变分原理-1.pdf

1 1 弹性静力学变分原理弹性静力学变分原理 一、弹性力学平衡问题的基本方程一、弹性力学平衡问题的基本方程 , 0 ij ji fσ 1-1 ,, /2 iji jj i uuε 1-2 ijijklkl cσε 或 ijijklkl sεσ 在域V内 1-3a,b 式中 ijklijlkjiklklij cccc 1-4 边界条件在域V的边界B上， 12 BBB∪，有 ii uu， 在 1 B上 1-5 ijiji pnpσ， 在 2 B上 1-6 二、变形可能位移和静力可能应力二、变形可能位移和静力可能应力 满足方程1-2和1-5的位移和应变，称为变形可能位移和变形可能应变，将 变形可能应变代入1-3a计算所得的应力称为变形可能应力。 满足方程1-1和1-6的应力称为静力可能应力，将静力可能应力代入1-3b 所得到的应变称为静力可能应变，如果相应此应变还有位移的话，就称为静力可 能位移。 通常称方程1-2和1-5为连续条件，称方程1-1和1-6为平衡条件。因此满 足连续条件的位移称为变形可能位移，满足平衡条件的应力便是静力可能应力。 变形可能位移记成 k i u，静力可能应力记成 s ij σ。 三、功的互等定理三、功的互等定理 根据散度定理，有下列数学恒等式 ,, ddd iji jjijiij ji VBV uVnuBuVσσσ− ∫∫∫∫∫∫∫∫ 3-1 2 如果 ij σ是对称张量，则式3-1可改写为 , ddd ijijjijiij ji VBV VnuBuVσ εσσ− ∫∫∫∫∫∫∫∫ 3-2a 或 ddd ijijiiii VBV VpuBf uVσ ε ∫∫∫∫∫∫∫∫ 3-2b 式中 ,, /2 iji jj i uuε， ,iij j fσ −， ijij pnσ 3-3 写成式3-2b的形式，看上去各量都有物理意义，而事实上式3-1中 ij σ和 i u等诸 量都是相互独立、任意的。 现 在 考 虑 一 弹 性 体 在 两 组 外 力 11 , ii fp和 22 , ii fp作 用 下 的 两 组 解 111 ,, iijij uσε和 222 ,, iijij uσε。由于这两组解都是精确解，所以满足式3-3，利用式 3-2b来考察下列两式 121212 ddd ijijiiii VBV Vp uBf uVσ ε ∫∫∫∫∫∫∫∫ 3-4 212121 ddd ijijiiii VBV Vp uBf uVσ ε ∫∫∫∫∫∫∫∫ 3-5 利用式1-3a可将式3-4和3-5左端的被积函数写成如下形式 1212ijijijklklij cσ εε ε， 2121ijijijklklij cσ εεε 3-6 再利用式1-4中 ijklklij cc由上式得 1221ijijijij σ εσ ε 3-7 于是由式3-4和3-5得 12122121 dddd iiiiiiii BVBV p uBf uVp uBf uV ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 3-8 功的互等定理功的互等定理第一组外力在对应的第二组位移上所作的功等于第二外力在 第一组位移上所作的功。 式3-7则表示内力的功的互等定理。 四、最小势能原理四、最小势能原理 总势能 2 ddd iiiiii VVB uuUVf uVpuBΠ−− ∫∫∫∫∫∫∫∫ 4-1 其中 i uU是应变能密度，即单位体积应变能 3 1 2 iijklijkl uUcε ε 4-2 最小势能原理最小势能原理在所有变形可能位移中，精确解使总势能取极小值。 证明如下。首先将 k i u写成如下形式 k iii uuu ∆ 4-3 式中 i u是精确解，由于 k i u和 i u均满足式1-5，故 0 i u∆ 在 1 B上 4-4 按式4-3计算变形可能应变 k ijijij εεε∆， ,,[ ]/2ji ijij uuε∆∆ ∆ 4-5 按式4-1计算 2 2 1 dd 2 d dd dd i k iijklijijklkliii VV iii B iijklklij VV iiii VB Uu ucVf uuV p uuB ucVV fuVpuB εεεε εε∆ Π∆∆−∆ −∆ Π∆ −∆−∆ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ 4-6 式中 1 2 iijklijkl uUcεε∆∆∆ 4-7 由式3-2b可得 ddd0 ijijiiii VVB VfuVpuBσε∆−∆−∆ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 4-8 由式1-3a和4-4，以及式4-8可得 2 ddd ddd0 ijklklijiiii VVB ijijiiii VVB cVfuVpuB VfuVpuB εε σε ∆−∆−∆ ∆−∆−∆ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 4-9 因此，式4-6简化为 d i k ii V uuuUV∆∏ ∏∫∫∫ 4-10 式中 i u∏是精确解的总势能， 注意到式4-7所示的 i uU∆是正定二次型， 只有当 0 ij ε∆时才等于零，否则总是大于零，而0 ij ε∆表示 k i u和 i u只相差一个刚体位 移，因此定理得证。 4 五、最小势能原理的逆定理五、最小势能原理的逆定理 最小势能原理的逆定理最小势能原理的逆定理使总势能取极小值的可能位移必满足平衡条件。 【证明】使 i uΠ取极值的可能位移，必有 0 i uδΠ 5-1 将式4-1所示总势能代入式5-1，得 2 2 2 2 , , ddd ddd ddd ddd iijklklijiiii VVB ijijiiii VVB iji jiiii VVB j ijiiiii VVB ucVfuVp uB VfuVp uB uVfuVp uB uVfuVp uB δε δεδδ σ δεδδ σ δδδ σδδδ Π−− −− −− −− ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 利用数学恒等式3-1，将其中 i u改为 i uδ，就可将上式改写为 2 21 2 , , , dddd ddd dd0 ijijiij jiiiii BVVB jijiiij jiijiji BVB jijiiij jii BV unuBuVfuVp uB npuBfuVnuB npuBfuV δσ δσδδδ σδσδσ δ σδσδ Π−−− −− −− ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ 5-2 由于在 1 B上有 ii uu，故在 1 B上0 i uδ，则有上式。 在式5-2中，由于 i uδ的任意性，即可推出 , 0 ij ji fσ，在V内 0 jiji npσ−，在 2 B上 5-3 式5-3即是平衡条件，证毕。 六、最小余能原理六、最小余能原理 最小余能原理最小余能原理与精确解相应的余能 ij σΓ小于任何其他静力可能应力相应 5 的余能 s ij σΓ。 【证明】系统的余能是 1 1 dd 2 ijijklijkljiji VB sVnuBσσ σσΓ− ∫∫∫∫∫ 6-1 设 ij σ， ij γ和 i u表示精确解， s ij σ是一组静力可能应力，将其写成如下形式 s ijijij σσσ∆ 6-2 假设 s ij σ和 ij σ∆均为对称张量。由于 s ij σ和 ij σ都满足平衡条件 , 0 ij ji fσ，在V内 0 jiji npσ−，在 2 B上 6-3 故 ij σ∆满足下列条件 , 0 ijj σ∆，在V内 0 jij nσ∆，在 2 B上 6-4 现在来计算 s ij σΓ，将式6-2代入式6-1有 1 1 1 ddd 2 1 ddd 2 s ijijij ijijklklijijklklijjiji VVB ijijklklijijijjiji VVB sVsVnuB sVVnuB σσσ σσσσσσ σσσεσσ Γ Γ∆ Γ∆∆∆−∆ Γ∆∆∆−∆ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 6-5 不难证明式6-5的最后两项等于零，因 ij ε是精确解的应变，因此 11 1 121 2 , , , , dddd ddd dddd dd0 ijijjijiiji jjiji VBVB jijiijjijiji BVB jijijijiijjijiji BBVB jijiijji BV VnuBuVnuB nuBuVnuB nuBnuBuVnuB nuBuV εσσσσ σσσ σσσσ σσ ∆−∆∆−∆ ∆−∆−∆ ∆∆−∆−∆ ∆−∆ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ 6-6 由于式6-4之故，因此式6-6最后两项均为零，这样式6-5简化为 6 1 d 2 s ijijijklklij V sVσσσσΓ Γ∆∆ ∫∫∫ 6-7 式6-7最后一项的被积函数是正定二次型，因此 d0 ijklklij V sVσσ∆∆≥ ∫∫∫ 当且仅当0 ij σ∆时，上式才会等于零，而0 ij σ∆表示 s ijij σσ，此时 s ijij σσΓ Γ，除此之外，都有 s ijij σσΓ Γ。 七、最小余能原理的逆定理七、最小余能原理的逆定理 最小余能原理的逆定理最小余能原理的逆定理使总余能 ij σΓ取极小值的静力可能应力，必满足 Beltrami-Michell的协调方程。 【证明】由于静力可能应力要预先满足平衡条件，即式1-1和1-6，故要构造一 个新的泛函 1 2 * ,, , 1 dd 2 dd ijiiijklijkljiji VB ij jiijijii VB sVnuB fVnpB σλ βσ σσ σλσβ Γ− − ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ 7-1 式中 i λ和 i β都是拉格朗日乘子。式7-1所示泛函的自变函数是 ij σ， i λ和 i β。 使 * ,, ijii σλ βΓ取驻值的 ij σ必使 * ,,0 ijii δσλ βΓ。现在来计算 1 22 * ,, ,, dd dd dd ijiiijklklijjiji VB ij jiij jii VV jijiijiji BB sVnuB VfV npBnB δσλ βσ δσδσ δσλσδλ σδβδσ β Γ− − ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 7-2 注意到 ,,, dddd dd ij jiijjiijijiji j VVBV ijijijij BV VVnBV nBV λ δσλδσλδσ λδσ λ λδσε δσ − − ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ 7-3 式中 ,, 2 i jj i ij λ λλ ε 7-4 7 将式7-3代入式7-2得 21 2 * ,, , dd dd d ijiiijklklijijij jii VV jijiiijjiij BB ijjiij B sVfV npBnn uB nnB λ δσλ βσεδσσδλ σδβλδσ λβ δσ Γ− −− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ ∫∫ 7-5 由于 ij δσ， i δλ和 i δβ的任意性，按式7-5由 * ,,0 ijii δσλ βΓ得 0 ijklklij s λ σε−，在V内 7-6 , 0 ij ji fσ， 在V内 7-7 0 jiji npσ−， 在 2 B上 7-8 0 iij u nλ−， 在 1 B上 7-9 0 iij nλβ， 在 2 B上 7-10 由于1 jj n n ，故在式7-9和7-10的两端都乘上 j n，就可导得 0 ii uλ−， 在 1 B上 7-9a 0 ii λβ， 在 2 B上 7-10a 式7-7和7-8是平衡条件，是静力可能应力预先应满足的方程；式7-9a和 7-10a显示 i λ和 i β均有位移量纲，不妨取 iii uλβ − 7-11 由式7-4可导出下列6式应变协调条件 ,,,, 0 ij klkl ijik jljl ik λλλλ εεεε−− 7-12a 即 11,2222,1112,12 22,3333,2223,23 33,1111,3331,31 11,2323,1131,1212,13 22,3131,2212,2323,12 33,1212,3323,3131,23 20 20 20 0 0 0 λλλ λλλ λλλ λλλλ λλλλ λλλλ εεε εεε εεε εεεε εεεε εεεε − − − −− −− −− 7-12b 将式7-6中的 ij λ ε代入式7-12则得用 ij σ表示的应变协调方程 8 ,,,, 0 ijmnikmn S mn klklmnmn ijmn jljlmnmn ik sssσσσσ−− 7-13a 尽管可以用式7-7对上述6个方程作一定简化，但当材料为任意各向异性时，情 形依旧十分复杂；在各向同性情形，这6个方程可以化为所谓的Beltrami-Michell 协调方程，具体形式如下 ,,,,, 1 0 11 ij kkiji jj ik kij fff δ σ − Θ 7-13b 式中 kk σΘ ， ij δ为Kronecker delta，是泊松比。 八、八、Hellinger-Reissner 二类变量广义变分原理二类变量广义变分原理 如果在式7-1中取 iii uλβ −，就得到一个二类变量的泛函 12 2, 1 ,dd 2 dd ijiijklijklij jii VV jijijijii BB usVf uV nuBnp uB σσ σσ σσ Γ −−− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 8-1 这称为二类变量广义余能。 利用数学恒等式3-1，即 ,, ddd ij jijijiiji j VBV uVnuBuVσσσ− ∫∫∫∫∫∫∫∫ 8-2 就可将式8-1作适当改写，同时将该式两端乘1−，得 12 22 , ,, 1 ddd 2 dd ijiiji iji jijklklijii VVV jijiii BB uu uVsVf uV nuuBpuB σσ σσ σ σ Π −Γ −− −−− ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 8-3 这称为二类变量广义势能。 显然有 22 0Π Γ 8-4 二类变量广义变分原理二类变量广义变分原理精确解 ij σ和 i u使二类变量广义余能或广义势能取驻 值，即使 2 0δΓ ， 2 0δΠ 8-5 按式8-1计算 2 δΓ，得与式7-5相似的结果 9 21 2, ,dd dd ijiijklklijijij jii VV jijiiiijij BB usVfuV npuBuu nB δσσεδσσδ σδδσ Γ− −−− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 8-6 由于精确解 ij σ和 i u满足式1-1，1-3b，1-5和1-6，故式8-6的等号右端为零， 即证明了 2 ,0 iji uδσΓ。然后，利用式8-4可得 2 ,0 iji uδσΠ。于是原理证毕。 二类变量广义变分原理逆定理二类变量广义变分原理逆定理使二类广义势能或广义余能取驻值的应力和 位移，必满足弹性力学全部方程式1-1，1-3b，1-5和1-6。 【证明】 令式8-6所示的 2 ,0 iji uδσΓ， 由 ij δσ和 i uδ的任意性， 立即得到式1-1， 1-3b，1-5和1-6四个方程式，因为取驻值必使一阶变分为零，则定理得证。 . 九、胡海昌－鹫津三类变量广义变分原理九、胡海昌－鹫津三类变量广义变分原理 总势能可写成如下形式 2 1 ddd 2 ijklklijiiii VVB cVf uVpuBε εΠ −− ∫∫∫∫∫∫∫∫ 9-1 式中 ,, /2 iji jj i uuε，在V内 9-2 在应用最小势能原理时，位移 i u必须是变形可能位移，因此除满足式9-2之 外，还要求 ii uu，在 1 B上 9-3 式9-2和9-3正如前面所述，称为连续条件。 现在来构造一个新泛函 21 * ,, 1 [/2] d 2 dd ijklklijiiijiji jj i V iiiii BB cf uuuV p uBp uuB ε εσε ⎧⎫ Π −−− ⎨⎬ ⎩⎭ −−− ∫∫∫ ∫∫∫∫ 9-4 式9-4出现的对称张量 ij σ和 i p均作为拉格朗日乘子引入，而 ij σ和 i p前的负号的 引入仅仅是为了以后推导上的方便。 为了保证 * Π具有能量的量纲， 则 ij σ应具有应 力量纲， i p应具有表面力的量纲。 * Π的自变函数为 ij ε、 i u、 ij σ和 i p。 进一步来考察 * 0δΠ 的结果。由式9-4出发，有 10 211 1 * ,,, ,, dd [/2]dd ddd d[/2]d d ijklklijii VV iji jj iijijiji j VV iiiiii BBB ijklklijijiji jj iij VV iii B cVfuV uuVuV p uBuupBp uB cVuuV uupBf δε δεδ εδσσδεδ δδδ εσδεεδσ δ Π − −−−− −−−− −−− −−− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫∫ 21 , dd dd iiiji j VV iiii BB uVuV puBp uB δσ δ δ −− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 9-5 在上面的推导中，已将 ,, /2 iji jj i uuσ改写为 ,iji j uσ。注意到式9-5中的一项体积 分可化为 ,, , d d dd iji jijij VV ijijij ji BV uVuV u nBuV σ δσδ σ δσδ − ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ 9-6 将式9-6代入式9-5得 1 12 * ,, , d[/2]d dd dd ijklklijijiji jj iij VV ij jiiiii VB jijiijijii BB cVuuV fuVuupB npuBnpuB δεσδεεδσ σδδ σδσδ Π −−− −−− −− ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 9-7 在 ij δσ、 ij δε、 i pδ和 i uδ是任意的情况下，由 * 0δΠ ，立即导出 0 ijklklij cεσ−，在V内 9-8 ,, /20 iji jj i uuε−，在V内 9-9 , 0 ij ji fσ， 在V内 9-10 0 ii uu−， 在 1 B上 9-11 0 jiji npσ−， 在 2 B上 9-12 0 jiji npσ−， 在 1 B上 9-13 从式9-8，9-10，9-12看到拉格朗日乘子 ij σ取成应力分量，这些式子都 11 有明确的物理意义， 式9-8－9-12就是全部的弹性力学方程， 同时， 这时式9-13 表示 i p这另一个拉格朗日乘子是表面力分量。如果我们取第二个拉格朗日乘子 i p与第一个拉格朗日乘子 ij σ存在 ijij pnσ的关系，而 ij σ就取应力分量来作拉 格朗日乘子，则式9-13总是成立的，于是式9-4所示的 * Π可改写成 2 1 3 ,, 1 ,,ddd 2 [/2]dd iijijijklklijiiii VVB ijiji jj ijijii VB ucVf uVpuB uuVnuuB σεε ε σεσ Π−− −−−− ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ 9-14 式中位移 i u，应力 ij σ和应变 ij ε都是自变函数，泛函 3 Π是这三类变量为自变函数 的广义势能，其一阶变分为 1 2 3,, , ,,d[/2]d dd d iijijijklklijijiji jj iij VV ij jiijiiij VB jijii B ucVuuV fuVn uuB npuB δσεεσδσεδσ σδδσ σδ Π−−− −−− − ∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ 9-15 此式也可直接从式9-7引入条件 ijji npσ得到。 在式9-14中，将其中一项进行改写 ,,,, [/2]dddd iji jj iiji jjijiij ji VVBV uuVuVnuBuVσσσσ− ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ 9-16 将式9-16代入式9-14，并对全式乘1−，记成 12 3, 1 ,,ddd 2 dd iijijijijijklklijij jii VVV jijijijii BB uVcVf uV nuBnp uB σεσ εε εσ σσ Γ− −−− ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫ 9-17 这称为三类变量广义余能。其一阶变分为 12 3, ,, ,,{ [/2]}d dd iijijijijklklijij jii V iji jj iij jiiijjijii BB ucfu uuV n uuBnpuB δσεσεδεσδ εδσ δσσδ Γ− − −−− ∫∫∫ ∫∫∫∫ 9-18 式中 ,,, [/2] i jiji jj iij uuuδσδσ已被利用。 显然当 i uδ、 ij δσ和 ij δε任意时，由 30 δΠ和 30 δΓ都得到下列5式 12 0 ijijklkl cσε−，在V内 9-19 ,, /20 iji jj i uuε−，在V内 9-20 , 0 ij ji fσ， 在V内 9-21 0 jii n uu−， 在 1 B上 9-22a 0 jiji npσ−， 在 2 B上 9-23 由 30 δΠ也可从式9-5得到以上5式。而式9-22可进一步简化为 0 ii uu−， 在 1 B上 9-22b 这是因为1 jj n n 之故。 因此 30 δΠ或 30 δΓ相当于弹性静力学全部方程和边界条 件。我们有如下的变分原理。 三类变量广义变分原理三类变量广义变分原理精确解使三类变量广义势能和三类变量广义余能取 驻值，即有 30 δΠ和 30 δΓ。 显然有 33 0Π Γ 9-24 三类变量广义变分原理的逆定理三类变量广义变分原理的逆定理使 3 Π或 3 Γ取驻值的应力、应变和位移，必 满足弹性力学全部方程和边界条件9-19－9-23。 十、变分原理和基本方程的关系十、变分原理和基本方程的关系 表表 1 变分原理和基本方程的关系变分原理和基本方程的关系 应力应变关系应力应变关系 变分原理变分原理 连续条件连续条件 应变能形式余能形式 平衡条件 应变能形式余能形式 平衡条件 最小势能原理 先决条件 补充条件 反映条件 最小余能原理 反映条件 补充条件先决条件 H-R 变分原理 反映条件 补充条件反映条件 H-W 变分原理 反映条件 反映条件 反映条件 一个变分原理的先决条件必须严格满足，否则该变分原理就不成立。 一个变分原理反映的规律是变分原理的结果，在根据变分原理求近似解时， 它们能自动地得到近似的满足。 13 要补充三大基本规律，需要补充一些条件，这就意味着在这一变分原理中补 充条件就是默认要成立的。 十一、变分原理间的联系十一、变分原理间的联系 1. 势能和余能之关系势能和余能之关系 势能和余能之和总为零，具体地说，我们有 0Π Γ 11-1 22 0Π Γ 11-2 33 0Π Γ 11-3 式11-2即8-4，而式11-3即9-24，构造时已明确的，无需证明。对于式11-1 证明如下。 对精确解 2 1 ,, 1 ddd 2 1 dd 2 11 dddd 22 ddd dd ijijklkliiii VVB ijklijklii VB ijijiiijijii VVVB ijijiiii VVB iji jij jijiji B cVf uVpuB sVpuB Vf uVVpuB Vf uVpuB uuVnuB εε σ σ σ εε σ σ ε σσσ Ω Π Γ −− − −− −− − ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫ ∫∫∫∫∫ . dd0 ijijjiji B uVnuBσσ Ω − ∫∫∫∫∫ 11-4 证毕。 上式表示，式11-1成立，即Γ −Π。于是有 ks iiijij uuσσ−Π≤ −ΠΓ≤ Γ 11-5 或者写成如下两式 ks iijij sk ijii u uu σσ σ −Π≤ Γ≤ Γ −Γ≤ Π≤ Π 11-6 2. 四种变分原理间的联系四种变分原理间的联系 ① 3 Π和 2 Π间的关系 14 按式9-14所示的 3 Π和8-3所示的 2 Π，容易得到 32 11 d 22 ijklijklijijijklijkl V csVε εσ εσ σ ⎡⎤ Π −Π − ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫ 11-7 注意到 11 22 ijklijklijijijklijkl csε εσ εσ σ− 1 2 ijklijijmnmnklklpqpq cssεσεσ−− 11-8a 1 2 ijklijijmnmnklklpqpq sccσεσε−− 11-8b 这里应用了 ijklklmnimjn scδ δ 11-9 由于式11-8a和11-8b所表示的是正定二次型，故当且仅当 0 ijijmnmn sεσ−，或0 ijijmnmn cσε− 11-10 时，才有 320 Π −Π，否则 320 Π −Π。这就是说，应力和应变满足应力应变关系 时 32 Π Π。也即 ij ε依赖应力 ij σ而不是自变函数时， 32 Π Π。 ② Π和 2 Π间的关系 现考察Π和 2 Π之间的关系。 2 1 ddd 2 ijklijkliiii VVB cVf uVpuBε εΠ −− ∫∫∫∫∫∫∫∫ 11-11 由于Π中的 i u要满足 ,, /2 iji jj i uuε，在V内 11-12a ii uu， 在 1 B上 11-12b 因此Π中的 i u与 2 Π中的 i u不是同一个 i u。为了作比较，假定 2 Π中的 i u也满足 11-12b，则由式8-3得到 2 2,, 1 /2dd 2 iji jj iijklklijiiii VB uusf uVpuBσσ σ ⎡⎤ Π −− ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫∫∫ 11-13 于是此时的 15 2,, 11 /2d 22 ijklklijiji jj iijklklij V cuusVε εσσ σ ⎡⎤ Π −Π − ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫∫ 11-14 注意到 ,,,,,, ,,,, 11 /4/2 22 1 [/2][/2] 2 ijkli jj ik ll kiji jj iijklklij ijkli jj iijmnmnk ll kklpqpq cuuuuuus cuusuus σσ σ σσ − −− 11-15a ,,,, 1 [/2][/2] 2 ijklijijmnm nn mklklpqp qq p scuucuuσσ−− 11-15b 由于式11-15a和11-15b都是正定二次型，故 2 0Π −Π ≥ 11-16 当且仅当 ,, /20 i jj iijmnmn uusσ−或 ,, /2 ijijmnm nn m cuuσ时，才有 2 0Π−Π 。 ③ Γ和 2 Γ间的关系 由 2 Γ的表达式8-1看到，当其中应力满足平衡方程和外力边界条件时，就变 成Γ，即 2 Γ Γ。 变分原理的应用变分原理的应用 1 用来推导各种简化理论。以三广义位移板弯曲理论为例，来说明如何应用二 类变量广义变分原理来推导它的基本方程和边界条件。 2 用来求近似解。 a Ritz法，全域假定函数 b 有限元法，分区假定插值函数。 【在有限元法的论述中，习惯于引入矩阵 记号】