地下水管理模型在开采低铁锰地下水中的应用.pdf

第 l 3卷 1 9 9 4年 第 4期 1 2月 吉 林地 质 JI L J N G E O L O G Y Vo ． 1 3 No ． 4 De e． 199 4 y 一 地下水管理模型 在开采低铁锰地下水中的应用 解文多 - ___-●一 东煤 建筑基础 I程公 司，长春市 关铁声 水 利部松辽水利 委 员畚 ，长春市 7 ／ 提要本文依据偏微分方程近代理论 中的广义函数、 希尔伯特空阿、 算子半群等理论 方法 ， 探讨地下水管理模型的按心部分一单位脉冲响应函数 的来源机质及特征 用已建立的 地下水管理模型模拟了性马河流域的低铁锰地下水开采同题，以及挺 出治理高铁锰地下水 地质年代中，如果古气候是湿润还原条件，同时又有丰富的铁锰物质来源，这样就极易形成 高铁锰离子地下水。作者在饮马河流域野外实际勘察中发现同一含水层中地下水的铁锰含量 差异较大 ，高、低铁锰地下水两者之间没有明显的界线，呈渐变关系。同时 ，还发现地下水 在大多数情况由低铁锰地下水区向高铁锰地下水区径流，在低铁锰地下水区的开采井 ，如果 过量 开采 会使高铁锰地下水向低铁锰地下水 区倒灌 ，开 采量过小 ，低铁锰地下水又不能 充分 利 用等 问题 。为 了解决这个问题 ，设法在两种水之问形成一条阻水墙 ，即分水岭 ，控制开采 量使两水之间产生上述水动力条件。这类问题属于地下水管理问题，具体内容如下 ；①可以 从每个供水井抽取多少地下水}②怎样才能防止高铁锰水向开采区径流{③若发生高铁锰水 倒灌现象 ，怎样才能最经济有效地恢复此含水层供水能力。 1 地下水模拟模 型 地下水系统可以看作在时问和空间上具有四维特征，能不断新陈代谢的有机整体，地下 水在空问的分布规律与时间上 的演变规律反应了输入系统、输出系统及地下水内部转化作用 的结果。 根据管理 区内的水文 地质条 件 、水 动力条件选 择如下模拟模型 ’ [丁 券 ] e ～ 垒 一 垒 兽 垒 ∈ o 垒， I , - o 。 垒 垒∈n 垒， f I 垒，t 垒∈ ， t ≥O a hf 口 垒，f 空∈r ， ≥ 0 式中 ；h，h 。 ， 。 一 分别为预求水位 、初始水位和一 类边 界水位 ；T， 一分 别为含水层 ㈣ 吼 m m 维普资讯 6 0 吉林地质 的 导水 系数和释 水 系数 ；一 垂 向补给或消耗强 度 ； Q ， 口 一分别 为 J点开采量和二类 边界单宽 流量 ；生 一 为平 面位置座 标 ，生一 ， 。 模型的实际定 解条件 在饮马河 中游河东岸 一级 阶地上 ． 由 石 头 13门水库到 九台市一带选 择一处 由自然边 界圈定 ，面积为 7 7 k m。的计算区 。依据 水文地 质勘探资料 和水位观 测资料 剖分 9 8个三角单元 ，总结点 6 7个 。其中内结点 3 3个 、一边界点 2 1 个和 二边界点 l 3个 。根据 含水层厚 度 、结构 、颗粒成 分及水动 力条件 ，分两个参数 区 图 1 。 饮马河 与小南河为一类边 界 ，平水年枯季河水深 0 ． 3 m，车 季可在 1 _ 5 m 以上 ；阶地 后缘 与台地接 壤处 为二类 边界 ， 且属于 弱透水边界 ， 边界 流量用达西断面法计算 Q K I 。 式 中黄 ‘ 土状土的渗 透系数 0 ． 2 5 m／ d ． 水 力坡 度为 8 ‰ ．过水断面平均厚 。 1 0 m 随季节不 同略 有变 化 ， 即单宽 流／ ＼ 量 约 o ． 0 2 ma ／ d-m，初 始水 位值 选 用 1 9 8 6年 4月 1 0日枯 水位 实测值 。 图 2 】 2 、4 3 号结点水位对比曲线 Fi g ． 2 Co mp a r a t i v e C l l i - - e ,of t h e No ． 1 2．4 3 w a e r 1 e e l s 圉 3 丰 水 期 水 位 似 合 曲线 圈 t 实线 为计 算 曲线 一 虚线 为观 测 曲线 Fi g 3 Fi t t i ag c 1 1 r ve ／ o r t h e wa t e F l e vel of t he hi g h- w a t e r s eason 阳明明盯 “ 维普资讯 第 4期 解 文 多 ，关铁生 地 下 水管理 模 型在 开 采低 铁锰 地下 水 中的应 用 6 1 2 地下 水管理模型 地下水 系统功能在 于接 受某种形式的 信息 输 入 大气降水 、侧向径流等 ，经过 含水层贮存 、传输 、延时和平 滑作 用 ，然后把接受的物 质、能 量和 信息以水位形式输 出 ，所 以水位输 出是输入 信息的响应 。 2 ． 1 化偏微分方程 为积分 方程 根 据线性地下水 系统的叠 加原理 ，可从 1 式 中分 解 出具有可 控输 入 ，齐次边界条件的 地 下水 系统 。 o h 一 [丁 券一 羔 也 ] -奎 ∈ n ， f 。 2 叠，f I ， | 。 。 皇En 3 丁 0 生∈n，f ≥ o 4 先 不考 虑 2 式的初始条件 ，讨 论若 为问题 2 、 4 式 的解 ，则表示按广义函数意 义 2 式成立 ，那么在 H n空间 4 式的解也应当理解 为广 义函数在 边界 a r上的迹 为 零 。 若 h EH。 n ．v EH n ．H 表示希尔 伯特空间 ．刚利用格林 公式可得 一 Lh， n 一 口 ， 一[ 丁 一 ， ] 式 中n ． 是 h． 的一个双线性形式 因此 ，当 满足 2 式时 ，可得 C -f h ， ， 一[ 丁 ， 如果 叉 满足边界条件 4 式 ，则有 ； Ⅱ ， 一 a h ． 上 一 一 [ ， ，t ， ] V t, E H n 显 然 ，当 h EHZ O时 ，这样定义边界问题 的解在边界 a ‘ 上的 丁 函数值 按广 义函数迹 的意 义满 足 4 式 由上面讨 论的偏微分 方 程与边值 问题 的关 系．可将偏微分方 程 2 ， 3 ， 4 的定 解问 题转化为 以 为微分算子的抽象 发展方程 的初始问题 。 『 塑 Ah 一0 ’ 『 a 5 hI 。 一h 。 在近代偏微分方程理论中．利用算子半群方法求解发展方程定解问题时，通常有以下几 个 步骤 首先将具体 的偏微分方程 定解 问题化成抽象 的发 展方 程的初值 问题 ，如 5 式的形 式 所示 ， 在 5 式 中的算子 A 一般是一个微分算子 ，并且通过其 定义域的规定 已把解应满足 边 界 条件 的要 求包括 在 内 ，其 次 说 明算 子 满足 一定 条件 ，从 而能 作 出一 个算 子半 群 [ s ， ． ≥O ] ，它 以一L4为无 穷小生成 元 ，这 样抽象发 展方程初始 问题 的解就 可以用 S h 。 表 币 ． 荐 回到 原 始 的 定 解 问题 ，即 得 所 需 之 解 。 维普资讯 6 2 吉林地质 算子 A 作为一个 线性 微分算子应满足 以下条件 1 A 是 日 中的稠定算 子 ； 2 A是 增 生算子 ； 3 对某个 2 0 ， A是满 映照 ，微分方程 2 式满足上面 的三个 条件 。 根据齐次化原理方程 5 式的解应具有 如下形式 f 一 s0 。 s0 一 ， d 6 J 0 式 中 一 为响应 的函数 ；， 一为激励 函数 ；S t --z 一为积分 方 程的核 函数 ； S ￡ 。 一为初始水位函数， 6 式积分方程属于第二类沃尔秦拉积分方程 关 于 6 式 的 证 明 需 验 证 g f 一 s o ， d 满 足 g 0 0 及 方 程 鲁 A g 一 ，，显然 g 0 一0成立 。 而又有 i 1 g 五 一 g 一 l E J f 。 s f k 一 ， d z ． so ， d ] 一 } ‘ ， H ～ d z ． r z d ] 一 』 { ， 。 一 ～ ， 。 一 d z 专 J 。 s z ， o k z 由于 ， f ∈C E O ， 丁 ， 日 ， 所以当 一0 时 ， g 存在。 g O 一J o S ， f g d sO ， 0 另一方面 i 1 g 。 一 g o 一 } s 一 ， d s f ， d z ] { 0k 一 ， d 一 } s 一 ， g i1 J 。Js“ 一 ， 如 一 J 令k --- 0 ， 可 知 } s 一 ， g f 极 限 存 在 ， 这 说 明 g t E D A ， 且 通 过 取 极 限 即 得 a g ’ f 一 一Ag ， f 所以 6 式 的形 式也是卷积的表示 形式 2 ． 2 单位脉冲响应函数及响应矩阵 上面 已证 明偏微分 方程 2 式描述 问题是 线性 地下水系统问题 ， 故其输入一 输 出关系可 啊 6 式 表示 ，并将 6 式 中 S z h ， z 、S t --z 分别用h 。 f ，Q ，p t --z 代换 0一 h o l p t c Q d 该式中h的解不仅是时间参变量的函数， 同时也是垒 ∈n区域空间位置垒 尘 ， 的座标函数。 乌 表示 i 点的水位座标 ，尘 ， 表示 点的可 控输入 抽水或 回灌点 座 标 ，那么上 式的解 h可变 为 如下形式 套， f 一h o 岛， l 生 ． ， ， f Q 也， t d z 7 维普资讯 第 4期 解文 多 、关铁 生 地下 水管理 模 型 在开 采低 铁锰 地下 水 中的应 用 6 3 令 尘 ， f 一I 卢 乌， 尘 』 ， f Q ， z d z 则 盘， 一h 。 尘 ， s 尘 ， 0 式中 Q 尘 』 ， 一 时段 点的抽水量； ‰ 尘 ， ， f 一f 时刻岛点的初始水位； 尘 ， ， f 一 时 刻由于在 一 时段抽水尘 点产生的水位差 ； h 岛， 一表示 t 时刻在茔 ，点由初始水位与水位差 的代数和； 垒， ， 一为核函数，当以Q 毫， z 单位抽水量脉冲抽水时， 而在尘 点t 时 刻的降深值等于核函数值，此时核函数为单位脉冲响应函数，又称 函数 。 对 积 分方程 7 式用线性 代数方 程组的逼近 法与对偏微分 方 程 2 及 定解条件 3 、 4 式经 时间和 空间离散后 得到 的离散式相同 h ， 矗 一 h o 0， 矗 三卢 ， J ， N k Q ， 矗 一 】 r一 】 日 及 S ， 一 三r9 ， ，Ⅳ一 Q j ，b --k 8 J一 1 J 一 1 ，2，3 ，⋯ ⋯ ，k一 1，2，3 ⋯ - N 一 1 ，2 ， 3 ⋯⋯n表示水位响应点的单位脉冲响应函数 的代数和，具体含义为有 一1 ， 2 ，3 ⋯⋯m个抽水井，在 一l 2 ， 3 ⋯⋯N 个时段的抽水降深值。单位脉冲响应函数反应含 水层 特征 参 数 T， 以及取 水、供水 目标的 时空特征 。如果确 定了响应 函数 ，那么就可 以随意组 合输入量 ，并且在满足水位约束 条件下 ，能够 求得输入量的最优组合。 实际工作 中 ，地下水管理 区域通常存 在若干个 开采 井和 水位控制点 ，以及每个 规划时期 又分若干个管理 时段 。所以可得响应点的初始 水位矩 阵 h 。 j ， 、固抽水形成的水位分 布矩 阵 h ， 、抽 水井 的开采量矩 阵 和单 位脉 冲响应函数矩阵 ．1 ⋯⋯⋯⋯ ，m ⋯ ， ⋯ ． ⋯⋯⋯⋯ | 9 n ，m 有 限元 法确定单位脉冲响应 函数的方法 常数 ，二类 边界流量 等于零 。 h 。 z 一 h 1 ，f 一 C 塑 一0 首先令初始水位值 和一类边界水位值等于某 一 ￡ ≥ 0 如果 选择 的基准为零参照 ，则 h 。 - 奎 一h 奎 ，t 一T 一O ￡ ≥0 a 将此 定解条件代入 偏微分 方程 2 式 ，计算各响应点 不同开采 井单 位抽水量 ，不同时段 的降深值 ，该值就是单位脉冲响应函数。 2 ． 3 模 拟模型与优化模型 的偶 和模 型一地下水管 理模型 系统工程理论 中的优化技 术是横 断许 多学 科的应用技术 ，在 很多 自然科学领域和技术应 用领域 已被广泛利用 。近几年在 地下水科学 中业 已采用此技术 ，并取得 可喜 的成果 。系统工 程理论 与地下水水 力学模拟技术相互结 合 ，为 建立 地下水系统管理模型打下坚实的基础 ，为 地 下水 科学发展开拓 了崭新 的应用领域 。 系统工 程理论的优化技术分 为 ；线性规划 、非线性规 划和 动态规划 技术 。本文选用线性 规划技术 ，数学模型如下 。 目标 函数 ； 维普资讯 6 4 吉林地质 ， 一兰 C j ， ． ， 一 一 一m i n 或 m a x l 约束条件 ZⅡ ，J，N 非负条件 9 x j，k ,v 一 l ≥ 0 式中 ； F一为总体 效益 函数 ； 一控制变 量 ； c一控 制变量 的权重 ；n 一控制变 量的 系数 ； 6 一约 束极限。 首先根据 8 式求得表 征系统 结构特 征 的单位脉 i 巾响应 函 数以及 由抽 水产生 的水 位分 布 ，将它们作 为优化模型 9 式的 目标 函数和约 束条件而 建立 的管理模 型 ，该 方法称为响应 矩阵法。 因为 9 式 中的约束 条件为不等式 。 需 要引入 ”个 附加变量 Q⋯ ⋯⋯Q_ ， 。 将 不等式变 为等 式 ，再用 8 式中的 Q J 。k ,v --k 一 、r 9 f ，j ，Ⅳ一 代替 9 式 中的 ,2 7 ，k k 一 、 q ．J ，Ⅳ一 ，可得如 下地 下水管理 模型 。 目标 函数 F 兰 1i - Q ，k ,v -- 一 - 一 ma x mi n k l， 2， 3⋯ ⋯ N 约束 条件 ； Z r 9 ， ，Ⅳ 一 Q ，k --k 一 Q 一 6 “ l 一 1， 2， 3 ⋯ ⋯ ”。 k一 1， 2， 3 ⋯ ⋯ N 非负条件 ； Q ，b --k 一 ≥ 0 一 1， 2． 3⋯ ⋯ ， k一 1， 2， 3⋯ ⋯ N 1 0 因为有些区域需要长 期规 划管理 ，所 以控制变量的权 重 或单 位用水量成本不是一成 不变的 ，不同规划时段可 用不 同的利率 r换算 。 运用上面的地下水管理模 型 ．在满足直接或 问接 水位约束 条件 下 ，很好地解决 了低铁锰 地下水的开采问题 ，当然也可 以解决其 它地下水水量 、经济效 益 、社会效益 、环境效益等管 理问题 。 3 管理 策略的制定 在天然水动 力条件下 ，地 下水由低铁锰 水区 向高铁锰 水 区径流 ．而 在开采 条件下 开采 井布在低铁锰水区见 图 4 ，改变 了地 下水径流方向，人为在两种 水之 间形 成分水岭 ，在分界 附近没有 i 1 ．2 。3 ⋯⋯9 个水位控制点 它们是 5 ，1 0 。1 7 。2 0 ．2 3 ．2 5 ，2 6 2 8 3 l 号结 点 ，各控制 点水位监测值构成 开采井在各时段的水位约束极 限值 。 响应函数矩 阵 在低铁 锰水区布有 8眼开采井 ，9个水位控制点t 响应点 ，T F 果时段共 1 2个 ，按照有限元法确定 响应函数的步骤 ，经 长时 间运算得 到一个庞大 的二 三 维 响臆 函数矩阵 维普资讯 第 4期 解文 多 、关 铁 生 地 下 水管 理模 型在 开 采低铁 锰 地下 水 中的应 用 6 5 图 4 开采 井分 布 图 Fi g ．4 Di s t r i b u t i o n g r a p h o f t h e e x p l o i t e d we l l s I - 低铁 锰水 区 ； 2 ． 高铁锰 水 区 3 抽水井 ； 4 ． 铁 锰 分 区界 线 位 限制 不 同 表 】 日 日 田 。 回 曰 圉 5 地 下木 径流示 意圉 F i g ． 5 Th e s k e t c h ma p o f g r o u n d wa t e r r un o { { I ． 自然水 位 F 2 ． 开采条 件下 水 位 3 ． 低铁锰 水 区 I 4 高铁锰 水 区 5 ． 界线 j 点为抽水井， i 点为水位控翩点 口 9 ，8 ．1 2 ，共 有响应函数 8 6 4个 。 水位约束限制 响应点 的水位 限制依据 h i H 一s ． 确 定 。在 天然条件下 ，地下水系统 在接受 垂向与侧向输 入 后 ，会在响应 点产 生 一 一 的水位变 幅，为了保证 正 常抽水 ， 只有 s≤ n 一 因此 ， 不 同季节 的响应 总水 表 1 响应 点 的木 位约 柬隈 制 Ta b． 1 Li m i t a t i o n f o r wa t e r] e v e ]wi t h r e s p o ns e p o i nt s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l 0 l 1 1 2 5 ， 0 ． 0 1 0 ． 0 2 l 0 ． 0 7 1 0 1 7 1 0 ． 2 6 l 0 ． 3 3 1 0 ． 4 1 1 0 ． 4 8 1 0 ， 6 1 1 0 ． 7 1 1 0 ． 7 8 1 0 ． 7 9 1 z i b i ． 】 0 ． 0 1 0 ． 0 l 1 0 ． 0 5 0 ． 1 0 0 ． 0 9 0 0 7 0 ． 0 8 0 ． 0 7 0 ． 1 3 0 ． 1 0 0 ． 0 7 0 ． 0 l l 求解地下水管理模型 本文地 下水管理 目标 为供水价值最 大 ，由于 管理区各供水 目标一 致 ．那么供水价值系数 比率 c j ．k 一1 ，所 只有 开采量最大 ，才能保 j 正供水 价值 最大。 目标 函数 8 F r l l s x ∑q ． 一 N 1 J一】 一 1． 2． 3⋯ ⋯1 2 约束 条件 维普资讯 - 6 6 吉林地质 1 9 9 4m 三p i ，J ，Ⅳ 一 Q j ， 一 Ⅳ 一 Q一 b i ， 。J i 一 1， 2， 3⋯ ⋯9， 一 1， 2， 3⋯ ⋯ 12 非负条件 Q j ，孟 一 五 一 1 ／ o f 一 1， 2 ， 3 ⋯ ⋯ 8， 一 1 ， 2， 3 ⋯ ⋯ 1 2 利用 单纯形法 解上 面的模型 ， 求得 目标函数最大值 ，即 F一1 1 2 2 2 7 0 m ／ N 时段 表 2 。 表 2 各月开采量统计表 Ta b． 2 S t a t i s t i c s o f t h e e x p l o i t e d q u a n tit y f 0 r e v e r y mo n t h 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 合计 开采量7 5 3 0 7 4 0 0 7 4 5 0 7 4 5 8 7 4 3 8 2 0 2 8 4 0 2 3 3 6 1 6 2 1 1 7 9 2 1 9 7 0 4 01 5 7 2 3 2 9 9 8 4 0 7 4 0 0 11 5 7 2 2 6 证 l ～3月份和部分 4月份开采量类 比得到单位 ／ d 1 从计算结果 中可 知每 眼井平均 年开采量为 1 4 ． 4 6 1 0 ‘ m 1 ～3月份 和部分 4月份 开 采量类 比得到 。 2 在枯水季节 每眼井只能开采 3 1 ． 3 7 m。 ／ d的低铁锰 地下水 ，在丰 水季 节单井最大 开采 量为 9 4 2 m。 ／ d ． 3 从 图 6中可知 、 在丰水季节 虽然 开采量增 加 ，但是 开采 区 水位 没有普遍 下 降，反 而 比图 7枯水期 水位 有所 上升 ，这 是 因为优 化 开采 量 被天 然补给 量抵 消 ，而且 还 略有 盈余 ， 但是开采稍有不 慎 ， 就会 有被 高铁锰水侵入的危险。 4 由于受水量限制 ， 在低 铁锰 水区 只能 建小型 水源地 ，适 宜村 屯 ． 居 民饮用供水 。 4 高铁 锰水侵人开采 区的 治理措施 高铁 锰水 侵 入较轻 的情 况 ；根 据地下水管理模型 1 0 式的约束条 件Z-9 i ，J ，Ⅳ一 Q ， 一 ／ -1 k A , - 1 一6 ，降低水位 约束 b的值 ， 减少优 化开 采量 ， 缩小 围6 漏 斗范围 ， 阻止 高铁 锰水侵入 ， 使分 水岭 向低铁锰水 区移动 。 ‘ 高铁锰水侵 入严重的情况 1 停 止开采 ， 在 天然径流条件 囝 7 l 】月 3 0日的开采 区 水 位分 布 囝 Fi g ．7 W a t e r l e v e l d i s t r i b u t i o n o f t h e m i m n g a re a on N OV． 30 维普资讯 第 4期 解文多、关铁生 地下水管理模型在开采低铁锰地下水中的应用 6 7 下 ，使高铁锰水 向开 采区外运 移 。 2 在 高铁锰水 区打 若干 个开 采井，开采高铁锰水增加水力坡度 ，加快径 流速 度 ，能更 快地恢复开采区的供水能力。 3 如果有洁净的地表水 ，可引水回灌。 虽然后两种方法比较可行 ，但从经济角度考虑 ，毕竟要花费大量的人力、物力。故此采 纳该方法首先衡量经济得失 ，避免园小失大。 参考文献 王连祥．方德植等． 数学手册． 高等 教育出版社 ，1 9 7 7 陈恕行．洪家兴． 偏微分方程近代方法． 复旦大学出版社．1 9 8 8 许滑铭．邵景力． 地下水管理问题讲座． 工程勘寨 ，1 9 8 8 I 1 一 们 解文 多． 非 稳定流 线性 地 下 水管 理模 型探 讨 及应 用． 地 下 水 ．1 9 9 2 I 2 AN APPL l CATI ON OF GROUNDW ATER MANAGEMENT 一一 MODEL FOR MI Nl NG L OW MANGAN GROUNDW ATE R Xi e W e nd u o T h e No r t h e a s t C o a l a r c h e c t u r a l f o u n d a t i o n e n g i n e e r i n g C o ． Ch a n gc h u n Ci t y 1 3 0 0 6 1 Gu a n Ti e s h e n g W CM , S o n g l i a o wa t e r Con s e r v a n c y Co mmi s s i on ， C h a n gc hu n Ci t y 1 3 0 0 2 1 Abst r acl Op t h e b a s i s o f t h e g e n e r a l i z e d f u n c t i o n， Hi l b e r t a p a c e ， o p e r a t o r h e ml g r o up i n t h e r e c e n t t h e n r y o n p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n． Th e o r i gi n a n d i t s c h a r a c t e r i s t i c s n f t h e u n i t p u l s e r e s p o n s e f u n c t i o n a r e d i s c u s s e d i n t hi s p a p e r ． Th e mi n i n g of l o w f e r r o ma n g a n e s e g r o u n d wa t e r i n t he Yi n ma h e B a s i n i s i mi t a t e d b y u s i n g e s t a b l i s h e d g r o un d wa t e r m a n a g e me n t mo d e 1． M e a n wh i l e，t h e me a s u r e s o f c o n t r o l o n t h e i n t r us i o n f r o m l o w f e r r o ma n g a ne s e g r o u n d wa t e r a r e pr o p o s e d ． Ke y wo r d s M a n a ge m e nt mo d e l Re s p o n s e f u n c t i o n Lo w f e r r o m a ng a n e s e g r o u n d wa t er 维普资讯