变分原理-0.pdf

1 0 预备知识预备知识 一、弹性力学基本方程一、弹性力学基本方程 1. 几何方程几何方程 直角坐标下小变形情形时的几何方程为 ,2, ,2, ,2. xyzyz yzxzx zxyxy uvw xzy vwu yxz wuv zyx εγε εγε εγε ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ 01 正应变的几何意义是，对于一个微元长度（分别沿x，y，z方向） , , x y z ε − 变形后长度变形前长度 变形前长度 剪应变的几何意义是，变形前平行坐标轴的两微元（成直角） ，变形后两线段 夹角的减少，即剪应变 ij γ。 矩阵表示为 T ∇εEu 02 式中 T ,,,,, xyzyzzxxy εεεγγγε[]， T [ , , ]u v wu 03 000 000 000 xzy yzx zyx ∇ ⎛⎞∂∂∂ ⎜⎟ ∂∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟∂∂∂ ⎜⎟ ∂∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂∂ ⎜⎟ ∂∂∂ ⎝⎠ E 04 式04是一个微分算子矩阵，其中∇是算子矢量（梯度算子矢量） xyz ∂∂∂ ∇ ∂∂∂ ijk 05 式中i ，j 和k 分别是x，y和z轴的单位矢量。张量表示 2 ,, 1 2 iji jj i uuε 06 为二阶张量。 1. 平衡方程 0 0 0 yx xzx x xyyyz y yz xzz z f xyz f xyz f xyz τ στ τστ τ τσ ∂ ∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂∂ ∂∂∂ 07 矩阵表示为 0∇σfE 08 式中 T [,,,,,] xyzyzzxxy σσσ τττσ , T [,,] xyz ffff 09 通过某一点作一剖面，该剖面外法线方向为 ,, l m nγ，这里,,l m n分别是γ的 方向余弦，那么这剖面上应力在x，y，z方向上的投影,, xyz ppp为 , , . xxxyxz yxyyyz zxzyzz plmn plmn plmn σττ τστ ττσ 010 矩阵表示 pE γ σ 式中 T [,,] xyz pppp，lmnγijk 011 则 000 000 000 lnm mnl nml ∇ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ E. 012 张量表示为 , 0 ij ji fσ 013 ijij pnσ 014 式中 1 nl， 2 nm， 3 nn， 2332yz σστ， 3113xz σστ以及 1221xy σστ。 2. 应力应变关系应力应变关系 3 广义虎克定律 111213141516 122223242526 132333343536 142434444546 1525354555 xxyzyzzxxy yxyzyzzxxy zxyzyzzxxy yzxyzyzzxxy zxxyzyzzx cccccc cccccc cccccc cccccc ccccc σεεεγγγ σεεεγγγ σεεεγγγ τεεεγγγ τεεεγγ 56 162636465666 xy xyxyzyzzxxy c cccccc γ τεεεγγγ 015 或 111213141516 122223242526 132333343536 142434444546 1525354555 xxyzyzzxxy yxyzyzzxxy zxyzyzzxxy yzxyzyzzxxy zxxyzyzzx ssssss ssssss ssssss ssssss sssss εσσστττ εσσστττ εσσστττ γσσστττ γσσσττ 56 162636465666 xy xyxyzyzzxxy s ssssss τ γσσστττ 016 矩阵表示 σAε 017 或 εaσ 018 式中 [],[] ijij csAa 019 显然 AaI 020 无论A或a中都有21个独立常数，分别称为弹性常数和柔度常数。 张量表示 ijijklkl cσε 或 ijijklkl sεσ 021 注意到 ijkl c和 ijkl s都有81个分量，但独立的只有21个，因为它们有如下对称性 ijkljiklijlkklij cccc, 022 ijkljiklijlkklij ssss. 023 具体考察如下当 ijkljikl cc时，k和l各有三种不同取法，共计9种，ij也是9种 取法， 但ijji， 则1221，2332，3113， 于是3*927种不独立。 当 ijklijlk cc时， 同样有27种不独立，但定有9种与前面是重复的。于是81-27-1836，还有36种 不同取法，即ij分别为11，22，33，23，31，12，而kl也是同样的，由于 ijklklij cc， 4 则 11222211 cc， 11333311 cc， 11232311 cc， 11313111 cc， 11121211 cc， 22333322 cc， 22232322 cc，2231 3122 cc，2212 1222 cc，3323 2333 cc，3331 3133 cc，3312 1233 cc，2312 1223 cc， 31121231 cc， 共计15个等式。 因此有36-1521个独立的弹性常数。 或者 616/221 的计算方法也一样。 当张量记法的 ijkl c化到式15的 ij c时，要注意 ij ε是 ij γ的1/2，此外， 111, 222, 333,→→→234,315,126→→→，即可。 二、应变协调条件二、应变协调条件 在方程1中，如果 ij ε已知，可看成 i u的偏微分方程，3个位移分量要满足6 个方程，一般来说不可能求出 i u。要这组方程有解，应变就不能随便给定，而要 满足一定要求，这个要求称为应变协调条件。当应变满足如下六个式子时，方程 01可以求解，得到位移 i u。 应变协调条件 22 2 22 22 2 22 222 22 2 2 2 2 2 2 yxy x yyz z xzxz xyyz xzx yyzxy zx yzxy zxz x yyx y zzy z xxz y zxzyx z xyxzy x yzyxz εγ ε εγ ε εγε γγ εγ εγγ γ γγ γε ∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂∂∂ ∂ ∂∂∂ ∂∂⎛⎞ ∂∂∂ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ ∂∂∂⎛⎞ ∂∂ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ ∂∂⎛⎞ ∂∂∂ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂∂∂ ⎝⎠ 024 写成矩阵表示为 0cε. 025 式中 5 222 22 222 22 222 22 2222 2 2222 2 2222 2 000 000 000 200 020 002 x yyx y zzy z xzx y zx yz xx z xx yy zy x yz xy zz ⎛⎞∂∂∂ − ⎜⎟ ∂ ∂∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂∂ −⎜⎟ ∂ ∂∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂∂ ⎜⎟− ∂ ∂∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎜⎟−− ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎜⎟ −− ∂ ∂∂ ∂∂ ∂⎜⎟∂ ⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎜⎟ −− ⎜⎟ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎝⎠ c. 026 张量表示为 ,,,, 0 ij klkl ijik jljl ik εεεε−−. 027 三、边界条件三、边界条件 弹性体的边界为，分为1和2两部分， 12，12 0。 位移边界条件 uu， 在1上矩阵表示法 028 ii uu， 在1上张量表示法 029 力边界条件 E γp， 在2上矩阵表示法 030 ijiji pnpσ，在2上张量表示法 031 关于应变协调条件的补充关于应变协调条件的补充 将式027中应变的二次微分具体写出，有 ,,,,,, ,,,,,, 11 22 11 22 ,, ,. ij kli jklj iklkl ijk lijl kij ik jli kjlk ijljl ikj likl jik uuuu uuuu εε εε 0A 由上式可看到式027的成立是很自然的。ij有 6 种变化 11，22，33，23，31 和 12，而kl也 6 有这样 6 种变化。 首先观察11ij 情形， 当kl 11， 12， 31 时， 式027是恒等式， 故只有kl 22， 33， 23 三种情形， 它对应024中第 1 式， 第 3 式和第 4 式； 其次观察22ij 情形， 当22kl ， 23， 12 时， 式027是恒等式， 故只有kl 11， 33， 31 三种情形， 显然第一种情形,22,11ij kl 与11,22相同，实际只有kl 33，31 和前面不一样，这对应024中第 2 式和第 5 式；再次观 察33ij 情形，当kl 33，23，31 时，式027是恒等式，故只有kl 11，22，12 三种情， 而前两种与前面的等式相同，只剩下,33,12ij kl ，即对应式024中第 6 式；继续依次观察 ij23，31，12，不会出现新的恒等式，因此，式027中非零的独立的等式是 6 个，与式024 相一致。 【参考文献】 变分法变分法 1 R. Courant and D. Hilbert 1953 s of Mathematical Physics. New York Interscience Pub., Inc. 2 I. M. Gelfand and S. V. Fomin 1963 Calculus of Variations. New York Prentice-Hall, Inc. 变分原理变分原理 1 胡海昌 1981 弹性力学的变分原理及其应用. 北京 科学出版社. 2 K. Washizu 鹫津久一郎 1982 Variational s in Elasticity and Plasticity. Oxford Pergamon Press. 3 T. Mura and T. Koya 1992 Variational s in Mechanics. New York Oxford University Press. 4 D. V. Wallerstein 2002 A Variational Approach to Structural Analysis. New York John Wiely. 四、变分法基础四、变分法基础 1. 泛函的概念泛函的概念 考虑如图1所示的长为l的弹性地基梁，受荷载 q x作用，一端固支，一端自 由。 7 图图 1 弹性地基上的梁弹性地基上的梁 设梁的挠度为 w x，弯曲刚度为EJ，则梁的弯曲应变能 2 2 2 0 1 2 d d d l b w EJx x ⎛⎞ Π ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ . 032 假设梁支承在刚度系数为k的Winkler地基上，则地基中储存的能量为 2 0 1 2 d l f kwxΠ ∫ . 033 同时，载荷势能的变化为 0 d l l qw xΠ −∫ 034 因此，这个系统的总势能为 2 2 2 2 0 11 22 d d d l bfl w EJkwqwx x ⎡⎤ ⎛⎞ Π Π Π Π −−⎢⎥ ⎜⎟ ⎢⎥⎝⎠ ⎣⎦ ∫ 035 另规定边界条件为 0x 0w， d 0 d w x 036 式035中Π是一个标量，它依赖函数 w x，当 w x变化时，Π的大小和正负号也 跟着变。这种可以变化的函数称为自变函数，而依赖自变函数而变的量，称为自 变函数的泛函（Functional of function） 。 现在这个泛函是用积分形式表示的，也有不能用积分形式表示的泛函。 求弹性地基梁的精确解，可化归求泛函035的最小值问题，也就是说，求得 使Π取最小值的 w x，也就求得了弹性地基梁的精确解。因此如何去求各种各样 泛函的极值问题也就成为变分法的主要内容。 2. 变分的概念变分的概念 ① 自变函数的变分 l x qx w 8 图图 2 自变函数的变分自变函数的变分 一条曲线 yy x，如图2上GACH，在它附近另一条无限接近它的曲线 GBDH，则这条曲线的方程可写成 xxyyyδ 037 式中 xyδ是个无穷小的量，称为自变函数的变分。 ② 变分和微分的交换性 设A点纵坐标为y，则B点纵坐标为yyδ，C点纵坐标为dyy，而D点 的纵坐标则有两种计算方法。第一种从C点出发来算为 dddd yyyyyyyyδδδ 038 第二种从B点出发来算为 dddyyyyyyyyδδδδ 039 由于D为同一点，两种方法应该给出同一结果，因此令038和039两式相等，得 d dyyδδ 040 这表明微分运算和变分运算可以交换。 ③ 泛函的变分 通常是指对泛函的一阶变分，变分号可移入积分号内运算，运算规则与微分 基本一样，要注意的是已知函数的变分为零。 1680 年，牛顿（1642-1727）作了以下实验在铅垂平面内，用同样的球，沿不同的路径 从较高的 00 ,A xy点滑到较低的 11 ,B x y点（如图 3 所示， 01 xx≠） ，他发现沿一条圆弧 线比沿这两点间的直线的要快。伽利略（Galileo, 1564-1642）之前也考虑过这个问题，认为使 球滑动最快的路径就是圆弧段。1696 年 John Bernoulli （1667-1748）在教师杂志上以公 x y G H B D A C dyδy 9 开信的形式提出了此问题，即著名的最速降线问题（The brachistochrone problem） ，引起了广 泛的注意，这可以认为是变分法研究的开始。一年后 John Bernoulli 共收到了 5 份答案，分别 来自 Newton，Leibniz （1646-1716） ，l’Hopital（1661-1704） ，Jacob Bernoulli （1654-1705） 以及他自己，其中他哥哥 Jacob Bernoulli 给出的解答真正体现了现在所说的变分思想。 【早在 1690 年 Jacob 提出过悬链线问题Catenary，1691 年 Leibniz，Huygens（1629-1695） ，John Bernoulli 各自得到正确的答案。他们的方法是把问题化为二阶常微分方程。稍后由 Jacob 本 人证明这一问题可归结为泛函求极值问题，即现在所熟知的悬链线问题。 】 使变分法作为一门数学理论的是伟大的数学家 L. Euler （1707-1783） ，他于 1728 年重新 考察了最速降线问题， 1744 年发表了著名的论文 “求具有某种极大或极小性质的曲线的方法” 一文，是变分法的奠基之作，这一论文的动力来自于同 Daniel Bernoulli（1700-1782）之间的 通信。Lagrange （1736-1813）把变分思想贯串于他对力学系统的理解，他的名著“分析力学” （1788，正好是牛顿发表 Principia 一百年后）就是建立在虚功原理上。 【欧拉一生写了 886 本 书和论文，汇编成合集 74 卷，其中分析、代数、数论占 40％，几何 18％，物理、力学 28％， 天文 11％，弹道、航海、建筑 3％】 1900 年，Hilbert 在巴黎第二届国际数学家大会上提出了 23 个最重要的问题，供二十世 纪的数学家们去研究，即著名的“希尔伯特 23 个问题” ，其中的最后一个问题，即“变分法 的进一步发展” 。 3. 经典的变分问题举例经典的变分问题举例 ① 最速降线问题（The brachistochrone problem） 考虑不在同一垂线上的两个点 00 ,A xy和 11 ,B xy， 求经过这两个点的一条曲 线，使得小球沿这条曲线无摩擦滚动时，从A点到B点所需的时间最少。 图图 3 最速降线问题最速降线问题 根据能量守恒原理 2 1 2 mvmgy 041 其中m为小球的质量，g为重力加速度，v为小球在纵坐标y处的速度。从上式可 以得到 x y Bx1,y1 Ax0,y0 v 10 2vgy 042 这样小球经过某一微小曲线段元ds所花的时间为 2 1d dd 2 ys tx v gy ′ 043 因此，从A点到B点所需总的时间为 1 0 2 11 d 2 x x y Tx gy ′ ∫ 044 这样问题就归结为寻找函数（曲线） y x，满足两端固定条件 00 y xy和 11 y xy，使得式044所给出的泛函T为最小。 ② 悬链线问题（Catenary） 具体的推导可参考有关书籍。 问题最后归结为寻找函数 y x， 满足两端固定条件 00 y xy和 11 y xy， 使 得泛函 1 0 2 1d x x mgyyx′Π − ∫ 045 为最小，且满足不可伸长条件 1 0 2 1d x x yxl′ ∫ 046 ③ 等周问题（Isoperimetric problem） 1697年由John Bernoulli提出， 最早提出的变分问题之一。 具体的推导可参考 有关书籍。 问题最后归结为寻找两个函数 x t和 y t，满足闭曲线条件 12 x tx t和 12 y ty t，使得泛函 2 1 1dd d 2dd t t yx Sxyt tt ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 047 为最大，且满足等周条件 2 1 22 dd d dd t t xy tL tt ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ∫ 048 ④ 短程线问题（Shortest path problem） 11 问题最后归结为寻找经过两个点 111 ,,A x y z和 222 ,,B xyz的两个函数 y x和 z x，使得泛函 2 1 22 dd 1d dd x x yz Lx xx ⎛⎞⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ∫ 049 为最小，且满足曲面约束条件 , , 0G x y z 050 古代 Tyre 的 Phoeinican 城的公主 Dido 离开自己的家园定居在北非地中海沿岸， 国王答应 她可以用一张牛皮围地，围多少给多少。她把牛皮裁成细条，连成绳子，然后以海岸线为边 界，用牛皮绳围成半个圆圈，这样的面积最大 （思考题） 4. 变分法的基本引理（变分法的基本引理（Fundamental Lemma of calculus of variations）） If the relation 1 0 d0 x x xxxρη ∫ 051 with xρ that is a piecewise continuous function of x, holds for all continuous functions xη that vanish on the boundary, it follows that 0 xρ identically. 【见 MK1992，第14页；MK指Mura和Koya，取所引文献的作者的头一个字母，1992 为出版年份，下同。 】 上述引理可利用反证法证明（略） 。 5. 欧拉方程（欧拉方程（Euler-Lagrange Equation）） 考虑如下泛函 [ ] , ,d b a I yF x y yx′⋅∫ 052 设 Y x使以上泛函取极值，令 y xY xxαη 053 其中函数 xη满足 0abηη，且二阶导数连续。显然，当0α时，有 y xY x为所需求的函数。将式053代入泛函的表达式，得 [ ] ,, b a I yF x YYdxαηαηα′′⋅ Φ ∫ 054 12 这样就将泛函极值问题转化为函数极值问题。由于当0α时原泛函取驻值，因此 对于函数 αΦ来说，0α也为驻值点，即 0[ , , , ,]d d { , ,[ , ,]} d d b yy a b yy a F x Y YFx Y Yx Fx Y YFx Y Yx x ηη η ′ ′ ′′′′Φ ′′− ∫ ∫ 055 因此， d , ,[ , ,]0 d yy Fx Y YFx Y Y x ′ ′′− 056 式056称为泛函052的欧拉方程，其解称为驻值函数或者极值曲线Stationary functions or extreme curves。因此，如果函数 Y x能使泛函I取极值，它必须是欧 拉方程的解。可以将式056进一步展开，得到 , , , , , , , ,0 yxyyyy y Fx Y YFx Y YFx Y YyFx Y Yy ′′′ ′ ′′′′′′′−−− 057 例如，我们可以得到最速降线问题（略去泛函前面的常系数）的欧拉方程 3/ 221/2 2 1d 10 2d 1 y yyy x y −− ⎛⎞ ′ ′⎜⎟−− ⎜⎟ ′ ⎝⎠ 058 即 2 21 1 y yy ′′ − ′ 059 为一摆线方程。 【作业 1】 （2005 年 9 月 15 日） （1）求泛函 2 1 2 4d x x Iyxyx′′− ∫ 的极值曲线，满足 11 y xy， 22 y xy。 （2）求泛函 2 , 1d b a Iv x yyx′ ∫ 的欧拉方程。 6. Lagrange乘子乘子 ① 自由边界和自然边界条件 考虑泛函 [ ] , ,d b a I yF x y yx′⋅∫ 060 其变分为 d d0 d b b yyy a a IFFxFy x δδ ′′ ⎡⎤ − ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ 061 13 设 y xY x是自由边界变分问题的驻值函数， 记 a Y ay， b Y by， 则 a y和 b y 是两个固定常数，那么我们只考虑在区间端点a、b处与 Y x取相同数值的那些 函数 y x，将它们组成可取函数集，则泛函在可取函数集合上的极小问题，就是 以前上一小节中考虑过的变分问题， yY x也必然是后一问题的驻值函数，因 此可导出欧拉方程，即式061中积分核为零。由于是自由边界，因此0yδ≠，从 而可以推得 0 y F ′ , xa b 062 此所谓自然边界条件。 ② 附加条件（Subsidiary condition） 如等周问题中之等周条件、悬链线问题中之定长条件、短程线问题中之曲面 约束条件。 ③ 有条件的函数极值问题－回顾 考察如下有附加条件的函数取极值问题 min ,, sub ,, 0 f x y z g x y z 063 对函数f取微分，得 dddd0 xyz ffxfyfz 064 由于 , , 0g x y z ，上式中d x，d y和d z相互之间是不独立的。 a 如果从 , , g x y z能够解出 , zz x y，则式064变为 dd0 xzyz zz ffxffy xy ⎛⎞∂∂ ⎛⎞ ⎜⎟⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ 065 从上式可以得到 0,0 xzyz zz ffff xy ∂∂ ∂∂ 066 从上式解出x和y后，即可定出z，然后代入 , , f x y z就得到相应的极值。 b 如果不能从 , , g x y z解出 , zz x y，则对 , , g x y z求微分，得到 14 dddd0 xyz ggxgygz 067 上式乘以一个待定常数λ后与式064相加，得到 ddd0 xxyyzz fgxfgyfgzλλλ 068 令 0 zz fgλ 069 则可以从式068立即推得 0 xx fgλ， 0 yy fgλ 070 从式069，070以及 , , 0g x y z 即可确定,,x y z和λ。 ④ 有条件的泛函极值问题 a 积分形式的附加条件 考虑等周问题，泛函为 [ ] , ,d b a I yF x y yx′⋅∫ 071 满足等周条件 , ,d b a G x y yxC′ ∫ 072 以及固定端点条件 a y ay， b y by 073 【定理定理1】如果函数如果函数 yy x给出泛函给出泛函071的极小值，且满足等周条件的极小值，且满足等周条件072和固 定边界条件 和固 定边界条件073，且假定待求的函数，且假定待求的函数 yy x不是泛函不是泛函 , ,d b a G x y yx′ ∫ 的极值曲 线，则存在常数因子 的极值曲 线，则存在常数因子λ，使得函数，使得函数 yy x是泛函是泛函 dd bb aa FGxHxλ ∫∫ 074 的驻值函数，即的驻值函数，即 y x是微分方程是微分方程 d 0 d HH yxy ⎛⎞∂∂ − ⎜⎟ ′∂∂ ⎝⎠ 075 的解。的解。 【证明】令 12 y xyyy xxxδαηα ζ 076 代入泛函得 15 121212 , ,,d b a F x yyxα αα ηα ζα ηα ζ′′′Φ ∫ 077 显然原泛函取极值就是相当于函数 12 ,α αΦ在 12 0αα时取极值，且满足条件 121212 , , ,,d b a G x yyxCα αα ηα ζαηα ζ′′′Ψ ∫ 078 利用有条件函数求极值的知识，引进Lagrange乘子λ，可以得到 12 1212 1 0 [,,]0 αα α αλα α α ∂ Φ Ψ ∂ 079 12 1212 2 0 [,,]0 αα α αλα α α ∂ Φ Ψ ∂ 080 即 dd d0 dd b yyyy a FFGGxx xx λη ′′ ⎧⎫⎡⎤⎡⎤ −− ⎨⎬ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎩⎭ ∫ 081 dd d0 dd b yyyy a FFGGxx xx λζ ′′ ⎧⎫⎡⎤⎡⎤ −− ⎨⎬ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎩⎭ ∫ 082 因为d/d0 yy GGx ′ −≠，如令HFGλ，则可以得到式075。 上述定理可以推广到更一般的情形。考虑泛函 1212 ,,,,;,,,d b nn a IF x yyyy yyx′′′∫ 083 求极值问题，满足固定边界条件 iia y ay， iib y by 1, 2,, in 084 及附加条件 1212 ,,,,;,,,d b jnnj a Gx yyyy yyxC′′′ ∫ 1, 2,,jm 085 则令 1 m jj j HFGλ ∑ 086 则原问题化为下述无条件的泛函求极值问题 1212 ,,,,;,,,d b nn a JH x yyyy yyx′′′∫ 087 对应的欧拉方程为 d 0 d ii HH yxy ⎛⎞∂∂ − ⎜⎟ ′∂∂ ⎝⎠ 1, 2,, in 088 b 隐函数形式的附加条件 考虑短程线问题 16 [ , ] , , ,,d b a I yzF x y z y zx′′⋅⋅∫ 089 及附加条件 , , 0G x y z 090 则有以下定理 【定理定理2】如果曲线如果曲线 yy x， zz x 091 在位于曲面在位于曲面 , , 0G x y z 上的曲线集合中，它给出泛函上的曲线集合中，它给出泛函089的极值，并且在这一 曲线上，没有一个这样的点，使 的极值，并且在这一 曲线上，没有一个这样的点，使 y G和和 z G在这点上同时为零，则存在这样的函数在这点上同时为零，则存在这样的函数 xλ，使得曲线，使得曲线091是泛函是泛函 [ ]dd bb aa Fx GxHxλ ∫∫ 092 的极值曲线，即满足微分方程组的极值曲线，即满足微分方程组 d 0 d HH yxy ⎛⎞∂∂ − ⎜⎟ ′∂∂ ⎝⎠ ， d 0 d HH zxz ∂∂⎛⎞ − ⎜⎟ ′∂∂ ⎝⎠ 093 c 微分方程形式的附加条件 附加条件形式为 , , ,,0G x y z y z′ ′ 094 相应的定理为 【定理定理3】如果函数如果函数 yy x， zz x 095 满足边界条件满足边界条件 a y ay，， b y by，， a z az，， b z bz和附加条件和附加条件094，使泛 函 ，使泛 函089取得极小，且设取得极小，且设 y G ′和 和 z G ′（当 （当 yy x， zz x）不同时为零，则存在乘 子函数 ）不同时为零，则存在乘 子函数 xλ，使下列泛函的驻值函数，使下列泛函的驻值函数 [ ]dd bb aa Fx GxHxλ ∫∫ 096 对应微分方程组对应微分方程组 d 0 d HH yxy ⎛⎞∂∂ − ⎜⎟ ′∂∂ ⎝⎠ ， d 0 d HH zxz ∂∂⎛⎞ − ⎜⎟ ′∂∂ ⎝⎠ 097 的解。的解。 17 7. 变分学中的直接方法变分学中的直接方法 Indirect solving the Euler equation. Direct Obtaining approximate solutions directly from the variational principle. ① 李兹法 Ritz Proposed by Lord Rayleigh and, independently and from a more general point of view, by W. Ritz. 设 1 n nnii i yaϕ ∑ 1,2,n 098 其中 ni a称为李兹系数， i ϕ为独立的、完备的函数序列。将上式代入泛函[ ]I y ⋅， 例如式071，可得到 12 [],,, nnnnnn I yIaaa 099 泛函求极小转变成为函数极小问题 0 n ni I a ∂ ∂ 1, 2,,in 0100 此即李兹代数方程组，从中可以求出n个李兹系数。求出李兹系数后代入式098 即可得到对应的李兹解。 【例 1】用李兹法求泛函 1 22 0 [ ]2min.I yyyxy dx′⋅−− ∫ 的近似解，满足端点条件 010yy。 【解】取函数序列为 11, 2,, , i i x xinϕ− 例 1-1 如果取1n，则 111 1ya xx−，将此式代入泛函，完成积分，得到 2 1111111 31 106 I aaa−， 1 11 11 31 0 56 I a a ∂ − ∂ 例 1-2 因此有 11 5 18 a。如果取2n ，则 2 22122 1yx a xa x−，则可得到 32 22122212122222122 331311 , 20202101220 Iaaaa aaaa−− 例 1-3 可求出 21 71/369a和 22 7/41a。表－例 1 为三个点处 1 y， 2 y和精确解的比较。 18 例表例表 1 与精确解的比较与精确解的比较 x y 1 y 2 y 1/4 0.044 0.052 0.044 1/2 0.070 0.069 0.069 3/4 0.060 0.052 0.060 ② 伽辽金法 Galerkin 求微分方程定解问题 0L y ， 在域Ω内 0B y， 在边界∂Ω上 0101 的解。设 1 n nnii i yaϕ ∑ 0102 其中 i ϕ为满足边界条件的线性无关的、完备的函数系， ni a为伽辽金系数。可以通 过下述方式得到伽辽金代数方程组 1 ,0 n niii i Laϕϕ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ 1, 2,,in 0103 上式中 , 代表内积，即d ni L yϕ Ω Ω ∫ 。 如果微分方程0101和相应的边界条件恰好是某个变分问题的欧拉方程和边 界条件，并且当我们选取的坐标函数也是相同的时候，用伽辽金方法和李兹方法 所得到的代数方程组，在很多情况下都是一样的。 In 1915, Galerkin proposed a of approximate solution of the boundary-value problems in mathematical physics t