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第 12 卷 第 4 期 2003 年 12 月 系 统 工 程 理 论 方 法 应 用 SYSTEMS ENGINEERING- T HEORY OLOGY APPLICATIONS Vol. 12 No. 4 Dec. 2003 文章编号 1005-2542 2003 04-0371-04 储量不变条件下地下水可持续开采策略 郭安军1, 2, 屠梅曾1, 赵旭1 1. 上海交通大学 安泰管理学院, 上海 200052; 2. 上海交通大学 网络教育学院, 上海 200030 【 摘要】在我国面临水危机威胁的情况下, 研究地下水的可持续开采问题具有很重要的现实意义。本文 首先给出了地下水储量的一般关系式, 并定义了地下水可持续开采的概念。在此基础之上, 探讨了动态的地 下水储量方程, 并归纳出影响地下水储量的因素。最后, 分两种情况讨论了在地下水储量不变的条件下可持 续开采的策略。 关键词 可持续开采; 地下水; 策略 中图分类号 TV213. 4; F90; F205 文献标识码 A On Strategy of Groundwater Exploitation under the Condition of Constant Aquifer Storage GUO An-jun1, 2, TU Mei-zeng 1, ZH AO Xu1 1. Aetna School of Management Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030, China; 2. Net Education College, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200030 【 Abstract】 At present, it is imperative for China to research into the strategy of sustainable groundwater exploitation under the condition of water shortage. First this paper gives the ulation of aquifer storage and defines the sustainable groundwater exploitation. And then it discusses the dynamic ground storage equation and finds the factors that affect the aquifer storage. At last, this paper analyzes the strategy of groundwater exploitation under the condition of constant aquifer storage. Key words sustainable exploitation; groundwater; strategy 收稿日期 2002-06-26 修订日期 2002-09-28 作者简介 郭安军 1974- , 男, 博士生。 主要从事城市经济学研 究。 随着人口增长和社会经济的发展, 水资源在世 界范围内已成为稀缺资源, 甚至有些地区还出现了 水资源危机。水资源危机已经引起了世界各国的关 注与不安。 1988年世界环境与发展委员会提出的文 件指出 “ 水资源正在取代石油成为在全世界引起危 机的主要问题 WCED, 1989 。 ”联合国组织近年一 再强调大城市水资源是世界水资源问题中的重点, 而管理又是大城市水资源合理利用问题的核心。在 水资源管理中, 地下水资源的可持续开采是其重要 内容之一, 应当引起人们足够的重视。 本文主要探讨 储量不变条件下地下水可持续开采的策略。 1 地下水储量的一般表达形式 如果在 t 时间地下水储量用 X t 单位表示, 开 采率用E[ X t ] 表示, 再生率用G[ X t ] 表示, 则地 下水储量随时间而变化的过程可以用一般的微分方 程表示如下 dX t d t G[ X t ] - E[ X t ] 1 如果地下水开采率正好等于其自然再生率, 即 E [ X t ] G[ X t ] , 则地下水储量保持不变, 这 时, 开采率为可持续的开采率。但地下水开采率 E[ X t ] 是一个决策变量, 它通常取决于预先设定 的要实现的目标; 而自然再生率则取决于气候和蓄 水层的特征等条件。 Loaiciga 等[ 7]通 过 对 美 国SantaBar- bara地区1991～1995年期间的资料分析, 发现该 地区 地下水 储量的 变化过 程可以 由 France 时间t 用年来表示。 由于这个函数是在假定开采为零的情况下得出 的, 所以, 方程 2 所代表的函数的斜率dX t / dt 即 为地下水再生率。 这虽然是 Logistic 函数的特例 [ 5], 但它很好地描述了 Santa Barbara 地区地下水再生 的关键机制[ 7]。 尽管方程 2 不能被看成为描述地下 水储量随时间变化的普适模式, 但在一定水文条件 下, 它是很有用的。因此, 方程 2 所表示的 Logistic 函数可以被看成是描述地下水再生机制的一种很实 用的模型。 在没有地下水开采的情况下, 地下水的储量取 决于自然的再生率。 假设方程 2 很好地描述了该情 况。 这时, 储量的变化率dX t / dt G[ X t ] 应满足 下面的关系 G X X - X 2, X ≤ 3 式中, 储量 X 是时间 t 的函数。 2 动态的地下水储量方程 如果将方程 3 代入方程 1 , 并进行因素分解, 则得到下列关系式 dX t dt - X - A X - B , A x ≤ 4 式中 初始值 X t1 X1; 而 A 2 1 -1- 4 E , E 4 5 B 2 1 1 - 4 E , E 4 6 方程 4 表示, 如果储量 X t 是在区间[ A , B] 之外, 则储量的变化率是负的, 说明储量将下降; 如 果储量 X t 是在区间[ A , B] 之内, 侧储量的变化率 是正的, 说明储量将上升。此外, 由方程 3 可知, 当 储量 X t / 2 时, 自然再生率达到最大值, 且为 / 4。 因此, 方程 5 和 6 中条件E / 4 使得开采 率不会超过再生率的最大值, 保证了可持续开采。 当 然, A 和 B 都和开采率 E 有关。 通过计算方程 4 从时间 t1到时间 t 的积分, 可 以得到关于储量 X t 的表达式 X t - B X t - A exp - B - A t - t 1 7 此时, t≥t1, A X t ≤ 。 当时间 t 趋向于无穷大时, 方程 7 右边的值将 趋于零。 因此, 如果储量 X t 的初始值比B 大, 则当 时间 t 趋向于无穷大时, 它将最终趋向于 B; 如果储 量 X t 的初始值正好为 B, 则当时间 t 趋于无穷大 时, 它将保持不变; 如果储量 X t 的初始值介于 A 和 B 之间, 则当时间 t 趋向于无穷大时, 它也终将趋 于 B。 求解方程 7 , 可得 X t B - A X1- B X1- A e - B- A t- t1 1 - X1- B X1- A e - B- A t- t1 8 t ≥ t1, A X t ≤ 根据上式, 当储量 X t 在区间[ A , B] 之外时, 1; 否则, - 1。方程 8 还表明 储量主要和参 数 、 , 初始储量值X1, 时间跨度 t- t1 以及开采率 E 有关。这就是地下水储量动态变化的表达式。 当开采率 E / 4, 方程 4 有一个特殊解, 即 X t E / 4 2 1 1 X1 - a 2 t - t 1 9 t ≥ t1, A X t 方程 9 表明, 当时间 t 趋于无穷大时, 储量 X t 接 近于 / 2。 通过以上的分析, 可找到影响地下水储量的因 素。一旦动态的储量水平被看成是时间 t 以及开采 率的函数, 就有可能找到适合目标的最优地下水开 采策略。 3 可持续的地下水开采策略 如果用E X 表示在某一储量水平 X 时的开采 率, 则根据前面的分析, 可得出一个结论 对于任一 给定储量水平 X , 当且仅当 E X G X 时, 地下 水的开采是可持续的, 而 G X 已经由方程 3 给 出。因此, 对于任一给定的储量水平来说, 其可持续 的开采率必须等于地下水的再生率。如果开采率超 过其再生率, 则地下水储量将下降; 相反, 如果开采 率小于其再生率, 则地下水储量将上升。 由前面的分 析可知 可持续的地下水的开采不会超过 / 4, 而 且它的值也可以很低, 直至为零。另外, 可持续的开 采率也暗示, 对于一个给定的开采率来说, 当 E X G X 时, 地下水的储量是可以不变的。以下讨论 372 系 统 工 程 理 论 方 法 应 用第 12 卷 在储量不变条件下, 地下水的开采策略。 3. 1 不考虑开采对未来的影响 首先, 考察不考虑地下水开采对未来产生影响 的情况。 假定地下水的单位市场价格为 P, 且地下水 开采成本是储量X 的函数, 即 C X 。 这里关于地下 水开采成本函数的假设是合理的, 因为随着储备量 的下降, 地下水的开采成本将上升[ 6]。如果开采 G X 单位的地下水, 其总收益 TR PG X 。从这 个表达式可看出, 一方面, 总收益曲线仅仅是再生率 曲线G X 的P 倍; 另一方面, 开采率等于自然再生 率, 即 E X G X , 这意味着是可持续开采。此 外, 总成本曲线 TC C X 。这样, 开采和销售地下 水的净收益 F X T R- TC PG X - C X 。如 果要使净收益最大, 则可令净收益函数对 X 的一阶 导数为零, 即 d[ PG X - C X ] dX 0 10 对方程 10 的求解可看成是寻找一个储量水平 X * , 在这一水平上总成本曲线和总收益曲线的斜率 相等, 即边际成本等于边际收益。 如果在地下水储量 水平 X * 处同时满足可持续开采的条件, 即E X * G X * , 则该储量水平有下列 3 个特点 储量 水平不变, 一直维持在水平 X * ; 开采率是可持续 的; 实现了收益最大化, 即 F X * PG X * - C X * 。同时满足上述 3个条件的解决方案就可被 称之为最优的、 储量不可调节的、 可持续的开采方 案。 所谓地下水不可调节是指除了地下水再生率水 平、 开采成本、 地下水价格之外, 没有其他条件能够 影响地下水开采率水平的选择。 当然, 开采率也会因 人为情况而改变。 当发生以下两种人为情况时, 开采 率也会改变 一是环境的原因。有时候, 为了防止地 下水水质继续恶化以及保护植被等, 政府会要求地 下水储备不能低于某一水平; 二是制度的原因。 管理 地下水的机构有时候会规定地下水只能按照平均成 本定价, 也就是说, 销售地下水所取得的收益只能弥 补开采成本, 不能有赢利。 3. 2 考虑开采对未来的影响 现在, 考虑地下水开采对未来有影响的情况。 如 果目前开采一个单位地下水, 这将引起未来潜在收 益的损失。因为如果这个单位地下水当前没有消费 而是被留待将来消费的话, 这个单位地下水在将来 会产生收益。 当然, 当前的地下水的消费也会产生收 益, 这个单位收益可以用当前地下水的单价 P 与在 储量水平X 时的单位成本C* X 的差额来表示。 这 就需要在未来收益和当前收益之间进行权衡。如果 目标是追求总收益最大化, 即未来收益和当前收益 总和的最大化, 则应满足这样一个条件 刚刚消费的 地下水所产生的边际收益的现值等于现在消费的地 下水所产生的当前收益。如果用 r 表示名义利率水 平, 则上述要求的条件可用数学公式表示如下 1 r d[ P - C * X G X ] dX P - C* X 11 其实, 方程 11 隐含了两个条件, 即 C X C * X G X ; E X G X 。后者暗示开采是可 持续的。 此外, 上述方程左边表示刚刚消费一个单位 地下水所产生的净收益的现值; 方程右边表示当前 每消费一个单位地下水所产生的净收益。 如果考虑到通货膨胀率 f 对可持续开采率的 影响, 就需要引入一个新概念, 即真实贴现率 r * , 而 r * r- f / 1 f 。如果通货膨胀率很低, 则真实 贴现率将接近于名义贴现率与通货膨胀率之差, 即 r * ≈r- f 。 这样, 在方程 11 中, 如果用r * 代替 r, 并 对其求导数, 则得到下列关系式 dG X dX - G X P - C* X dC* X dX r* 12 方程 12 表示在利润最大化目标下, 实现了地下水 的可持续开采。当然, 如果想要求出储量水平 X, 以 下几个条件必须是已知的 G X 函数; 边际 成本函数 C* X 以及地下水单位市场价格P; 年 真实贴现率r * 。 假定成本函数是线性的, 即 C* X d - Bx 13 式中 b、 d 是参数, 可从在本数据中估算。如果将它 和方程 3 所表示的 G X 一起代入方程 12 , 则可 得到下面的一个二次方程 X 2 MX N 0 14 式中 M - 3b 2 d - P b 2 - r * 15 N - 3b [ d - P r * - ] 16 求解方程 14 , 可得最优储量水平 X * - M M2- 4N 2 17 一旦从方程 17 得到最优的可持续储量水平 X * , 则可进而根据方程 3 求出最优的可持续再生 率 G X * 。这样, 也就实现了地下水可持续开采的 目标。 参考文献 [1] HermanBouwer.Intergrated watermanagement 373 第 4 期郭安军, 等 储量不变条件下地下水可持续开采策略研究 emerging issues and challenges[J].Agricultural Water M anagement, 2000, 45 217- 228. 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