤ ≤≤0 ]3 23[ 6 ≤≤ ] 332[ 6 ≤≤0 33 2 2 2 axxl aaxlaa EI F y alxa xxl aalaa EI F y ax −− − − − EI Fal y lax EI laFa yy C ED 8 2/ 6 32 2 2 − 处在 EI alFa EI Fal 2 2 DE BA − − θθ θθ 13 14 续 序 号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 14 l M FF BA MM alxl x l M xM lx max ≤≤ ≤≤0 3 6 ≤≤ 6 ≤≤0 3 32 xlxl EI M y alxl l x l x EI Ml y lx −−         − − 2 D 2 32 6 16 2/ ala EI M y EI Ml y lx − 处在 3 3 3 6 D B A al EI M EI Ml EI Ml − θ θ θ 15 FlM FF A A lxFxM−         − − 3 3 2 23 3 6 l x l x EI Fl y EI Fl y lx 3 3 max − 在 EI Fl 2 2 B − θ 16 MMA MxM− EI Mx y 2 2 − EI Ml y lx 2 2 max − 处在 EI Ml− B θ 17 2 2 ql M qlF A A         − 2 22 xl lxqxM         − − 4 4 3 3 2 24 46 24 l x l x l x EI ql y EI ql y lx 8 4 max − 处在 EI ql 6 3 B − θ 14 15 续 序 号 载荷情况及剪力图弯矩图 支点反力 弯矩方程 挠度曲线方程 最大挠度 梁端转角 18 6 2 2 0 0 lq M lq F A A     − −   1 33 6 3 3 2 2 0 l x l x l xlq xM     − −     − 5 5 4 4 3 3 2 2 4 0 5 1010 120 l x l x l x l x EI lq y EI lq y lx 30 4 0 max − 处在 EI lq 24 3 0 B − θ 注式中 x 为从梁左端起量的坐标参见序号 1.15 图，E 为材料弹性模量，I 为惯性矩,下同。 表 G1- 5 静不定梁的支点反力、弯矩和变形计算公式 载荷、挠曲线和弯矩图 支点反力、弯矩 挠度曲线方程 挠 度 梁端转角 D FlM FlM FFFF F B BA 32 5 16 3 16 11 , 16 5 −                   −         −               − − 32 3 3 3 119 96 2/≤≤0 53 96 2/≤≤0 l x l x EI Fl xy lx l x l x EI Fl xy lx EI Fl y lx EI Fl y lx 768 7 2/ 548 447. 0 3 3 max − − 处在 处在 EI Fl 32 2 A θ 15 16 续 载荷、挠曲线和弯矩图 支点反力、弯矩 挠度曲线方程 挠 度 梁端转角             −−                         l a l ab FM l b l ab FM a b l b l a FF l a l b FF F B B A 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2       − − l a EIl bFa y ax EI Fl y C lb 3 1 4 0098. 0 586. 0 2 32 3 max 处在 截面处在 时当 EIl Fab 4 2 A θ lx qlM qlM qlFqlF F B BA 8 3 128 9 8 1 8 5 , 8 3 0 2 2 − 在                     − − 43 4 23 48 l x l x l x EI ql xy EI ql y lx 185 4215. 0 4 max − 处在 EI ql 48 3 A θ lx lqM lqM lqFlqF F B BA 447. 0 0298. 0 15 1 10 4 , 10 1 0 2 2 2 2 22 − 在                     − − 53 4 2 2 120 l x l x l x EI lq xy EI lq y lx 419 447. 0 4 2 max − 处在 EI lq 120 3 2 A θ 16 17 续 载荷、挠曲线和弯矩图 支点反力、弯矩 挠度曲线方程 挠 度 梁端转角 FlM FlMM FFF F BA BA 8 1 8 1 2 1 −               −     − 32 3 43 48 2/≤≤0 l x l x EI Fl xy lx EI Fl y lx 192 2/ 3 max − 处在 22 2 2 2 2 2 21 21                   −       −                         l b l a FlM l a FbM l b FaM l b l a FF l a l b FF F B A B A                         −         −                     −     − 32 2 32 2 2 13 6 ≤≤0 2 13 6 ≤≤0 l x l b l x l b EI Fla xy bx l x l a l x l a EI Flb xy bx 3 33 2 23 max 3 3 3 2 3 2 , EIl bFa y ax ba ba EI F y ba al x ba − − 处在 处在 若 2 2 24 1 12 1 2 1 qlM qlMM qlFF F BA BA −                     −      432 4 2 24 l x l x l x EI ql xy EI ql y lx 384 2/ 4 max − 处在 17 18 续 载荷、挠曲线和弯矩图 支点反力、弯矩 挠度曲线方程 挠 度 梁端转角 lx lqM lqM lqM lqF lqF F B A B A 548. 0 0214. 0 20 1 30 1 20 7 20 3 0 2 2 2 2 2 2 2 2 − −                     −      532 4 2 32 120 l x l x l x EI lq xy EI lq y lx 764 525. 0 4 2 max − 处在 G2.3 常用零件的接触应力和接触变形计算公式（表 G1- 6、表 G1- 7） 表 G1- 6 常用零件接触应力和接触变形计算公式 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 max σ 接触物体靠近位移值∆ 时当3 . 0 2121 ,EEE 球与球 18 19 续 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 max σ 接触物体靠近位移值∆ 时当3 . 0 2121 E,EE 球与球形凹面 球与圆柱 时当3 . 0 2121 ,EEE 19 20 续 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 max σ 接触物体靠近位移值∆ 球与圆柱 时当3 . 0 2121 ,EEE 球与平面 球与圆柱凹面 20 21 续 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 max σ 接触物体靠近位移值∆ 时当3 . 0 2121 ,EEE 球与圆柱凹面         − − 2 2 2 1 2 1 21 21 11 128. 1 E ERR RR l P b 接触带半宽 2 2 2 1 2 1 21 2 1 11 5642. 0 E E RR RR l P − −           −           − 407. 0 2 ln 1 407. 0 2 ln 12 2 2 2 2 1 1 2 1 b R E b R El P p 时当3 . 0 2121 ,EEE 平行圆柱 21 21 522. 1 RR RR lE P b 21 21 418. 0 RR RR l PE         814. 0 4 ln5796. 0 2 21 b RR lE P         − − − 2 2 2 1 2 1 12 21 11 128. 1 E ERR RR l P b 接触带半宽 2 2 2 1 2 1 21 12 11 5642. 0 E E RR RR l P − − − 时当3 . 0 2121 ,EEE 圆柱与轴线平行的圆柱槽 12 21 522. 1 RR RR lE P b − 21 12 418. 0 RR RR l PE− ln1 82. 1b lE P − 21 22 续 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 max σ 接触物体靠近位移值∆         − − 2 2 2 1 2 1 11 128. 1 E El PR b 接触带半宽 2 2 2 1 2 1 11 5642. 0 E E lR P − − 时当3 . 0 2121 ,EEE 圆柱与平面 lE PR b522. 1 maxmax 301. 0 418. 0 στ lR PE       ∆ b R lE P D 4 ln41. 0159. 1 的减小在两挤压面间圆柱直径 时当3 . 0 2121 ,EEE 垂直圆柱 22 23 续 接触情况 接触面积尺寸 最大接触应力 max σ 接触物体靠近位移值∆ 球与圆弧槽（滚珠轴承） 滚柱轴承 注 1. a接触时接触面的椭圆长半轴；b点接触时接触面的椭圆短半轴，线接触时接触面的半宽度； max1 σ最大拉应力。 2. A、B椭圆方程系数； δσ nnnn ba 接触问题的系数，见表 G1- 7。 3.E分别为材料的弹性模量和泊松比。 23 24 表 G1- 7 接触问题的系数 na、nb、no、nδ B A a n b n σ n δ n B A a n b n σ n δ n 1.0000 0.9623 0.9240 0.8852 0.8459 0.8059 0.7652 0.7238 0.6816 0.6384 0.5942 0.5489 0.5022 0.4540 0.4040 0.3518 0