变分原理-2.pdf

1 2 弹性力学变分原理的应用弹性力学变分原理的应用 用二类变量广义变分原理推导三广义位移平板弯曲理论用二类变量广义变分原理推导三广义位移平板弯曲理论 首先回忆二类变量广义余能的表达式 12 2, 1 ,dd 2 dd ijiijklijklij jii VV jijijijii BB usVf uV nuBnp uB σσ σσ σσ Γ −−− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 1 在式1中的余应变能密度可以缩简下标写成我们习惯的形式 11 22 cijklijklpqpq Vssσ σσ σ ,1, 2,,6p q 2 式中 1xx σσ， 2yy σσ， 3zz σσ， 4yz σσ， 5zx σσ， 6xy σσ 3 对于各向同性体 112233 1 sss E ， 122331213213 ssssss E ν − 4 式中E和ν分别为杨氏模量和泊松比。 设有一各向同性等厚度板，板厚为h，中面为xy平面，无体积力作用，受到 反对称荷载作用，板的上、下表面的边界条件可写成 3 /2 z pσσ ， /2zh 1 5 x xz mm hh σσ − − 2 4 y yz m m hh σσ − − 5 式中 p 、 x m 和 y m是x、y的已知函数，其中 x m和 y m分别代表板在单位中面面积 内受到的在xz平面内的力矩和在yz平面内的力矩， 其正向分别是x轴和y轴转90 到z轴的方向。 板的侧面边界条件先考虑固定和自由两种典型形式，即 在 1 C上 nn uu， ss vv，ww 在 2 C上 nn σσ， nsns σσ， nznz σσ 6 2 式中s是xy平面内板边界线的弧长或表示其切向方向，而n表示边界线的法向方 向， 12 ,,l mn n是法向矢量n 在xy平面内的方向余弦。 注意到 n u， s v，w， n σ， ns σ和 nz σ是s、z的已知函数，显然w和 nz σ应是z的 偶函数，而其他四个量是z的奇函数。 在 , , x y z和 , , n s z两个坐标系之间有关的物理量有如下转换式 1 122n un un ulumv， 2112s vn unumulv − − 2222 1112622 22 nxxyy nn nnllmmσσσσσσσ 2222 1221126 nsyxxy n nnnlmlmσσσσσσσ−−−− 1526nzxzyz nnlmσσσσσ 7 为了近似求解上述板弯曲问题，对板中的位移和应力作如下假定 11x uuzzψψ − −， 22y vuzzψψ − −， 3 , , wu x yw x y 8 11 33 1212 , , xx zz Mx yMx y hh σσ 22 33 1212 , , yy zz Mx yMx y hh σσ 66 33 1212 , , xyxy zz Mx yMx y hh σσ 22 511 22 22 22 11234 1 , 1 , 22 11234 1 , 1 , 22 zx xx zz m x yQ x y hhhh zz mx yQ x y hhhh σσ ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ 22 422 22 22 22 11234 1 , 1 , 22 11234 1 , 1 , 22 yz yy zz m x yQ x y hhhh zz mx yQx y hhhh σσ ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞⎛⎞ −− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ , z z p x y h σ 9 对于式8的这种表达式，显然采用了直法线假定，即中面法线在变形后仍维 持为直线， 1x ψψ和 2y ψψ分别是直法线绕y轴和x轴的转角， 3 , , w x yux y 是中面挠度。 对于式9的表达式， 明显地已满足边界条件5， 同时 x M， y M和 xy M 分别是弯矩和扭矩， 1x QQ和 2y QQ是横向剪力， 它们与应力间有如下关系式 （见 3 附录一的说明） / 2/2 11 / 2/ 2 dd hh xx hh MMzzzzσσ −− ∫∫ /2/2 22 /2/2 dd hh yy hh MMzzzzσσ −− ∫∫ /2/2 66 /2/2 dd hh xyxy hh MMzzzzσσ −− ∫∫ /2/2 15 /2/2 dd hh xzx hh QQzzσσ −− ∫∫ /2/2 24 /2/2 dd hh yyz hh QQzzσσ −− ∫∫ 10 将式8和9代入式1完成对z的积分，就可得到一个近似的 2 Γ，它的自变函 数将是二维函数 1 ψ、 2 ψ、 3 u、 1 M、 2 M、 6 M、 1 Q和 2 Q共8个。首先注意到本问 题中0 i f ，其次研究边界积分的各项，对于 1 B只存在于侧面，有 11 /2 / 2 dd d h jijinnnssnz h BC nuBuvwzsσσσσ − − − ∫∫∫∫ 11 对于 2 B有两部份，第一部份在上下表面（ 2 B′ ）,在这里已满足0 jiji npσ−，第二 部份在侧面（ 2 B′′ ） ，只需计算这第二部份即可，有 222 2 /2 /2 ddd [ ]d d jijiijijiijijii BBB h nnnnsnssnznz h C np uBnp uBnp uB uvwz s σσσ σσσσσσ ′′′ − −− −−−− −−−− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ 12 在式11和12中的 1 C和 2 C表示板中面边界线上固定部分和自由部分。 将式8和9代入式7，就可得到 n σ， ns σ， nz σ， n u和 s v，将它们和w的表 达式一起代入式11和12，并完成对z的积分，就将两个面积分简化为线积分， 即（见附录二） 11 dd jijinnsnsn BC nuBMMwQsσψψ−− ∫∫∫ 13 和（见附录三） 22 d[]d jijiinnnsnsnsnn BC np uBMMMMw QQsσψψ−−−−−− ∫∫∫ 14 式中 / 2 3 / 2 12 d h nn h zuz h ψ − − ∫ ， /2 3 /2 12 d h ss h zvz h ψ − − ∫ 15 4 /2 /2 d h nn h Mzzσ − ∫ ， /2 /2 d h nsns h Mzzσ − ∫ /2 /2 d h nnz h Qzσ − ∫ ， 2 /2 2 /2 34 1 , d 2 h h z ww s zz hh − ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 1122nxy nnlmψψψψψ， 2112sxy nnmlψψψψψ − − （反之有 xns lmψψψ−， yns mlψψψ） 2222 1112622 22 nxxyy Mn Mn n Mn Ml MlmMm M 2222 1221126 nsyxxy Mn n MMnnMlm MMlmM−−−− 1122nxy QnQn QlQmQ 16 如果直接将式7代入式15中具有一横的相应量，并按式10的定义，就可导 出式16。 继而计算式1中的体积分，两项中的一项内含有余应变能密度，按式2有 222 123122331 222 456 22222 1212645 2 3123 11 [2 22 21] 11 [221] 22 1 [2 ] 2 cpqpq Vs E EG E σ σσσσν σ σσ σσ σ ν σσσ σσνσ σν σσσ σν σσσ − − − 17 式17是各向同性情形表达式。 将式9代入式17，并作下列对z的积分，就得单位面积的余应变能密度 a V , 因此（见附录四） /2 /2 22222 x 3 2 22 ddd d 63 [221] 5 11 d 51024 h cac h V xyyxyxy xxyyxyxy VVVVz MM MMMQQ GhEh php m Qm QmmMM GhGhEhE νν ν − ΩΩ Ω Ω Ω ⎧ ⎨ ⎩ ⎫ −Ω ⎬ ⎭ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫ - 18 式中Ω是板的中面区域。再计算第二个体积分因为0 i f /2 ,, /2 dd d h ij jiij ji h V uVuzσσ − Ω Ω ∫∫∫∫∫∫ 19 将式8和9代入式19并完成对z的积分，计算得（见附录五） 5 , d d d ij ji V xy x xxx xyyy x yyy uV M M mQ xy MMQ Q mQp wxy xyxy σ ψ ψ Ω ⎡∂⎛⎞ ∂ −−− ⎢⎜ ⎟ ∂∂ ⎢⎝ ⎠⎣ ∂∂∂⎤⎛⎞⎛⎞ ∂ −−− ⎥⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎥⎝⎠⎝⎠ ⎦ ∫∫∫ ∫∫ 20 于是将式13、14、18和20代入式1，就得到 22222 2 3 2 22 63 [221] 5 11 51024 d d xxyyxyxy xxyyxyxy xyxyy x xxxyyy y x nnsns MM MMMQQ EhGh php m Qm QmmMM GhGhEhE MMM M mQmQ xyxy Q Q p wxyMM xy νν ν ψψ ψψ Ω ⎧ Γ ⎨ ⎩ − ∂∂∂⎛⎞⎛⎞ ∂ −−−−−− ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ∂⎫⎛⎞ ∂⎪ ⎬⎜⎟ ∂∂ ⎪⎝⎠ ⎭ ∫∫ - 1 2 d []d n C nnnsnsnsnn C wQs MMMMw QQsψψ − −−−− ∫ ∫ 21 泛函 2 Γ中的8个自变函数是w、 x ψ、 y ψ、 x M、 y M、 xy M、 x Q和 y Q。最后由 2 0δΓ 22 可以导出下列方程（见附录六） 平衡方程 xy x xx xyy yy y x M M Qm xy MM Qm xy Q Q p xy ∂ ∂ − ∂∂ ∂∂ − ∂∂ ∂ ∂ − ∂∂ 23 广义内力和广义位移关系式 3 12 x xy p MM xEEh ψν ν ∂ − ∂ -- 3 12 y yx p MM yEhE ψ ν ν ∂ − ∂ -- 3 241 y x xy M yxEh ψ ψν ∂⎛⎞ ∂ − ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 24 6 61 55 xxx w Qm xGhGh ψ ∂ − ∂ 61 55 yyy w Qm xGhGh ψ ∂ − ∂ 边界条件 1 Cww， nn ψψ， ss ψψ 2 C nn MM， nsns MM， nn QQ 25 式24也可写成如下形式 1 y x x Dp MD xyEh ψ ψνν ν ∂⎛⎞ ∂ − ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 1 y x y Dp MD yxEh ψ ψνν ν ∂⎛⎞ ∂ − ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 1 2 y x xy MD yx ψ ψν ∂⎛⎞ ∂− − ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ 1 6 xxx w QmC x ψ ∂⎛⎞ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ 1 6 yyy w QmC y ψ ⎛⎞∂ − ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ 26 式中C和D分别为剪切刚度和弯曲刚度 5 6 CGh， 3 2 121 Eh D ν − 27 通过这一过程将三维问题化归二维问题，这个理论由Reissner首先推导，这 个理论与薄板理论相比，至少有两点明显改变 1 x Q和 y Q是独立内力； 2 边界条件由两个变为三个，更为自然，符合实际。 这种考虑问题的方法也可应用于梁和壳等结构上。 有关推导过程中的计算细节附后。 附录一、式附录一、式10的来历的来历 在式9中，注意到 7 3 /2 2 /2 d 12 h h h zz − ∫ F1-1 因此 /2 /2 d h xx h Mzzσ − ∫， /2 /2 d h yy h Mzzσ − ∫， /2 /2 d h xyxy h Mzzσ − ∫ F1-2 类似地 2 /2 2 /2 12 1d0 h h z z h − ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ ， 2 /2 2 /2 42 1d 3 h h zh z h − ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ F1-3 因此 /2 /2 d h xzx h Qzσ − ∫， /2 /2 d h yyz h Qzσ − ∫ F1-4 上面这些公式说明了式10的正确性和来历。 附录二、公式附录二、公式13的推导的推导 在侧面上，法线方向为 12 ,,0n n，因此 1 1 1 1 111212112122221312323 22 d []d [ ]d [ ]d [2 jiji B B xxyxyyzxyz B xxynsxyynszxyz B xxyy nuB nnunnunnuB lmulmvlmwB lmlumvlmmulvlmwB llmm σ σσσσσσ σσσσσσ σσσσσσ σσσ − − − −− − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 22 ]d nyxxyxys B zxyz ulmlmlmv lmwB σσσσ σσ −− ∫∫ 1 /2 2222 33 /2 22 22 1212 2[] 11234 11d d 22 h xxyynyxxys h C xyxy zz l MlmMm Mulm MMlmMv hh zz lmmmlQmQwz s hhhh − ⎧ −−− ⎨ ⎩ ⎫⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞⎪ −− ⎬⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎪⎣⎦ ⎭ ∫∫ F2-1 8 1 1 2 / 2/ 2/2 332 / 2/2/ 2 121234 dd1dd 2 d hhh nnsnsn hhh C nnsnn C zzz uzMvzMwzQs hhhh MMwQsψψ −−− ⎡⎤⎛⎞ −−−− ⎢⎥⎜⎟ ⎝⎠⎣⎦ − ∫∫∫∫ ∫ 这里应用式15和16。这种推导方法与正文中由式11导出的公式是一致的。 附录三、公式附录三、公式14的推导的推导 根据式12有 2 2 2 2 /2 /2 /2 /2 /2/2/2 /2/2/2 d [ ]d d [ ]d d d ddd [ jijii B h nnnnsnssnznz h C h nnnnsnssnznz h C hhh nnnnsnssnznz hhh C np uB uvwz s zzwz s zzzzzws σ σσσσσσ σσψσσψσσ σσψσσψσσ − − −−− −− −−−− −−−− ⎡⎤ −−−− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ 2 ]d nnnnsnssnn C MMMMQQ wsψψ−−−− ∫ F3-1 式中 n M， ns M和 n Q的定义在式15，而利用式7有 /2/2 22 /2/2 22 /2/2 22 /2/2 22 /2/2 /2/2 d2d 2 dd dd hh nnxxyy hh xxyy hh nsnsxyyx hh xyyx hh nnzzxyzxy hh Mzzz llmmz l MlmMm M Mzzz lmlmz lmMlm MM MzlmzlQmQ σσσσ σσσσ σσσ −− −− −− −− −− ∫∫ ∫∫ ∫∫ F3-2 这里利用了式10。 分别利用式7，8，16的前两式，容易导出 , nnss uzvzψψ − − F3-3 附录四、公式附录四、公式18的推导的推导 只需计算 / 2 / 2 d h c h Vz − ∫ 。将式9代入上式，利用式17，对于第一个方括号中的 9 第一项有 2 /2/2 22 6 /2/2 /23 3222 663 /2 11144 dd 22 1441446 632 hh x hh h xxx h z zMz EEh h zMMM EhEhEh σ −− − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ 1 F4-1 可以对其它项作类似的推导，这样可得第一个方括号积分为 /2 222 12126 /2 222 3 1 [221]d 2 6 [221] h h xxyyxy z E MM MMM Eh σσνσ σν σ νν − − ∫ - F4-2 对于式17的第二个方括号中的第一项，有 /2 2 4 /2 2 22 /2 22 /2 222 /2/2 2 22222 /2/2 2 2 /2 2 22 /2 1 d 2 111234 11 , d 222 943124 1d11d 84 112 1d 8 3 5 h h h yy h hh yyy hh h y h y z G zz mQx yz Ghhhh zzz zQzm Q GhhGhhh z zm Ghh Q Gh σ − − −− − ⎡⎤⎛⎞⎛⎞ −− ⎢⎥⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎣⎦ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −−− ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 22 11 510 yyy m Qm GhGh F4-3 因此第二个圆括号积分为 /2 22 45 /2 2222 1 d 2 311 5510 h h xyxxyyxy z G QQm Qm Qmm GhGhGh σσ − ∫ F4-4 对于式17第三个方括号的积分 /2 2 3123 /2 /2/2 222 24 /2/2 2 1 [2 ]d 2 1112 d2d 2 24 h h hh xy hh xy z E zzpzz MMp E hh hpp MM EEh σν σσσ ν ν − −− − ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎣⎦ − ∫ ∫∫ F4-5 利用式F4-2、F4-4和F4-5即可得到式18。 附录五、公式附录五、公式20的推导的推导 10 利用式8和9，则由于 2 3 2 3 2 2 2 2 12 12 112 1 2 34 1 2 xyxy xzxx xxx xyyyzxyy yyy yzy zxxz M Mz umQ xyzhxy MM z vmQ xyzhxy m mz w xyzhhxy z hh σ σσ ψ σσσ ψ σ σσ ∂∂⎛⎞⎛⎞ ∂∂∂ −−− ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ∂∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞ −−− ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ∂⎡∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞ ∂∂∂ − ⎢⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎣ ⎛⎞ − ⎜ ⎝⎠ y x Q Qp w xyh ∂⎤⎛⎞ ∂ ⎥⎜⎟⎟ ∂∂ ⎝⎠⎦ F5-1 于是有 /2 / 2 / 2 , / 2 d d h xyxyyyz xzx h yz zxz h ij ji h xyxyy x xxxyyy y x uv xyzxyz wz xyz uz MMM M mQmQ xyxy Q Q p w xy σσσσ σσ σ σσ σ ψψ − − ⎡∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞ ∂∂ ⎢⎜ ⎟⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎢⎝ ⎠⎝⎠⎣ ∂⎤⎛⎞ ∂∂ ⎥⎜⎟ ∂∂∂ ⎥⎝⎠ ⎦ ∂∂∂⎛⎞⎛⎞ ∂ −−−−−− ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ ∂⎛⎞ ∂ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ∫ ∫ F5-2 附录六、关于附录六、关于 2 δΓ的计算的计算 按式21有 2 3 6 {[22 241] 61 55 xxxyyxyyxyxy xxyyxxyyxy xyxyy x xxxyyy y x xxxy MMMMMMMMMM Eh p QQQQmQmQMM GhGhEh MMM M MQMQ xyxy Q Q pwMM xyxy δδνδδδνδ ν δδδδδδ δψδψ δψδδδ Ω Γ − ∂∂∂⎛⎞ ∂ −−−−−− ⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠ ∂⎛⎞ ∂∂∂ −− ⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠ ∫∫ - x Q ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 11 12 2 }d d d[ ]dd yxyyyxy nnsnsnnnnnsnss CC nnnnsnsn C MMQwQQxy yyxy MMw QsMMMM QQwsMMw Qs ψδδδδδ ψ δψ δδδψδψ δψ δψ δδ ⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂ −− ⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠ −−− −−− ∫∫ ∫ F6-1 注意到 d d d d d xxxyyxyy xy xxxxyyxyyyxy C yy xx xxyxyyxy MMMM xyxy wQQxy xy lMmMlMmMlw Qwm Qs ww MMMMQQxy xyxyxy ψδδψδδ δδ ψ δψ δψ δψ δδδ ψψ ψψ δδδδδδ Ω Ω ⎡⎛⎞⎛⎞ ∂∂∂∂ − ⎢⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎣ ⎤⎛⎞ ∂∂ ⎥⎜⎟ ∂∂ ⎝ ⎠⎦ −−− ∂∂⎛⎞ ∂∂∂∂ −− ⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠ ∫∫ ∫ ∫∫ － []d d d xxxyyxyyxy C yy xx xxyyxy l Mm Ml Mm Mw l Qm Qs ww MMMQQxy xyxyxy ψδδψδδδδ ψψ ψψ δδδδδ Ω −− ⎡∂∂⎤⎛⎞ ∂∂∂∂ −− ⎢⎥⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦ ∫ ∫∫ 2222 [ ]d d d {2[] }d nsxxynsxyy C xy yy xx xxyyxy nxxyysxyyx C xy lml Mm Mmll Mm M wlQmQs ww MMMQQxy xyxyxy l MlmMm MlmMlm MM wlQmQs ψψδδψψδδ δ ψψ ψψ δδδδδ ψ δψ δ δ Ω −− − ⎡∂∂⎤⎛⎞ ∂∂∂∂ −− ⎢⎥⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎣⎦ −−− − ∫ ∫∫ ∫ d d []d d d yy xx xxyyxy nnsnsn C yy xx xxyyxy ww MMMQQxy xyxyxy MMw Qs ww MMMQQxy xyxyxy ψψ ψψ δδδδδ ψ δψ δδ ψψ ψψ δδδδδ Ω Ω ⎡∂∂⎤⎛⎞ ∂∂∂∂ −− ⎢⎥⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎣⎦ −− ⎡∂∂⎤⎛⎞ ∂∂∂∂ −− ⎢⎥⎜⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎣⎦ ∫∫ ∫ ∫∫ F6-2 将此式代入 2 δΓ 的计算式中，得（注意到 12 CCC） 12 2 33 1212 y x xyxyxy pp MMMMMM EhxEhEhyEh ψ ψνν δνδνδ Ω ⎧∂⎡⎤ ∂⎪⎡⎤ Γ −− ⎨⎢⎥ ⎢⎥ ∂∂ ⎣⎦⎪ ⎣⎦⎩ ∫∫ -- 3 24161 55 61 55 d d [ y x xyxyxxxx xy x yyyyxxx xyyy x yyy nnn w MMQmQ EhyxGhGhx M Mw QmQmQ GhGhyxy MMQ Q mQpwxy xyxy M ψ ψν δψδ ψδδψ δψδ ψψδψ ∂⎡⎤ ∂∂ ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎢⎥ ∂∂∂ ⎣⎦ ⎣⎦ ∂⎛⎞ ⎡⎤∂∂ −−−− ⎜⎟⎢⎥ ∂∂∂ ⎣⎦⎝⎠ ∂∂∂⎫⎛⎞⎛⎞ ∂⎪ −−− ⎬⎜⎟⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎪⎝⎠⎝⎠ ⎭ − 1 2 ]d []d ssnsn C nnnnsnssnn C MwwQs MMMMQQws ψδδ δψδψδ −−− −−−− ∫ ∫ F6-3 注意到 x δψ和 y δψ的任意性，必有 n δψ和 s δψ的任意性。同样地 x Qδ和 y Qδ的任意 性导出 n Qδ的任意性， x Mδ、 y Mδ和 xy Mδ的任意性导出 n Mδ和 ns Mδ的任意性。 则由 2 0δΓ 导出式23，24和25。